Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

– test statystyczny

słu

żą

cy do tego, aby stwierdzi

ć

jak dobrze nasze

dane potwierdzaj

ą

zało

ż

enie o rozkładzie w

populacji interesuj

ą

cej nas zmiennej losowej.

W przypadku rozkładu normalnego:

H – nasza cecha ma rozkład normalny

dr in

ż

. Agnieszka KUJAWI

Ń

SKA

1

H

0

– nasza cecha ma rozkład normalny

H

1

– nasza cecha nie ma rozkładu normalnego

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Tok post

ę

powania:

• obliczenie teoretycznych cz

ę

sto

ś

ci wyst

ę

powania

pewnych zdarze

ń

w zało

ż

onych klasach, tzn. takich,

jakich nale

ż

y si

ę

spodziewa

ć

przy zało

ż

onej hipotezie

zerowej. Otrzymujemy oczekiwane liczebno

ś

ci E

i

• zapisujemy empiryczne liczebno

ś

ci O

i

danych

dr in

ż

. Agnieszka KUJAWI

Ń

SKA

2

i

nale

żą

cych do poszczególnych klas

• oblicza si

ę

ró

ż

nic

ę

mi

ę

dzy tym, co oczekiwane, a tym, co

zaobserwowane. Z ró

ż

nic tych oblicza si

ę

warto

ść

statystyki Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Tok post

ę

powania cd.:

O

i

– liczebno

ść

empiryczna

E

i

– liczebno

ść

oczekiwana

• Porównuje si

ę

warto

ść

obliczonej statystyki z punktami

krytycznymi rozkładu Chi-kwadrat

(

)

∑

=

−

=

χ

k

1

i

i

2

i

i

2

0

E

E

O

dr in

ż

. Agnieszka KUJAWI

Ń

SKA

3

krytycznymi rozkładu Chi-kwadrat

• Je

ż

eli:

odrzucamy hipotez

ę

zerow

ą

i uznajemy,

ż

e rozkład nie

jest normalny

2

1

n

df

,

1

2

O

−

=

α

−

χ

>

χ

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Pobrano 200-elementow

ą

próbk

ę

, aby zorientowa

ć

si

ę

czy

odchyłka pewnej wła

ś

ciwo

ś

ci od warto

ś

ci nominalnej ma

rozkład normalny. Wyniki pomiarów przedstawiono w
postaci histogramu. Wyniki z próby to = 0,021, a

σ

=1

Histogram odchyłek

40

45

50

x

dr in

ż

. Agnieszka KUJAWI

Ń

SKA

4

0

5

10

15

20

25

30

35

40

<-2,1;-1,5>

(-1,5;-0,9>

(-0,9;-0,3>

(-0,3;0,3>

(0,3;0,9>

(0,9;1,5>

(1,5;2,1>

(2,1;2,7>

Odchyłka

L

ic

z

e

b

n

o

ś

ć

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Num

er

przed

ziału

i

Prawy
koniec

przedziału

i

Liczebno

ść

w

danym

przedzial

e n

i

Wartość

standaryzowa

na u

i

F(u

i

)

p

i

np

i

(n

i

-np

i

)

2

(n

i

-np

i

)

2

/ np

i

1

-1,5

14

-1,52

(-1,5-0,021)/1

0,064

0,064

12,80

(200*

0,064)

1,44

(14-12,80)

2

0,11

(1,44/12,80)

2

-0,9

31

-0,92

0,179

0,115

(0,179-

0,064)

23

64

2,78

dr in

ż

. Agnieszka KUJAWI

Ń

SKA

5

3

-0,3

45

-0,32

0,375

0,196

39,20

33,64

0,86

4

0,3

35

0,28

0,610

0,235

47

144

3,06

5

0,9

30

0,88

0,811

0,201

40,20

104,04

2,59

6

1,5

32

1,48

0,931

0,120

24

64

2,67

7

2,1

11

2,08

0,981

0,050

10,10

1

0,10

8

2,7

2

2,69

0,996

0,015

3

1

0,33

200

200

12,50

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

Test zgodno

ś

ci Chi-kwadrat

2

7

1

k

df

,

95

,

0

1

2
0

2

7

1

k

df

,

95

,

0

1

06

,

14

=

−

=

=

α

−

=

−

=

=

α

−

χ

<

χ

=

χ

(

)

50

,

12

E

E

O

k

1

i

i

2

i

i

2

0

=

−

=

χ

∑

=

dr in

ż

. Agnieszka KUJAWI

Ń

SKA

6

Czyli nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej – na

poziomie istotno

ś

ci

α

=0,05 nie odrzucamy hipotezy,

ż

e

rozkład jest normalny.

7

1

k

df

,

95

,

0

1

0

=

−

=

=

α

−