STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Ć

WICZENIA NR 1

ZMIENNA LOSOWA SKOKOWA

Zadanie 1
Zakładając, że liczba wezwań górskiego pogotowia ratunkowego w ciągu doby ma następujący
rozkład:

Liczba wezwań

X=x

i

0

1

2

3

4

5

6

P(X=x

i

)

0,12

0,32

0,18

0,15

0,12

0,08

0,03

a)

obliczyć dystrybuantę

b)

obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu doby liczba wezwań będzie wynosić od 2 do
4,

c)

obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu doby liczba wezwań będzie większa niż 8,

d)

obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu doby liczba wezwań będzie nie większa niż 5,

e)

narysować wykres rozkładu prawdopodobieństwa,

f)

sporządzić wykres dystrybuanty,

g)

obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję zmiennej losowej

Zadanie 2.
Rozkład zmiennej skokowej losowej X określony jest dystrybuantą:





















≥

<

≤

<

≤

<

≤

<

≤

<

=

10

00

,

1

10

7

80

,

0

7

5

50

,

0

5

3

25

,

0

3

1

15

,

0

1

00

,

0

)

(

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

dla

x

F

a)

obliczyć rozkład prawdopodobieństwa

b)

obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż 5,

c)

obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość od 1 od 7.

Zadanie 3.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przedstawiono w poniższym zestawieniu:
x

i

-3

-2

-1

0

1

2

p(x

i

)

0,1

0,2

0,2

0,3

0,1

0,1

Określić rozkład zmiennej losowej: Z=X

2

+2. Narysować wykres rozkładu

prawdopodobieństwa oraz dystrybuanty.

Zadanie 4.
Prawdopodobieństwo tego, że spośród 5 samochodów należących do firmy ALFA, zepsuje się
jeden wynosi 0,15. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że:

a)

dokładnie 2 samochody ulegną awarii

b)

mniej niż 3 samochody ulegną awarii

c)

co najmniej 4 samochody ulegną awarii

d)

awarii ulegnie od 2 do 4 samochodów

e)

obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję

Zadanie 5.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że spośród piłkarzy jednej drużyny (12 osób) podczas gry
na boisku:

a)

ż

aden nie ulegnie kontuzji,

b)

nie więcej niż dwóch zawodników zostanie kontuzjowanych.

c)

obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję.

Przyjąć, że prawdopodobieństwo wystąpienia kontuzji jest takie samo dla każdego zawodnika i
zdarza się raz na 10 meczów.

Zadanie 6.
Księgowy sądzi, że 90% faktur spółki jest bez błędów. Aby to sprawdzić, wybrał losowo 10
faktur i znalazł w nich 3 z błędami. Jakie byłoby prawdopodobieństwo takiego zdarzenia,
gdyby przypuszczenie księgowego było prawdziwe? Przyjmując odpowiednie założenia
zastosuj rozkład dwumianowy.

Zadanie 7.
Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0,001. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że wśród 200 losujących:

a)

ż

aden nie wygra

b)

wygra co najmniej jeden

c)

wygra co najwyżej dwóch

d)

obliczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję

Zadanie 8.
Zmienna losowa X ma rozkład Pissona z parametrem

λ

=1,5.

Podać wartość oczekiwaną oraz

obliczyć prawdopodobieństwo:

a)

P(X

≤

2)

b)

P(X

≥

6)

c)

P(2

≤

X

≤

5)

Zadanie 9.
Zmienna losowa X ma rozkład Pissona z parametrem

λ

=0,8. Podać wartość oczekiwaną oraz

obliczyć prawdopodobieństwo:

a)

P(X

≤

2)

b)

P(X

≥

6)

c)

P(2

≤

X

≤

5)

∑

=

=

k

i

i

i

p

x

EX

1

(

)

∑

=

−

=

k

i

i

i

p

EX

x

X

D

1

2

2

Schemat Bernoulliego:

k

n

k

q

p

k

n

k

X

P

−













=

=

)

(

npq

x

D

np

X

E

=

=

)

(

)

(

2

Schemat (rozkład) Poisson

)

(

!

)

(

)

(

np

k

e

k

np

k

X

P

−

=

=

λ

λ

=

=

=

=

np

x

D

np

X

E

)

(

)

(

2