OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃOD TEMPERATURY projekt43

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

1

POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI

ĆWICZENIE NR 2

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

OD TEMPERATURY.

Agnieszka Sysak
Gr 3

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

2

Dla układu

1

3

6

2

4

[m]

EJ

EJ

EJ

1,389EJ

1,389EJ

+20

°

C

+10

°

C

-15

°

C

t

m

= +5

°

C

o danych parametrach geometrycznych i fizycznych:

J =3060 cm

4

E=205 GPa

EJ =6273 kNm

2

t

=1,2 10

5

1

o

C

przyjęto układ podstawowy (SGN = 3):

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

u

3

R

3

R

2

φ

3

φ

2

R

1

+20

°

C

+10

°

C

-15

°

C

t

m

= +5

°

C

Ponieważ dodaliśmy do układu podpory, zakładamy, że reakcje w tych podporach są równe zero. Rozpisując

układ równań kanonicznych otrzymamy:

R

1

=r

11

Z

1

r

12

Z

2

r

13

Z

3

r

1t

=0

R

2

=r

21

Z

1

r

22

Z

2

r

23

Z

3

r

2 t

=0

R

2

=r

31

Z

1

r

32

Z

2

r

33

Z

3

r

3 t

=0

Ponieważ układ podstawowy jest identyczny jak dla obciążenia zewnętrznego wartości r

ik

pozostaną

niezmienione. Wystarczy obliczyć jedynie wartości r

it

. Na stan ten składają się dwa niezależne stany:

M

ik

t

=M

ik

 t

M

ik

t

0

t=

t

2

t

1

t

śr

=

t

2

t

1

2

t

0

=t

śr

t

m

∆t [

o

C]

t

śr

[

o

C]

t

0

[

o

C]

01

35

2,5

-2,5

12

35

2,5

-2,5

23

25

12,5

7,5

34

25

12,5

7,5

25

10

15

10

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

3

Stan t

0

Nieznane kąty obrotu cięciw prętów powstałe w wyniku działania ogrzania równomiernego obliczymy

zapisując równania łańcucha kinematycznego układu.

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

ψ

01

(t

0

)

ψ

34

(t

0

)

ψ

25

(t

0

)

ψ

23

(t

0

)

ψ

12

(t

0

)

-2,5

-2,5

10

7,5

7,5

t

0

[

o

C]

43

4 ⋅

34

t

0

=0

34

t

0

=0

523

4 ⋅

25

t

0

10 1,2 10

5

2 7,5 1,2 10

5

6 =0

25

t

0

=−0,000075 rad

5234

2 ⋅

25

t

0

10 1,2 10

5

4 6 ⋅

23

t

0

7,5 1,2 10

5

4 =0

23

t

0

=0,000045 rad

0125

2,5 1,2 10

5

3 6 ⋅

12

t

0

2,5 1,2 10

5

12 ⋅

25

t

0

10 1,2 10

5

4 =0

12

t

0

=−0,000115 rad

0123

3 ⋅

01

t

0

1 ⋅

12

t

0

2,5 1,2 10

5

6 7,5 1,2 10

5

6 =0

01

t

0

=−0,0000816 rad

Podstawiając wartości Ψ

ik

(t

0

)

, φ

5

(t

0

)

, oraz EJ do wzorów transformacyjnych otrzymamy wartości momentów w

stanie t

0

:

M

01

t

0

= 3 EJ

3

−

01

t

0

=0,5123 [kNm]

M

21

t

0

= 3

1,389 EJ

37

−

12

t

0

=0,4942 [kNm]

M

25

t

0

= 2 EJ

20

3

25

t

0

=0,6312 [kNm]

M

52

t

0

= 2 EJ

20

3

25

t

0

=0,6312 [kNm]

M

23

t

0

= 2

1,389 EJ

6

3

23

t

0

=−0,3921 [kNm]

M

32

t

0

= 2

1,389 EJ

6

3

23

t

0

=−0,3912 [kNm]

M

34

t

0

= 2 EJ

4

3

34

t

0

=0 [kNm]

M

43

t

0

= 2 EJ

4

3

34

t

0

=0 [kNm]

Stan ∆t

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

35

35

10

25

25

∆t [

o

C]

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

4

M

01

 t

=− 3

2

EJ1,2 10

5

35

0,22

=−17,9636 [kNm]

M

21

 t

= 3

2

1,389 EJ1,2 10

5

25

0,24

=22,8721 [kNm]

M

25

 t

=−EJ1,2 10

5

10

0,22

=−3,4216 [kNm]

M

52

 t

=EJ1,2 10

5

10

0,22

=3,4216 [kNm]

M

23

 t

=−1,389 EJ1,2 10

5

2,5

0,24

=−10,8915 [kNm]

M

32

 t

=1,389 EJ1,2 10

5

2,5

0,24

=10,8915 [kNm]

M

34

 t

=−EJ1,2 10

5

25

0,22

=−8,5541 [kNm]

M

43

 t

=EJ1,2 10

5

25

0,22

=8,5541 [kNm]

M

ik

t

=M

ik

 t

M

ik

t

0

M

01

t

=−17,9636 0,5123 =−17,4513 [kNm]

M

21

t

=22,8721 0,4942 =23,3663 [kNm]

M

25

t

=−3,4216 0,6312 =−2,7904 [kNm]

M

52

t

=3,4216 0,6312 =4,0528 [kNm]

M

23

t

=−10,8915 0,3921 =−11,2836 [kNm]

M

32

t

=10,8915 0,3921=10,4994 [kNm]

M

34

t

=−8,5541 [kNm]

M

43

t

=8,5541 [kNm]

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

1

3

6

2

4

[m]

ψ

01

=

0

1

2

3

4

ψ

34

=

ψ

25

=

ψ

23

=

5

ψ

12

=-

z

3

=1

r

2 t

r

1 t

-17,4513

r

3 t

4,0528

23,3663

-2,7904

-11,2836

-8,5541

13

36

1

12

1

12

1
4

1
4

10,4994

8,5541

[kNm]

r

1 t

11,2836 2,7904 23,3663=0

r

1 t

=9,2923 [kNm]

r

2 t

8,5541 10,4994 =0

r

2 t

=1,9453 [kNm]

r

3t

⋅

1 17,4513

01

23,3663

12

4,0528 2,7904 

25

−11,283610,4994 

23

8,5541 8,5541 

34

=0

r

3 t

=7,9988 [kN ]

Obliczone wartości r

it

podstawiamy do układu równań kanonicznych i obliczamy wartości niewiadomych

kątów obrotu węzłów i przesuwu:

{

2,5055 EJ Z

1

0,4630 EJ Z

2

0,3941 EJ Z

3

9,2923 =0

0,4630 EJ Z

1

1,9260 EJ Z

2

0,4908 EJ Z

3

1,9453 =0

0,3941 EJ Z

1

0,4908 EJ Z

2

0,5097 EJ Z

3

7,9988 =0

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

5

{

EJ Z

1

=−6,7954

EJ Z

2

=−6,2474

EJ Z

3

=−26,9631

Obliczmy zatem wartości momentów przywęzłowych:

M

01

=−13

36

EJ Z

3

17,4513 =−7,7146 [kNm]

M

21

= 4,167

37

EJ Z

1

1,389

4

37

EJ Z

3

23,3663 =17,1719 [kNm]

M

25

= 4

20

EJ Z

1

1,5

20

EJ Z

3

2,7904 =0,1753 [kNm]

M

52

= 2

20

EJ Z

1

1,5

20

EJ Z

3

4,0528 =10,0575[kNm]

M

23

= 2,778

3

EJ Z

1

1,389

3

EJ Z

2

1,389

12

EJ Z

3

11,2836 =−17,3477 [kNm]

M

32

= 1,389

3

EJ Z

1

2,778

3

EJ Z

2

1,389

12

EJ Z

3

10,4994 =4,6890 [kNm]

M

34

=EJ Z

2

3

8

EJ Z

3

8,5541 =−4,6903 [kNm]

M

43

= 1

2

EJ Z

2

3

8

EJ Z

3

8,5541 =15,5416 [kNm]

Sprawdzenie równowagi momentów w węzłach:

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

7,7146

4,6890

17,3477

17,1719

[kNm]

10,0575

0,1753

15,5416

4,6903

węzeł 2 :

17,1719 0,1753 17,3477 =−0,0005 [kNm]≈0

węzeł 3:

4,6890 4,6903 =−0,0013 [kNm]≈0

Tnące i normalne obliczamy wycinając myślowo kolejne pręty i równoważąc węzły:

3

7,7146

T

10

N

10

T

01

N

01

0

1

M

1

: 7,7146 T

01

3 =0

T

01

=2,5715 [kN ]

X :T

01

=T

10

Y : N

01

=N

10

2

3

4,6890

17,3477

N

23

N

32

T

23

T

32

6

M

2

: 17,3477 4,6890 T

32

6 =0

T

32

=2,1098 [kN ]

X :T

23

=T

32

X : N

23

=N

32

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

6

15,5416

4,6903

3

4

4

N

43

N

34

T

34

T

43

M

3

: 15,5416 4,6903 T

43

4 =0

T

43

=−2,7128 [kN ]

X :T

34

=T

43

Y : N

34

=N

43

N

34

2,7128

2,1098

N

32

X : N

32

2,7128 =0

N

32

=N

23

=2,7128 [kN ]

Y : N

34

2,1098 =0

N

34

=N

43

=2,1098 [kN ]

sin =

1

37

cos =

6

37

sin =

4

20

cos =

2

20

2

5

10,0575

0,1753

T

52

T

25

N

25

N

52

4

2

β

M

2

: 10,0575 0,1753 T

52

20=0

T

52

=−2,2881 [kN ]

:T

25

=T

52

: N

25

=N

52

1

2

17,1719

N

21

N

12

T

21

T

12

6

1

α

M

1

: 17,1719 T

21

37=0

T

21

=−2,8230 [kN ]

:T

12

=T

21

: N

12

=N

21

N

10

2,5715

α

N

12

2,8230

X : 2,5715 N

12

6

37

2,8230

1

37

=0

N

12

=3,0775 [kN ]

Y : N

10

N

12

1

37

2,8230

6

37

=0

N

10

=3,2905 [kN ]

2,2831

N

25

2,7128

2,1098

2,8230

3,0775

α

β

X : 2,7128 2,8230

1

37

3,0775

6

37

2,2881

4

20

N

25

2

20

=0

N

25

=−4,8921 [kN ]

spr

Y : 2,1098 2,8230

6

37

3,0775

1

37

2,2881

2

20

−−4,8921⋅

4

20

=−0,0014 0

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

7

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

7,7146

17,1719

4,6903

0,1753

10,0575

15,5416

4,6890

17,3477

M

t

(n)

[kNm]

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

2,5715

-2,8230

-2,2881

-2,7128

2,1098

T

t

(n)

[kN]

+

-

+

-

-

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

3,2905

3,0775

-4,8921

2,1098

2,7128

N

t

(n)

[kN]

+

+

+

-

+

Kontrola kinematyczna

1⋅=

∑∫

M

n

⋅ 

M

0

EJ

dx

∑∫

M

t

t
h

dx

∑∫

N

t

t

0

dx

Obliczmy zatem zerowy kąt obrotu φ

5

węzła 5 dla nowego układu podstawowego:

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19

background image

Część 3

OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ

8

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

M

0

[ - ]

1

1

1

1

1

(N

0

= 0)

5

= 1

6273

[

1

2

0,1753

201

1

2

10,0575

201

1

1,389

1

2

⋅17,3477 4,689 ⋅6 1

1

2

⋅4,6903 15,5416 ⋅4 1

]

1 1,2 10

5

10

0,22

20

25

0,24

6

25

0,22

4

=0 [m]

Sprawdzenie statyczne:

1

3

6

2

4

[m]

0

1

2

3

4

5

7,7146

10,0575

15,5416

2,5715

3,2905

2,1098

2,7128

2,2881

4,8921

X : 2,5715 2,2881

4

20

4,8921

2

20

2,7128 =0,00003 [kN ]≈0

Y : −−3,2905 2,2881

2

20

4,8921

4

20

2,1098 =−0,00140 [kN ]≈0

M

5

: 10,0575 15,54167,7146 3,2905 ⋅622,1098 4 =−0,0003 [kNm]≈0

Agnieszka Sysak Gr 3

2004-04-19


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Obliczenia ramy Metodą przemieszczeń temperatura projekt39
Obliczenia ramy Metodą przemieszczeń temperatura projekt39
OBLICZENIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ OD OSIADANIA PODPÓR projekt42
Obliczenia ramy Metodą przemieszczeń projekt38
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń obliczenie momentów oraz sił tnących korzystając z równania róż
Obliczanie ramy metodą przemieszczeń
Obliczenia ramy Metodą przemieszczeń projekt38(1)
Mechanika projekt metoda przemieszczeń (temperatura, przesuw podpór)
Obliczanie ram metodą przemieszczeń wersja komputerowa
ROZWIĄZANIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ
Zadanie projektowe nr 5 metoda przemieszczeń, Zadanie projektowe nr 5 Mechanika budowli
Metoda przemieszczen temperatura7
Metoda przemieszczen temperatura5
Metoda przemieszczen temperatura1

więcej podobnych podstron