Egzamin poprawkowy z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Cz¸

e´

s´

c zadaniowa

Zad.Z1. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Dane jest pole wektorowe ~

F

(x, y, z) = [yz, −xz, xy].

a) Sprawdzi´c, czy pole wektorowe ~

F

jest bez´zr´

od lowe i bezwirowe?

b) Obliczy´c ca lk¸e

R

L

~

F

◦ d~r =

R

L

yzdx

− xzdy + xydz,

je˙zeli krzywa L : {x = e

t

, y

= e

3t

, z

= e

−

t

,

0 ≤ t ≤ 1} ma parametryzacj¸e zgodn¸a z orientacj¸a.

Zad.Z2. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Obliczy´c mas¸e luku krzywej L : {x

2

+ y

2

= 2x, z = 2}, kt´

orej g¸esto´s´c wyra˙za si¸e wzorem ρ(x, y, z) = z(x

2

+ 2y

2

).

Zad.Z3. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Wykaza´c, ˙ze krzywa ~r(t) = [−t

2

+ t + 3, t

2

− 2t + 7, 3t + 1] jest p laska. Napisa´c r´ownanie p laszczyzny, w kt´

orej

le˙zy krzywa ~r(t).

Zad.Z4. [10p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Funkcj¸e f (x) =

4

x

2

sin(

x

2

4

) rozwin¸a´c w szereg Maclaurina, a nast¸epnie korzystaj¸ac z tego rozwini¸ecia obliczy´c:

a) f

(44)

(0), b)

1

R

0

f

(x)dx z dok ladno´sci¸a do 0.01.

Zad.Z5. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dla jakich warto´sci parametru C funkcja

f

(x) =







Cx

2

+ 1 |x| < 1

0

|x| ≥ 1

jest g¸esto´sci¸a zmiennej losowej X typu ci¸ag lego? Wyznaczy´c dystrybuant¸e zmiennej losowej X. Za pomoc¸a dys-

trybuanty oraz za pomoc¸a g¸esto´sci obliczy´c prawdopodobie´

nstwo P (|X + 1| ≤ 1). Obliczy´c warto´s´c oczekiwan¸a

zmiennej losowej X.