MiTE Zadania seria 1 wersja 01 Nieznany

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 1 

f(x)

x

4

0,8

0,6

0

c/x

2

MITE Zadania domowe i testowe seria1

Zadanie 1 (Autor J. Oderfeld)

Na rysunku pokazano wykres funkcji gęstości
zmiennej losowej X typu ciągłego.
Należy:
1. Wyznaczyć stałą c,
2. Wyznaczyć funkcję gęstości,
3. Wyznaczyć dystrybuantę,
4. Obliczyć wartość oczekiwaną,
5. Znaleźć medianę x

1/2

.

Rozwiązanie:
Ad. 1

( )

c

c

f

=

=

5625

,

1

8

,

0

8

,

0

2

(

)

(

)

c

c

c

x

c

c

dx

x

c

c

3125

,

1

25

,

0

25

,

1

3125

,

0

1

2

,

0

5625

,

1

6

,

0

8

,

0

5625

,

1

1

4

8

,

0

4

8

,

0

2

=

+

=

⎥⎦

⎢⎣

⎡−

+

=

+

=

7619

,

0

3125

,

1

1

=

=

c


Ad. 2

( )

1905

,

1

8

,

0

7619

,

0

8

,

0

2

=

=

f

Zapis funkcji gęstości:

( )

⎪⎪

<

<

<

=

tym

poza

x

dla

x

x

dla

x

dla

x

f

0

4

8

,

0

7619

,

0

8

,

0

6

,

0

1905

,

1

0

0

2


Ad. 3
Dla

8

,

0

6

,

0

<

x

(

)

(

)

6

,

0

1905

,

1

8

,

0

6

,

0

=

<

<

x

x

F

;

2381

.

0

2

.

0

1905

.

1

)

8

.

0

(

=

=

F

Dla 4

8

,

0

<

x

( )

x

t

dt

t

x

F

x

x

1

7619

,

0

1905

,

1

1

7619

,

0

2381

,

0

7619

,

0

2381

,

0

8

,

0

8

,

0

2

=

⎥⎦

⎢⎣

⎡−

+

=

+

=

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 2 

( )

(

)

⎪⎪

<

<

<

=

4

1

4

8

,

0

1

7619

,

0

1905

,

1

8

,

0

6

,

0

6

,

0

1905

,

1

0

0

x

dla

x

dla

x

x

dla

x

x

dla

x

F

Możemy sprawdzić dla pewności, że

1

4

/

7619

.

0

1905

.

1

)

1

(

=

=

F



Ad. 4. Wartość oczekiwana:

( )

( )

(

)

[ ]

(

)

3929

.

1

2262

,

1

1667

.

0

2231

,

0

3863

,

1

7619

,

0

1667

,

0

ln

7619

,

0

6

,

0

8

,

0

5

,

0

1905

,

1

7619

,

0

1905

,

1

E

4

8

,

0

2

2

4

8

,

0

2

8

,

0

6

,

0

1

=

+

=

+

+

=

+

+

=

+

=

=

=

=

x

dx

x

x

xdx

dx

x

xf

m

X

R

μ


Ad. 5
Ponieważ F(0,8)=0,2381 i F(4) = 1 zatem mediana wypada między x = 0,8 a x = 4.

5

,

0

1

7619

,

0

1905

,

1

2

1

=

x

więc

1034

,

1

2

1

=

x

Czyli

( )

X

x

E

79

,

0

2

1

Zadanie 2

Wyznaczyć medianę, kwantyle i wartość oczekiwaną zmiennej losowej typu ciągłego, której
gęstość prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

( )

(

)

2

1

1

x

x

f

+

=

π

(jest to zmienna losowa o rozkładzie Cauchy'ego)

Rozwiązanie:

( )

( )

[

]

2

1

arctan

1

arctan

1

1

2

+

=

=

+

=

x

x

t

dt

x

F

x

x

π

π

π

(

)

=

=

+

1

2

2

tan

arctan

1

2

1

p

x

p

x

p

p

π

π

Rozkład Cauchy'ego nie ma wartości oczekiwanej bo:

(

)

[

]

)]

1

ln(

)

1

[ln(

2

1

)

1

ln(

2

1

1

2

2

2

2

a

b

x

x

xdx

b
a

b

a

+

+

=

+

=

+

π

π

π

( )

(

)

+

=

2

1

E

x

xdx

X

π

Wartość oczekiwana nie istnieje bo nie istnieje żadna z powyższych granic.

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 3 

Zadanie 3

(Autor J.Oderfeld)


Wśród 10 świec samochodowych 4 są złe, reszta dobre. Należy wybrać z nich jedną dobrą.
„Na oko” nie można poznać, które świece są dobre, próbuje się więc kolejno, aż trafi się po
raz pierwszy na świecę dobrą. Niech X oznacza liczbę prób potrzebnych do tego celu. Jest to
zmienna losowa. Należy:

1. Podać zbiór wartości, które przyjmuje X,
2. Znaleźć rozkład X i sprawdzić, czy prawdopodobieństwa sumują się do jedności,
3. Znaleźć wartość oczekiwaną.

Założenia:
W każdej ustalonej próbie każda konkretna świeca, wszystko jedno czy dobra, czy zła ma
jednakową szanse, że będzie wybrana do próby. Wybory w kolejnych próbach są zdarzeniami
niezależnymi.

Wskazówki:
Aby na przykład X=4 potrzeba i wystarcza, żeby wynik prób był:

zła, zła, zła, dobra

Ze wzrostem liczby kolejnych prób prawdopodobieństwo trafienia na złą świecę maleje,
a trafienia na dobrą rośne.

Rozwiązanie:

1. Oznaczamy wskaźnikiem i kolejny numer próby. Z tematu wynika, że i = 1,2,3,4,5 bo

jeśli cztery kolejne wyniki prób były zła, zła, zła, zła to pozostały same dobre świece.
Zatem w piątej próbie na pewno trafi się po raz pierwszy na dobrą świecę.

2. Dla i=1 zachodzi równość:

(

)

6

,

0

10

6

1

=

=

=

X

P

Dla i>1 układamy tabelkę:

1. 2.

3.

4.

i

Prawdopodobieństwo

zdarzenia, że do próby i-1

włącznie znajdowano

tylko złe świece

Prawdopodobieństwo

zdarzenia, że w próbie i

znaleziono dobrą świece

P(X=i)= 2. *3.

2

10

4

9

6

26667

,

0

5040

1344 =

3

9

3

10

4 ⋅

8

6

1

,

0

5040

504 =

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 4 

y

x

2

1

1

D

4

8

2

9

3

10

4

7

6

02857

,

0

5040

144 =

5

7

1

8

2

9

3

10

4

1

6

6 =

00476

,

0

5040

24 =

(

)

=

=

+

=

+

+

+

+

=

=

5

1

1

4

,

0

6

,

0

00476

,

0

02857

,

0

1

,

0

26667

,

0

6

,

0

P

i

i

X

3.

( )

57

,

1

5040

5

24

4

144

3

504

2

1344

1

6

,

0

E

=

+

+

+

+

=

X

Zadanie 4

Dana jest funkcja:

( )

( )

=

poza

D

y

x

dla

cy

y

x

f

0

,

,


Gdzie obszar D pokazano na rysunku.

Należy:
1. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
2. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
3. Narysować wykresy gęstości brzegowych
4. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji ρ

X,Y

. Czy istnieje zależność liniowa pomiędzy X a Y ?

Rozwiązanie:

Ad. 1

( )

2

1

0

2

0

:

,

:

x

y

i

x

y

x

D

( )

(

)

{

}

y

x

i

y

y

x

D

1

2

0

1

0

:

,

:

(

)

(

)

(

)

3

1

3

6

2

3

2

2

2

1

2

1

0

1

2

0

1

0

1

0

1

0

3

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫ ∫

c

c

c

y

y

c

dy

y

y

c

dy

y

y

c

dxdy

y

c

cydv

D

y


Ad. 2

( )

2

2

1

0

2

1

2

3

3

⎛ −

=

=

x

ydy

x

f

x

X

( )

( )

(

)

(

)

y

y

y

y

ydx

y

f

x

Y

=

=

=

1

6

6

3

2

1

2

0

Ad. 3

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 5 


Ad. 4

( )

( )

2

1

1

3

8

2

2

3

16

3

2

2

3

4

2

3

4

1

2

3

2

1

2

3

2

0

4

3

2

2

0

3

2

2

0

2

2

0

2

2

0

10

=

⎥⎦

⎢⎣

+

=

+

=

=

⎟⎟

⎜⎜

+

=

⎟⎟

⎜⎜

+

=

⎛ −

=

=

=

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

dx

x

xf

m

X

E

X

( )

( )

(

)

2

1

12

1

6

4

3

6

1

6

1

0

4

3

1

0

2

1

0

01

=

=

=

=

=

=

y

y

dy

y

y

dy

y

yf

m

Y

E

Y


Ad. 5

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

5

1

5

6

3

2

5

1

2

1

3

1

6

5

4

2

3

6

2

1

6

2

1

4

3

2

3

3

1

0

5

4

3

1

0

2

2

1

0

2

2

1

0

1

2

0

1

0

1

2

0

2

2

2

11

=

+

=

⎥⎦

⎢⎣

+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫ ∫

y

y

y

dy

y

y

y

dy

y

y

dy

y

x

dxdy

xy

xycydv

XY

E

m

D

y

y

(

)

20

1

2

1

2

1

5

1

,

01

10

11

=

=

=

m

m

m

Y

X

COV



Ad. 6

( )

( )

5

2

60

96

240

160

2

3

20

32

4

3

8

2

3

20

4

3

2

3

4

2

3

4

1

2

3

2

1

2

3

2

0

5

4

3

2

0

4

3

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

0

2

20

2

=

+

=

⎥⎦

⎢⎣

+

=

+

=

=

⎟⎟

⎜⎜

+

=

⎟⎟

⎜⎜

+

=

⎛ −

=

=

=

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

x

dx

x

x

dx

x

f

x

m

X

E

X

( )

( )

(

)

10

3

20

6

5

4

6

1

6

1

0

5

4

1

0

3

1

0

2

02

2

=

=

=

=

=

=

y

y

dy

y

y

dy

y

f

y

m

Y

E

Y

20

3

4

1

5

2

2

10

20

2

=

=

=

m

m

X

σ

20

1

4

1

10

3

2

01

02

2

=

=

=

m

m

Y

σ

Ad. 7

(

)

577

,

0

3

1

3

400

20

1

400

3

20

1

20

1

20

3

20

1

,

2

2

=

=

=

=

=

Y

X

XY

Y

X

COV

σ

σ

ρ

x

2

y

1

f

Y

(y)

f

X

(x)

1,5

1,5

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 6 

y

x

1

1

D

Nie istnieje zależność liniowa z prawdopodobieństwem równym 1.

Zadanie 5

Dana jest funkcja:

( )

( )

=

poza

D

y

x

dla

cxy

y

x

f

0

,

,

2


Gdzie obszar D pokazano na rysunku.

Należy:
6. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
7. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
8. Obliczyć wartości oczekiwane E(X) i E(Y)
9. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
10. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
11. Obliczyć współczynnik korelacji ρ

X,Y

. Czy są zależne liniowo, czy nie ?

Rozwiązanie:
Ad. 1

( )

{

}

x

y

i

x

y

x

D

0

1

0

:

,

:

( )

{

}

1

1

0

:

,

:

x

y

i

y

y

x

D

15

1

15

15

3

3

1

0 0

1

0

1

0

1

0

5

4

0

3

2

2

=

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫∫

c

c

x

c

dx

x

c

dx

xy

c

dydx

xy

c

dv

cxy

D

x

x



Ad. 2

( )

4

1

0

2

5

15

x

dy

xy

x

f

X

=

=

( )

(

)

(

)

2

2

4

2

1

2

2

1

2

1

2

15

2

15

2

15

15

y

y

y

y

y

x

dx

xy

y

f

y

y

Y

=

=

=

=



Ad. 3

( )

( )

6

5

6

5

5

5

1

0

6

1

0

5

1

0

4

1

0

10

=

=

=

=

=

=

x

dx

x

dx

x

x

dx

x

xf

m

X

E

X

( )

( )

(

)

8

5

24

15

6

4

2

15

2

15

1

0

6

4

1

0

5

3

1

0

01

=

=

=

=

=

=

y

y

dy

y

y

dy

y

yf

m

Y

E

Y




background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 7 

y

x

1

1

D


Ad. 4

( )

28

15

7

1

4

15

7

4

15

4

15

4

15

4

15

15

15

1

0

7

1

0

6

1

0

4

2

1

0

0

4

2

1

0 0

3

2

2

11

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫∫

x

dx

x

dx

x

x

dx

y

x

dydx

y

x

dv

xyxy

XY

E

m

x

D

x

(

)

0149

,

0

336

5

336

175

180

48

25

28

15

8

5

6

5

28

15

,

01

10

11

=

=

=

=

=

m

m

m

Y

X

COV



Ad. 5

( )

( )

7

5

7

5

5

1

0

7

1

0

6

1

0

2

20

2

=

=

=

=

=

x

dx

x

dx

x

f

x

m

X

E

X

( )

( )

(

)

7

3

35

2

2

15

7

1

5

1

2

15

7

5

2

15

2

15

1

0

7

5

1

0

6

4

1

0

2

02

2

=

=

⎥⎦

⎢⎣

⎡ −

=

=

=

=

=

y

y

dy

y

y

dy

y

f

y

m

Y

E

Y

0198

,

0

252

5

36

25

7

5

2

10

20

2

=

=

=

m

m

X

σ

0379

,

0

448

17

64

25

7

3

2

01

02

2

=

=

=

m

m

Y

σ



Ad. 6

(

)

544

,

0

0273

,

0

0149

,

0

0379

,

0

0198

,

0

0149

,

0

,

2

2

=

=

=

Y

X

XY

Y

X

COV

σ

σ

ρ

Zmienne X i Y nie są zależne.

Zadanie 6

Dana jest funkcja:

( )

( )

=

poza

D

y

x

dla

cxy

y

x

f

0

,

,

3


Gdzie obszar D pokazano na rysunku.

Należy:
1. Zapisać analitycznie obszar D
2. Dobrać stałą c tak, by funkcja f była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y)
3. Obliczyć gęstość rozkładów brzegowych
4. Obliczyć momenty zwykłe rzędu (0,1) i (1,0)
5. Obliczyć kowariancję zmiennych losowych
6. Obliczyć odchylenie standardowe zmiennych o rozkładach brzegowych
7. Obliczyć współczynnik korelacji ρ

X,Y

. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 8 

Rozwiązanie:
Ad. 1

( )

{

}

1

1

0

:

,

:

y

x

i

x

y

x

D

( )

{

}

y

x

i

y

y

x

D

0

1

0

:

,

:


Ad. 2

12

1

12

12

2

2

1

0 0

1

0

1

0

1

0

6

5

0

3

2

3

3

=

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫∫

c

c

x

c

dy

y

c

dy

y

x

c

dxdy

xy

c

dv

cxy

D

y

y


Ad. 3

( )

(

)

5

1

4

1

3

3

4

12

12

x

x

xy

dy

xy

x

f

x

x

X

=

=

=

( )

5

0

3

2

0

3

6

2

12

12

y

y

x

dx

xy

y

f

y

y

Y

=

=

=



Ad. 4

( )

( )

(

)

7

4

21

12

7

1

3

1

3

7

3

3

3

1

0

7

3

1

0

6

2

1

0

10

=

=

⎛ −

=

=

=

=

=

x

x

dx

x

x

dx

x

xf

m

X

E

X

( )

( )

7

6

7

6

6

1

0

7

1

0

6

1

0

01

=

=

=

=

=

y

dy

y

dy

y

yf

m

Y

E

Y


Ad. 5

( )

2

1

8

1

4

8

4

4

3

12

3

12

12

12

1

0

8

1

0

7

1

0

4

3

1

0

0

4

3

1

0 0

4

2

3

11

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

∫∫

∫∫

y

dy

y

dy

y

y

dy

y

x

dxdy

y

x

dv

xyxy

XY

E

m

y

D

y

(

)

0102

,

0

98

1

98

48

49

49

24

2

1

7

6

7

4

2

1

,

01

10

11

=

=

=

=

=

m

m

m

Y

X

COV


Ad. 6

( )

( )

(

)

8

3

8

1

4

1

3

8

4

3

3

1

0

8

4

1

0

7

3

1

0

2

20

2

=

⎥⎦

⎢⎣

⎡ −

=

=

=

=

=

x

x

dx

x

x

dx

x

f

x

m

X

E

X

( )

( )

4

3

8

6

8

6

6

1

0

8

1

0

7

1

0

2

02

2

=

=

=

=

=

=

y

dy

y

dy

y

f

y

m

Y

E

Y

0485

,

0

392

19

49

16

8

3

2

10

20

2

=

=

=

m

m

X

σ

0153

,

0

196

3

49

36

4

3

2

01

02

2

=

=

=

m

m

Y

σ


Ad. 7

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 01

 

Strona 9 

(

)

37

,

0

0272

,

0

0102

,

0

0153

,

0

0485

,

0

0102

,

0

,

2

2

=

=

=

Y

X

XY

Y

X

COV

σ

σ

ρ

Zmienne X i Y nie są zależne.

Zadanie 7


Podano twierdzenie:

COV(X,Y)=0

zmienne losowe X i Y są niezależne.


Czy twierdzenie jest prawdziwe ?
Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązanie:

Twierdzenie w jedną stronę

⇐ jest prawdziwe (uzasadniono na wykładzie). Natomiast

w drugą stronę

⇒ nie jest prawdziwe. Podano kontrprzykład na wykładzie.

Zadanie 8


Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy:

( )

0

>

<

=

λ

λ

λ

,

0

0

0

)

exp(

x

dla

x

dla

x

x

f


Oblicz medianę oraz kwantyl rzędu ¼

4

/

1

x .


Rozwiązanie:

Zmienna jest typu ciągłego więc kwantyle i medianę wyznaczymy z równania (podanego na
wykładzie):

p

x

F

p

=

)

(

Wyznaczymy dystrybuantę:

x

x

x

t

t

e

e

dt

e

x

F

λ

λ

λ

λ

=

=

=

1

)

(

0

0

Wobec tego:

p

e

x

F

p

x

p

=

=

λ

1

)

(

Np. dla mediany:

2

1

1

2

/

1

=

x

e

λ

czyli

λ

/

)

2

1

ln(

2

/

1

=

x


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MiTE Zadania seria 2 wersja 04 Nieznany
MiTE Zadania seria 2 wersja 04 Nieznany
MiTE Zadania seria 1 wersja 01
MiTE Zadania seria 2 wersja 03
MiTE Zadania seria 2 wersja 06
MiTE Zadania seria 2 wersja 03
MiTE Zadania seria 2 wersja 06
MiTE Zadania seria 2 wersja 04
MiTE Zadania seria 2 wersja 03
MiTE Zadania seria 2 wersja 06
MiTE wykL,ad 7 8 wersja 01 id 3 Nieznany
MiTE wykL,ad 7 8 wersja 01 id 3 Nieznany
MiTE Zadania domowe seria 1 Nieznany
MITE Zadania domowe seria 3 id Nieznany
MITE Zadania domowe seria 2
MITE Zadania domowe seria 2

więcej podobnych podstron