ruch bryły sztywnej

/

1

DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

Ciałem sztywnym nazywamy taki układ, w którym
wszystkie punkty mają stałe położenie względem siebie.

Ruch ciała sztywnego można przedstawić jako sumę
ruchu postępowego i ruchu obrotowego.

STOPNIE SWOBODY

Ilość stopni swobody (ilość możliwych niezależnych
ruchów) bryły sztywnej

f = 3 + 2 + 1 = 6

Jeżeli na ruch ciała nałożymy pewne ograniczenia -
więzy to ruch jego będzie ruchem nieswobodnym a
liczba stopni swobody:

f = 6 – p

gdzie p jest liczbą niezależnych równań więzów.

Istnienie więzów prowadzi do pojawienia się sił reakcji

Stała siła:

i

p

i

p

i

F

r

M

×

=

P

O

0

i

r

P

i

r

i

F

P

i

ruch bryły sztywnej

/

2

UKŁADY SIŁ RÓWNOWAŻNYCH

Jeżeli dla dwóch układów sił (A i B) spełnione są warunki

→

=

=

∑

∑

F

F

F

B

i

i

A

i

i

)

(

)

(

→

∑

∑

=

=

M

M

M

i

B

i

i

A

i

)

(

)

(

liczone względem pewnego punktu P to są spełnione również
dla dowolnego innego punktu

układy są równoważne.

Dla punktu O odległego o odcinek OP od punktu P:

P

i

O

i

r

OP

r

+

=

P

i

P

i

i

i

i

O

i

O

M

F

OP

F

r

F

OP

F

r

M

+

×

=

×

+

×

=

×

=

∑

∑

∑

Równoważne układy sił powodują taki sam ruch.

Jeżeli

→

F

= 0 to

→

O

M

=

→

P

M

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych znika, to wówczas
momenty całkowite są równe względem wszystkich
punktów.

Przykład: para sił – dwie siły o tej samej wartości,
przeciwnie skierowane i nie leżące na jednej prostej.

F

r

F

r

M

×

=

×

=

⊥

r

- ramię pary

F

F

−

r

ruch bryły sztywnej

/

3

RUCH POSTĘPOWY

ś

rodek masy

∑

∑

=

i

i

i

S

m

r

m

R

M

m

i

i

=

∑

Dla ciągłego rozkładu masy (*)

∫

∫

=

dm

dm

r

R

S

dV

dm

ρ

=

( )

dV

dm

r

=

ρ

∫

∫

=

dV

dV

r

R

S

ρ

ρ

Dla ciała jednorodnego

const

V

m

=

=

ρ

V

dV

r

R

S

∫

=

Ś

rodek masy porusza się tak, jakby cała masa była w

nim skupiona i wszystkie siły do niego przyłożone

2

2

dt

R

d

m

F

S

=

Równanie ruchu postępowego

F

dt

P

d

S

=

ruch bryły sztywnej

/

4

RUCH OBROTOWY

Ruch obrotowy wokół osi przechodzącej przez ustalony
punkt np. początek układu: współrzędnych 0.

i

i

r

v

×

ω

=

i

i

i

p

r

J

×

=

i

i

i

i

i

v

r

m

J

J

×

=

=

∑

∑

(

)

∑

×

ω

×

=

i

i

i

r

r

m

J



tożsamość
wektorowa:

)

(

)

(

)

(

B

A

C

C

A

B

C

B

A

⋅

−

⋅

=

×

×

∑

=

i

M

M

Równanie ruchu obrotowego

M

dt

J

d

=

ω

i

r

0

i

m

i

v

( ) ( )

[

]

∑

−

=

i

i

i

i

i

i

r

r

r

r

m

J

ω

ω

ruch bryły sztywnej

/

5

OBRÓT WOKÓŁ STAŁEJ OSI SYMETRII

i

R

⊥

ω



Moment pędu

( ) ( )

[

]

∑

−

=

i

i

i

i

i

i

r

r

r

r

m

J

ω

ω

∑

=

i

i

i

R

m

J

ω

2

ω

I

J

=

•

Moment bezwładności

∑

=

i

i

i

R

m

I

2

∫

=

dm

R

I

2



Równanie ruchu

dla

const

I

=

ε

ω

I

dt

d

I

dt

J

d

=

=

ε

I

M

=

x

z

y

R

ω

ruch bryły sztywnej

/

6

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

∑

=

i

i

i

R

m

I

2

∫

=

dm

R

I

2

ruch bryły sztywnej

/

7

ENERGIA KINETYCZNA

przy obrotach wokół stałej osi

∑

=

i

i

i

k

v

m

E

2

2

1

∑

×

=

i

i

i

k

r

m

E

2

)

(

2

1

ω

∑

∑

=

=

i

i

i

i

i

i

k

r

m

r

m

E

2

2

2

2

2

1

2

1

ω

ω

2

2

1

ω

I

E

K

=

x

z

y

R

ω

ruch bryły sztywnej

/

8

PORÓWNANIE RUCHÓW

Ruch prostoliniowy

Ruch obrotowy

dookoła stałej osi

przesunięcie

x

kąt

φ

prędkość

v = dx/dt

prędkość kątowa

ω

= d

φ

/dt

przyspieszenie

a = dv/dt

przyspieszenie kątowe

ε

= d

ω

/dt

masa

m

moment bezwładności

I

siła

F = ma

moment siły

M = I

ε

pęd

p = mv

moment pędu

J = I

ω

energia kinetyczna

E = mv

2

/2

energia kinetyczna

E = I

ω

2

/2

ruch bryły sztywnej

/

9

TWIERDZENIE STEINERA

zmiana momentu bezwładności przy zmianie osi.

S – środek masy

2

2

2

is

is

is

y

x

r

+

=

2

2

2

2

2

2

2

)

(

is

is

is

is

is

i

y

x

hx

h

y

x

h

r

+

+

+

=

+

+

=

2

2

2

2

is

is

i

r

hx

h

r

+

+

=

Moment bezwładności względem „O”

∑

∑

∑

∑

+

+

=

=

2

2

2

2

)

(

is

i

is

i

i

i

i

r

m

x

m

h

m

h

r

m

I

∑

=

0

is

i

x

m

z definicji środka masy

2

mh

I

I

s

+

=

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności ciała względem dowolnej osi jest
równy sumie momentów bezwładności względem osi
równoległej i przechodzącej przez środek masy ciała
plus moment bezwładności środka masy względem
badanej osi.

O

x’

S

y’

y

m

i

y

is

r

is

x

is

h

i

r

ruch bryły sztywnej

/

10

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

ω



I

J

=

⊥

⊥

⊥

=

ω

I

J

I

⊥

= mr

2

I

II

= mr

2

/2

J

J

J

+

=

⊥

ω

ω

ω

ω

ω

ω

⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

=

=

=

2

2

1

2

2

mr

mr

I

I

J

J

Jeżeli obręcz obraca się dookoła osi nie będącej jej osią
symetrii to

moment pędu ma inny kierunek niż

prędkość kątowa

ω

I

J

ˆ

=

r

F

0

ω

F

0

α

ω

⊥

ω

ω

⊥

J

J

J

ruch bryły sztywnej

/

11

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

ω

I

J

ˆ

=











ω

+

ω

+

ω

=

ω

+

ω

+

ω

=

ω

+

ω

+

ω

=

z

zz

y

zy

x

zx

z

z

yz

y

yy

x

yx

y

z

xz

y

xy

x

xx

x

I

I

I

J

I

I

I

J

I

I

I

J

tensor momentu
bezwładności
względem punktu 0

Wektor J obraca się wokół wektora

ω

ωω

ω

M

dt

J

d

=

Moment sił reakcji w łożyskach





















=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Iˆ

ruch bryły sztywnej

/

12

TENSOR MOMENTU BEZWŁADNOŚCI

•

Macierz tensora momentu bezwładności jest macierzą
symetryczną

I

ij

= I

ji.

Macierz taką można ją zdiagonalizować, czyli znaleźć
taki układ współrzędnych, x’, y’, z’ , że





















=

'

'

'

0

0

0

0

0

0

ˆ

z

y

x

I

I

I

I

'

'

'

x

x

x

I

J

ω

=

'

'

'

y

y

y

I

J

ω

=

'

'

'

z

z

z

I

J

ω

=

gdzie x’, y’, z’ - osie główne bezwładności ciała.

•

Gdy obrót zachodzi dookoła jednej z osi głównych to

ω

J

Jeżeli ciało ma symetrię sferyczną

'

'

'

z

y

x

I

I

I

=

=

Jeżeli ciało ma symetrię obrotową

'

'

'

z

y

x

I

I

I

=

≠

ENERGIA KINETYCZNA

J

E

K

⋅

=

ω

2

1