Odp MST 04 id 332089 Nieznany

background image

Odpowiedzi do zadań z matematyki dla Towaroznawstwa - Zestaw IV

Zadanie 1
a) Wartość najmniejsza:

1

)

2

(

f

, wartość największa:

3

)

0

(

f

.

b) Wartość najmniejsza:

7

)

6

(

f

, wartość największa:

9

)

2

(

f

.

c) Wartość najmniejsza:

12

)

2

(

f

, wartość największa:

20

)

4

(

f

.

d) Wartość najmniejsza:

 

1

3

)

0

(

f

f

, wartość największa:

 

5

4

)

1

(

f

f

.

e) Wartość najmniejsza:

0

)

2

(

f

, wartość największa:

32

)

2

(

f

.

f) Wartość najmniejsza:

4

1

4

1

f

, wartość największa:

2

)

4

(

f

.

g) Wartość najmniejsza:

12

)

4

(

f

, wartość największa:

20

)

16

(

f

.

h) Wartość najmniejsza:

1

)

(

f

, wartość największa:

2

4

f

.

Zadanie 2

a)

R

D

f

,

 

0

x

f

brak miejsc zerowych,

 

 

x

f

x

f

x

x

lim

lim

,

minimum lokalne dla

1

x

, wartość minimalna

 

2

1 

f

,

funkcja malejąca dla

1

, 

x

i rosnąca dla

,

1

x

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.

b)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

5

1

0

x

x

x

f

,

 

 



x

f

x

f

x

x

lim

lim

,

maksimum lokalne dla

2

x

, wartość maqksymalna

 

9

2 

f

,

funkcja malejąca dla

,

2

x

i rosnąca dla

2

,

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.

c)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

21

0

24

0

x

x

x

x

f

,

 



x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

14

x

, wartość maksymalna

4900

14 

f

,

minimum lokalne dla

12

x

, wartość minimalna

 

3888

12

f

,

funkcja malejąca dla

12

,

14

x

i rosnąca dla

 

,

12

14

,

x

,

funkcja wklęsła dla

1

, 

x

i wypukła dla

,

1

x

,

punkt przegięcia w

1

x

.

d)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

15

0

48

0

x

x

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 



x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

8

x

, wartość maksymalna

 

3136

8 

f

,

minimum lokalne dla

30

x

, wartość minimalna

24300

30

f

,

funkcja rosnąca dla

8

,

30

x

i malejąca dla

 

,

8

30

,

x

,

funkcja wypukła dla

11

, 

x

i wklęsła dla

,

11

x

,

punkt przegięcia w

11

x

.

background image

e)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

9

0

15

0

x

x

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 



x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

5

x

, wartość maksymalna

 

400

5 

f

,

minimum lokalne dla

9

x

, wartość minimalna

972

9

f

,

funkcja rosnąca dla

5

,

9

x

i malejąca dla

 

,

5

9

,

x

,

funkcja wypukła dla

2

, 

x

i wklęsła dla

,

2

x

,

punkt przegięcia w

2

x

.

f)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

11

2

13

0

x

x

x

x

f

,

 



x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

7

x

, wartość maksymalna

972

7 

f

,

minimum lokalne dla

7

x

, wartość minimalna

 

400

7

f

,

funkcja malejąca dla

7

,

7

x

i rosnąca dla

 

,

7

7

,

x

,

funkcja wklęsła dla

0

,

x

i wypukła dla

,

0

x

,

punkt przegięcia w

0

x

.

g)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

5

1

1

5

0

x

x

x

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

0

x

, wartość maksymalna

 

5

0 

f

,

minima lokalne dla

3

x

oraz

3

x

, wartość minimalna:

 

4

3

3

f

f

,

funkcja malejąca dla

 

3

,

0

3

,

x

i rosnąca dla

 

,

3

0

,

3

x

,

funkcja wklęsła dla

1

,

1

x

i wypukła dla

 

,

1

1

,

x

,

punkty przegięcia w

1

x

oraz

1

x

.

h)

R

D

f

, miejsce zerowe:

 

2

0

x

x

f

,

 



x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów,
funkcja rosnąca dla

 

,

0

0

,

x

,

funkcja wklęsła dla

0

,

x

i wypukła dla

,

0

x

,

punkt przegięcia w

0

x

.

i)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

1

1

0

x

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

0

x

, wartość minimalna

 

1

0

f

,

funkcja malejąca dla

0

,

x

i rosnąca dla

,

0

x

,

funkcja wypukła dla

 

,

0

0

,

x

,

nie ma punktów przegięcia.

background image

Zadanie 3

a)

 

0

R

D

f

, brak miejsc zerowych,

 

0

lim

x

f

x

,

 



x

f

x

0

lim

,

 

x

f

x

0

lim

,

 

0

lim

x

f

x

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca w całej dziedzinie,
funkcja wklęsła dla

0

,

x

i wypukła dla

,

0

x

.

b)

 

3

R

D

f

, miejsce zerowe:

 

5

.

3

0

x

x

f

,

 

2

lim

x

f

x

,

 



x

f

x

3

lim

,

 

x

f

x

3

lim

,

 

2

lim

x

f

x

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca w całej dziedzinie,
funkcja wklęsła dla

3

, 

x

i wypukła dla

,

3

x

.

c)

 

0

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych

 



x

f

x

lim

,

 



x

f

x

0

lim

,

 

x

f

x

0

lim

,

 

x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

1

x

, wartość maksymalna

 

2

1

f

,

minimum lokalne dla

1

x

, wartość minimalna

 

2

1 

f

,

funkcja malejąca dla

 

1

,

0

0

,

1

x

i rosnąca dla

 

,

1

1

,

x

,

funkcja wklęsła dla

0

,

x

i wypukła dla

,

0

x

,

punkt przegięcia nie istnieje.

d)

 

1

R

D

f

, miejsce zerowe:

 

1

0

x

x

f

,

 

1

lim

x

f

x

,

 

x

f

x

1

lim

,

 



x

f

x

1

lim

,

 

1

lim

x

f

x

,

 

2

1

2

x

x

f

,

 

3

1

4



x

x

f

,

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia,
funkcja rosnąca w całej dziedzinie,
funkcja wypukła dla

1

, 

x

i wklęsła dla

,

1

x

.

e)

 

1

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0

x

x

f

,

 



x

f

x

lim

,

 



x

f

x

1

lim

,

 

x

f

x

1

lim

,

 

x

f

x

lim

,

 

2

2

1

2

x

x

x

x

f

,

 

3

1

2



x

x

f

,

maksimum lokalne dla

0

x

, wartość maksymalna

 

0

0 

f

,

minimum lokalne dla

2

x

, wartość minimalna

 

4

2 

f

,

funkcja malejąca dla

 

2

,

1

1

,

0

x

i rosnąca dla

 

,

2

0

,

x

,

funkcja wklęsła dla

1

,

x

i wypukła dla

 ,

1

x

,

nie ma punktów przegięcia.

background image

f)

 

2

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0

x

x

f

,

 

0

lim

x

f

x

,

 



x

f

x

2

lim

,

 



x

f

x

2

lim

,

 

0

lim

x

f

x

,

 

3

2

2

x

x

x

f

,

 

4

2

7

2



x

x

x

f

,

maksimum lokalne dla

2

x

, wartość maksymalna

 

8

1

2 

f

,

funkcja malejąca dla

 

,

2

2

,

x

i rosnąca dla

2

,

2

x

,

funkcja wklęsła dla

 

5

.

3

,

2

2

,

x

i wypukła dla

,

5

.

3

x

,

punkt przegięcia w

5

.

3

x

.

g)

 

1

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

2

0

x

x

f

,

 

0

lim

x

f

x

,

 

x

f

x

0

lim

,

 

x

f

x

0

lim

,

 

0

lim

x

f

x

,

 

3

1

3

x

x

x

f

,

 

4

1

8

2



x

x

x

f

,

minimum lokalne dla

3

x

, wartość minimalna

 

4

1

3

f

,

funkcja malejąca dla

 

,

1

3

,

x

i rosnąca dla

1

,

3 

x

,

funkcja wklęsła dla

4

, 

x

i wypukła dla

 

,

1

1

,

4

x

,

punkt przegięcia w

4

x

.

h)

,

0

f

D

, brak miejsc zerowych,

 

x

f

x

0

lim

,

 

x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

1

x

, wartość minimalna

 

2

1 

f

,

funkcja malejąca dla

1

,

0

x

i rosnąca dla

 ,

1

x

,

funkcja wypukła dla

3

,

0

x

i wklęsła dla

 ,

3

x

,

punkt przegięcia w

3

x

.


Zadanie 4

Zbadaj przebieg zmienności funkcji. Narysuj wykresy.

a)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0

x

x

f

,

 



x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów,
funkcja rosnąca w całej dziedzinie,
funkcja wklęsła dla

0

,

x

i wypukła dla

,

0

x

,

punkt przegięcia w

0

x

.

b)

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 

x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

0

x

, wartość minimalna:

 

1

0 

f

,

funkcja malejąca dla

0

,

x

i rosnąca dla

,

0

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.

background image

c)

R

D

f

, miejsca zerowe:

 

0

0

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

1

x

, wartość minimalna:

 

e

f

1

1

,

funkcja malejąca dla

1

, 

x

i rosnąca dla

,

1

x

,

funkcja wklęsła dla

2

, 

x

i wypukła dla

,

2

x

,

punkt przegięcia w

2

x

.

d)

 

0

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 

0

lim

x

f

x

,

 



x

f

x

0

lim

,

 

x

f

x

0

lim

,

minimum lokalne dla

1

x

, wartość minimalna:

 

e

f

1

,

funkcja malejąca dla

 

1

,

0

0

,

x

i rosnąca dla

 ,

1

x

,

funkcja wklęsła dla

0

,

x

i wypukła dla

,

0

x

,

brak punktów przegięcia.

e)

,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

e

x

1

, wartość minimalna:

e

e

f

1

1

,

funkcja malejąca dla

e

x

1

,

0

i rosnąca dla

,

1

e

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
brak punktów przegięcia.


Zadanie 5

a)

R

D

f

, miejsce zerowe:

 

1

0

x

x

f

,

 



x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

0

x

, wartość maksymalna

 

1

0 

f

,

funkcja rosnąca dla

0

,

x

i malejąca dla

,

0

x

,

funkcja wklęsła dla

1

,

x

i wypukła dla

 ,

1

x

,

punkt przegięcia w

1

x

.

b)

R

D

f

, miejsce zerowe:

 

0

0

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

2

x

, wartość maksymalna

54

.

0

4

2

2

e

f

,

minimum lokalne dla

0

x

, wartość minimalna

 

0

0 

f

,

funkcja malejąca dla

0

,

2

x

i rosnąca dla

 

,

0

2

,

x

,

funkcja wklęsła dla

2

2

,

2

2

x

i wypukła dla

 

,

2

2

2

2

,

x

,

dwa punkty przegięcia:

2

2 

x

oraz

2

2 

x

.

background image


c)

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 

x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów
funkcja rosnąca dla

 

,

1

1

,

x

, czyli w całej dziedzinie poza punktem

1

x

,

funkcja wklęsła dla

1

,

3 

x

i wypukła dla

 

,

1

3

,

x

,

dwa punkty przegięcia

3

x

oraz

1

x

.

d)

 

1

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 



x

f

x

1

lim

,

 

x

f

x

1

lim

,

 

0

lim

x

f

x

,

 

2

1

x

e

x

x

f

x

,

 

x

e

x

x

x

f



3

2

1

1

,

maksimum lokalne dla

0

x

, wartość maksymalna

 

1

0

f

,

funkcja rosnąca dla

0

,

x

i malejąca dla

 

,

1

1

,

0

x

,

funkcja wklęsła dla

1

,

x

i wypukła dla

 ,

1

x

,

brak punktów przegięcia.

e)

0

,

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0

x

x

f

,

 



x

f

x

lim

,

maksimum lokalne dla

e

x

1

, wartość maksymalna

e

e

f

1

1

,

funkcja rosnąca dla

e

x

1

,

i malejąca dla

0

,

1

e

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie,
nie ma punktów przegięcia.

f)

,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

61

.

0

1

e

x

, wartość minimalna

18

.

0

2

1

1





e

e

f

,

funkcja malejąca dla





e

x

1

,

0

i rosnąca dla





,

1

e

x

,

funkcja wklęsła dla



3

1

,

0

e

x

i wypukła dla



,

1

3

e

x

,

punkt przegięcia w

22

.

0

1

2

3

3

e

e

x

.

background image


g)

,

0

f

D

, miejsce zerowe:

 

1

0

x

x

f

,

 



x

f

x

0

lim

,

maksimum lokalne dla

6

.

1

e

x

, wartość maksymalna

 

e

e

f

2

1

,

funkcja rosnąca dla

e

x

,

0

i malejąca dla

,

e

x

,

funkcja wklęsła dla



6

5

,

0 e

x

i wypukła dla



,

6

5

e

x

,

punkt przegięcia w

3

.

2

6

5

e

x

.



Zadanie 6

a)

,

3

f

D

, miejsce zerowe:

 

3

0

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia,
funkcja rosnąca i wklęsła dla

 ,

3

x

,

b)

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 

x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

 

4

2

x

x

x

f

,

 

2

3

2

4

4



x

x

f

,

minimum lokalne dla

0

x

, wartość minimalna

 

2

12 

f

,

funkcja malejąca dla

0

,

x

i rosnąca dla

,

0

x

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
nie ma punktów przegięcia.

c)

,

2

2

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

2

2

0

x

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 

0

2

lim

2

f

x

f

x

,

 

 

0

2

lim

2

f

x

f

x

,

 

x

f

x

lim

,

 

4

2

x

x

x

f

,

 

2

3

2

4

4



x

x

f

,

nie ma ekstremów ani punktów przegięcia,
funkcja malejąca dla

2

, 

x

i rosnąca dla

,

2

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie.

d)

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 

x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

minimum lokalne dla

0

x

, wartość minimalna

 

1

0 

f

,

funkcja malejąca dla

0

,

x

i rosnąca dla

,

0

x

,

funkcja wypukła w całej dziedzinie,
nie ma punktów przegięcia.

background image


e)

R

D

f

, nie ma miejsc zerowych,

 

0

lim

x

f

x

,

 

0

lim

x

f

x

,

maksimum lokalne dla

0

x

, wartość maksymalna

 

1

0 

f

,

funkcja rosnąca dla

0

,

x

i malejąca dla

,

0

x

,

funkcja wklęsła dla



2

1

,

2

1

x

i wypukła dla





,

2

1

2

1

,

x

,

dwa punkty przegięcia:

2

1

x

oraz

2

1

x

.

f)

R

D

f

, miejsce zerowe:

 

0

0

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 

x

f

x

lim

,

 

1

2

2

x

x

x

f

,

 

2

2

2

1

2

2



x

x

x

f

,

minimum lokalne dla

0

x

, wartość minimalna

 

0

0 

f

,

funkcja malejąca dla

0

,

x

i rosnąca dla

,

0

x

,

funkcja wklęsła dla

 

,

1

1

,

x

i wypukła dla

1

,

1

x

,

dwa punkty przegięcia:

1

x

oraz

1

x

.

g)

 

,

1

1

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

2

2

0

x

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 



x

f

x

1

lim

,

 



x

f

x

1

lim

,

 

x

f

x

lim

,

 

1

2

2

x

x

x

f

,

 

2

2

2

1

1

2



x

x

x

f

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca dla

1

, 

x

i rosnąca dla

 ,

1

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie.

h)

 

,

5

1

,

f

D

, miejsca zerowe:

 

5

3

5

3

0

x

x

x

f

,

 

x

f

x

lim

,

 



x

f

x

1

lim

,

 



x

f

x

5

lim

,

 

x

f

x

lim

,

brak ekstremów i punktów przegięcia,
funkcja malejąca dla

1

,

x

i rosnąca dla

 ,

5

x

,

funkcja wklęsła w całej dziedzinie.

background image

Zadanie 7
Rozwiązaniem zadania są liczby a = 2 i b = 4. Najmniejsza suma 2a

2

+b

2

= 24.


Zadanie 8
Aby uzyskać największy iloczyn liczbę 49 należy rozłożyć na dwa równe składniki a = b = 49/2. Ich
iloczyn wynosi wówczas 600,25.

Zadanie 9
Rozwiązaniem zadania są liczby a = 18 i b = 6. Największy iloczyn ab = 108.

Zadanie 10

Obwód będzie najmniejszy, gdy prostokąt będzie kwadratem o bokach równych

S

b

a


Zadanie 11

Pole będzie największe, gdy prostokąt będzie kwadratem o bokach

4

L

b

a


Zadanie 12
Krawędzie podstawy powinny mieć długość 3 cm oraz 6 cm, a wysokość powinna być równa 4 cm.

Zadanie 13

Objętość prostopadłościanu będzie największa dla

3

1

1 

x

. Długości krawędzi będą wtedy

równe:

3

3

3 

a

,

3

3

b

oraz

3

3

3 

c

. Maksymalna objętość wynosi

3

3

2

V

.


Zadanie 14

Przekątna będzie najmniejsza, gdy prostopadłościan będzie sześcianem o krawędziach podstawy

i wysokości równych

3

V

h

a

. Minimalna długość przekątnej wynosi

3

3

V

l

.


Zadanie 15

Koszt przebycia drogi będzie najmniejszy przy prędkości

3

2b

a

v

.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
odp 108 143 id 331974 Nieznany
AG 04 id 52754 Nieznany
43 04 id 38675 Nieznany
matma dyskretna 04 id 287940 Nieznany
odp maj 2008 id 332083 Nieznany
Fizjologia Cwiczenia 04 id 1743 Nieznany
lab 04 id 257526 Nieznany
bd lab 04 id 81967 Nieznany (2)
odp 252 286 id 331986 Nieznany
B 04 x id 74797 Nieznany (2)
odp maj 2010 id 332085 Nieznany
k 37 04 id 229299 Nieznany
ais 04 id 53433 Nieznany (2)
odp maszyny s1e2 id 281879 Nieznany
al1 lisp 04' id 54559 Nieznany (2)
MD cw 04 id 290125 Nieznany
cw PAiTS 04 id 122323 Nieznany
Perswador 04 id 354974 Nieznany

więcej podobnych podstron