Podstawy logiki i teorii mnogości. Relacje i funkcje - zadania

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

RELACJE I FUNKCJE -- ZADANIA

Zadanie 1.

Podaj dziedzinę , przeciwdziedzinę oraz relację odwrotną do relacji R, S, T określonych
następująco:

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

c

c

c

b

c

a

b

a

R

,

,

,

,

,

,

,

=

==

=

,

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

d

a

c

a

b

a

a

a

S

,

,

,

,

,

,

,

=

==

=

,

(((( ))))

{{{{

}}}}

b

a

N

b

N

a

b

a

T

<<<<

∧∧∧∧

∈

∈

∈

∈

∧∧∧∧

∈

∈

∈

∈

====

:

,

Zadanie 2.

Poniższe relacje

A

A

R

××××

⊂

⊂

⊂

⊂

przedstaw w postaci tabel i diagramów, wyznacz dziedzinę ,

przeciwdziedzinę oraz relację odwrotną

{{{{ }}}}

2

,

1

,

0

====

A

,

y

x

xRy

<

<<

<

↔

↔

↔

↔

{{{{

}}}}

6

,

5

,

4

,

3

,

2

,

1

=

==

=

A

,

y

x

y

x

xRy

≠

≠≠

≠

∧

∧

∧

∧

↔

↔

↔

↔ |

{{{{

}}}}

4

,

3

,

2

,

1

====

A

,

y

x

xRy

+

++

+

↔

↔

↔

↔ |

2

Zadanie 3.

Znajdź na płaszczyźnie obrazy następujących relacji określonych w zbiorze liczb
rzeczywistych:

1)

y

x

y

R

x

<

<<

<

⇔

⇔

⇔

⇔

2)

1

=

==

=

+

++

+

⇔

⇔

⇔

⇔

y

x

y

R

x

3)

1

<

<<

<

−

−−

−

⇔

⇔

⇔

⇔

y

x

y

R

x

4)

x R y

x

y

⇔

+ <

2

1

5)

x R y

x

y

x

y

⇔

= ∨ − =

6)

x R y

x

y

y

⇔

+ ≥ ∧ <

1

5

7)

x R y

x

y

⇔

<

8)

x R y

x

y

x

⇔

≤ ≤ −

6

7

9)

x R y

x

y

⇔

+

≤ 1

10)

x R y

x y

⇔

⋅ <

0

Określ dziedziny i przeciwdziedziny tych relacji.

Zadanie 4.

Niech

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

2

,

6

,

2

,

5

,

1

,

4

,

1

,

3

,

1

,

2

=

==

=

R

i

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

5

,

5

,

4

,

3

,

3

,

3

,

2

,

3

=

==

=

S

.

Wyznacz następujące relacje:

((((

))))

1

1

1

1

1

,

,

,

,

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

R

S

S

R

S

R

R

S

S

R

o

o

o

o

o

. Które z tych relacji

są sobie równe?

Zadanie 5.

Niech

Z

Z

S

R

××××

⊂

⊂

⊂

⊂

,

, gdzie Z – liczby całkowite,

y

x

xRy

=

=

=

=

↔

↔

↔

↔

2

y

x

xSy

<

<<

<

↔

↔

↔

↔

Które z podanych par należą do

S

R o

, a które do

R

S o

.

Podstawy logiki i teorii mnogości. Relacje i funkcje - zadania

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zadanie 5.

Wśród następujących relacji określonych w zbiorze liczb rzeczywistych wskaż relacje R,
które są funkcjami oraz relacje, dla których relacja odwrotna jest funkcją

1)

x R y

x

y

⇔

<

2)

x R y

x

y

⇔

=

3)

x R y

x

y

⇔

=

2

4)

x R y

y

x

⇔

=

2

5)

x R y

y

x

⇔ = +

2

6)

x R y

y

x

⇔

=

3

7)

x R y

y

x

⇔ =

+

2

2

8)

x R y

x

y

⇔

=

2

2

9)

0

=

==

=

+

++

+

⇔

⇔

⇔

⇔

y

x

y

R

x

10)

x R y

x y

⇔

⋅ =

0

11)

x R y

x

y

⇔

+ − =

2

3

0

l2)

( )

x R y

x

y

⇔

+

⋅ =

1

1

2

13) x R y

y

x

⇔

−

=

3

1

Zadanie 6.

Niech

{{{{ }}}}

3

,

2

,

1

=

==

=

X

,

{{{{ }}}}

4

,

3

,

2

=

==

=

Y

. Zbadaj, czy następujące relacje są funkcjami

Y

X

f

a

:

1)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

3

,

3

,

4

,

2

,

3

,

1

2)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

3

,

3

,

5

,

2

,

4

,

1

3)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

2

,

2

,

4

,

3

,

2

,

3

4)

(((( )))) (((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

2

,

4

,

4

,

1

,

2

,

1

5)

(((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

4

,

2

,

3

,

1

6)

(((( )))) (((( ))))

{{{{

}}}}

1

,

2

,

4

,

1

Zadanie 7.

Niech f

1

, f

2

, f

3

będą funkcjami określonymi w zbiorze liczb rzeczywistych:

a)

(((( ))))

1

1

++++

==== x

x

f

b)

(((( ))))

3

2

2

−

−−

−

=

==

=

x

x

f

c)

(((( ))))

x

x

f

2

3

=

==

=

Wyznacz funkcje:

2

1

f

f o

,

3

1

f

f

o

,

3

2

f

f

o

,

1

1

f

f o

,

2

2

f

f o

,

3

3

f

f

o

,

1

2

f

f o

,

1

3

f

f

o

,

2

3

f

f

o

,

((((

))))

3

2

1

f

f

f

o

o

,

((((

))))

3

1

2

f

f

f

o

o

,

((((

))))

2

1

3

f

f

f

o

o

.

Zadanie 8.

Zbadać, czy funkcja w podanym przedziale jest różnowartościowa i wyznaczyć jej funkcję
odwrotną . Przedstaw obie funkcje f i

1

−

−

−

−

f

na jednym wykresie

1)

5

3

++++

==== x

y

,

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

Podstawy logiki i teorii mnogości. Relacje i funkcje - zadania

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2)

1

2

−

−−

−

−

−−

−

=

==

=

x

y

,

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

3)

1

3

1

++++

==== x

y

,

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

4)

2

3

−

−−

−

=

==

=

x

y

,

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

x

5)

{{{{ }}}}

0

\

,

1

ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

∈

∈

∈

∈

=

==

=

x

x

y

6)

∞

+

∈

−

=

,

0

,

1

2

x

x

y

7)

∞

+

∈

−

=

,

0

,

1

2

x

x

y

8)

∞

+

−

∈

+

+

=

,

2

3

,

3

3

2

x

x

x

y

9)

2

3

,

,

3

3

2

−

∞

−

∈

+

+

=

x

x

x

y

Zadanie 8.

Dla danych funkcji f i zbiorów A, B, C, D wyznacz

[[[[ ]]]]

A

f

,

[[[[ ]]]]

B

f

,

[[[[ ]]]]

C

f

1

−

−

−

−

,

[[[[ ]]]]

D

f

1

−

−

−

−

.

1)

(((( ))))

2

++++

==== x

x

f

,

3

,

2

=

==

=

A

,

2

,

3

−

−−

−

=

==

=

B

,

3

,

2

=

==

=

C

,

{{{{ }}}}

4

,

1

−

−−

−

=

==

=

D

2)

(((( ))))

x

x

f

2

3

−

−−

−

=

==

=

,

3

,

2

=

==

=

A

,

2

,

3

−

−−

−

=

==

=

B

,

3

,

2

=

==

=

C

,

{{{{ }}}}

4

,

1

−

−−

−

=

==

=

D

3)

(((( )))) ((((

))))((((

))))

4

2

−−−−

++++

====

x

x

x

f

,

{{{{ }}}}

5

,

3

−

−−

−

=

==

=

A

,

2

,

1

−

−−

−

=

==

=

B

,

7

,

5

=

==

=

C

,

{{{{ }}}}

8

−

−−

−

=

==

=

D

Wykonaj odpowiednie rysunki, oddzielnie dla każdego zbioru.