1

1

Pomoc dydaktyczna (5 stron) do sprawdzianu S1

z przedmiotu „Mechanika i Wytrzymało

ść

Materiałów”

przeznaczona dla studentów I roku studiów stacjonarnych I stopnia

w kierunku „Metalurgia” na Wydziale Energetyki i Paliw

w roku akademickim 2013/2014

Autor : Marek Płachno

dr hab. in

ż

., prof. ndzw. AGH

Wydział In

ż

ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH

Katedra Wytrzymało

ś

ci, Zm

ę

czenia Materiałów i Konstrukcji

e-mail: [e-mail]

Informacja stanowi przedmiot prawa autorskiego okre

ś

lonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach

pokrewnych (Dz. U. z 2006 r. nr 90 poz,631, nr 94 poz. 658, nr 121 poz. 843, z 2007 r. nr 99 poz. 662,

Nr 181 poz. 1293.

Autor nie wyra

ż

a zgody na inne wykorzystywanie niniejszej informacji ni

ż

podane w jej przeznaczeniu.

2

Ć

wiczenie T2: Analiza statyczna obiektów mechanicznych - cz.2

Przykład sformułowania równa

ń

równowagi statycznej dla obiektu mechanicznego

Dla obiektu, którym jest wspornik pr

ę

towy z ci

ęż

arem własnym G

AB

+G

BC

oraz obci

ąż

eniem roboczym

Q, pokazany na rys.1, opracowano - w wyniku 1. cz

ęś

ci analizy statycznej - dwa układy płaskie ob-

ci

ąż

e

ń

AB i BC, o schematach jak na rys. 2 oraz 3. W oparciu o te schematy sformułowa

ć

równania

równowagi statycznej obiektu, umo

ż

liwiaj

ą

ce obliczenie sił wyst

ę

puj

ą

cych w jego zamocowaniu do

pionowej

ś

ciany

.

1. Analizowany obiekt mechaniczny oraz układy obci

ąż

e

ń

przyporz

ą

dkowane jego elementom

2

3

Dobór – oddzielnie do ka

ż

dego układu obci

ąż

e

ń

– bieguna, tj. punktu,

który b

ę

dzie dla tego układu pocz

ą

tkiem jego układu współrz

ę

dnych x, y,

a nast

ę

pnie narysowanie osi x, y na schemacie układu obci

ąż

e

ń

,

którego ten dobór dotyczył

2

.

4

3. Opracowanie szablonów dla tablic

sił i momentów

P

6

=

R

Cy

P

5

=

R

Cx

P

5

=

R

By

P

4

=

R

By

P

4

=

R

Bx

P

3

=

R

Bx

P

3

=

R

Ay

P

2

=

Q

P

2

=

R

Ax

P

1

=

G

BC

P

1

=

G

AB

kN

kN

m

kNm

kN

m

kN

-,

°

kNm, kN

kN

kN

m

kNm

kN

m

kN

-,

°

kNm, kN

M

uiy

P

ix

y

i

M

uix

P

iy

x

i

M

ij

k

i,

α

αα

α

di

M

i,

P

i

M

uiy

P

ix

y

i

M

uix

P

iy

x

i

M

ij

k

i,

α

αα

α

di

M

i,

P

i

9

8

7

6

5

4

3

2

1

9

8

7

6

5

4

3

2

1

3

4. Opracowanie kolumn 2÷6 w tablicach

sił i momentów

0

R

Cy

0

-

90°

P

6

=

R

Cy

0

0

0

-

0 °

P

5

=

R

Cx

a·

R

By

R

By

a

-

90°

P

5

=

R

By

- a·

R

By

- R

By

a

-

270°

P

4

=

R

By

0

0

0

-

0 °

P

4

=

R

Bx

0

0

0

-

180°

P

3

=

R

Bx

0

R

Ay

0

-

90°

P

3

=

R

Ay

- a· Q

- Q

a

-

270°

P

2

=

Q

0

0

0

-

0°

P

2

=

R

Ax

- 0,5·a· G

BC

- G

BC

0,5·a

-

270°

P

1

=

G

BC

-0,5·a· G

AB

-G

AB

0,5·a

-

270°

P

1

=

G

AB

kNm

kN

m

kN

-,

°

kNm, kN

kNm

kN

m

kN

-,

°

kNm, kN

M

uix

P

iy

x

i

M

ij

k

i,

α

αα

α

di

M

i,

P

i

M

uix

P

iy

x

i

M

ij

k

i,

α

αα

α

di

M

i,

P

i

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

,

i

i

ij

M

k

M

⋅⋅⋅⋅

====

di

i

iy

sin

P

P

α

αα

α

⋅⋅⋅⋅

====

iy

i

uix

P

x

M

⋅⋅⋅⋅

====

∑

∑

∑

∑

====

⋅⋅⋅⋅

====

5

1

i

iyAB

iAB

uxAB

P

x

M

By

BC

R

a

Q

a

G

a

5

,

0

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

By

Ay

AB

R

R

G

++++

++++

−−−−

====

By

AB

R

a

G

a

5

,

0

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

====

5

1

i

iyAB

yAB

P

W

∑

∑

∑

∑

====

⋅⋅⋅⋅

====

6

1

i

iyBC

iBC

uxBC

P

x

M

∑

∑

∑

∑

====

====

6

1

i

iyBC

yBC

P

W

Cy

By

BC

R

R

Q

G

++++

−−−−

−−−−

−−−−

====

,

0

M

0

0

i

ijAB

∑

∑

∑

∑

====

====

,

0

M

0

0

i

ijBC

∑

∑

∑

∑

====

====

5

.

Opracowanie kolumn 7÷9 w tablicach

sił i momentów

0

0

0

90°

P

6

=

R

Cy

0

R

Cx

0

0 °

P

5

=

R

Cx

0

0

0

90°

P

5

=

R

By

0

0

0

270°

P

4

=

R

By

0

R

Bx

0

0 °

P

4

=

R

Bx

-b·

R

Bx

- R

Bx

b

180°

P

3

=

R

Bx

0

0

0

90°

P

3

=

R

Ay

0

0

0

270°

P

2

=

Q

0

R

Ax

0

0°

P

2

=

R

Ax

0

0

0

270°

P

1

=

G

BC

0

0

0

270°

P

1

=

G

AB

kNm

kN

m

-,

°

kNm, kN

kNm

kN

m

-,

°

kNm, kN

M

uiy

P

ix

y

i

k

i,

α

αα

α

di

M

i,

P

i

M

uiy

P

ix

y

i

k

i,

α

αα

α

di

M

i,

P

i

9

8

7

2

1

9

8

7

2

1

di

i

ix

cos

P

P

α

αα

α

⋅⋅⋅⋅

====

ix

i

uiy

P

y

M

⋅⋅⋅⋅

====

0

P

y

M

5

1

i

ixAB

iAB

uyAB

∑

∑

∑

∑

====

====

⋅⋅⋅⋅

====

Bx

R

b

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

====

5

1

i

ixAB

xAB

P

W

∑

∑

∑

∑

====

====

6

1

i

ixBC

xBC

P

W

Bx

Ax

R

R

++++

====

Cx

Bx

R

R

++++

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

⋅⋅⋅⋅

====

6

1

i

ixBC

iBC

uyBC

P

y

M

4

6. Zestawienie wyników oblicze

ń

uzyskanych

za pomoc

ą

tablic sił i momentów

Bx

Ax

xAB

R

R

W

++++

====

uyAB

uxAB

5

1

i

ijAB

wAB

M

M

M

M

−−−−

++++

====

====

∑

∑

∑

∑

∑

====

====

0

0

i

ijAB

0

M

By

AB

uxAB

R

a

G

a

5

,

0

M

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

By

Ay

AB

yAB

R

R

G

W

++++

++++

−−−−

====

0

M

uyAB

====

Cx

Bx

xBC

R

R

W

++++

−−−−

====

R

b

M

Bx

uyBC

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

Cy

By

BC

yBC

R

R

Q

G

W

++++

−−−−

−−−−

−−−−

====

By

BC

uxBC

R

a

Q

a

G

a

5

,

0

M

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

uyBC

uxBC

6

1

i

ijBC

wBC

M

M

M

M

−−−−

++++

====

====

∑

∑

∑

∑

∑

====

====

0

0

i

ijBC

0

M

7

.

Algebraiczne przetworzenie wyników oblicze

ń

uzyskanych za pomoc

ą

tablic sił i momentów na zale

ż

no

ś

ci opisuj

ą

ce siły wypadkowe i momenty wypadkowe

układów obci

ąż

e

ń

AB iCD

Bx

Ax

xAB

R

R

W

++++

====

By

Ay

AB

yAB

R

R

G

W

++++

++++

−−−−

====

By

AB

wAB

R

a

G

a

5

,

0

M

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

Cx

Bx

xBC

R

R

W

++++

−−−−

====

Cy

By

BC

yBC

R

R

Q

G

W

++++

−−−−

−−−−

−−−−

====

Q

a

G

a

5

,

0

R

a

R

b

M

Bc

By

Bx

wBC

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

====

5

8

. Pocz

ą

tkowa posta

ć

równa

ń

równowagi statycznej wspornika pr

ę

towego

AC

AB

By

Ay

G

R

R

====

++++

0

R

R

Cx

Bx

====

++++

−−−−

AB

By

G

5

,

0

R

⋅⋅⋅⋅

====

Q

G

R

R

BC

Cy

By

++++

====

++++

−−−−

Q

a

G

a

5

,

0

R

a

R

b

Bc

By

Bx

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

0

R

R

Bx

Ax

====

++++

9. Uporz

ą

dkowana posta

ć

równa

ń

równowagi statycznej wspornika pr

ę

towego AC

Q

a

G

a

5

,

0

R

0

R

0

R

a

R

b

R

0

R

0

Bc

CY

CX

By

Bx

AY

AX

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

AB

Cy

CX

By

BX

Ay

AX

G

R

0

R

0

R

1

R

0

R

1

R

0

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

0

R

0

R

0

R

0

R

1

R

0

R

1

Cy

Cx

By

Bx

Ay

Ax

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

0

R

0

R

1

R

0

R

)

1

(

R

0

R

0

Cy

Cx

By

Bx

Ay

Ax

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

AB

Cy

Cx

By

Bx

AY

Ax

G

5

,

0

R

0

R

0

R

1

R

0

R

0

R

0

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

(((( ))))

Q

G

R

1

R

0

R

1

R

0

R

0

R

0

BC

Cy

CX

By

BX

Ay

AX

++++

====

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

−−−−

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

++++

⋅⋅⋅⋅

10

Zadanie do wykonania we własnym zakresie

Belka technologiczna AB o ciężarze w

ł

asnym G i obciążeniu roboczym Q,

jest utrzymywana w po

ł

ożeniu poziomym za pomocą cięgna napinanego si

ł

ą P.

Dla takiego obiektu opracowano schematy uk

ł

adów obciążeń AB i BC

dzia

ł

ających na jego elementy.

W oparciu o te schematy sformu

ł

ować równania równowagi statycznej obiek-

tu, umożliwiające obliczenie wymaganego naciągu P dla cięgna oraz si

ł

dzia

ł

ających na mur, do którego obiekt jest zamocowany.