RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y

)

(

x

y

f

dx

dy

=

stosujemy podstawienie

x

y

u

=

==>

xu

y

=

po zróżniczkowaniu

dx

du

x

u

dx

dy

+

=

i po podstawieniu do równania

)

(u

f

dx

du

x

u

=

+

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

)

(

`

2

2

2

1

1

1

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

f

y

+

+

+

+

=

Przypadek I : a

1

b

2

– b

1

a

2

≠≠≠≠

0

Wtedy układ równań ma jedno rozwiązanie x=

α

i y=

β

Wprowadzamy nowe zmienne : x -

α

= u; y -

β

= v

Równanie różniczkowe przekształci się na :

)

(

2

2

1

1

v

b

u

a

v

b

u

a

f

du

dv

+

+

=

Za v podstawiamy

tu

v

=

=>

du

dt

u

t

du

dv

+

=

Rozdzielamy zmienne i całkujemy.

Przypadek II : a

1

b

2

– b

1

a

2

= 0

współczynnik proporcjonalności :

1

2

a

a

k

=

wprowadzamy nową zmienną :

y

b

x

a

z

1

1

+

=

=> po różniczce

dx

dy

f

b

a

dx

dz

1

1

+

=

po uwzględnieniu wzorów równanie przyjmie postać :

)

(

2

1

1

1

c

kz

c

z

f

b

a

dx

dz

+

+

+

=

rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE

)

(

)

(

x

q

y

x

p

dx

dy

=

+

rozwiązujemy tzw.

metodą uzmienniania stałej.

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

0

)

(

=

+

y

x

p

dx

dy

Całką tego równania jest

)

( x

P

Ce

y

−

=

Teraz stałą C zastępujemy funkcją

)

(x

u

i mamy

)

(

)

(

x

P

e

x

u

y

−

=

Obliczamy z tego pochodną :

)

(

)

(

)

(

x

P

x

P

e

x

u

e

dx

du

dx

dy

−

−

+

=

podstawiamy, redukujemy i liczymy

PRZYKŁAD :

2

x

xe

xy

dx

dy

=

−

Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne

0

=

−

xy

dx

dy

(przez rozdzielenie zmiennych)

Wynikiem jest

C

x

y

+

=

2

2

1

ln

gdzie

1

ln C

C

=

uwalniając się od logarytmów mamy

2

2

1

1

x

e

C

y

=

uzmienniamy stałą C

1

:

2

2

1

)

(

x

e

x

u

y

=

(**)

obliczamy pochodną :

x

e

x

u

e

dx

du

dx

dy

y

x

x

2

2

2

1

2

1

)

(

`

+

=

=

wartości y i y` wstawiamy do pierwszego równania

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

)

(

)

(

x

x

x

x

xe

e

x

xu

e

x

xu

e

dx

du

=

−

+

skąd po redukcji otrzymamy

2

2

2

1

x

x

xe

e

dx

du

=

czyli

2

2

1

x

e

dx

du

=

2

2

1

2

1

2

2

)

(

C

e

dx

e

x

u

x

x

+

=

=

∫

podstawiamy to do równania (**) otrzymując końcowy wynik

2

2

2

1

2

x

x

e

C

e

y

+

=

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

cx

be

ay

y

=

+

`

Przewidzenie :

y

1

= me

Cx

lub

y

1

= (mx+n)e

Cx

PRZYKŁAD

x

e

y

dx

dy

3

2

2

=

−

Przewidujemy :

x

me

y

3

1

=

Obliczamy z tego pochodną

x

me

dx

dy

3

1

3

=

Wartości

1

y

i

dx

dy

1

podstawiamy do pierwszego równania :

x

x

x

e

me

me

3

3

3

2

2

3

=

−

Skąd po uproszczeniu przez e

3x

znajdujemy m=2

Podstawiając m do równania na

1

y

otrzymujemy

x

e

x

y

3

1

2

)

(

=

Obliczamy teraz całkę ogólną równania uproszczonego :

0

2

=

−

y

dx

dy

Po rozwiązaniu mamy :

x

e

C

y

2

1

2

=

Całka ogólna całego równania to y

1

+y

2

czyli

x

x

e

C

e

y

2

1

3

2

+

=

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

)

(

`

x

W

ay

y

n

=

+

gdzie a jest liczbą stałą, a W

n

(x)

jest wielomianem stopnia n

PRZYKŁAD:

2

2

x

y

dx

dy

=

+

Przewidzenie :

c

bx

ax

y

+

+

=

2

1

Obliczamy pochodną

b

ax

dx

dy

+

=

2

1

Podstawiamy powyższe wartości do pierwszego równania:

2

2

2

2

2

2

x

c

bx

ax

b

ax

=

+

+

+

+

Przyrównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x otrzymujemy związki:
2a=1; 2a+2b=0; b+2c=0; z tego mamy :

4

1

2

1

2

1

2

1

+

−

=

x

x

y

Rozwiązujemy teraz równanie jednorodne

0

2

=

+

y

dx

dy

i z tego mamy

x

Ce

y

2

2

−

=

Całka ogólna ma więc postać y

1

+ y

2

tj.

x

Ce

x

x

y

2

2

4

1

2

1

2

1

−

+

+

−

=

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU

ax

n

ax

c

by

y

cos

sin

`

+

=

+

PRZEWIDZENIE :

ax

n

ax

m

y

cos

sin

1

+

=

PRZYKŁAD

x

y

dx

dy

3

sin

5

=

+

Przewidujemy :

x

n

x

m

y

3

cos

3

sin

1

+

=

Obliczamy z tego pochodną :

x

n

x

m

dx

dy

3

sin

3

3

cos

3

1

−

=

Wstawiamy to do pierwszej równości :

x

x

n

x

m

x

n

x

m

3

sin

5

3

cos

3

sin

3

sin

3

3

cos

3

=

+

+

−

Obliczamy

n i m i mamy

x

x

y

3

cos

2

3

3

sin

2

1

1

−

=

Obliczamy równanie jednorodne

0

=

+

y

dx

dy

z czego mamy

x

Ce

y

−

=

2

No i całka ogólna ma postać :

x

Ce

x

x

y

−

+

−

=

3

cos

2

3

3

sin

2

1

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE INNYCH TYPÓW

PRZYKŁAD 1

x

e

x

y

dx

dy

3

2

25

2

=

+

PRZEWIDZENIE :

x

e

c

bx

ax

y

3

2

1

)

(

+

+

=

Obliczamy pochodną

x

x

e

c

bx

ax

e

b

ax

dx

dy

3

2

3

1

)

(

3

)

2

(

+

+

+

+

=

wstawiamy to do równania pierwszego i dzielimy od razu przez e

3x

,

otrzymujemy :

2

2

2

25

)

(

2

)

(

3

2

x

c

bx

ax

c

bx

ax

b

ax

≡

+

+

+

+

+

+

+

znajdujemy a,b,c i mamy

x

e

x

x

y

3

2

1

)

5

2

2

5

(

+

−

=

Liczymy całkę ogólną równania jednorodnego

0

2

=

+

y

dx

dy

i mamy ostatecznie

x

x

Ce

e

x

x

y

2

3

2

)

5

2

2

5

(

−

+

+

−

=

PRZYKŁAD 2

x

x

y

dx

dy

cos

2

=

+

PRZEWIDUJEMY :

x

d

cx

x

b

ax

y

cos

)

(

sin

)

(

1

+

+

+

=

Liczymy pochodną :

x

d

cx

x

c

x

b

ax

x

a

dx

dy

sin

)

(

cos

cos

)

(

sin

1

+

−

+

+

+

=

Wstawiamy to do pierwszego równania i mamy równanie, obliczamy współczynniki

x

x

x

x

y

cos

sin

)

1

(

1

+

−

=

liczymy całkę ogólną równania jednorodnego i ostatecznie mamy :

x

Ce

x

x

x

x

y

−

+

+

−

=

cos

sin

)

1

(

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU DRUGIEGO
TYP :

0

``)

`,

,

(

=

y

y

x

F

Podstawienie :

)

(

`

x

p

y

=

PRZYKŁAD

`

``

)

1

(

y

y

x

=

+

Robimy podstawienie :

)

(

`

x

p

y

=

i otrzymujemy

p

dx

dp

x

=

+

)

1

(

rozdzielamy zmienne

x

dx

p

dp

+

=

1

skąd mamy lnp = ln(1+x) +lnC, a wiec

)

1

(

x

C

p

+

=

to znaczy

Cx

C

dx

dy

+

=

czyli

∫

+

=

dx

C

Cx

y

)

(

ostatecznie otrzymujemy

1

2

2

1

C

Cx

Cx

y

+

+

=

TYP :

0

``)

`,

,

(

=

y

y

y

F

Podstawienie :

)

(

`

y

p

y

=

wówczas

)

(

``

y

u

dy

du

dx

dy

dy

du

dx

du

y

=

⋅

=

=

a równanie przekształci się na równanie rzędu

pierwszego