1

Drgania elektromagnetyczne

Drgania w obwodzie LC

C

Q

W

E

2

2

=

2

2

Li

W

B

=

2

Opis ilo

ś

ciowy

0

=

+

C

L

U

U

(prawo Kirchhoffa)

0

=

+

C

Q

dt

dI

L

0

1

2

2

=

+

Q

LC

dt

Q

d

równanie drga

ń

w obwodzie LC

W obwodzie LC mamy do czynienia z oscylacjami (drganiami)

ładunku

(

pr

ą

du

).

Zmienia si

ę

zarówno warto

ść

jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i pr

ą

du

w obwodzie.

Równanie opisuj

ą

ce oscylacje ładunku ma identyczn

ą

posta

ć

jak równanie drga

ń

swobodnych masy zawieszonej na spr

ęż

ynie,

ładunek

Q

→

przesuni

ę

cie

x

;

indukcyjno

ść

L

→

masa

m

;

pojemno

ść

C

→

odwrotno

ść

współczynnika spr

ęż

ysto

ś

ci

1/k;

pr

ą

d

I = d Q /dt

→

pr

ę

dko

ść

v

= dx/dt

.

t

Q

Q

0

0

cos

ω

=

t

ω

I

t

ω

ω

Q

t

d

dQ

I

0

0

0

0

0

sin

sin

−

=

−

=

=

LC

1

0

=

ω

cz

ę

sto

ść

drga

ń

0

2

0

2

2

=

+

Q

dt

Q

d

ω

Napi

ę

cia chwilowe i pr

ą

d

w obwodzie:

t

C

Q

U

o

C

ω

cos

0

=

t

Q

Q

0

0

cos

ω

=

LC

1

0

=

ω

W obwodzie LC ładunek na kondensatorze, nat

ęż

enie pr

ą

du i napi

ę

cie zmieniaj

ą

si

ę

sinusoidalnie tak jak dla drga

ń

harmonicznych.

Mi

ę

dzy napi

ę

ciem i nat

ęż

eniem pr

ą

du istnieje ró

ż

nica faz, równa

π

/2.

)

2

/

cos(

sin

0

0

0

0

π

+

=

−

=

t

ω

I

t

ω

I

I

3

Obwód szeregowy RLC

Ka

ż

dy obwód ma pewien opór R (np. opór drutu z którego nawini

ę

to cewk

ę

).

Obecno

ść

oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielaj

ą

cego si

ę

ciepła.

Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do
drga

ń

tłumionych spr

ęż

yny, przy czym współczynnik tłumienia

β

= R/2L.

0

=

+

+

IR

C

Q

dt

dI

L

0

2

2

0

2

2

=

+

+

Q

dt

dQ

dt

Q

d

ω

β

0

2

2

=

+

+

LC

Q

dt

dQ

L

R

dt

Q

d

t

e

Q

Q

t

ω

β

cos

0

−

=

2

2

0

β

ω

ω

−

=

małe
tłumienie

t

e

C

Q

U

t

c

ω

β

cos

0

−

=

Drgania w obwodzie RLC mo

ż

na podtrzyma

ć

je

ż

eli

obwód b

ę

dziemy zasila

ć

zmienn

ą

SEM ze

ź

ródła

zewn

ę

trznego wł

ą

czonego do obwodu.

t

ω

U

C

Q

RI

dt

dI

L

sin

0

=

+

+

)

sin(

)

(

0

ϕ

ω

+

=

t

Q

t

Q

t

ω

L

U

LC

Q

t

d

dQ

L

R

t

d

Q

d

sin

0

2

2

=

+

+

)

'

sin(

0

ϕ

ω

+

=

t

I

I

2

2

0

0

1













−

+

=

C

L

R

U

I

ω

ω

R

C

L

tg

ω

ω

ϕ

1

'

−

−

=

2

/

'

π

ϕ

ϕ

+

=

t

ω

α

x

ω

t

d

x

d

β

t

d

x

d

sin

2

0

2

0

2

2

=

+

+

)

sin(

)

(

ϕ

ω

+

=

t

A

t

x

)

2

/

sin(

)

cos(

)

(

0

0

π

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

+

+

=

+

=

=

t

I

t

Q

dt

dQ

t

I

4

2

2

0

0

1













−

+

=

C

L

R

U

I

ω

ω

2

2

1













−

+

=

C

L

R

Z

ω

ω

Z pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie
Ohma. Wielkość Z nazywamy zawadą
(impedancją) obwodu.

R

C

L

tg

ω

ω

ϕ

1

'

−

−

=

)

'

sin(

0

ϕ

ω

+

=

t

I

I

)

sin(

0

t

U

U

ω

=

R

Z

=

C

X

Z

C

ω

1

−

=

=

L

X

Z

L

ω

=

=

Rezonans

Drgania ładunku, pr

ą

du i napi

ę

cia w obwodzie odbywaj

ą

si

ę

z cz

ę

sto

ś

ci

ą

zasilania

ω

(cz

ę

sto

ś

ci

ą

wymuszaj

ą

c

ą

).

Analogicznie jak dla mechanicznych drga

ń

wymuszonych

amplituda tych drga

ń

zale

ż

y od

ω

i osi

ą

ga maksimum dla

pewnej charakterystycznej warto

ś

ci tej cz

ę

sto

ś

ci.

Warunek rezonansu :

LC

1

0

=

=

ω

ω

Nat

ęż

enie pr

ą

du osi

ą

ga warto

ść

maksymaln

ą

R

U

I

0

0

=

Nat

ęż

enie pr

ą

du w obwodzie jest takie,

jak gdyby był w nim tylko opór

R

.

2

2

0

0

1













−

+

=

C

L

R

U

I

ω

ω

5

Moc w obwodzie pr

ą

du zmiennego

)

sin(

sin

)

(

)

(

)

(

0

0

ϕ

ω

ω

−

=

=

t

t

I

U

t

I

t

U

t

P

)

sin

2

sin

2

1

cos

sin

sin

cos

cos

sin

sin

2

0

0

0

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

t

ω

t

ω

(

I

U

)

t

ω

t

ω

(

t

ω

I

U

P(t)

−

=

−

=

2

2 t

t

t

ω

ω

ω

sin

cos

sin

=

gdzie:

)

sin

2

sin

2

1

cos

sin

(

__________

__________

2

0

0

ϕ

ω

ϕ

ω

t

t

I

U

P

−

=

Moc

ś

rednia

1

2

2

=

+

t

t

ω

ω

cos

sin

2

1

2

2

=

=

t

t

ω

ω

cos

sin

0

2

=

t

ω

sin

ϕ

cos

2

0

0

I

U

P

=

Ś

rednia moc zale

ż

y od przesuni

ę

cia

fazowego pomi

ę

dzy napi

ę

ciem i

pr

ą

dem.

R

C

L

tg

ω

ω

ϕ

1

'

−

=

Z

R

=

ϕ

cos

2

2

1













−

+

=

C

L

R

Z

ω

ω

i

ś

rednia moc tracona na oporze R

2

2

0

2

2

0

2

R

I

R

t

I

R

t

I

P

R

=

=

=

__________

________

sin

)

(

ω

U

0

= ZI

0

2

2

)

(

cos

2

2

0

0

0

0

0

R

I

Z

R

I

ZI

I

U

P

=

=

=

ϕ

moc

ś

rednia wydzielana w całym obwodzie

• Cała moc wydziela si

ę

na oporze R, na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy.

•Gdy w obwodzie znajduje si

ę

tylko pojemno

ść

lub indukcyjno

ść

(nie ma oporu

omowego) to przesuniecie fazowe jest równe

π

/2, a poniewa

ż

cos(

π

/2) = 0 to

ś

rednia moc jest równa zeru.

• Moc chwilowa zmienia si

ę

z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona

w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna
(zgromadzona moc jest oddawana do

ź

ródła).

Z

C

L

ω

ω

ϕ

1

sin

−

=

i

6

R

I

P

2

=

dla pr

ą

du stałego

2

2

0

R

I

P

=

dla pr

ą

du zmiennego

warto

ść

skuteczna nat

ęż

enia pr

ą

du zmiennego

2

0

I

I

sk

=

Z porównania tych dwóch wyra

ż

e

ń

wynika,

ż

e moc

ś

rednia wydzielana przy

przepływie pr

ą

du zmiennego o amplitudzie I

0

jest taka sama jak pr

ą

du stałego

o nat

ęż

eniu:

2

0

U

U

sk

=

warto

ść

skuteczna napi

ę

cia zmiennego

Mierniki pr

ą

du zmiennego takie jak amperomierze i woltomierze odczytuj

ą

wła

ś

nie warto

ś

ci skuteczne.

Podobnie definiujemy napi

ę

cie skuteczne: