R
YSZARD
G
ONCZAREK
TEORIA GRUP W FIZYCE
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej
Wroc³aw 2003
Recenzent
Lucjan Jacak
Opracowanie redakcyjne i korekta
Alina Kaczak
Projekt ok³adki
Zofia i Dariusz Godlewscy
© Copyright by Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, Wroc³aw 2003
OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC£AWSKIEJ
Wybrze¿e Wyspiañskiego 27, 50-370 Wroc³aw
ISBN 83-7085-745-0
Drukarnia Oficyny Wydawniczej Politechniki Wroc³awskiej. Zam. 782/2003.
SPIS TRECI
Wstêp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1. Pojêcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Morfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. Grupy permutacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. W³asnoci grup symetrycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Grupy klasyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6. Ogólne w³asnoci grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7. Podgrupy i ich w³asnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8. Grupy obrotów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9. Grupy ci¹g³e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
10. Ca³kowanie na grupie Liego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
11. Grupy operatorowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12. Reprezentacje grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13. Wyznaczanie reprezentacji grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
14. Reprezentacje unitarne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
15. Relacje ortogonalnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
W
STÊP
Pojêcie grupy odgrywa fundamentaln¹ rolê we wspó³czesnej fizyce. Wynika to z faktu,
¿e w³asnoci symetrii uk³adów, w których rozpatrywane s¹ poszczególne zjawiska fi-
zyczne, tworz¹ grupê, a odpowiadaj¹ce im prawa fizyki staj¹ siê niezmiennicze wzglê-
dem tej grupy. Podstawowy aparat matematyczny stosowany do badania tych zagadnieñ
stanowi¹ metody teorii grup. Sama teoria grup jest bardzo rozleg³¹ i abstrakcyjn¹ dzie-
dzin¹ matematyki, co powoduje wykorzystanie jej w zagadnieniach fizyki, narzuca po-
trzebê selektywnego wyboru materia³u. Dlatego zdefiniowanie podstawowych pojêæ,
wykazanie istniej¹cych zwi¹zków i ograniczeñ oraz poznanie metod stosowanych w ba-
daniach grup i ich reprezentacji powinno dostarczyæ istotnych elementów wiedzy dla
osób interesuj¹cych siê zagadnieniami fizyki wspó³czesnej.
Niniejszy podrêcznik stanowi zebranie materia³u wyk³adanego od wielu lat przez
autora podrêcznika studentom kierunku fizyka Wydzia³u Podstawowych Problemów
Techniki Politechniki Wroc³awskiej i powsta³ przy ich wspó³udziale.
6
1. P
OJÊCIA
PODSTAWOWE
Operacja zamkniêta, definicja grupy i okrelenie jej w³asnoci, grupy cykliczne
i abelowe, rz¹d grupy, tabele mno¿enia grupowego, przyk³ady grup sk³adaj¹cych
siê z kilku elementów, podgrupy
Definicja Operacja zamkniêta
Niech G oznacza zbiór elementów i niech a, b ∈ G, wówczas dowolna operacja np.
• kropka zdefiniowana na elementach zbioru G nazywa siê operacj¹ zamkniêt¹, je¿eli
dla ka¿dej pary a, b ∈ G zachodzi a • b ∈ G.
Operacja • czêsto jest okrelana jako mno¿enie i mo¿e ona oznaczaæ zwyk³e mno-
¿enie liczb, ale tak¿e np. mno¿enie macierzowe, dodawanie, dodawanie modulo, sk³a-
danie (superpozycjê) itp. Z tego powodu symbol • jest czêsto zastêpowany przez · lub
po prostu pomijany.
Definicja Grupa
Grup¹ nazywamy parê {G, •}, tj. zbiór elementów G i operacjê zamkniêt¹ •, która
spe³nia nastêpuj¹ce warunki:
1. £¹cznoci, tzn. je¿eli a, b, c ∈ G to (a • b) • c = a • (b • c).
2. Istnieje element jednostkowy e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi a • e = e • a = a.
3. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny a
1
taki, ¿e a
1
• a = a • a
1
= e.
Stwierdzenie. Podan¹ definicjê mo¿na ograniczyæ, zastêpuj¹c warunki 2 i 3 warunkami
lewostronnymi, prawostronnymi lub mieszanymi, mo¿na np. uwzglêdniæ jedynie wa-
runki prawostronne, tj.:
2'. Istnieje element jednostkowy prawostronny e taki, ¿e dla ka¿dego a ∈ G zachodzi
a • e = a.
3'. Dla ka¿dego a ∈ G istnieje element odwrotny prawostronny a
1
taki, ¿e a • a
1
= e
zapewnia spe³nienie warunków lewostronnych, a zatem ogó³u warunków podanych
w definicji grupy.
7
Dowód . (Symbol • zosta³ pominiêty)
Nale¿y pokazaæ, ¿e je¿eli ae = a i aa
1
= e, to ea = a i a
1
a = e. Poniewa¿ a
1
∈ G,
zatem (a
1
)
1
∈ G jest odwrotny do a
1
, z czego wynikaj¹ nastêpuj¹ce relacje:
a
a
e
a
a
e
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
e
a
a
a
e
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
]
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
)
(
]
)
(
[
)
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=
=
czyli z warunku aa
1
= e wynika relacja a
1
a = e, a ponadto jedynka prawostronna jest
równa jedynce lewostronnej, gdy¿
ea
a
a
a
a
aa
a
a
a
ae
a
=
=
=
=
=
−
−
−
)
(
)
(
)
(
1
1
1
Stwierdzenie. Udowodniona w³asnoæ jest s³uszna dla grup, ale nie musi byæ s³uszna
dla ogólnych operacji liniowych.
LEMAT. Dla ka¿dego elementu grupy a ∈ G zachodzi (a
1
)
1
= a
Dowód .
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
]
)
(
[
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
=
=
=
=
a
a
e
a
a
a
a
a
a
ae
a
Definicja Grupa abelowa lub przemienna
Grupa {G, •} jest grup¹ abelow¹ zwan¹ tak¿e przemienn¹, je¿eli dla ka¿dej pary
a, b ∈ G spe³niony jest zwi¹zek a • b = b • a.
Definicja Rz¹d grupy
Rz¹d grupy G to liczba elementów grupy oznaczana jako n. Je¿eli n jest skoñczone
(n < ∞), to grupa jest skoñczonego rzêdu, je¿eli n = ∞ to grupa jest nieskoñczonego
rzêdu.
Okrelanie w³asnoci grup przyk³ady
P
RZYK£AD
1
Grupa jednoelementowa jest najprostsz¹ mo¿liw¹ grup¹, która tak¿e musi spe³niaæ wszy-
stkie warunki grupy. Poniewa¿ grupa powinna mieæ element neutralny, wiêc G = {e},
a dla dowolnej operacji • zachodzi e • e ∈ G oraz e
1
= e i e
1
∈ G. Realizacj¹ takiej
grupy jest para, której zbiór jednoelementowy zawiera liczbê 1, a • oznacza zwyk³e mno-
¿enie liczb.
1. Pojêcia podstawowe
8
Definicja Tabela mno¿enia dla grupy
Tabela mno¿enia dla grupy podaje wszystkie operacje mno¿enia elementów grupy.
P
RZYK£AD
2
Grupa dwuelementowa G = {e, a}, • oznacza mno¿enie na grupie.
Poniewa¿ s¹ s³uszne relacje: e • e = e i a • a ∈ G, wiêc a • a = e albo a • a = a.
Je¿eli a • a = a, to (a • a) • a
1
= a • a
1
= e, z czego wynik, ¿e a • (a • a
1
) = e, wiêc
a • e = e i a = e, co jest sprzeczne z za³o¿eniem o elementach grupy, gdy¿ a ≠ e, a
zatem a • a = e.
Elementem odwrotnym a
1
jest e albo a. Gdyby a
1
= e, to a
1
• a = e • a i e = a,
czyli sprzecznoæ, a zatem a
1
= a.
Tabela mno¿enia dla grupy dwuelementowej
e
a
e
e
a
a
a
e
Na przyk³ad G = {1, 1} (e = 1 a = 1) i • oznacza mno¿enie liczb.
1 1
1
1 1
1 1 1
Na przyk³ad G = {0, 1} oraz • oznacza dodawanie modulo 2, tj. a ⊕
2
b ≡ (a + b)
(mod 2) jest reszt¹ z dodawania po wy³¹czeniu liczby podzielnej przez 2, czyli parzy-
stej.
0
1
0
0
1
1
1
0
Na przyk³ad G jest zbiorem permutacji w zbiorze dwuelementowym, wówczas per-
mutacja to¿samociowa jest jedynk¹ grupy e, a permutacja przestawiaj¹ca elementy zbioru
jest drugim elementem grupy a
( )
( )
b
a
b
a
e
,
,
→
oraz
( )
( )
( )
b
a
a
b
b
a
a
a
,
,
,
→
→
1. Pojêcia podstawowe
9
Elementy e i a spe³niaj¹ relacje okrelone w pierwszej tabeli. Operacja kropka • mo¿e
zarówno oznaczaæ np. mno¿enie, dodawanie modulo, jak i sk³adanie permutacji, co ozna-
cza, ¿e ogólne w³asnoci i relacje miêdzy poszczególnymi elementami s¹ spe³nione w
ka¿dym przypadku realizacji danej grupy.
Definicja Izomorfizm
Dwie grupy nazywamy izomorficznymi, je¿eli istnieje jednoznaczna odpowiednioæ
miêdzy elementami tych grup zachowuj¹ca dzia³anie grupowe. Dla grup izomorficznych
G z operacj¹ • i G' z operacj¹ ×, gdzie elementom grupy G odpowiadaj¹ tak samo ozna-
czone, ale z primami elementy grupy G', dla dowolnej pary elementów grupy G zacho-
dzi relacja (a • b)' = a' × b'.
Stwierdzenie. Grupy izomorficzne s¹ jednakowego rzêdu. Grupy o tym samym rzêdzie
nie musz¹ byæ izomorficzne.
Stwierdzenie. Wszystkie grupy dwuelementowe s¹ izomorficzne.
Stwierdzenie. Ustalenie wartoci tabeli mno¿enia na grupie dokonuje siê drog¹ elimina-
cji sprzecznych relacji. Dla wielu grup mog¹ istnieæ ró¿ne, nie wykluczaj¹ce siê wzaje-
mnie mo¿liwoci, okrelenia mno¿enia na grupie.
P
RZYK£AD
3
Grupa trzyelementowa G = {e, a, b}, • oznacza mno¿enie na grupie.
Eliminacja sprzecznych relacji:
a • b ∈ G, zatem
=
•
b
a
e
b
a
Gdyby a • b = a, wówczas po pomno¿eniu przez a
1
•, tj. (a
1
• a) • b = a
1
• a,
otrzymuje siê e • b = e, czyli b = e, czyli sprzecznoæ. Podobnie w pozosta³ych przy-
padkach
=
⇒
=
⇒
=
•
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
e
a
b
e
b
a
e
a
b
=
•
⇒
=
⇒
=
•
⇒
=
⇒
•
=
•
⇒
=
•
⇒
=
=
•
b
a
a
b
e
a
a
a
a
a
b
a
b
a
a
a
e
b
a
e
a
a
a
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
2
1. Pojêcia podstawowe
10
=
⇒
=
•
⇒
=
•
⇒
=
⇒
•
=
•
⇒
=
•
⇒
=
=
•
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
2
e
b
b
b
b
b
a
b
b
a
a
b
b
a
b
b
e
b
b
e
b
b
b
Dla elementów grupy e, a, b zachodz¹ zatem relacje a
2
= b oraz a
3
= a • b = e, co
pozwala przedstawiaæ grupê trzyelementow¹ w postaci G = {e, a, a
2
}, gdzie a
3
= e.
Tabela mno¿enia dla grupy ma postaæ:
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Przyk³ad realizacji grupy pierwiastki jednoci. Poniewa¿
i
e
π
=
2
1
, wiêc
3
2
3
1
1
i
e
π
=
,
a wiêc
1
,
,
2
3
6
3
3
4
2
3
2
2
3
2
=
=
=
=
=
=
=
π
π
π
⋅
π
π
i
i
i
i
i
e
e
a
e
e
b
a
e
a
oraz
.
,
,
1
3
4
3
2
=
π
π
i
i
e
e
G
Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy postaci G = {e, a, a
2
, a
3
, a
n1
}, gdzie a
n
= e. S¹ to
np. grupy n pierwiastków n-tego stopnia z jednoci, gdzie
1
,
1
,
2
2
2
=
=
=
=
=
π
π
π
e
e
e
a
e
a
i
n
n
i
n
n
i
Stwierdzenie. Zawsze istniej¹ grupy dowolnego skoñczonego rzêdu n.
Stwierdzenie. Dla dowolnej grupy G i dowolnego elementu a ∈ G mo¿na utworzyæ ci¹g
a
0
= e, a
1
= a, a
2
, a
3
, , a
i
, Je¿eli istnieje n < ∞, takie ¿e a
n
= e, to element a
jest skoñczonego rzêdu n
. W przeciwnym przypadku rz¹d elementu a jest nieskoñ-
czony.
Stwierdzenie. Elementy e = a
0
, a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
n1
s¹ ró¿ne, gdy a jest rzêdu n (a
n
= e).
1. Pojêcia podstawowe
11
Dowód. Nie wprost
Niech a
i
= a
j
, gdy 0 ≤ i < j ≤ n 1. Wówczas
1
1
)
(
)
(
−
−
=
i
j
i
i
a
a
a
a
, a zatem e = a
ji
dla
0 < j i < n.
LEMAT. (a • b)
1
= b
1
• a
1
dla dowolnych a, b ∈ G .
Dowód. e = (a • b)
1
(a • b) = (b
1
• a
1
) • (a • b) = b
1
• (a
1
• a) • b = e
LEMAT.
( )
a
a
=
−
−
1
1
Dowód.
( )
e
a
a
a
a
=
•
=
•
−
−
−
−
1
1
1
1
Definicja Grupa cykliczna rzêdu n
Gdy wszystkie elementy grupy G
{
}
4
3
42
1
n
b
a
e
,...
,
,
=
mo¿na zapisaæ w postaci G = {e, a, a
2
,
a
3
, ..., a
n1
} oraz a
n
= e, wówczas grupa G nazywa siê cykliczn¹ i jest rzêdu n.
Stwierdzenie. Wszystkie grupy 1-, 2-, lub 3-elementowe s¹ wy³¹cznie cykliczne.
P
RZYK£AD
4
Grupa czteroelementowa G = {e, a, b, c}, • oznacza mno¿enie na grupie.
Stwierdzenie. Dla grup 4-elementowych istniej¹ dwie nieizomorficzne formy ich reali-
zacji, gdy¿
⇒
=
⇒
=
⇒
=
c
b
e
a
a
a
a
e
a
æ
sprzeczno
2
2
Za³o¿enie 1. a
2
= b, wówczas
=
⇒
=
•
⇒
=
⇒
=
•
⇒
=
=
•
⇒
=
⇒
=
•
⇒
=
•
e
e
a
c
c
a
c
c
a
a
c
a
a
b
c
a
b
e
c
a
c
a
a
c
a
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
2
2
1. Pojêcia podstawowe
12
oraz
=
⇒
=
=
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⇒
•
=
⇒
=
⇒
=
c
e
a
a
a
b
a
b
e
b
e
a
a
a
a
c
b
c
a
c
a
a
e
a
e
a
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
2
3
3
2
3
2
3
3
3
zatem a
4
= e oraz
c
b
a
a
b
a
a
a
=
•
=
•
=
•
=
2
3
. W tym przypadku grupa
}
,
,
,
{
3
2
a
c
a
b
a
e
=
=
=
G
jest grup¹ cykliczn¹. Tabela mno¿enia ma postaæ:
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
Za³o¿enie 2. a
2
= a prowadzi do sprzecznoci: a = e.
Za³o¿enie 3. a
2
= c jest równowa¿ne za³o¿eniu 1, gdy¿ element c nie jest w ¿aden
sposób wyró¿niony w stosunku do elementu b. W tym przypadku grupa
G
}
,
,
,
{
3
2
a
b
a
c
a
e
=
=
=
jest tak¿e grup¹ cykliczn¹.
Za³o¿enie 4.
a
2
= e
prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoci
⇒
=
⇒
=
•
⇒
⇒
=
⇒
=
•
⇒
⇒
=
⇒
=
=
•
⇒
=
•
c
e
a
b
b
a
b
e
b
a
b
a
a
a
b
a
e
b
a
e
b
a
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
2
oraz
⇒
=
⇒
=
•
⇒
⇒
=
⇒
=
•
⇒
⇒
=
⇒
=
=
•
⇒
=
•
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
2
e
a
c
c
a
c
b
e
c
a
c
a
a
a
c
a
e
c
a
e
c
a
1. Pojêcia podstawowe
13
Analogicznie mo¿na wykazaæ, gdy¿ nie ma innych mo¿liwoci, ¿e b • a = c oraz
c • a = b. Uwzglêdniwszy, ¿e c
2
= (b • a) • (a • b) = (b • (a • a)) • b oraz a
2
= e,
otrzymuje siê relacjê b
2
= c
2
, która prowadzi do nastêpuj¹cych mo¿liwoci
⇒
=
⇒
=
=
⇒
⇒
=
⇒
=
⇒
=
=
⇒
=
=
⇒
=
æ
sprzeczno
æ
sprzeczno
2
2
2
2
2
2
2
2
e
c
c
c
b
c
e
b
b
b
b
a
c
b
a
e
c
b
e
b
Za³o¿enie 4a. b
2
= c
2
= a
Po pomno¿eniu a = b
2
przez a i wykorzystaniu podanych zwi¹zków otrzymuje siê
e = (a • b) • b = c • b oraz e = b • (b • a) = b • c. W tym przypadku tabela mno¿enia
dla grupy ma postaæ:
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a
Po dokonaniu wzajemnie jednoznacznej zamiany elementów a i b (
b
a ↔ ) powy¿sza
tabela uzyskuje postaæ
e a b c
e e a b c
a a b c e
b b c e a
c c e a b
która jest identyczna z tabel¹ mno¿enia dla grupy otrzyman¹ przy za³o¿eniu, ¿e a2 = b,
zatem przyjmuj¹c, ¿e a
2
= e oraz b
2
= c
2
= a otrzymuje siê grupê cykliczn¹.
Za³o¿enie 4b. b
2
= c
2
= e
Po pomno¿eniu a • b = c i b • a = c przez b i wykorzystaniu podanych zwi¹zków
otrzymuje siê kolejne relacje: a = c • b oraz a = b • c. W tym przypadku tabela mno¿e-
nia dla grupy ma postaæ
1. Pojêcia podstawowe
14
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
w której na diagonali znajduje siê zawsze element neutralny e. Tabeli tej nie mo¿na po-
przez zamianê zmiennych sprowadziæ do postaci uzyskanych dla grupy cyklicznej.
Stwierdzenie. Grupa o relacjach podanych w powy¿szej tabeli nie jest grup¹ cykliczn¹.
To tzw. czterogrupa.
Stwierdzenie. Dla grupach czteroelementowych istniej¹ dwie ró¿ne, nieizomorficzne ich
formy. S¹ to grupa cykliczna i czterogrupa. Obie grupy s¹ abelowe (przemienne).
Stwierdzenie. Wród mo¿liwych grup dowolnego rzêdu n zawsze istniej¹ grupy cykliczne.
Grupy cykliczne s¹ abelowe. Je¿eli liczba elementów grupy jest liczb¹ pierwsz¹, to gru-
pa mo¿e byæ tylko grup¹ cykliczn¹.
P
RZYK£AD
Przyk³adem realizacji czterogrupy jest grupa symetrii prostok¹ta C
2v
, która zawiera
zbiór wszystkich przekszta³ceñ prostok¹ta zmieniaj¹cych jego po³o¿enia w przestrzeni
R
2
. Grupê C
2v
= {e, a, b, c} tworz¹ nastêpuj¹ce elementy symetrii:
1. e przekszta³cenie to¿samociowe,
2. a obrót o k¹t 180° wzglêdem osi OZ,
3. b odbicie wzglêdem osi OX,
4. c odbicie wzglêdem osi OY.
Elementy a
2
= b
2
= c
2
= e definiuj¹ przekszta³cenia to¿samociowe, natomiast z³o¿enie
dwóch elementów odbicia daj¹ obrót: b • c = a. Ponadto a • b = c i a • c = b.
Definicja Podgrupa
Zbiór elementów H zawarty w w grupie G (H ⊂ G ) nazywamy podgrup¹ grupy G, gdy
1. e ∈ H,
2. a, b ∈ H, to a • b ∈ H,
3. a ∈ H, to a
1
∈ H,
tzn. H jest grup¹ zawart¹ w grupie G.
P
RZYK£AD
W czterogrupie G = {e, a, b, c} zbiory H
1
, H
2
i H
3
tworz¹ podgrupy:
1. Pojêcia podstawowe
15
c
c
e
c
c
e
H
b
b
e
b
b
e
H
a
a
e
a
a
e
H
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
−
1
2
3
1
2
2
1
2
1
,
},
,
{
,
},
,
{
,
},
,
{
Stwierdzenie. W ka¿dej skoñczonej grupie G, ci¹g elementów {a, a
2
, a
3
,..., a
n
= e}, gdzie
n jest rzêdem elementu, a ∈ G stanowi podgrupê cykliczn¹ grupy G.
Stwierdzenie. Je¿eli grupa G jest rzêdu n i sk³ada siê z elementów
}
,...,
,
{
2
1
n
a
a
a
=
G
, to
w ci¹gach
)
(
,...,
,
2
1
G
a
a
a
a
a
a
a
i
i
n
i
i
∈
⋅
⋅
⋅
oraz
)
(
,...,
,
2
1
G
a
a
a
a
a
a
a
j
n
j
j
j
∈
⋅
⋅
⋅
ka¿-
dy element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz.
Dowód. Nie wprost
Niech a
k
≠ a
l
oraz
l
k
i
i
l
i
i
k
i
l
i
k
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
⇒
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⇒
⋅
=
⋅
−
−
1
1
)
(
)
(
, czyli
sprzecznoæ.
Wniosek. W tabelach mno¿enia dla grupy w ka¿dym rzêdzie i w ka¿dej kolumnie dany
element mo¿e wystêpowaæ tylko jeden raz.
Stwierdzenie. Przedstawione badania relacji grupowych to badania indukcyjne. Mog¹
byæ one prowadzone dla grup 5, 6,... rzêdu, ale jest to ma³o pouczaj¹ce, a same badania
szybko siê komplikuj¹. Wyj¹tek stanowi¹ grupy, których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹. Gru-
pa rzêdu
n = 5 jest tylko cykliczna. Dla zbioru 6 elementów istnieje kilka mo¿liwoci
utworzenia grupy. W zbiorze tych grup istniej¹ grupy nieabelowe (nieprzemienne), ale
istnieje tak¿e grupa cykliczna.
Stwierdzenie. Grupy nieskoñczonego rzêdu mog¹ byæ przemienne np. grupa liczb ca³-
kowitych z operacj¹ dodawania, gdy¿ dla dowolnych a i b, a + b = b + a, e = 0 oraz
a
1
= a, lub nieprzemienne, jak np. grupa macierzy unitarnych (U • U
1
= E) z opera-
cj¹ mno¿enia macierzowego, gdy¿ w ogólnoci U
1
• U
2
≠ U
2
• U
1
.
1. Pojêcia podstawowe
16
2. M
ORFIZMY
GRUP
Odwzorowania grup morfizmy. Homomorfizm, epimorfizm, monomorfizm, izo-
morfizm, endomorfizm, automorfizm. J¹dro homomorfizmu
Odwzorowania zbioru X w zbiór Y za pomoc¹ funkcji f wyra¿a siê nastêpuj¹co f :
X → Y. Wówczas X jest dziedzin¹, Y przeciwdziedzin¹, a Im f = {f(x), x ∈ X} = f(X)
= Y
0
⊂ Y tworzy tzw. obraz. Zbiór f
1
(Y
0
) = {x ∈ X, f(x) = Y
0
} to tzw. przeciwobraz.
Pojêcia te staj¹ siê istotne przy definiowaniu odwzorowañ o szczególnych w³asnociach
i pozwalaj¹ okreliæ nastêpuj¹ce ich rodzaje:
f
f
–1
przeciwobraz
X – dziedzina
Y – przeciwdziedzina
obraz
Rysunek. Elementy odwzorowania
Odwzorowanie zbioru na zbiór nazywa siê surjekcj¹ lub odwzorowaniem surjek-
tywnym.
Ró¿nowartociowe odwzorowanie zbioru w zbiór 1÷1 to injekcja lub odwzorowa-
nie injektywne.
Ró¿nowartociowe odwzorowanie zbioru na zbiór (surjekcja i injekcja) to bijekcja
lub odwzorowanie bijektywne.
Ponadto z³o¿enie dwóch odwzorowañ nazywa siê superpozycj¹ odwzorowañ.
f
f
1
17
Stwierdzenie. Formalne ujêcie w³asnoci obiektów matematycznych okrela siê termi-
nem kategorii, który mieci w sobie pojêcia obiektów i morfizmów (przekszta³ceñ).
W kategorii zbiorów obiektami s¹ zbiory, a morfizmami ich odwzorowania, w kategorii
grup natomiast obiektami s¹ grupy, a morfizmami poni¿ej zdefiniowane przekszta³ce-
nia.
Definicja Homomorfizm
Odwzorowanie f : {G, •} → {G', ×}, które zachowuje dzia³anie grupowe nazywa
siê homomorfizmem, co oznacza, ¿e je¿eli a, b ∈ G oraz
'
:
,'
:
b
b
f
a
a
f
→
→
, to
zachodzi relacja:
'
'
'
)
(
b
a
b
a
×
=
•
.
Definicja Endomorfizm
Endomorfizm to homomorfizm grupy w siebie.
Definicja Epimorfizm
Epimorfizm to homomorfizm surjektywny, czyli na tj. grupy na grupê.
Definicja Monomorfizm
Monomorfizm to homomorfizm injektywny, czyli 1÷1 tj. ró¿nowartociowy.
Definicja Izomorfizm (por. s. 9)
Izomorfizm to homomorfizm bijektywny, czyli ró¿nowartociowy i na, wówczas
ka¿demu elementowi jest przyporz¹dkowany dok³adnie jeden element, a rzêdy obu grup
s¹ jednakowe.
Definicja J¹dro homomorfizmu
J¹drem homomorfizmu f nazywamy zbiór Ker f = {a ∈ G, ¿e f(a) = e', gdzie e'
jest jedynk¹ grupy G'}.
Stwierdzenie. Je¿eli j¹dro epimorfizmu Ker f = {e}, to epimorfizm jest izomorfizmem.
Dowód. Nie wprost
Niech dla jakich a, b ∈ G oraz a ≠ b zachodzi równoæ f(a) = f (b). Wynika st¹d,
¿e
[
]
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
e
a
f
a
f
a
f
b
f
a
b
f
=
×
=
×
=
•
−
−
−
1
1
1
, ale j¹dro epimorfizmu jest jed-
nowartociowe, zatem b • a
1
= e, czyli b = a, a wiêc sprzecznoæ.
Stwierdzenie. Zbiór H = Ker f jest podgrup¹ grupy G.
Dowód.
1. Operacja zamkniêta. Je¿eli a, b ∈ H, to a • b ∈ H, gdy¿
'
'
'
)
(
)
(
)
(
e
e
e
b
f
a
f
b
a
f
=
×
=
×
=
•
.
2. Element odwrotny. Je¿eli a ∈ H, to a
1
∈ H, gdy¿
[
]
'
'
)
(
)
(
e
e
a
f
a
f
=
=
=
−
−
−
1
1
1
.
2. Morfizmy grup
18
3. Element jednostkowy e ∈ H, gdy¿
[
]
e
e
e
a
f
a
f
a
a
f
e
f
′
=
′
×
′
=
×
=
•
=
−
−
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Definicja Automorfizm
Izomorfizm grupy w siebie to automorfizm.
Stwierdzenie. Zbiór automorfizmów Aut(G) = {e
G
,
ϕ, ψ, χ, ...} z operacj¹ superpozycji
tworzy grupê. Jest to podgrupa grupy S(G) wszystkich bijekcji zbioru G w siebie.
2. Morfizmy grup
19
3. G
RUPY
PERMUTACJI
Grupa symetryczna i alternuj¹ca, cykle przejcia, transpozycje, parzystoæ per-
mutacji, przyk³ady grup symetrycznych nieabelowych
Definicja Grupa symetryczna
Grupa S(G) grupa wszystkich wzajemnie jednoznacznych odwzorowañ n-elemen-
towego zbioru G w siebie tworzy tzw. n-t¹ grupê symetryczn¹ S
n
.
Stwierdzenie. Grupa symetryczna S
n
to grupa permutacji n elementów w siebie i jest
rzêdu n!.
Definicja Elementy grupy S
n
Elementami grupy symetrycznej S
n
s¹ ró¿nowartociowe odwzorowania (permuta-
cje), które oznacza siê nastêpuj¹co:
},
,.
..
,
,
,
{
..
.
1
..
.
3
2
1
3
2
1
1
3
2
1
n
n
n
i
m
m
m
m
m
m
m
m
m
n
n
p
=
−
=
−
gdzie {m
1
, m
2
, m
3
, ..., m
n
} to pewne ustawienie zbioru pierwszych n liczb naturalnych
w stosunku do porz¹dku naturalnego.
Stwierdzenie. Elementy p
i
grupy symetrycznej S
6
s¹ np. postaci:
=
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
i
p
W grupie symetrycznej S
6
znajduje siê 6! = 720 ró¿nych elementów p
i
.
Stwierdzenie. W ka¿dej permutacji mo¿na wyró¿niæ cykle przejcia, które s¹ np. postaci:
20
2
2
2
)
34
(
)
25
(
)
16
(
1
2
3
4
5
6
6
5
4
3
2
1
=
=
i
p
lub
1
2
3
)
5
(
)
24
(
)
163
(
3
5
2
1
4
6
6
5
4
3
2
1
=
=
j
p
Takie wyra¿enie permutacji przez cykle, to rozbicie permutacji na cykle roz³¹czne.
Cykle te w zale¿noci od permutacji mog¹ byæ ró¿nej d³ugoci. W podanych przyk³a-
dach ich d³ugoæ wynosi 1, 2, lub 3.
Definicja D³ugoæ cyklu
Cykl zawieraj¹cy l elementów jest cyklem o d³ugoci l.
Stwierdzenie. Cykle jednoelementowe przekszta³caj¹ element zbioru w siebie.
Stwierdzenie. Wyró¿nione cykle s¹ zamkniête i roz³¹czne.
Stwierdzenie. Dzia³anie cyklu na zbiór uporz¹dkowany naturalnie mo¿na przedstawiæ
nastêpuj¹co, np.:
}
,
,
,
,
,
{
}
,
,
,
,
,
){
(
3
5
4
1
2
6
6
5
4
3
2
1
163
=
,
lub odpowiednio w uproszczonej formie:
}
613
{
}
136
){
163
(
=
, co odpowiada roz³o¿eniu
permutacji na cykle roz³¹czne i pominiêciu jednoelementowych (2), (4) i (5) cykli
to¿samociowych, tj.:
)
163
(
3
5
4
1
2
6
6
5
4
3
2
1
=
=
k
p
Stwierdzenie. Efekt permutacji nie zale¿y od kolejnoci wykonywania przestawieñ
w cyklu, tzn. od tego, który element cyklu jest pocz¹tkowy. Dlatego w cyklach zamkniê-
tych, elementy tych cykli mo¿na przestawiaæ cyklicznie, np.: (163) = (316) = (631).
Definicja Transpozycje
Cykle dwuelementowe to tzw. transpozycje.
Stwierdzenie. Dowolny cykl mo¿na przedstawiæ jako iloczyn transpozycji, które nie musz¹
byæ roz³¹czne, np.:
(163) = (13)(16), wówczas (13)(16){136} = (13){631} = {613}
lub korzystaj¹c z równowa¿noci cykli roz³¹cznych (163) i (316) mo¿na otrzymaæ
3. Grupy permutacji
21
(316) = (36)(31), wówczas tak¿e (36)(31){136} = (36){316} = {613}.
Stwierdzenie. Dla cykli roz³¹cznych kolejnoæ wykonywania dzia³añ jest nieistotna,
natomiast dla cykli nieroz³¹cznych kolejnoæ wykonywania dzia³añ jest istotna, np.:
(31)(36){136} = (31){163} = {361} ≠ {613}, zatem (31)(36) ≠ (36)(31).
Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu na transpozycje nieroz³¹czne nie jest jednoznaczny. Istnie-
j¹ zawsze ró¿ne mo¿liwoci roz³o¿enia, np.: (163) = (13)(16) lub (163) = (631) = (61)(63).
Stwierdzenie. Rozk³ad cyklu (1234...n) o d³ugoci n na transpozycje mo¿na zawsze wy-
raziæ w jednej z nastêpuj¹cych form:
(1 2 3 4 ... n) = (1 n)(1 n1)(1 n 2)...(1 3)(1 2),
(2 3 4 ... n 1) = (2 1)(2 n)(2 n 1)...(2 4)(2 3),
.
.
.
(n 1 2 ... n 1) = (n n 1)(n n 2)(n n 3)...(n 2)(n 1).
Definicja Parzystoæ permutacji
Parzystoæ permutacji okrela siê przez liczbê P = (1)
N
, gdzie N to liczba transpo-
zycji, na które mo¿na roz³o¿yæ permutacjê. Gdy P = 1 permutacja jest parzysta, a gdy
P = 1 permutacja jest nieparzysta.
Definicja Permutacja
Permutacja to dowolna bijekcja f n-elementowego zbioru w siebie. Zbiór ten nie
musi byæ w ¿aden sposób uporz¹dkowany, a wzajemne przyporz¹dkowanie elementów
zbioru dokonuje siê jak pokazano na rysunku.
Rysunek. Odwzorowanie zbioru kilkuelementowego w siebie
3. Grupy permutacji
22
Stwierdzenie. Iloczyn dwóch permutacji zbioru n-elementowego, czyli z³o¿enie albo
superpozycja dwóch permutacji, jest tak¿e permutacj¹. Operacja sk³adania permutacji
zatem jest operacj¹ zamkniêt¹.
Stwierdzenie. Zbiór permutacji zbioru n-elementowego z operacj¹ superpozycji tworzy
grupê sk³adaj¹c¹ siê z n! elementowów (rzêdu n!). Jest to grupa symetryczna S
n
.
P
RZYK£ADY
Grupy symetryczne
S
1
= {e} jest rzêdu 1! = 1 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e, gdy¿ P = (1)
0
= 1,
S
2
= {e, (12)} jest rzêdu 2! = 2 i zawiera jedn¹ permutacjê parzyst¹ e oraz jedn¹
nieparzyst¹ (12), gdy¿ P = (1)
1
= 1. Grupy S
1
, S
2
s¹ abelowe.
S
3
= {e, (12), (13), (23), (123), (321)} jest rzêdu 3! = 6 i zawiera 3 permutacje parzyste
e, (123) i (321), gdy¿ P = (1)
0
= (1)
2
= 1, oraz 3 nieparzyste (12), (13) i (23), gdy¿
P = (1)
1
= 1. Grupa S
3
jest nieabelowa, poniewa¿ sk³adanie jej elementów nie jest
przemienne, np.: (12)(13) ≠ (13)(12), gdy¿ (12)(13) = (132) = (321), a (13)(12) = (123)
≠ (321).
Stwierdzenie. Grupy symetryczne S
n
dla n ≥ 3 nie s¹ abelowe.
LEMAT. Dla dowolnych transpozycji zachodz¹ równoci (i j) = (j i) oraz (i j)
2
= e.
Tabela mno¿enia dla grupy S
3
:
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(321)
e
e
(12)
(13)
(23)
(123)
(321)
(12)
(12)
e
(321)
(123)
(23)
(13)
(13)
(13)
(123)
e
(321)
(12)
(23)
(23)
(23)
(321)
(123)
e
(13)
(12)
(123)
(123)
(13)
(23)
(12)
(321)
e
(321)
(321)
(23)
(12)
(13)
e
(123)
Przyk³ady mno¿enia elementów grupy
(13)(12) = (123)
(12)(13) = (132)(321)
(12)(23) = (21)(23) = (231) = (123)
(12)(123) = (12)(231) =
4
3
42
1
e
)
21
)(
12
(
(23) = (23)
(12)(321) = (12)(132) = (12)(12)(13) = (13)
(123)(123) = (13)(12)(231) = (13)
4
3
42
1
e
)
21
)(
12
(
(23) = (13)(23) = (31)(32) = (321)
3. Grupy permutacji
23
Definicja Podgrupy trywialne
Podgrupy trywialne grupy G to ca³a grupa (H = G) oraz podgrupa sk³adaj¹ca siê wy-
³¹cznie z elementu jednostkowego, H = {e}.
Stwierdzenie. Grupa S
3
ma 4 nietrywialne podgrupy: trzy dwuelementowe {e, (12)},
{e, (13)}, {e, (23)} oraz jedn¹ trójelementow¹ {e, (123), (321)}. Podgrupy te s¹ cy-
kliczne.
Stwierdzenie. Ka¿da grupa zawiera podgrupê lub podgrupy cykliczne, które mo¿na wy-
odrêbniæ w nastêpuj¹cy sposób. Je¿eli a ∈ G, to ci¹g elementów {a = a
1
, a
2
, a
3
, ..., a
k
= e}
tworzy podgrupê cykliczn¹ rzêdu k. Wartoæ k jest tak¿e rzêdem elementu a.
3. Grupy permutacji
24
4. W
£ASNOCI
GRUP
SYMETRYCZNYCH
Twierdzenie Cayleya, podgrupa regularna, rozk³ad na cykle roz³¹czne, grupy, dla
których rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹
TWIERDZENIE CAYLEYA. Ka¿da grupa rzêdu n jest izomorficzna z jak¹ podgrup¹
grupy symetrycznej S
n
(rz¹d S
n
= n!).
Dowód . Niech G = {a
1
, a
2
, ..., a
n
} i niech a
i
∈ G, wówczas zbiór {a
i
a
1
, a
i
a
2
, ..., a
i
a
n
}
zawiera wszystkie elementy grupy G, a ka¿dy element wystêpuje tylko jeden raz, gdy¿
a
i
a
k
≠ a
i
a
l
⇔ a
k
≠ a
l
. Nale¿y zatem dokonaæ jednoznacznego przyporz¹dkowania ele-
mentom grupy G elementów grupy S
n
. Ustala siê nastêpuj¹ce przyporz¹dkowania:
a
i
→ P
a
i
=
n
i
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
a
j
→ P
a
j
=
n
j
j
j
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
oraz
a
i
a
j
→ P
a
i
a
j
=
n
j
i
j
i
j
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
Aby udowodniæ, ¿e ustalone przyporz¹dkowanie okrela izomorfizm grupy G we
wskazan¹ podgrupê grupy S
n
, wystarczy wykazaæ, ¿e spe³niona jest relacja: P
a
i
P
a
j
= P
a
i
a
j
.
Po dokonaniu przestawienia elementów mo¿na wyraziæ P
a
i
nastêpuj¹co
P
a
i
=
n
i
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
=
n
j
i
j
i
j
i
n
j
j
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
.
25
Wówczas
P
a
i
P
aj
=
n
j
i
j
i
j
i
n
j
j
j
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
n
j
j
j
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
=
n
j
i
j
i
j
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
= P
a
i
aj
.
Stwierdzenie. Grupa S
3
szecioelementowa ma podgrupê trzyelementow¹ {e, (123),
(321)}, która jest izomorficzna z ka¿d¹ grup¹ rzêdu n = 3.
Stwierdzenie. Grupa S
4
dwudziestoczteroelementowa ma podgrupy izomorficzne z czte-
rogrup¹ i z czteroelementow¹ grup¹ cykliczn¹.
P
RZYK£AD
1.
Dla elementów czterogrupy G = {e, a, b, c} zachodz¹ relacje: a
2
= b
2
= c
2
= e, ab = c,
bc = a, ca = b. Elementy grupy S
4
nale¿y wybraæ w postaci
P
e
=
c
b
a
e
c
b
a
e
, P
a
=
b
c
e
a
c
b
a
e
, P
b
=
a
e
c
b
c
b
a
e
, P
c
=
e
a
b
c
c
b
a
e
,
wprowadzaj¹c cykle zamkniête wyra¿a siê je nastêpuj¹co:
P
e
= e, P
a
= (e a)(b c), P
b
= (e b)(a c), P
c
= (e c)(a b),
zatem szukany podzbiór grupy S
4
jest postaci {P
e
, P
a
, P
b
, P
c
} = {e, (e a)(b c), (e b)(a c),
(e c)(a b)}. Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych P
ab
= P
a
P
b
= P
c
, wykorzys-
tuje siê w³asnoci mno¿enia cykli, np.: P
a
P
b
= (e a)(b c) (e b)(a c) = (otrzymuj¹c po
przekszta³ceniach) = (e c)(a b) = P
c
.
P
RZYK£AD
2.
Dla czteroelementowej grupy cyklicznej G = {e, a, b = a
2
, c = a
3
}, gdzie a
4
= e, elemen-
ty grupy S
4
nale¿y wybraæ w postaci
P
e
=
c
b
a
e
c
b
a
e
, P
a
=
e
c
b
a
c
b
a
e
, P
b
=
a
e
c
b
c
b
a
e
, P
c
=
e
a
b
c
c
b
a
e
wówczas odpowiadaj¹ im nastêpuj¹ce cykle:
P
e
= e, P
a
= (e a b c), P
b
= (e b)(a c), P
c
= (e c b a)
4. W³asnoci grup symetrycznych
26
Aby wykazaæ zachodzenie relacji grupowych, ponownie wykorzystuje siê w³asnoci
mno¿enia cykli.
Stwierdzenie. Permutacja na n-elementach daje siê przedstawiæ w formie cykli o d³ugo-
ciach 1, 2, 3, 4, ... lub n.
Stwierdzenie. Permutacje wystêpuj¹ce w dowodzie twierdzenia Cayleya nie pozostawiaj¹
¿adnego elementu permutowanego zbioru na swoim miejscu z wyj¹tkiem permutacji
to¿samociowej P
e
.
Podgrupy regularne i ich w³asnoci
Definicja Podgrupa regularna
Podgrupa grupy S
n
nazywa siê podgrup¹ regularn¹, je¿eli jej ka¿dy element, z wyj¹t-
kiem elementu P
e
, przestawia wszystkie elementy permutowanego zbioru. Na przyk³ad
1
4
3
2
4
3
2
1
jest permutacj¹ regularn¹, a
3
4
2
1
4
3
2
1
nie jest permutacj¹ regularn¹.
Stwierdzenie. Podgrupa S
n
izomorficzna z grup¹ n-elementow¹ jest podgrup¹ regularn¹,
co wynika z konstrukcji dowodu twierdzenia Cayleya, gdy¿ gdyby permutacja
P
a
i
=
n
i
i
i
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
2
1
2
1
pozostawia³a jaki element na swoim miejscu, wówczas
np. a
j
= a
i
a
j
, ale st¹d wynika, ¿e a
i
= e, wiêc sprzecznoæ.
LEMAT. W podgrupie regularnej permutacji ¿adne dwa elementy podgrupy nie prze-
kszta³caj¹ danego elementu zbioru w inny, ale taki sam element.
1
4
5
2
3
1
3
4
2
5
Rysunek. Przyk³ad przekszta³cania zbioru piêcioelementowego przez permutacjê regularn¹
4. W³asnoci grup symetrycznych
27
Dowód . Nie wprost
Niech p
1
, p
2
(p
1
≠ p
2
) s¹ ró¿nymi permutacjami pewnej podgrupy regularnej R. Przyj-
muj¹c, ¿e dzia³aj¹ one tak na pewien element a, ¿e p
1
a = b oraz p
2
a = b, z faktów, ¿e
p
1
, p
2
∈ R oraz p
1
1
∈ R, wynika, ¿e p
2
p
1
1
b = b, czyli ¿e permutacja regularna p
2
p
1
1
pozostawia element b na swoim miejscu, a zatem p
2
p
1
1
= e, a st¹d p
2
= p
1
, co stanowi
sprzecznoæ.
LEMAT. Cykl (a
1
, a
2
, ..., a
l
) o d³ugoci l musi spe³niaæ to¿samoæ:
e
a
a
a
l
l
l
=
4
4 3
4
4 2
1
)
...,
,
,
(
2
1
oraz zachodzi relacja, ¿e
e
a
a
a
l
l
l
≠
'
)
...,
,
,
(
4
4 3
4
4 2
1
2
1
gdy l < l.
LEMAT. Je¿eli element podgrupy regularnej da siê roz³o¿yæ na cykle roz³¹czne, to cykle
te musz¹ mieæ tê sam¹ d³ugoæ.
Dowód.
Niech cykl
2
2
1
1
1
1
1
1
l
l
l
l
l
l
a
a
a
a
p
)
,...,
(
)
,...,
(
+
+
=
, gdzie
2
1
l
l
l
+
=
oraz
1
l
<
2
l
wówczas
=
=
+
+
1
2
2
1
1
1
1
1
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
l
l
l
l
l
l
l
l
a
a
a
a
p
1
2
2
1
1
1
1
1
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
l
l
l
l
l
l
l
l
a
a
a
a
+
+
=
1
2
2
1
1
)
,...,
(
1
l
l
l
l
l
a
a
e
+
+
a zatem elementy
1
,...,
1
l
a
a
nie ulegaj¹ przestawieniu, podczas gdy elementy
2
1
1
,...,
1
l
l
l
a
a
+
+
ulegaj¹ przestawieniu, czyli zachodzi sprzecznoæ z podstawowymi w³asnociami ele-
mentów podgrupy regularnej R, gdy¿
R
p
R
p
l
∈
⇒
∈
1
, a permutacja
1
l
p nie przesta-
wia ¿adnego z elementów
1
,...,
1
l
a
a
.
Stwierdzenie. Cykl o d³ugoci l umo¿liwia utworzenie podgrupy cyklicznej rzêdu l
o elementach
l
l
a
a
p
)
,...,
(
1
1
=
,
j
l
l
j
a
a
p
)
,...,
(
1
=
oraz
e
a
a
p
l
l
l
l
=
=
)
,...,
(
1
TWIERDZENIE. Ka¿da grupa G rzêdu n jest grup¹ cykliczn¹, je¿eli n jest liczb¹
pierwsz¹.
Dowód
Grupa G jest izomorficzna z jak¹ podgrup¹ regularn¹ R grupy S
n
. Podgrupa R za-
wiera jedynie elementy, które stanowi¹ jeden cykl d³ugoci n, gdy¿ n jest liczb¹ pierw-
sz¹, a elementy podgrupy R mog¹ byæ podzielne wy³¹cznie na cykle roz³¹czne o jedna-
kowej d³ugoci oraz element jednostkowy e, który jest iloczynem n cykli o d³ugoci 1.
Niech ponadto R = {p
1
= e, p
2
, p
3
, ..., p
n
}. Dowolny element p ∈ R, ró¿ny od e, odpo-
wiada pewnemu cyklowi o d³ugoci n, co pozwala wygenerowaæ podgrupê cykliczn¹
R
1
= {p, p
2
, p
3
, ..., p
n
} = e} zawieraj¹c¹ n elementów.
4. W³asnoci grup symetrycznych
28
Poniewa¿
R
p
∈
, wiêc
R
p
i
∈
, czyli
R
R
⊂
1
. Ale rz¹d grupy R
1
wynosi n, zatem
podgrupy
R
1
i R maj¹ jednakow¹ liczbê elementów oraz wszystkie elementy podgrupy
R
1
nale¿¹ do R. Wynika st¹d, ¿e R
1
= R oraz R jest grup¹ cykliczn¹.
P
RZYK£AD
Dowolna grupa trzeciego rzêdu jest izomorficzna z jak¹ podgrup¹ R grupy S
3
, która
zawiera 6 elementów. T¹ podgrup¹ jest R = {e, (123), (321)}, która jest cykliczna, gdy¿
R = {(123), (123)
2
, (123)
3
} = {(123), (321), e}.
Stwierdzenie. Dla du¿ych n liczba ró¿nych mo¿liwych grup jest na ogó³ du¿a, ale gdy n
jest liczb¹ pierwsz¹, wóczas istnieje tylko jedna mo¿liwoæ utworzenia grupy i jest to
grupa cykliczna.
Stwierdzenie. Gdy rz¹d grupy jest liczb¹ pierwsz¹, wówczas ka¿dy element p grupy,
z wyj¹tkiem e, generuje ca³¹ grupê G = {p, p
2
, p
3
,..., p
n
= e} i jest rzêdu n oraz p
k
≠ e,
gdy k < n.
Definicja Grupa alternuj¹ca
Wszystkie permutacje parzyste zbioru n-elementowego tworz¹ podgrupê
n
n
S
A ⊂
,
która jest rzêdu n!/2. Jest to tzw. grupa alternuj¹ca.
P
RZYK£AD
Grupa
{
}
)
321
(
),
123
(
),
23
(
),
13
(
),
12
(
,
3
e
S =
i podgrupa permutacji parzystych grupa
alternuj¹ca
{
}
)
321
(
),
123
(
,
3
e
A =
.
4. W³asnoci grup symetrycznych
29
5. G
RUPY
KLASYCZNE
Grupy symetrii, grupy punktowe, grupy klasyczne, grupy ortogonalne, unitarne,
specjalne ortogonalne, specjalne unitarne (unimodularne), parametry grupy, grupy
nakrywaj¹ce, przyk³ady
Definicja Grupa symetrii
Grupa symetrii to zbiór przekszta³ceñ symetrii wraz z operacj¹ superpozycji.
Definicja Grupy punktowe
Grupy symetrii skoñczonego rzêdu, w których przy przekszta³ceniach symetrii za-
chowuje siê jeden niezmieniony punkt, nazywamy grupami punktowymi.
Definicja Grupy klasyczne
W grupach (nieskoñczonego rzêdu) przekszta³ceñ przestrzeni afinicznych, euklide-
sowych, oraz unitarnych, podgrupy pozostawiaj¹ce niezmieniony jeden ustalony punkt
(np. pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych) nazywamy grupami klasycznymi.
Definicja Macierz nieosobliwa
Macierz kwadratowa n×n nad cia³em liczb rzeczywistych R lub liczb zespolonych C,
nieosobliwa jest oznaczana odpowiednio jako M
n
(R), gdzie
R
m
ij
∈ i det M
n
(R) ≠ 0 lub
M
n
(C), gdzie
C
m
ij
∈ i det M
n
(C) ≠ 0.
Definicja Ogólna grupa liniowa
Zbiór macierzy M
n
(R) lub M
n
(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw.
ogóln¹ grupê liniow¹ GL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub GL(n,C) nad cia³em
liczb zespolonych.
Stwierdzenie. Warunek det M
n
(R) ≠ 0 lub det M
n
(C) ≠ 0 zapewnia istnienie macierzy
odwrotnych M
n
1
(R) lub M
n
1
(C), które stanowi¹ elementy odwrotne grupy. Element jed-
nostkowy grupy przyjmuje postaæ:
30
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
L
M
O
M
L
E
czyli E jest macierz¹ jednostkow¹ n×n. Ponadto spe³nione s¹ relacje M
n
(R)·M
n
(R)
1
=
M
n
(R)
1
·M
n
(R)
= E lub M
n
(C)·M
n
(C)
1
= M
n
(C)
1
·M
n
(C)
= E.
Definicja Specjalna grupa liniowa
Zbiór macierzy M
n
(R) lub M
n
(C) z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworzy tzw.
specjaln¹ grupê liniow¹ SL(n,R) nad cia³em liczb rzeczywistych lub SL(n,C) nad cia-
³em liczb zespolonych, gdy macierze M
n
(R) lub odpowiednio M
n
(C) s¹ unimodularne,
tj. det M
n
(R) = 1 lub det M
n
(C) = 1.
Stwierdzenie. Dla obu rozwa¿anych grup, gdy ograniczyæ cia³o liczb, powstaj¹ podgru-
py, np.:
)
,
(
R
n
GL
→
)
,
(
)
,
(
Q
n
GL
R
n
SL
→
)
(
)
,
(
)
,
(
n
E
Z
n
SL
Q
n
SL
→
→
gdzie: Q liczby wymierne, Z liczby ca³kowite.
Definicja Grupa ortogonalna
Grupa ortogonalna lub grupa macierzy ortogonalnych O(n) jest postaci:
{
}
E
A
A
A
A
R
M
A
n
O
T
T
n
=
⋅
=
⋅
∈
=
oraz
)}
(
{
)
(
Definicja Grupa specjalna ortogonalna
Grupa specjalna ortogonalna lub grupa specjalna macierzy ortogonalnych SO(n) jest
postaci:
{
}
1
det
oraz
)
(
)
(
=
∈
=
A
n
O
A
n
SO
Definicja Grupa unitarna
Grupa unitarna lub grupa macierzy unitarnych U(n) jest postaci:
{
}
E
A
A
A
A
C
M
A
n
U
n
=
⋅
=
⋅
∈
=
+
+
oraz
)}
(
{
)
(
, gdzie A
+
= (A
*
)
T
5. Grupy klasyczne
31
Definicja Grupa specjalna unitarna
Grupa specjalna unitarna lub grupa specjalna macierzy unitarnych SU(n) jest posta-
ci:
{
}
1
det
oraz
)
(
)
(
=
∈
=
A
n
U
A
n
SU
Stwierdzenie. Dla dowolnych macierzy kwadratowych M
n
i M
n
' zachodzi relacja:
det (M
n
· M
n
') = det M
n
· det M
n
'. Wynika st¹d, ¿e dla macierzy ortogonalnych A ∈ O(n)
det (A·A
T
) = det A · det A
T
= (det A)
2
= 1, a wiêc
1
det
±
=
A
.
Przyk³ady.
O(1) = {[+1], [1]} grupa dwuelementowa,
SO(1) = {[+1]} grupa jednoelementowa,
U(1) = {[e
i
ϕ
], 0 ≤
ϕ < 2π} grupa nieskoñczonego rzêdu,
SU(1) = {[+1]} grupa jednoelementowa, gdy¿ e
i
ϕ
= 1 dla
ϕ = 0,
<
≤
−
=
π
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
0
,
cos
sin
sin
cos
)
2
(
SO
grupa nieskoñczonego rzêdu
Stwierdzenie. Jednoelementowe grupy SO(1) i SU(1) s¹ izomorficzne. Elementem tych
grup jest macierz 1×1 postaci: [+1].
Stwierdzenie. Grupy SU(1) i SO(2) to jednoparametrowe grupy nieskoñczonego rzêdu i
s¹ izomorficzne.
[ ]
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
i
e
→
←
−
izomorfizm
cos
sin
sin
cos
Stwierdzenie. Ka¿dy element A grupy SO(3) przekszta³ceñ izometrycznych w³aciwych
jest obrotem w przestrzeni trzywymiarowej dooko³a pewnej nieruchomej osi i daje siê
sparametryzowaæ przez k¹ty Eulera
ϕ, ψ i ϑ, gdzie
π
<
≤
2
,
0
ψ
ϕ
oraz
π
≤
≤
ϑ
0
, na-
stêpuj¹co:
ψ
ϑ
ϕ
B
C
B
A
⋅
⋅
=
, gdzie macierze
−
=
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
B
i
−
=
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
C
5. Grupy klasyczne
32
okrelaj¹ odpowiednio obrót wokó³ osi OZ i wokó³ osi OX.
Stwierdzenie. Ka¿dy element G grupy SU(2) daje siê wyraziæ w nastêpuj¹cy sposób:
),
2
(
SU
G ∈
wiêc
=
δ
γ
β
α
G
, gdzie
C
∈
δ
γ
β
α
,
,
,
=
+
δ
β
γ
α
G
oraz det G = 1,
zatem
−
−
=
−
α
γ
β
δ
1
G
Poniewa¿
γ
β
γ
β
δ
α
δ
α
=
−
−
=
=
=
=
−
+
wiêc
,
1
G
G
, co powoduje, ¿e
−
=
α
β
β
α
G
oraz
1
det
2
2
=
+
=
β
α
G
. St¹d wynika, ¿e elementy macierzy
2
1
α
α
α
i
+
=
i
2
1
β
β
β
i
+
=
musz¹ spe³niaæ równoæ:
1
2
2
2
1
2
2
2
1
=
+
+
+
β
β
α
α
.
Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest topologiczne równowa¿na, czyli homeomorficzna ze stref¹
trójwymiarow¹ S
3
w czterowymiarowej przestrzeni R
4
.
Stwierdzenie. Ka¿da macierz G ∈ SU(2) daje siê zapisaæ w postaci:
=
≡
+
−
−
−
−
+
2
2
2
2
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
)
,
,
(
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϕ
ψ
ϑ
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ψ
ϑ
ϕ
i
i
i
i
e
e
i
e
i
e
b
c
b
G
, gdzie
=
−
2
2
0
0
ϕ
ϕ
ϕ
i
i
e
e
b
=
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
i
i
c
,
2
cos
=
ϑ
α
,
(
)
2
1
arg
ψ
ϕ
α
+
=
,
=
2
sin ϑ
β
5. Grupy klasyczne
33
(
)
π
ψ
ϕ
β
+
+
=
2
1
arg
oraz
π
<
≤
2
0
ϕ
,
π
≤
≤
ϑ
0
,
π
<
≤
π
−
2
2
ψ
Macierze G mo¿na wybraæ tak¿e w postaci
⋅′
⋅′
⋅′
⋅′
=
′
−
′
−
′
′
ϕ
ψ
ψ
ϕ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
i
i
i
i
e
e
i
e
i
e
G
cos
sin
sin
cos
przyjmuj¹c, ¿e 0 ≤
ϕ', ψ', ϑ' < 2π. W obu przypadkach det G = 1.
Stwierdzenie. Grupa SU(2) jest grup¹ nakrywaj¹c¹ dla grupy SO(3). Grupa SU(2) to
grupa obrotów w³aciwych i niew³aciwych (obrót + inwersja) w przestrzeni trójwy-
miarowej R
3
.
Stwierdzenie. Grupa SO(3) jest obrazem homomorficznym grupy SU(2) przy homo-
morfizmie
Φ: SU(2) → SO(3) z j¹drem homomorfizmu
{ }
E
Ker
±
=
Φ
.
Stwierdzenie. Istnieje monomorfim grupy SO(3) w grupê SU(2), gdy¿ SO(3) jest pod-
grup¹ obrotów w³aciwych w grupie SU(2) obrotów w³aciwych i niew³aciwych.
Stwierdzenie. Obroty niew³aciwe, a w szczególnoci inwersje, to przekszta³cenia orto-
gonalne, dla których wyznacznik macierzy przekszta³cenia A, det A = 1. W przestrze-
ni dwuwymiarowej inwersj¹ jest np. zamiana wspó³rzêdnych x → x, y → y, wówczas
−
=
1
0
0
1
A
oraz det A = 1.
y
→ y
x
→ –x
Rysunek. Inwersja w p³aszczynie, np. x → x oraz y → y
5. Grupy klasyczne
34
6. O
GÓLNE
W£ASNOCI
GRUP
Warstwy lewostronne i prawostronne, twierdzenie Lagrangea, przyk³ady dla grup
symetrycznych, relacja sprzê¿enia i jej w³asnoci, klasy równowa¿noci, wydzie-
lanie klas równowa¿noci, przyk³ady
Definicja Warstwy
Niech A = {a
1
, a
2
, ..., a
m
} bêdzie podgrup¹ grupy G. Rz¹d podgrupy A wynosi m,
a rz¹d grupy G odpowiednio n oraz m < n. Ponadto niech
G
b
∈
i
A
b
∉
, wówczas
ci¹g elementów {ba
1
, ba
2
, ..., ba
m
} tworzy tzw. warstwê lewostronn¹ podgrupy A ozna-
czan¹ bA, a ci¹g elementów {a
1
b, a
2
b, ..., a
m
b} tworzy warstwê prawostronn¹ ozna-
czan¹ Ab.
Stwierdzenie. Warstwa nie jest podgrup¹, gdy¿ nie zawiera elementu jednostkowego e.
Dowód. Nie wprost
Niech
1
−
=
⇒
=
⇒
∈
i
i
a
b
ba
e
bA
e
ale
A
b
A
a
A
a
i
i
∈
⇒
∈
⇒
∈
−1
, a wiêc za-
chodzi sprzecznoæ, gdy¿ z za³o¿enia b ∉ A.
Stwierdzenie. Warstwa nie zawiera ¿adnego elementu nale¿¹cego do podgrupy A.
Dowód. Nie wprost
Niech
A
a
i
∈ i
A
b
A
a
a
a
a
b
ba
a
bA
a
j
i
j
i
j
i
i
∈
∈
=
⇒
=
⇒
∈
−
−
czyli
,
ale
,
1
1
, a wiêc
sprzecznoæ.
LEMAT. Dwie warstwy lewostronne (prawostronne) podgrupy A albo maj¹ wszystkie
elementy wspólne, albo nie zawieraj¹ ¿adnego wspólnego elementu.
Dowód
Niech xA i yA s¹ warstwami podgrupy A = {a
1
, a
2
, ..., a
m
}. Gdy warstwy
{
}
m
xa
xa
xa
xA
,...,
,
2
1
=
i
{
}
m
ya
ya
xy
yA
,...,
,
2
1
=
maj¹ wspólny element, wówczas
35
xa
i
= ya
j
, gdzie
A
a
a
j
i
∈
,
oraz
xA
xa
i
∈
,
yA
ya
j
∈
. Poniewa¿
A
a
a
x
y
i
j
∈
=
−
−
1
1
, wiêc
ci¹g
{
}
A
xa
y
xa
y
xa
y
m
=
−
−
−
1
2
1
1
1
,...,
,
, ale wówczas
{
{
{
{
}
xA
xa
xa
xa
xa
yy
xa
yy
xa
yy
yA
m
m
e
e
e
=
=
=
−
−
−
,...,
,
,...,
,
2
1
1
2
1
1
1
, czyli yA=xA
Je¿eli zatem dwie warstwy maj¹ jeden wspólny element, to ich wszystkie elementy s¹
wspólne.
Stwierdzenie. Podgrupa A i jej warstwy s¹ równoliczne.
Dowód. Nie wprost
A={a
1
, ..., a
m
} oraz xA = {xa
1
, , xa
m
}. Gdyby warstwa zawiera³a mniej elemen-
tów ni¿ podgrupa A, wówczas xa
i
= xa
j
, ale to implikuje, ¿e a
i
= a
j
, czyli powstaje sprzecz-
noæ.
TWIERDZENIE LAGRANGEA
Rz¹d grupy G jest ca³kowit¹ wielokrotnoci¹ rzêdu jej dowolnej podgrupy.
Dowód
Niech podgrupa
G
A
⊂
i rz¹d podgrupy A wynosi m, a rz¹d grupy G n oraz n < m.
Ponadto niech b
1
∈ G i b
1
∉ A, wówczas b
1
A jest warstw¹ i niech b
2
∈ G i b
2
∉ A i b
2
∉
b
1
A to b
2
A jest kolejn¹ warstw¹ itd. Niech b
1
A, b
2
A, ..., b
µ1
A bêd¹ wszystkimi otrzyma-
nymi ró¿nymi warstwami podgrupy A. Wówczas ka¿dy dowolny element g ∈ G musi
nale¿eæ do podgrupy A albo do której z warstw b
i
A. Poniewa¿ warstw jest
µ 1 i za-
wieraj¹ po m elementów, zatem n = m + m(
µ 1), czyli n = mµ.
Definicja Indeks podgrupy
Parametr m to indeks podgrupy A.
Stwierdzenie. Rz¹d dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzêdu grupy.
Dowód
Niech a ∈ G i rz¹d elementu a wynosi m. Wówczas ci¹g {a, a
2
, a
3
, ..., a
m
= e} two-
rzy podgrupê cykliczn¹ rzêdu m, zatem m jest dzielnikiem rzêdu grupy G.
Stwierdzenie. Grupa, której rz¹d jest liczb¹ pierwsz¹, musi byæ cykliczna.
Dowód.
Niech rz¹d grupy G wynosi n i jest liczb¹ pierwsz¹. Poniewa¿ rz¹d dowolnego jej
elementu a ≠ e jest dzielnikiem rzêdu grupy, wiêc jest on równy n. Ten element a gene-
ruje podgrupê cykliczn¹ {a, a
2
, ..., a
n
= e} równoliczn¹ z G, zatem G = {a, a
2
, ..., a
n
=
e} jest grup¹ cykliczn¹.
6. Ogólne w³asnoci grup
36
P
RZYK£AD
Grupa symetryczna S
3
= {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzêdu 6 ma podgrupê
A = {e, (12)} rzêdu 2, dla której mo¿na utworzyæ dwie ró¿ne lewostronne lub prawo-
stronne warstwy. Warstwy lewostronne utworzone przez pomno¿enie podgrupy A przez
wszystkie elementy grupy S
3
nie nale¿¹ce do podgrupy A maj¹ postaæ:
(13)A={(13),(123)}
(23)A={(23),(321)}
(123)A={(123),(13)}
(321)A={(321),(23)}
Poniewa¿ otrzymane warstwy 1 i 3 oraz 2 i 4 s¹ identyczne tj. (13)A = (123)A oraz
(23)A = (321)A, zatem S
3
= A + (13)A + (23)A lub S
3
= A + (123)A + (321)A.
Stwierdzenie. Warstwy lewostronne mog¹ byæ ró¿ne od warstw prawostronnych, np.
{(13),(123)} = (13)A ≠ A(13) = {(13),(321)}, gdy¿ (13)(12) = (123) ≠ (321) = (12)(13).
P
RZYK£AD
Grupa symetryczna S
3
= {e, (12), (13), (23), (123), (321)} rzêdu 6 ma tak¿e podgru-
pê rzêdu 3 B = {e, (123),(321)}, dla której mo¿na utworzyæ tylko jedn¹ warstwê
{(12),(13),(23)} zawieraj¹c¹ 3 pozosta³e elementy grupy. Zatem warstwy lewostronna
i prawostronna s¹ identyczne, tj. (12)B = (13)B = (23)B = B(12) = B(13) = B(23)
= {(12),(13),(23)} oraz S
3
= B + (12)B.
Stwierdzenie. Podgrupa B = {e,(123),(321)} to grupa alternuj¹ca A
3
permutacji pa-
rzystych, S
3
A
3
= (12)B to warstwa permutacji nieparzystych, zatem S
3
= A
3
+ (12)A
3
.
Definicja Sprzê¿enia
Niech a, b ∈ G, wówczas element b jest sprzê¿ony do elementu a, gdy istnieje takie
x ∈ G, ¿e a = xbx
1
.
LEMAT. Je¿eli b jest sprzê¿one do a, to a jest sprzê¿one do b.
Dowód
b
ax
x
xbx
a
=
⇒
=
−
−
1
1
i niech
1
1
−
−
=
⇒
∈
=
yay
b
G
x
y
LEMAT. a jest sprzê¿one do a.
Dowód
a = aaa
1
lub a = eae
1
LEMAT. Je¿eli b jest sprzê¿one do a i c jest sprzê¿one do b, to c jest sprzê¿one do a.
6. Ogólne w³asnoci grup
37
Dowód
1
−
= xbx
a
i
1
−
= ycy
b
,
G
y
x ∈
,
, zatem
1
1
1
)
(
)
(
)
(
−
−
−
=
=
xy
c
xy
x
ycy
x
a
, a poniewa¿
G
xy ∈
,
1
)
(
)
(
−
=
xy
c
xy
a
.
Stwierdzenie. Relacja sprzê¿enia jest relacj¹ równowa¿noci, gdy¿ jest ona:
zwrotna
b jest sprzê¿one do a
⇒
a jest sprzê¿one do b,
symetryczna
a jest sprzê¿one do a,
tranzytywna (przechodnia)
b jest sprzê¿one do a i c jest sprzê¿one do b
⇒
c
jest sprzê¿one do a.
Definicja Klasy
Wszystkie elementy grupy G wzajemnie do siebie sprzê¿one tworz¹ klasê równo-
wa¿noci, zwan¹ klas¹.
Stwierdzenie. Dwa elementy nale¿¹ce do jednej klasy C musz¹ byæ tego samego rzêdu.
Dowód
Niech a, b ∈ C, zatem b = xax
1
. Niech rz¹d elementu a wynosi n, wówczas a
n
= e
oraz a
m
≠ e, gdy m < n. Poniewa¿
(
)
x
xa
xax
xax
xax
xax
b
m
m
m
m
=
=
=
−
−
−
−
4
4
4 3
4
4
4 2
1
1
1
1
1
...
, wiêc je-
¿eli m = n, to b
n
= xa
n
x
1
= xex
1
= e, czyli b
n
= e, natomiast gdy m < n i b
m
= e,
wówczas e = xa
m
x
1
i a
m
= x
1
ex = e, czyli a
m
= e, a wiêc sprzecznoæ.
Stwierdzenie. Je¿eli rzêdy dwóch elementów grupy s¹ ró¿ne, to nie mog¹ one nale¿eæ
do tej samej klasy.
Stwierdzenie. Element jednostkowy e tworzy jednoelementow¹ klasê C = {e} jedynego
elementu rzêdu 1, gdy¿ jedynie e
1
= e.
TWIERDZENIE (o tworzeniu klasy elementów sprzê¿onych wzglêdem elementu a)
Dla ka¿dego elementu a ∈ G, gdzie G = {a
1
= e, a
2
, a
3
, ..., a
n
}, wszystkie elementy
b
i
= a
i
aa
i
1
ci¹gu {b
1
, b
2
, ..., b
n
} s¹ do siebie sprzê¿one, gdy¿ s¹ sprzê¿one do a i tworz¹
klasê (elementów sprzê¿onych wzglêdem a).
Dowód
Wszystkie b
i
s¹ sprzê¿one do a, gdy¿ b
i
= a
i
aa
i
1
i a
i
∈ G, zatem b
i
s¹ sprzê¿one do
siebie dla i = 1, ..., n, ale s¹ to wszystkie mo¿liwe elementy grupy G sprzê¿one do a,
wiêc ci¹g {b
1
, b
2
, ..., b
n
} tworzy klasê, chocia¿ nie wszystkie elementy b
i
musz¹ byæ
ró¿ne.
Stwierdzenie. Ka¿d¹ grupê mo¿na roz³o¿yæ na klasy. Klasy s¹ roz³¹czne.
Stwierdzenie. Dla grup abelowych ka¿dy element tworzy w³asn¹ klasê jednoelementow¹.
6. Ogólne w³asnoci grup
38
Dowód
Niech dwa elementy a, b grupy abelowej s¹ sprzê¿one. Wówczas b = xax
1
, ale xax
1
= xx
1
a = a, wiêc b = a.
P
RZYK£AD
Grupa cykliczna G = {e, a, a
2
, a
3
}, abelowa, czteroelementowa. Rzêdy jej elemen-
tów wynosz¹ odpowiednio: e 1, a 4, b = a
2
2, c = a
3
4. Klasy {e}, {a}, {a
2
},
{a
3
} s¹ jednoelementowe.
P
RZYK£AD
W grupie symetrycznej S
3
= {e, (12),(13),(23),(123),(321)}, gdzie elementy odwrotne
tworz¹ ci¹g {e,(12),(13),(23),(321),(123)}, istniej¹ klasy:
C
1
= {e} klasa elementu jednostkowego rzêdu 1,
C
2
klasa elementów sprzê¿onych do elementu (12)
e(12)e
1
= (12)
(12)(12)(12)
1
= (12)
(13)(12)(13)
1
= (123)(13) = (321)(13) = (32)(31)(13) = (32) = (23)
(23)(12)(23)
1
= (213)(23) = (321)(23) = (31)(32)(23) = (13)
(123)(12)(123)
1
= (13)(12)(12)(321) = (13)(31)(32) = (23)
(321)(12)(321)
1
= (213)(12)(123) = (23)(21)(12)(123) = (23)(32)(31) = (13)
zatem C
2
= {(12),(13),(23)} zawiera 3 elementy rzêdu 2.
C
3
klasa elementów sprzê¿onych do elementu (123)
e(123)e
1
= (123)
(12)(123)(12)
1
= (321)
Pozosta³e kombinacje musz¹ prowadziæ do tego samego wyniku, gdy¿ klasy s¹ roz-
³¹czne, zatem C
3
= {(123),( 321)} zawiera 2 elementy rzêdu 3.
Stwierdzenie. Dla grup permutacji S
n
podzia³ na klasy jest zgodny ze struktur¹ cykli.
6. Ogólne w³asnoci grup
39
P
RZYK£AD
Klasy grupy S
4
Liczba
Rz¹d
rz¹d grupy 4!=24
elementów
elementu
C
1
= {e}
1
1
C
2
= {(12),(13),(14),(23),(24),(34)}
6
2
C
3
= {123),(124),(134),(234),(321),(421),(431),(432)}
8
3
C
4
= {(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
3
2
C
5
= {(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432)}
6
4
razem
24
Uwaga. W rozwa¿aniach jest stosowany tak¿e symbol C
k
(n), który oznacza, ¿e kla-
sa C
k
zawiera n elementów.
6. Ogólne w³asnoci grup
40
7. P
ODGRUPY
I
ICH
W£ASNOCI
Podgrupy sprzê¿one, podgrupa inwariantna, grupa prosta, grupa ilorazowa, j¹-
dro homomorfizmu jako podgrupa inwariantna, wyszukiwanie podgrup inwariant-
nych w grupach symetrycznych
Stwierdzenie. Je¿eli H jest podgrup¹ grupy G, to zbiór H' = aHa
1
, gdzie a ∈ G, jest
tak¿e podgrup¹ grupy G.
Dowód.
Niech
'
,
oraz
,
H
aya
axa
H
xy
H
y
x
∈
∈
⇒
∈
−
−
1
1
, nale¿y zatem pokazaæ, ¿e
a(xy)a
1
∈ H. Poniewa¿ (axa
1
)(aya
1
) = ax(a
1
a)ya
1
= a(xy)a
1
, wiêc a(xy)a
1
∈ H.
Pozwala to stwierdziæ, ¿e
dzia³anie grupowe jest operacj¹ zamkniêt¹ w H',
element jednostkowy
H
e
aea
H
e
∈
=
⇒
∈
−1
',
dla ka¿dego axa
1
∈ H' istnieje element odwrotny, którym jest ax
1
a
1
∈ H', gdy¿
(axa
1
)(ax
1
a
1
) = ax(a
1
a)x
1
a
1
= a(xx
1
)a
1
= aa
1
= e.
Stwierdzenie. Gdy a ∈ H to H' = aHa
1
= H, wówczas jest to odwzorowanie podgrupy
H w siebie, czyli automorfizm.
Dowód
x ∈ H i a ∈ H
H
aHa
H
H
axa
=
=
⇒
∈
⇒
−
−
1
1
'
Definicja Podgrupa sprzê¿ona
Podgrupa H' = aHa
1
, gdzie H ⊂ G i a ∈ G, nazywa siê podgrup¹ sprzê¿on¹ do pod-
grupy H w grupie G.
Definicja Podgrupa inwariantna
Je¿eli aHa
1
= H dla ka¿dego a ∈ G, to H nazywa siê podgrup¹ inwariantn¹ lub nie-
zmiennicz¹.
41
Stwierdzenie. Dla podgrupy grupy inwariantnej z warunku H' = aHa
1
, a ∈ G wynika,
¿e Ha = aH, H zatem jest podgrup¹ inwariantn¹ wtedy i tylko wtedy, gdy jej warstwy
lewostronne i prawostronne utworzone dla dowolnych a ∈ G s¹ identyczne.
Stwierdzenie. Jedynka {e} i ca³a grupa G s¹ zawsze podgrupami inwariantnymi, try-
wialnymi.
Dowód
Dla ka¿dego a ∈ G jest spe³niona relacja aea
1
= e, wiêc a{e}a
1
= {e}.
Dla ka¿dego a, b ∈ G aba
1
∈ G, wiêc aGa
1
= G.
P
RZYK£AD
Podgrupa A = {e, (12)} grupy S
3
= A + (13)A + (23)A nie jest inwariantna, gdy¿ war-
stwy lewostronne i prawostronne s¹ ró¿ne, np. (13)A ≠
A(13).
Podgrupa B = {e, (123), (321)} grupy S
3
= B + (12)B jest inwariantna, gdy¿ warstwy
lewostronne i prawostronne s¹ równe dla wszystkich elementów grupy S
3
.
Definicja Grupa prosta
Grupa prosta to grupa nie posiadaj¹ca nietrywialnych, tj. ró¿nych od {e} i G, pod-
grup inwariantnych.
LEMAT. Podgrupa H grupy G jest inwariantna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ca³e
klasy grupy G, tzn. je¿eli H zawiera 1 element jakiej klasy, to zawiera tak¿e wszystkie
pozosta³e elementy tej klasy.
Dowód.
I. Je¿eli H jest inwariantna, H = aHa
1
, a ∈ G, to H zawiera ca³e klasy:
Dla ka¿dego zatem x ∈ H i a ∈ G axa
1
∈ H, ale elementy axa
1
otrzymane dla wszy-
stkich a ∈ G tworz¹ klasê C i C ∈ H, czyli H zawiera zawsze pe³ne klasy.
II. Je¿eli H zawiera ca³e klasy, C ∈ H, to H jest inwariantna:
Ka¿de x ∈ H nale¿y do jakiej klasy C, wiêc
H
C
⊂
, ale klasa C zawiera wszystkie
elementy postaci axa
1
otrzymane dla wszystkich a ∈ G, zatem je¿eli x ∈ H, to tak¿e
dla wszystkich a ∈ G wszystkie elementy postaci axa
1
, które tworz¹ klasê C, nale¿¹ do
H, czyli C ⊂ H. Ale to jest s³uszne dla dowolnego x ∈ H, które musi nale¿eæ do jakiej
klasy. St¹d, je¿eli
C
x
H
x
∈
⇒
∈
i wszystkie axa
1
∈ C ⊂ H, co oznacza, ¿e dla ka¿-
dego a ∈ G aHa
1
= H, czyli H jest inwariantna.
Definicja Mno¿enie warstw
Mno¿enie warstw wyra¿a siê nastêpuj¹co:
{
}
bH
y
aH
x
y
x
z
bH
aH
∈
∈
⋅
=
=
⋅
,
gdzie
,
, natomiast gdy a ∈ H i b ∈ H, wów-
czas
H
bH
aH
=
=
i
{
}
H
H
y
H
x
y
x
z
H
H
=
∈
∈
⋅
=
=
⋅
,
gdzie
,
.
7. Podgrupy i ich w³asnoci
42
TWIERDZENIE. Zbiór sk³adaj¹cy siê z podgrupy inwariantnej H i wszystkich jej ró¿nych
warstw sam stanowi grupê zwan¹ grup¹ ilorazow¹ grupy G, któr¹ oznaczamy G' = G/H.
Dowód
aH = Ha dla wszystkich a ∈ G, poniewa¿ H jest inwariantne, ponadto:
H jest elementem jednostkowym w grupie ilorazowej, gdy¿
( )
( )
aH
HH
a
H
aH
=
⋅
=
⋅
oraz
( ) ( )
( )
( )
aH
HH
a
H
aH
H
Ha
aH
H
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
,
mno¿enie warstw jest warstw¹, czyli jest to dzia³anie zamkniête, gdy¿
( )( ) ( )
( )
( )
,
abH
HH
ab
H
bH
a
H
Hb
a
bH
aH
=
=
=
=
a abH jest warstw¹, jako ¿e ab ∈ G,
ka¿da warstwa aH ma element odwrotny a
1
H, gdy¿
H
eH
HH
aa
H
aHa
=
=
=
−
−
1
1
,
zatem a
1
H jest elementem odwrotnym do aH w grupie ilorazowej.
P
RZYK£AD
Grupa S
3
= {e, (12), (13), (23), (123), (321)}, jej podgrupa inwariantna B = {e, (123),
(321)} oraz warstwa (12)B={(12), (13), (23)} pozwalaj¹ utworzyæ grupê ilorazow¹
S
3
/B = {E, A}, gdzie E = B oraz A = (12)B. Jest to grupa dwuelementowa, a zatem A
2
= E.
Uwaga. Elementy grup ilorazowych oznaczamy du¿ymi literami tj. E, A, B, C,...
Stwierdzenie. Grupê ilorazow¹ mo¿na traktowaæ jako homomorfizm grupy G w G' = G/H.
TWIERDZENIE. Przy ka¿dym homomorfizmie f grupy G w G, tj. f(G) = G', j¹dro ho-
momorfizmu Ker(f) = H tworzy podgrupê inwariantn¹ w G.
Dowód
Dla ka¿dego b
∈ H
( )
'
'
)
(
G
e
b
f
f
Ker
∈
=
⇒
=
, ponadto dla ka¿dego b ∈ H i a ∈ G
element aba
1
∈ H, gdy¿
e
a
f
a
f
a
f
e
a
f
a
f
b
f
a
f
aba
f
′
=
=
′
=
=
−
−
−
−
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
zatem H = aHa
1
i jest podgrup¹ inwariantn¹.
Stwierdzenie. Przy ka¿dym homomorfizmie f : G → G', je¿eli
'
' G
a
∈
i
'
' e
a
≠
to ist-
nieje warstwa np. aH, gdzie H = Ker(f), taka ¿e f(aH) = a', tzn. ca³e warstwy s¹ prze-
kszta³cane w jeden element.
7. Podgrupy i ich w³asnoci
43
Dowód
Niech
ax
b
aH
b
=
⇒
∈
oraz f(a) = a' i f(x) = e', dla dowolnego zatem b ∈ aH
'
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
a
f
e
a
f
x
f
a
f
ax
f
b
f
=
=
=
=
=
.
Stwierdzenie. Przy dowolnym homomorfizmie f : G
→ G' rz¹d grupy G' musi byæ dziel-
nikiem rzêdu grupy G.
Dowód
J¹dro homomorfizmu Ker(f) oraz utworzone wzglêdem niego warstwy s¹ równolicz-
ne, a ka¿da z nich jest przekszta³cana w jeden element grupy G'. Rz¹d grupy G jest za-
tem równy iloczynowi rzêdu j¹dra homomorfizmu Ker(f) i rzêdu grupy G'.
P
RZYK£AD
Wyznaczanie nietrywialnych podgrup inwariantnych grupy S
4
. Grupa S
4
zawiera 4!=24
elementy, podgrupy inwariantne musz¹ spe³niaæ warunki:
podgrupa inwariantna musi zawieraæ ca³e klasy grupy S
4
(por. s. 41), tj. C
1
(1), C
2
(6),
C
3
(8), C
4
(3), C
5
(6), które maj¹ ³¹cznie 1 + 6 + 8 + 3 + 6 = 24 elementy,
rz¹d podgrupy musi byæ dzielnikiem rzêdu grupy S
4
; dzielnikami liczby 24 s¹: 1, 2,
3, 4, 6, 8, 12, 24, przy czym 1 i 24 to dzielniki trywialne,
podgrupa musi zawsze zawieraæ element e, czyli klasê C
1
(1).
Przypadek I
( )
( )
3
1
4
1
C
C
H
+
=
, czyli H={e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. Jest to podgrupa czte-
roelementowa. Poniewa¿ elementy podgrupy H spe³niaj¹ relacje:
((12)(34))
2
= ((12)
2
(34))
2
= e, ((13)(24))
2
= ((13)
2
(24))
2
= e,
((14)(23))
2
= ((14)
2
(23))
2
= e,
H jest czterogrup¹. Grupa ilorazowa G' = S
4
/H zawiera 6 elementów.
Przypadek II
( )
( )
( )
3
8
1
'
4
3
1
C
C
C
H
+
+
=
zawiera 1 + 8 + 3 = 12 elementów. H' jest podgrup¹ per-
mutacji parzystych, czyli tzw. grup¹ alternuj¹c¹
A
4
= {e,(123),(124),(134),(234),(321),(421),(431),(432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}.
Grupa ilorazowa S
4
/A
4
= {E, A}, gdzie
E = A
4
, natomiast A jest warstw¹ wszystkich per-
mutacji nieparzystych.
Stwierdzenie. Grupa ilorazowa S
n
/A
n
, gdzie S
n
jest grup¹ symetryczn¹, a A
n
jest grup¹
alternuj¹c¹, jest zawsze izomorficzna z grup¹ dwuelementow¹ {E,A}.
Stwierdzenie. Grupa alternuj¹ca A
n
jest podgrup¹ inwariantn¹ grupy symetrycznej S
n
.
Poniewa¿ A
n
zawiera wszystkie permutacje parzyste, S
n
A
n
stanowi warstwê permuta-
cji nieparzystych.
7. Podgrupy i ich w³asnoci
44
8. G
RUPY
OBROTÓW
Obroty w p³aszczynie i przestrzeni, k¹ty Eulera, sk³adanie obrotów
Stwierdzenie. Istniej¹ dwie interpretacje obrotów: bierna i czynna. Bierna, gdy obraca-
my uk³ad wspó³rzêdnych, a przestrzeñ jest nieruchoma, czynna, gdy obracamy przestrzeñ
a uk³ad wspó³rzêdnych jest nieruchomy. W prezentowanych rozwa¿aniach jest stoso-
wana interpretacja bierna.
Definicja Operator obrotu R
k
(
α)
Operator obrotu R
k
(
α) wyznacza obrót w p³aszczynie wokó³ ustalonej, prostopa-
d³ej do niej osi k o k¹t
α. W szczególnoci osi¹ k mo¿e byæ jedna z osi uk³adu wspó³-
rzêdnych: x, y, z.
Definicja Operator obrotu R(
α, β, γ)
Dowolny obrót w przestrzeni trójwymiarowej daje siê wyraziæ jak z³o¿enie obrotów:
)
(
)
(
)
(
)
,
,
(
γ
β
α
γ
β
α
z
y
z
R
R
R
R
=
gdzie
α, β, γ s¹ k¹tami Eulera oraz
π
<
≤
2
,
0
γ
α
,
π
≤
≤ β
0
.
Stwierdzenie. Obroty w przestrzeni trójwymiarowej R
3
wokó³ osi uk³adu wspó³rzêdnych
mo¿na wyraziæ za pomoc¹ macierzy 3×3:
(
)
−
=
1
0
0
0
cos
sin
0
sin
cos
)
(
α
α
α
α
α
z
R
D
,
(
)
−
=
β
β
β
β
β
cos
0
sin
0
1
0
sin
0
cos
)
(
y
R
D
.
Stwierdzenie. K¹ty
α i β s¹ standardowymi k¹tami sferycznymi ϕ i ϑ koñcowej osi z'
wzglêdem uk³adu pierwotnego (x, y, z). K¹t
γ jest zawarty miêdzy osiami y i y' po obro-
cie R
z
(
α).
45
Stwierdzenie. Pola s¹ elementami przestrzeni nad cia³em liczb rzeczywistych lub zespo-
lonych. Pola mog¹ byæ skalarne, wektorowe, tensorowe itp.
Definicja Dzia³anie operatora obrotu na pole
Operator obrotu R dzia³a w nastêpuj¹cy sposób na pole
skalarne: Rf (r) = f'(r) = f (R
1
r) , np. R
z
(
α) f(r, ϕ) = f (r, ϕ α),
wektorowe: Rf(r) = Rf
j
(r)e
j
= f
j
'(r)e
j
', gdzie f
j
'(r) = f
j
(R
1
r) oraz e
j
' = [D
1
(R)e]
j
= [D
T
(R)e]
j
= D
ji
T
(R)e
i
= D
ij
(R)e
j
, wiêc Rf
j
(r)e
j
= e
i
D
ij
(R)f
j
(R
1
r).
Definicja Sk³adanie obrotów
Sk³adanie obrotów, lub iloczyn obrotów, wyra¿a siê nastêpuj¹co:
R
1
[R
2
f(r)] = R
1
f'(r) = f' (R
1
1
r) = f (R
2
1
R
1
1
r) = f ((R
1
R
2
)
1
r).
Stwierdzenie. Poniewa¿ (R
1
R
2
)f(r) = f((R
1
R
2
)
1
r), wiêc R
1
[R
2
f(r)] = (R
1
R
2
)f(r).
Stwierdzenie. Zbiór macierzy kwadratowych n×n o wyznaczniku ró¿nym od zera i o okre-
lonych w³asnociach (ortogonalne, unitarne, hermitowskie i inne) z operacj¹ mno¿enia
macierzowego tworzy grupê nieskoñczonego rzêdu i stopnia n, gdy¿
spe³niona jest relacja ³¹cznoci dla mno¿enia macierzy, tj. (AB)C = A(BC),
jedynk¹ grupy jest macierz jednostkowa E,
dla ka¿dej macierzy kwadratowej A o wyznaczniku det A ≠ 0 istnieje macierz od-
wrotna A
1
taka, ¿e AA
1
= A
1
A = E.
Stwierdzenie: Zbiór R
k
(
α) obrotów w p³aszczynie wokó³ prostopad³ej do niej osi k
o k¹t
α z operacj¹ sk³adania obrotów tworzy grupê. Elementem neutralnym grupy jest
R
k
(0), tj. obrót o k¹t
α = 0. Poniewa¿ R
k
(
α)R
k
(
β) = R
k
(
α + β), wiêc element odwrotny
ma postaæ R
k
1
(
α) = R
k
(
α), gdy¿ R
k
(
α + β) = R
k
(0), gdy
β = α.
Stwierdzenie: Zbiór obrotów R = R(
α,β, γ) z operacj¹ sk³adania obrotów tworzy grupê
obrotów w³aciwych w R
3
nieskoñczonego rzêdu trzeciego stopnia, która jest izomor-
ficzna z grup¹ SO(3). W grupie obrotów R = R(
α,β, γ)
spe³niona jest relacja ³¹cznoci: (R
1
R
2
)R
3
= R
1
(R
2
R
3
),
istnieje jedynka e = R(0, 0, 0), tj.
α = β = γ = 0,
element odwrotny ma postaæ R
1
(
α,β, γ) = R(γ,β, α), gdy¿
R
1
(
α,β, γ) = [R
z
(
α)R
y
(
β)R
z
(
γ)]
1
= R
z
1
(
γ)R
y
1
(
β)R
z
1
(
α)
= R
z
(
γ)R
y
(
β)R
z
(
α) = R(γ, β, α)
8. Grupy obrotów
46
9. G
RUPY
CI¥G£E
Homeomorfizm grupy ci¹g³ej w przestrzeñ euklidesow¹, mapy, atlasy i ich zgod-
noæ, stopieñ grupy. Topologia grupy, grupy Liego oraz elementy (operatory),
generatory i reprezentanci grupy. Komutatory, sta³e struktury grupy, antysyme-
tria i to¿samoæ Jacobiego. Przestrzeñ liniowa z baz¹ generatorów i algebra Lie-
go, obroty operatorów
Stwierdzenie. Je¿eli ka¿demu obrotowi R
z
(
α), gdzie α ≠ 0 zostanie przypisany punkt
z przedzia³u 0 <
α < 2π, to otrzymuje siê tzw. mapê w przestrzeni euklidesowej R
1
, przy
czym termin mapa odnosi siê zarówno do sposobu odwzorowania jak i do powsta³ego
odwzorowania, tj. zbioru punktów z przedzia³u (0, 2π). Mapa to tak¿e odwzorowanie
grupy obrotów R(
α,β, γ) w przestrzeñ euklidesow¹ R
3
, gdy 0 <
α, γ < 2π oraz 0 < β < π.
Uwaga. Mapy to odwzorowania w zbiory otwarte.
Definicja Homeomorfizm
Homeomorfizm to ci¹g³e i wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie f zbioru X w zbiór
Y, f : X→Y takie, ¿e przekszta³cenie odwrotne f
1
: Y→X jest te¿ ci¹g³e.
Stwierdzenie: Homeomorfizm to odwzorowanie ró¿nowartociowe i obustronnie ci¹g³e.
Definicja Stopieñ grupy
Stopieñ grupy n to liczba niezale¿nych i zmieniaj¹cych siê w sposób ci¹g³y parame-
trów rzeczywistych potrzebnych do okrelenia poszczególnych elementów grupy.
Definicja Mapa
Mapa to homeomorfizm dowolnie wybranego otwartego zbioru elementów grupy G
w zbiór otwarty przestrzeni euklidesowej R
n
, przy czym wymiar przestrzeni n odpowia-
da stopniowi grupy.
47
Definicja Mapy zgodne
Dwie mapy S
1
, S
2
⊂ R
n
nazywamy parami zgodnymi, je¿eli w obszarach, które nale-
¿¹ do nich obu, odwzorowanie S
2
1
→ G → S
1
jest dostatecznie regularne.
Stwierdzenie. Odwzorowanie dostatecznie regularne to np. ci¹g³e lub ró¿niczkowalne,
lub analityczne.
Definicja Atlas
Mapê pokrywaj¹c¹ ca³¹ grupê, lub uk³ad map parami zgodnych i pokrywaj¹cych ca³¹
grupê nazywamy atlasem.
Stwierdzenie. Je¿eli wszystkie mapy atlasu danej grupy maj¹ obrazy euklidesowe w tej
samej przestrzeni R
n
, to grupa jest stopnia n.
Stwierdzenie. Je¿eli grupa jest spójna (jednospójna) to odpowiadaj¹ce jej obrazy eukli-
desowe maj¹ ten sam wymiar.
P
RZYK£AD
. R
z
(
α) → [α] ∈ R
1
, R(
α,β, γ) → [α,β,γ] ∈ R
3
Topologia grupy
Stwierdzenie. Maj¹c atlas grupy, mo¿na utworzyæ topologiê grupy z warunku, ¿e bli-
skim punktom w obrazie euklidesowym grupy w R
n
odpowiadaj¹ bliskie elementy gru-
py g(s) ∈ G, gdzie s ∈ R
n
.
Stwierdzenie. Elementy grupy, dla których atlas zawiera wiêcej ni¿ jedn¹ mapê, mo¿na
oznaczaæ np. g
a
(s), ale wyró¿nianie mapy jest nieistotne, gdy¿ mapy s¹ parami zgodne,
wiêc na ogó³ siê je pomija.
Stwierdzenie. Zwykle pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych w przestrzeni R
n
przypisuje siê
jedynce grupy, tzn. g(0) = e lub g(0) = 1.
Grupy Liego
Z
A£O¯ENIA
Rozwa¿a siê mapê obejmuj¹c¹ pocz¹tek uk³adu wspó³rzêdnych 0 = [0,...,0] ∈ R
n
, od-
powiadaj¹cy jedynce grupy g(0) = 1, oraz punkty s, t ∈ R
n
le¿¹ce dostatecznie blisko
0 tak, ¿eby elementy grupy g(u) = g(s)·g(t) oraz g(w) = g(s)
1
by³y objête map¹. Wzory
te definiuj¹ funkcje u = u(s, t) oraz w = w(s) i s¹ dobrze okrelone dla s i t dostatecznie
bliskich pocz¹tku uk³adu wspó³rzêdnych.
9. Grupy ci¹g³e
48
P
RZYK£AD
Dla grupa obrotów w p³aszczynie XY g(s) ≡ R
z
(
α), wówczas R
z
(
γ) = R
z
(
α)R
z
(
β)
= R
z
(
α + β), wiêc γ = α + β oraz R
z
(
δ) = R
z
(
α)
1
= R
z
(
α), wiêc δ = α.
Definicja Grupa Liego
Grupê G, dla której mo¿na zbudowaæ atlas i wybraæ parametry s, t, u, w tak, ¿eby
funkcje u = u(s, t) oraz w = w(s) by³y analityczne, nazywamy grup¹ Liego.
Stwierdzenie. Grupy, których elementy dadz¹ siê opisaæ parametrami zmieniaj¹cymi siê
w sposób ci¹g³y, to na ogó³ grupy Liego.
Stwierdzenie. Grupy operatorów R
z
(
α) i R
z
(
α, β, γ) to grupy Liego.
Generatory
Z
A£O¯ENIA
Niech g(s) ∈ G i g(s) jest funkcj¹ analityczn¹ w pewnym obszarze wokó³ pocz¹tku
uk³adu wspó³rzêdnych oraz g(0) = 1. Wówczas
g(s) = 1 i
∑
=
n
j 1
s
j
J
j
, gdzie
0
)
(
J
=
∂
∂
=
s
j
j
s
s
g
i
s¹ generatorami grupy Liego.
Stwierdzenie. Wiele w³asnoci grup Liego mo¿na badaæ, rozpatruj¹c skoñczon¹ liczbê
generatorów J
j
zamiast nieskoñczonej liczby elementów grupy g(s).
P
RZYK£AD
Dzia³anie operatora R
z
(
α), gdy α « 1, na pole skalarne f(r, ϕ):
R
z
(
α)f(r, ϕ) = f(r, ϕ α) = f(r, ϕ) α
ϕ
∂
∂ f(r, ϕ) = [1 i(iα
ϕ
∂
∂ )]f(r, ϕ)
= [1 i
α J
z
] f(r,
ϕ)
zatem R
z
(
α) = (1 iαJ
z
), gdzie J
z
jest generatorem grupy operatorów R
z
(
α), którego
reprezentantem w wybranym (biegunowym) uk³adzie wspó³rzêdnych jest
ϕ
∂
∂
−
= i
z
K
.
Stwierdzenie. Reprezentant generatora grupy zale¿y od wyboru uk³adu wspó³rzêdnych
i ma ró¿n¹ postaæ w ró¿nych uk³adach wspó³rzêdnych, np. reprezentantem generatora
J
z
w kartezjañskim uk³adzie wspó³rzêdnych jest
∂
∂
−
∂
∂
−
=
x
y
y
x
i
z
K
= (r×p)
z
, gdzie
p = i∇, podczas gdy w biegunowym uk³adzie wspó³rzêdnych jest
ϕ
∂
∂
−
= i
z
K
.
9. Grupy ci¹g³e
49
Stwierdzenie. Znaj¹c generatory grupy J
j
mo¿na odtworzyæ wszystkie elementy grupy
g(s).
Stwierdzenie. Znaj¹c generator J
z
oraz traktuj¹c obrót o dowolny k¹t
α jako z³o¿enie N
obrotów o k¹t
α/N « 1, postaæ operatora R
z
(
α) wyznacza siê nastêpuj¹co:
(
)
α
α
α
α
z
J
exp
J
1
lim
lim
)
(
i
N
i
N
R
R
N
z
N
N
z
N
z
−
=
−
=
=
∞
→
∞
→
Stwierdzenie. Operator obrotu w R
3
ma postaæ:
)
J
exp(
)
J
exp(
)
J
exp(
)
(
)
(
)
(
)
(
γ
β
α
γ
β
α
γ
β
α
z
y
z
z
y
z
i
i
i
R
R
R
,
,
R
−
−
−
=
=
Stwierdzenie. Dzia³anie operatora g(s), s ∈ R
n
, w grupach Liego mo¿na traktowaæ jako
z³o¿enie nieskoñczonego ci¹gu infinitezymalnie ma³ych zmian. Wówczas wykorzystu-
j¹c postaæ operatora g(s) wyznaczon¹ dla s → 0: g(s) = 1 i
∑
=
n
j
j
j
s
1
J
dla dowolnych rze-
czywistych wartoci s
j
, otrzymuje siê:
−
=
−
=
∑
∑
=
=
∞
→
n
j
j
N
n
j
j
N
s
i
s
N
i
g
1
j
1
j
J
exp
J
1
1
lim
)
(s
Stwierdzenie. Aby uzyskaæ jawn¹ postaæ operatora grupy Liego g(s), nale¿y generatory
grupy J
j
zast¹piæ reprezentantami generatorów grupy K
j
w wybranym uk³adzie wspó³-
rzêdnych.
Stwierdzenie. Generatory grupy Liego J
1
,..., J
n
na ogó³ nie komutuj¹ ze sob¹, [J
j
, J
k
] ≠ 0
dla j ≠ k, dlatego zgodnie z relacj¹ HausdorffaBakera e
A+B
≠ e
A
e
B
, gdy [A, B] ≠ 0, gdzie
A i B to np. generatory grupy lub ich kombinacje liniowe.
Komutatory
Definicja Komutator
Komutatorem elementów grupy a,b ∈ G jest wyra¿enie postaci: [a,b] = aba
1
b
1
.
Stwierdzenie. Operatory postaci
(
)
l
l
l
is
g
J
exp −
=
to elementy grupy G, g
l
∈ G, gdy¿
g
l
≡ g(s) dla s =[0,...,0, s
l
, 0,...,0].
Elementem odwrotnym do
(
)
l
l
l
is
g
J
exp −
=
jest
(
)
l
l
l
is
g
J
exp
1
=
−
, gdy¿
9. Grupy ci¹g³e
50
g
l
g
l
1
=
(
)
l
l
is J
exp −
(
)
l
l
is J
exp
= 1, jako ¿e [J
l
, J
l
] = 0 (relacja HausdorffaBakera).
Stwierdzenie. Komutator elementów g
j
, g
k
jest postaci:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
j
jk
k
k
j
j
k
k
j
jl
k
j
s
s
C
is
is
is
is
g
g
,
J
exp
J
exp
J
exp
J
exp
]
[
,
=
−
−
=
Poniewa¿ [J
j
, J
k
] ≠ 0, rozwijaj¹c operatory g
j
, g
k
w szereg dla ma³ych s
j
, s
k
, otrzymu-
je siê wyra¿enie
]
J
,
J
[
1
)
J
1
(
)
J
1
(
)
J
1
(
)
J
1
(
)
,
(
k
j
k
j
k
k
j
j
k
k
j
j
k
j
jk
s
s
s
s
s
s
s
s
C
+
=
+
+
−
−
=
.
Stwierdzenie. Komutator dwóch elementów grupy jest elementem grupy, wiêc dla ma-
³ych s
j
, s
k
mo¿na go przedstawiæ w postaci:
l
n
l
l
k
j
jk
t
i
s
s
C
J
1
)
,
(
1
∑
=
−
=
. Z porównania otrzy-
manych wyra¿eñ
l
n
l
l
k
j
k
j
k
j
jk
t
i
s
s
s
s
C
J
1
]
J
,
J
[
1
)
,
(
1
∑
=
−
=
+
=
wynika nastêpuj¹ca relacja
l
n
l
l
jk
k
j
C
i
J
]
J
,
J
[
1
∑
=
=
, gdzie
k
j
l
t
s
s
l
jk
s
s
t
C
l
k
j
0
,
,
lim
→
=
.
Definicja Sta³e struktury grupy Liego
Wspó³czynniki
l
jk
C to tzw. sta³e struktury grupy G i spe³niaj¹ one
warunek antysymetrii
l
kj
l
jk
C
C
−
=
, gdy¿ [J
j
, J
k
] = [J
k
, J
j
] oraz
relacjê
0
=
+
+
∑
∑
∑
l
l
ki
m
jl
l
l
ij
m
kl
l
l
jk
m
li
C
C
C
C
C
C
wynikaj¹c¹ z to¿samoci Jacobiego
0
]]
J
,
J
[
,
J
[
]]
J
,
J
[
,
J
[
]]
J
,
J
[
,
J
[
=
+
+
k
j
l
j
l
k
l
k
j
.
P
RZYK£AD
.
Dla grupy obrotów generatorami s¹ L
x
, L
y
, L
z
sk³adowe operatora momentu pêdu,
wówczas [L
j
, L
k
] =
l
jkl
i
L
ε
oraz
jkl
l
jk
C
ε
=
jest tensorem LeviCivity.
Stwierdzenie. Zbiór generatorów J
1
,..., J
n
stanowi bazê w przestrzeni liniowej (wektoro-
wej) wszystkich kombinacji liniowych postaci
∑
=
n
j
j
j
s
1
J , które odwzorowuj¹ siê na ele-
menty
−
=
∑
=
n
j
j
s
i
g
1
j
J
exp
)
(s
grupy Liego.
Definicja Algebra Liego
Przestrzeñ liniowa z baz¹ generatorów J
1
,..., J
n
oraz komutatorem [ , ] jako iloczy-
nem tworzy tzw. algebrê Liego. Komutator nie jest iloczynem w zwyk³ym sensie, gdy¿
nie spe³nia relacji ³¹cznoci.
9. Grupy ci¹g³e
51
Definicja Obroty operatorów
Niech Ô okrela dowolny operator oraz R
k
(
α) jest operatorem obrotu wokó³ osi k
o k¹t
α. Niech ponadto wektory x, y ∈ V spe³niaj¹ relacje Ôx = y ∈ V, R
k
(
α) x = x' ∈ V,
R
k
(
α)y = y' ∈ V, wówczas
R
k
(
α)[Ô x] = R
k
(
α) [ÔR
k
*
(
α)R
k
(
α)x] = [R
k
(
α)ÔR
k
*
(
α)]R
k
(
α)x = [R
k
(
α)ÔR
k
*
(
α)]x' = y'
st¹d obrót operatora Ô okrela wyra¿enie
R
k
(
α)(Ô) = R
k
(
α)ÔR
k
*
(
α), gdzie R
k
(
α) = exp( iαL
k
) oraz R
k
*
(
α) = R
k
1
(
α)
Stwierdzenie. Dla ma³ych k¹tów
α obrót operatora Ô okrela wyra¿enie
R
k
(
α)(Ô) = exp(iαL
k
)Ôexp(i
αL
k
) = Ô i
α[L
k
, Ô]
P
RZYK£AD
.
Obroty operatora L
j
, j = x, y, z, wokó³ osi z dla ma³ych k¹tów
α, gdzie [L
j
, L
k
]
=
l
jkl
i
L
ε
, wyra¿aj¹ siê nastêpuj¹co:
R
z
(
α)(L
x
) = L
x
+
αL
y
, R
z
(
α)(L
y
) = L
y
αL
x
, R
z
(
α)(L
z
) = L
z
9. Grupy ci¹g³e
52
10. C
A£KOWANIE
NA
GRUPIE
L
IEGO
Ca³kowanie niezmiennicze, miara Haara, ca³ka Hurwitza, objêtoæ grupy, grupy
zwarte, przyk³ady
Definicja Ca³kowanie na grupie Liego
Je¿eli funkcja f(s), gdzie s ∈ R
n
, jest ca³kowalna w R
n
, to mo¿na mówiæ, ¿e funkcja
jest ca³kowalna na grupie G, gdy¿ wówczas f(s) = f(s(g)) i ca³kowanie odbywa siê po
elementach g
∈ G.
Stwierdzenie. Ca³kowanie po ca³ej grupie wymaga u¿ycia atlasu.
P
RZYK£AD
Ca³kowanie na grupie obrotów R
z
(
α), gdzie 0 < α < 2π oraz f(α) ≡ 1
∫
π
π
=
2
0
2
)
(
d
á
á
f
Stwierdzenie. Wartoci ca³ki zale¿¹ od wyboru parametrów grupy.
P
RZYK£AD
Ca³kowanie na grupie obrotów R
z
(
β), f(β) = f(α) ≡ 1. Wybór parametru β mo¿e byæ
dokonany w sposób dowolny i w odniesieniu do parametru
α, 0 < α < 2π, prowadzi do
ró¿nych wartoci ca³ki:
β = α
β = α/2
β = α
2
β = lnα
ð
d
ð
2
1
2
0
=
∫
β
,
ð
d
ð
=
∫
0
1 β
,
2
π
=
∫
π
4
1
2
4
0
β
d
,
∞
=
∫
∞
ð
-
d
2
ln
1
β
53
10. Ca³kowanie na grupie Liego
Definicja Ca³kowanie niezmiennicze
Ca³kowanie na grupie nazywamy lewostronnie niezmienniczym, je¿eli dla ka¿dej
funkcji ca³kowalnej f i dla ka¿dego elementu g
1
∈ G zachodzi zwi¹zek
)
(
)
(
)
(
)
(
1
dg
ì
g
f
dg
ì
g
g
f
∫
∫
=
gdzie
µ(dg) oznacza miarê elementu objêtoci odpowiadaj¹cego elementowi dg w eu-
klidesowym obrazie grupy G, a ca³kowanie rozci¹ga siê na ca³¹ grupê.
Stwierdzenie. Ca³kowanie na grupie jest niezmiennicze, gdy grupa jest jednorodna wzglê-
dem miary.
P
RZYK£AD
∫
∫
π
π
=
+
2
0
2
2
0
2
)
(
cos
)
(
cos
α
α
α
β
d
d
á
oraz d(
α + β) = dα.
Stwierdzenie. Gdy miara elementu objêtoci jest niezmiennicza wzglêdem przesuniêæ
µ(dg) = µ(g
1
dg) spowodowanych przez lewostronne dzia³ania elementów grupy g
1
∈ G,
wówczas powy¿szy zwi¹zek jest spe³niony to¿samociowo:
( )
∫
∫
∫
∫
′
=
=
=
dg'
ì
g
f
g
dg
ì
g
g
f
dg
g
ì
g
g
f
dg
ì
g
g
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
1
1
gdzie g' = g
1
g.
P
RZYK£AD
Grupa obrotów R
z
(
α). Elementy g = R
z
(
α), g
1
= R
z
(
α
1
), g
1
g = R
z
(
α
1
)R
z
(
α) = R
z
(
α
1
+
α)
= R
z
'(
α), gdzie α' = α + α
1
wówczas, gdy:
µ(dg) = dα
⇒
d
α' = d(α + α
1
) = d
α,
µ(dg) = dα
2
⇒
d(
α')
2
= d(
α + α
1
)
2
≠ d
α,
µ(dg) = dlnα ⇒
dln
α' = dln(α + α
1
) ≠ dln
α.
Stwierdzenie. Ca³kowania na grupie mog¹ byæ niezmiennicze lub nie. Zale¿y to od wy-
boru miary.
Stwierdzenie. Je¿eli
µ(dg) jest miar¹ niezmiennicz¹ na grupie, to miara µ'(dg) = cµ(dg),
gdzie c jest sta³¹, jest te¿ niezmiennicza i zmienia ona jedynie ca³kê po grupie o sta³y
czynnik.
Stwierdzenie. Ca³kê niezmiennicz¹ mo¿na zmieniaæ o dowolny czynnik przez przeska-
lowanie parametrów lub miary.
54
Definicja Miara Haara, ca³ka Hurwitza
Ca³kowanie niezmiennicze na grupie to ca³kowanie wed³ug miary Haara, a wyzna-
czana ca³ka nazywa siê ca³k¹ Hurwitza lub ca³k¹ grupow¹.
Stwierdzenie. Miara lewostronnie niezmiennicza mo¿e byæ ró¿na od miary prawostron-
nie niezmienniczej.
Zwartoæ
Definicja Objêtoæ grupy
Ca³kê niezmiennicz¹ po ca³ej grupie z funkcj¹ f ≡ 1 nazywamy objêtoci¹ grupy.
Definicja Grupy zwarte
Grupy o skoñczonej objêtoci nazywamy grupami zwartymi.
P
RZYK£AD
Grupa translacji wzd³u¿ osi z:
T
z
(a) f(z) = f(z a),
∞ < a < ∞
Grupa obrotów wzglêdem osi z:
R
z
(
α) f(ϕ) = f(ϕ α),
0 <
α < 2π
Stwierdzenie. Grupy {T
z
(
α)} i {R
z
(
α)} s¹ lokalnie identyczne, ale ró¿ne globalnie,
gdy¿ grupa obrotów R
z
(
α) jest zwarta, a grupa translacji T
z
(
α) ma nieskoñczon¹ objê-
toæ.
TWIERDZENIE. Dla grup zwartych miara lewostronnie (prawostronnie) niezmienni-
cza jest zawsze prawostronnie (lewostronnie) niezmiennicza (bez dowodu)
Stwierdzenie. Miar¹ niezmiennicz¹ na grupie obrotów w³aciwych w R
3
, SO(3), jest
µ(dg) = dα dcosβ dγ, gdzie 0 = α, γ < 2π, 0 < α < π.
Stwierdzenie. Objêtoæ grupy SO(3) wynosi:
2
2
0
0
2
0
8
cos
π
=
=
∫
∫
∫
π
π
π
γ
β
α
d
d
d
V
. Grupa SO(3)
jest zwarta, gdy¿ V = 8π
2
< ∞. Miara
µ(dg) = dα dcosβ dγ jest dwustronnie niezmien-
nicza.
10. Ca³kowanie na grupie Liego
55
11. G
RUPY
OPERATOROWE
Grupy transformacji przestrzeni i grupy operatorowe. Transformacja operatora
wzglêdem operatorów grupy, operator niezmienniczy, kryterium niezmienniczo-
ci, operator Cassimira, zagadnienia w³asne dla operatora, homomorfizm ope-
ratorów grupy w zbiór macierzy
Definicja Grupa transformacji przestrzeni
Niech elementy U
i
grupy G dzia³aj¹ w przestrzeni wektorowej V ⊂ R
n
tak, ¿e gdy
x ∈ V, wówczas U
i
x = y ∈ V. Elementy U
i
grupy G = {U
i
, x ∈ V ⇒ U
i
x ∈ V} transfor-
muj¹ przestrzeñ wektorow¹ V w siebie.
Stwierdzenie. Operatory translacji T
a
zdefiniowane nastêpuj¹co: T
a
r = r a , gdzie a, r,
r a ∈ R
n
, z operacj¹ sk³adania translacji tworz¹ grupê {T
a
}, gdy¿ T
a
(T
b
r)
= T
a
(r b) = r a b = T
a+b
r , a zatem z³o¿enie translacji jest translacj¹, T
a
T
b
= T
a+b
,
elementem neutralnym jest translacja zerowa T
0
, a element odwrotny T
a
1
= T
a
.
Definicja Przestrzeñ funkcyjna
Niech funkcje f(x), g(x), h(x), ..., gdzie x ∈ V przypisuj¹ ka¿demu elementowi x ∈ V
pewn¹ liczbê rzeczywist¹ lub zespolon¹, wówczas funkcje f, g, h, ... tworz¹ przestrzeñ
funkcyjn¹ H.
P
RZYK£AD
f(r) = x
4
+ 5y
2
+ 7z
5
i f(r) ∈ R lub g(r) = 2x
3
+ i(x
2
+ y + 4z
3
) i g(r) ∈ C,
gdzie r ∈R
3
.
Definicja Grupa operatorowa
Zbiór operatorów {7
i
} zdefiniowanych nastêpuj¹co:
7
i
f(x) = f(U
i
1
x)
tworzy grupê transformacji funkcji zwan¹ grup¹ operatorow¹ /.
56
Stwierdzenie. Zbiór operatorów {7
i
} jest grup¹, gdy¿ zachowuje w³asnoci grupy trans-
formacji G, poniewa¿
7
i
7
j
f(x) = 7
i
(7
j
f(x)) = 7
i
f(U
j
1
x) = 7
i
f'(x) = f '(U
i
1
x)
= f(U
j
1
U
i
1
x) = f((U
i
U
j
)
1
x),
czyli
(7
i
7
j
)f(x) = f((U
i
U
j
)
1
x)
Istnieje zatem jednoznaczne przyporz¹dkowanie U
i
→7
i
oraz U
j
→7
j
oraz zachowa-
na jest relacja grupowa (U
i
U
j
)→(7
i
7
j
).
Stwierdzenie. Grupa operatorów / = {7
i
} jest izomorficzna z grup¹ G = {U
i
}.
P
RZYK£AD
Translacja: T
a
x = x a oraz 6
a
f(x) = f(T
a
1
x) = f(T
a
x) = f(x + a). Odwzorowanie
{T
a
}→{6
a
} jest zatem izomorficzne. Niech funkcja f(x) jest analityczna, wówczas
)
(
)
(
)
(
!
1
)
(
)
(
!
1
)
(
0
0
x
x
a
x
a
a
a
f
e
f
n
f
n
f
n
n
n
n
∇
∞
=
∞
=
=
∇
=
∇
=
+
∑
∑
x
czyli
6
a
f(x) = e
a∇
f(x)
a st¹d 6
a
= e
a∇
. W mechanice kwantowej wprowadza siê operator p
∇
−
= h
i
, wtedy
6
a
=
ap
h
i
e
.
P
RZYK£AD
Obrót wokó³ osi kartezjañskiego uk³adu wspó³rzêdnych:
,
L
)
(
z
i
e
e
R
z
α
ϕ
α
α
h
=
=
∂
∂
,
L
)
(
y
i
e
R
y
β
β
h
=
,
L
)
(
x
i
e
R
x
β
β
h
=
gdzie L
z
, L
y
, L
x
s¹ kwantowo-mechanicznymi operatorami momentu pêdu.
Stwierdzenie. Grupy {6
a
} i {R
i
(
α)} to grupy operatorów transformacji przestrzeni funk-
cyjnej H.
Stwierdzenie. Je¿eli parametry elementów grupy np. / = {6
a
} zmieniaj¹ siê w sposób
ci¹g³y, to s¹ to grupy ci¹g³e, w szczególnoci grupy Liego.
Stwierdzenie. Niech dzia³anie operatora A
x
dzia³aj¹cego w przestrzeni funkcyjnej
H = {f(x), g(x), ...} jest okrelone w punkcie x, tzn. A
x
f(x) = g(x) i dzia³anie operatora
A
x
na f(x) zale¿y od punktu x. Niech 7 ∈ / oraz 77
1
= I, gdzie I jest elementem neu-
11. Grupy operatorowe
57
tralnym grupy /, oraz 7 f(x) = f(U
1
x), gdzie U
1
x = y ∈ V. Poniewa¿ dzia³anie opera-
tora 7 na A
x
f(x) wyra¿a siê nastêpuj¹co: 7(A
x
f(x)) = 7g(x) = g(U
1
x), a jednoczenie
)
(
)
(
1
1
1
x
x
x
−
−
=
−
U
g
U
f
A
U
, wiêc wykorzystuj¹c zwi¹zek 77
1
= I oraz wykonuj¹c prze-
kszta³cenia: 7(A
x
f(x)) = 7A
x
(7
1
7)f(x) = 7A
x
7
1
f(U
1
x) = g(U
1
x) otrzymuje siê na-
stêpuj¹c¹ relacjê
x
1
−
U
A
= 7A
x
7
1
.
Definicja Transformacja operatora
Dla dowolnych funkcji f(x) ∈ H transformacja operatora A
x
wzglêdem operatorów
7 ∈ / wyra¿a siê wzorem:
x
1
−
K
A
= 7A
x
7
1
.
Stwierdzenie. Gdy operatory 7 s¹ unitarne, wówczaso 7
1
= 7
*
i
x
1
−
U
A
= 7A
x
7
*
.
Definicja Niezmienniczoæ operatora
Je¿eli dla ka¿dego 7 ∈ / zachodzi 7A
x
7
1
= A
x
, to operator A
x
jest niezmienniczy
ze wzglêdu na grupê /.
Definicja Niezmienniczoæ funkcji
Je¿eli dla ka¿dego 7 ∈ / 7f(x) = f(x), to funkcja f(x) jest niezmiennicza ze wzglê-
du na grupê /.
P
RZYK£AD
Gdy f(r) ≡ f(r), wówczas R
k
(
α)f(r) = f(r) i f(r) jest niezmiennicza ze wzglêdu na grupê
obrotów {R
k
(
α)}.
Stwierdzenie. Z ka¿d¹ jednoparametrow¹ grup¹ niezmienniczoci jest zwi¹zana zasada
zachowania okrelonej wielkoci fizycznej, np. grupa translacji {6
a
} i zasada zachowa-
nia pêdu, grupa obrotów {R
k
(
α)} i zasada zachowania momentu pêdu.
Stwierdzenie. Ka¿da grupa niezmienniczoci dla danego równania stanu uk³adu fizycz-
nego prowadzi do powstania prawa zachowania wielkoci fizycznej dla tego równania.
Stwierdzenie. Je¿eli operator jest niezmienniczy ze wzglêdu na grupê /, to dla ka¿dego
7 ∈ / 7A
x
= A
x
7 lub [7, A
x
] = 0, czyli operator A
x
komutuje ze wszystkimi operato-
rami grupy /, co stanowi tzw. kryterium niezmienniczoci.
Stwierdzenie. Gdy [7
i
, 7
j
] = 0 dla wszystkich elementów grupy /, wówczas grupa jest
abelowa i ka¿dy operator 7
i
jest niezmienniczy ze wzglêdu na grupê /.
Stwierdzenie. Poniewa¿ [7, 7] = 0, wiêc [f(7), g(7)] = 0, gdzie f, g dowolne funkcje
analityczne.
P
RZYK£AD
Operator Laplacea ∆ = ∇
2
jest niezmienniczy ze wzglêdu na grupê translacji 6
a
= e
a∇
,
gdy¿ [∆, e
a∇
] = 0.
11. Grupy operatorowe
58
Definicja Operator Cassimira
Niech operatory J
1
, ..., J
n
tworz¹ce grupê spe³niaj¹ relacjê [J
j
, J
k
] =
l
jk
C
J
l
, gdzie
l
jk
C
jest sta³¹ struktury i niech
k
mj
j
lk
lm
C
C
g =
, wówczas operator J = g
lm
J
l
J
m
zwany operato-
rem Cassimira jest operatorem niezmienniczym grupy i komutuje ze wszystkimi opera-
torami grupy, tzn. [J, J
j
] = 0.
P
RZYK£AD
Operatory momentu pêdu spe³niaj¹ relacjê [L
j
, L
k
] = i
ε
jkl
L
l
, wiêc
mkj
ljk
lm
g
ε
ε
=
lm
δ
2
−
=
,
a st¹d operator J = 2
δ
lm
L
l
L
m
= 2[
2
2
2
z
y
x
L
L
L
+
+
] = 2L
2
, gdzie L
2
kwadrat ca³ko-
witego momentu pêdu odpowiada czêci k¹towej operatora Laplacea, zatem L
2
jest ope-
ratorem Cassimira oraz [L
2
, L
j
] = 0.
Stwierdzenie. Nie wszystkie operatory s¹ niezmiennicze na grupie.
P
RZYK£AD
Niech operator X
x
dzia³a w natêpuj¹cy sposób: X
x
f(x) = xf(x). Transformacja opera-
tora X
x
wzglêdem operatorów grupy translacji {6
a
} ma postaæ:
(6
a
X
x
6
a
1
) f(x) = 6
a
X
x
f (6
a
x) = 6
a
X
x
f(x a) = 6
a
x f(x a)
= (x + a) f(x a + a) = x f (x) + a f(x) = (X
x
+ a)f(x),
a zatem 6
a
X
x
6
a
1
= X
x
+ a ≠ X
x
.
Definicja Zagadnienie w³asne operatorów
Je¿eli A
x
f(x) =
λ f(x), to f(x) jest funkcj¹ w³asn¹ operatora A
x
, a
λ odpowiadaj¹c¹
jej wartoci¹ w³asn¹.
Definicja Operator hermitowski
Je¿eli A
x
= A
x
+
, to operator A
x
jest operatorem samosprzê¿onym zwanym tak¿e her-
mitowskim.
Stwierdzenie. Je¿eli f(x) jest funkcj¹ w³asn¹ operatora A
x
oraz 7A
x
= A
x
7, to 7f(x) jest
tak¿e funkcj¹ w³asn¹ operatora A
x
o tej samej wartoci w³asnej
λ.
Dowód
A
x
f(x) =
λ f(x)
oraz
A
x
[7f(x)] = A
x
7f(x) = 7A
x
f(x) = 7
λ f(x) = λ[7f(x)],
czyli
A
x
[7f(x)] =
λ[7f(x)]
11. Grupy operatorowe
59
Stwierdzenie. Je¿eli
λ jest w³asnoci¹ niezdegenerowan¹, tzn. odpowiada tylko do jed-
nej funkcji w³asnej f(x), to funkcje 7 f(x) ró¿ni¹ siê jedynie o sta³¹ multiplatywn¹, tzn.
7 f(x) = D(7)f(x), gdzie D(7) jest sta³¹ zale¿n¹ od 7 oraz f(x) ~ D(7)f(x).
Stwierdzenie. Je¿eli D(7) = 1 dla wszystkich 7 ∈ /, to 7f(x) = f(x) i funkcja f(x) jest
niezmiennicza ze wzglêdu na grupê /.
Stwierdzenie. Je¿eli
λ jest wartoci¹ w³asn¹ µ-krotnie zdegenerowan¹ tzn. A
x
f
i
(x) =
λf
i
(x)
dla i = 1,...,
µ, gdzie {f
i
(x)} jest zbiorem liniowo niezale¿nych funkcji w³asnych opera-
tora A
x
odpowiadaj¹cych wartoci w³asnej
λ, to 7f
i
(x) jest tak¿e funkcj¹ w³asn¹ opera-
tora A
x
odpowiadaj¹c¹ tej samej wartoci w³asnej
λ, tzn. A
x
7f
i
(x) =
λ7f
i
(x) oraz
7f
i
(x) =
∑
=
µ
1
j
ji
D (7) f
j
(x) jest kombinacj¹ liniow¹ funkcji f
i
(x). Gdy 7 = I, to D
ij
(I) =
δ
ij
.
Wyrazy D
ij
(7) s¹ elementami macierzy kwadratowych D(7) stopnia
µ.
Stwierdzenie. Zbiór macierzy {D(7)}, 7 ∈ /, z operacj¹ mno¿enia macierzowego tworz¹
grupê bêd¹c¹ homomorficznym odwzorowaniem grupy / w {D(7)}.
Dowód
Wystarczy wykazaæ, ¿e odwzorowanie zachowuje dzia³anie grupowe, niech zatem
7
1
,7
2
∈ /, wówczas
(
)
[
]
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
k
k
ji
j
kj
j
j
ji
j
j
ji
i
i
f
D
D
f
D
f
D
f
x
f
∑∑
∑
∑
= =
=
=
=
=
=
=
µ µ
µ
µ
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
oraz
∑
=
=
µ
1
2
1
2
1
)
(
)
(
)
(
)
(
k
k
ki
i
f
D
f
x
x
7
7
7
7
.
Poniewa¿ funkcje f
i
(x) s¹ liniowo niezale¿ne, wiêc z porównania otrzymanych rela-
cji wynika, ¿e
)
(
)
(
)
(
2
1
2
1
1
7
7
7
7
ki
ji
j
kj
D
D
D
=
∑
=
µ
, a zatem mno¿enie powsta³ych macie-
rzy zachowuje dzia³anie grupowe. W ujêciu macierzowym otrzymana relacja ma po-
staæ: D(7
1
)D(7
2
) = D(7
1
7
2
), a st¹d D(I) = E oraz D(7
1
) = D(7)
1
.
11. Grupy operatorowe
60
12. R
EPREZENTACJE
GRUP
Reprezentacja grupy definicja i przyk³ady. Reprezentacje regularne, wierne,
równowa¿ne, przyk³ady, iloczyn prosty Kröneckera jako odwzorowanie zachowu-
j¹ce iloczyn grupowy
Definicja Reprezentacja grupy
Reprezentacja grupy G lub / to homomorficzne odwzorowanie grupy G lub / w zbiór
skoñczenie wymiarowych macierzy kwadratowych.
Definicja Stopieñ macierzy
Wymiar macierzy kwadratowych (n×n) jest okrelany jako stopieñ n macierzy kwa-
dratowych lub czasami jako ich rz¹d n.
Stwierdzenie. Grupa macierzy {D(U)}, U ∈ G, bêd¹ca homomorfizmem grupy G
w {D(U)}, jest reprezentacj¹ grupy G.
Stwierdzenie. Istnieje cis³y zwi¹zek pomiêdzy symetriami a degeneracj¹ fizycznych
zagadnieñ w³asnych. Gdy funkcje w³asne odpowiadaj¹ pewnej
µ-krotnie zdegenerowa-
nej wartoci w³asnej
λ (np. poziom energetyczny), to pod dzia³aniem operatorów grupy
symetrii transformuj¹ siê miêdzy sob¹ tworz¹c w ten sposób macierze przejcia, czyli
jedn¹ z reprezentacji grupy.
Stwierdzenie. Zawsze jest mo¿liwe odwzorowanie wszystkich elementów U grupy G
w macierz pierwszego stopnia [1], tzn. D(U) = [1] dla wszystkich U ∈ G, lub w macierz
jednostkow¹ stopnia n i wówczas
61
=
1
0
.
0
0
0
1
.
0
0
.
.
.
.
.
0
0
.
1
0
0
0
.
0
1
)
(U
D
Jednak s¹ to ma³o u¿yteczne reprezentacje, chocia¿ istniej¹ zawsze.
Stwierdzenie. Gdy znana jest reprezentacja A grupy G, tj. homomorfizm U → D(U),
gdzie U ∈ G, D(U) ∈ A, wówczas wyra¿enia det D(U) tak¿e tworz¹ reprezentacjê ma-
cierzy pierwszego stopnia, gdy¿ równoæ det [D(U
1
)D(U
2
)] = det D(U
1
) detD(U
2
) zapew-
nia zachowanie dzia³ania grupowego. Odwzorowanie D(U) → det D(U) to homomor-
fizm.
Stwierdzenie. Je¿eli istnieje homomorfizm G → G' oraz znana jest reprezentacja A gru-
py G', to odwzorowanie
A
G
G
.
hom
.
hom
' →
→
jest homomorfizmem i A jest reprezentacj¹
grupy G.
P
RZYK£AD
Niech H jest podgrup¹ inwariantn¹ grupy G oraz grupa ilorazowa grupy G' = G/H
ma reprezentacjê A. Wówczas reprezentacja A jest tak¿e reprezentacj¹ grupy G.
Reprezentacje regularne
Stwierdzenie. Je¿eli ka¿dy element grupy G = {U
1
, U
2
, ..., U
g
} zostanie pomno¿ony przez
jaki wybrany element U
v
∈ G, to ci¹g elementów {U
v
U
1
, U
v
U
2
, ..., U
v
U
g
} zawiera wszy-
stkie elementy grupy tylko inaczej uporz¹dkowane.
Definicja Reprezentacja regularna
Reprezentacja regularna to odwzorowanie elementów U
v
∈ G w zbiór macierze g×g
postaci D
kl
(U
v
) =
δ
ik
δ
jl
, gdzie U
i
= U
v
U
j
.
Stwierdzenie. W ka¿dym wierszu i w ka¿dej kolumnie macierz D
kl
(U
n
) wystêpuj¹ same
zera i jedna jedynka. Macierze D(U
v
) s¹ nieosobliwe, det D(U
v
) ≠ 0 oraz det D(U
v
) = ±1,
gdy¿ mog¹ byæ one otrzymane z macierzy jednostkowej przez odpowiednie przestawia-
nie kolumn lub wierszy.
Stwierdzenie. Zbiór macierzy {D(U
v
)} tworzy grupê, a zatem stanowi reprezentacjê
grupy G.
12. Reprezentacje grup
62
Dowód
Odwzorowaniem elementu jednostkowego I ∈ G jest
kl
il
ik
kl
I
D
δ
δ
δ
=
=
)
(
macierz
jednostkowa, gdy¿ U
i
= IU
i
. Wszystkie pozosta³e macierze D(U
v
) maja na diagonali same
zera. Poniewa¿ dla U
v
≠ I warunek U
i
= U
v
U
j
mo¿e byæ spe³niony jedynie, gdy i ≠ j,
elementy
il
ik
v
kl
U
D
δ
δ
=
)
(
mog¹ zatem przyjmowaæ niezerowe wartoci, gdy k ≠ l.
Zdefiniowane odwzorowanie zachowuje dzia³anie grupowe:
∑
k
kj
v
ik
U
D
U
D
)
(
)
(
τ
∑
=
=
=
=
k
r
ij
js
im
nr
js
im
js
kr
kn
im
U
U
D
)
(
τ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
,
gdzie
n
v
m
kn
im
v
ik
U
U
U
U
D
=
=
gdy
)
(
δ
δ
oraz
s
r
js
kr
kj
U
U
U
U
D
τ
τ
δ
δ
=
=
gdy
)
(
. Po-
niewa¿
δ
nr
implikuje warunek n = r, wiêc
s
n
U
U
U
τ
=
, a st¹d powsta³y zwi¹zek
s
v
s
v
m
U
U
U
U
U
U
U
)
(
)
(
τ
τ
=
=
pozwala nastêpuj¹co zdefiniowaæ elementy
v
ij
U
U
D
τ
)
(
js
im
δ
δ
=
, zatem D(U
ν
)D(U
τ
) = D(U
ν
U
τ
) (por. s. 59)
P
RZYK£AD
Grupa cykliczna 4-elementowa G ={a
1
= e, a
2
= a, a
3
= a
2
, a
4
= a
3
} oraz a
4
= e. Wa-
runek
j
v
i
a
a
a
⋅
=
prowadzi do nastêpuj¹cych relacji:
I. v = 1, zatem a
v
= e ⇒ a
1
= ea
1
, a
2
= ea
2
, a
3
= ea
3
, a
4
= ea
4
oraz
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
(e
D
II. v = 2, zatem a
v
= a ⇒ a
2
= aa
1
, a
3
= aa
2
, a
4
= aa
3
, a
1
= aa
4
oraz
=
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
)
(a
D
III. v = 3, zatem a
v
= a
2
⇒ a
3
= a
2
a
1
, a
4
= a
2
a
2
, a
1
= a
2
a
3
, a
2
= a
2
a
4
oraz
12. Reprezentacje grup
63
=
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
)
(
2
a
D
IV. v = 4, zatem a
v
= a
3
⇒ a
4
= a
3
a
1
, a
1
= a
3
a
2
, a
2
= a
3
a
3
, a
3
= a
3
a
4
oraz
=
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
)
(
3
a
D
Stwierdzenie. Istniej¹ reprezentacje ró¿ne od reprezentacji jednowymiarowych.
Definicja Reprezentacje wierne
Reprezentacje nazywamy wiernymi, je¿eli odwzorowanie grupy w reprezentacjê:
G → {D(U
v
)}, gdzie U
v
∈ G, jest izomorfizmem.
Stwierdzenie. Dla reprezentacji regularnych, dla których rz¹d grupy G jest równy g,
odwzorowanie grupy w zbiór macierzy (g×g) jest izomorfizmem.
Stwierdzenie. Reprezentacja regularna jest reprezentacj¹ wiern¹.
Stwierdzenie. Je¿eli D(U
v
) jest reprezentacj¹ grupy G (U
v
∈ G) oraz S jest dowoln¹ nie-
osobliw¹ macierz¹ kwadratow¹ tego samego stopnia co macierze D(U
v
), to macierze
D'(U
v
) = S
1
D(U
v
)S tak¿e tworz¹ reprezentacjê grupy G.
Dowód
Wystarczy wykazaæ, ¿e macierze D'(U
v
) zachowuj¹ dzia³anie grupowe. Poniewa¿
macierze D(U
v
) tworz¹ grupê, wiêc D(U
v
)D(U
τ
) = D(U
v
U
τ
), a to pozwala wykazaæ, ¿e
D'(U
v
)D'(U
τ
) = S
1
D(U
v
)SS
1
D(U
τ
)S = S
1
D(U
v
)D(U
τ
)S = S
1
D(U
v
U
τ
)S = D'(U
v
U
τ
).
Definicja Reprezentacje równowa¿ne
Reprezentacje {D(U)} i {D'(U)}, których elementy s¹ zwi¹zane relacj¹ D'(U
v
)
= S
1
D(U
v
)S, przy czym det S ≠ 0, nazywaj¹ siê reprezentacjami równowa¿nymi.
12. Reprezentacje grup
64
Definicja Iloczyn prosty Kröneckera
Iloczyn prosty Kröneckera dwóch macierzy A, B to operator A ⊗B dzia³aj¹cy w prze-
strzeni L macierzy C, którego dzia³anie wyra¿a siê nastêpuj¹co
L
ACB
C
B
A
T
∈
=
⊗ )
(
L,
przy czym je¿eli A jest macierz¹ (n×n), B macierz¹ (m×m), to C (n×m).
Stwierdzenie. Iloczyn prosty Kröneckera ma nastêpuj¹ce w³asnoci:
niech E jest macierz¹ jednostkow¹ (n×n) lub (m×m), wówczas operator E⊗E = E
jest operatorem jednostkowym, gdy¿ E ⊗ EC = ECE = C oraz C = EC = CE,
addytywnoæ lewo- i prawostronna, tj.
2
1
2
1
2
1
2
1
)
(
oraz
)
(
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
B
A
A
⊗
+
⊗
=
+
⊗
⊗
+
⊗
=
⊗
+
za³o¿enie dwóch operatorów iloczynu prostego jest operatorem iloczynu prostego,
gdy¿
C
B
B
A
A
B
B
C
A
A
B
CB
A
A
CB
A
B
A
C
B
A
B
A
T
T
T
T
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
1
⊗
=
=
=
⊗
=
⊗
⊗
zatem
)
(
)
(
)
)(
(
2
1
2
1
2
2
1
1
B
B
A
A
B
A
B
A
⊗
=
⊗
⊗
,
element odwrotny ma postaæ
1
1
1
)
(
−
−
−
⊗
=
⊗
B
A
B
A
, gdy¿
E
E
E
BB
AA
B
A
B
A
=
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
−
−
−
−
)
(
)
(
)
)(
(
1
1
1
1
Stwierdzenie. Iloczyn prosty A ⊗ B jest reprezentowany przez macierz czterowskani-
kow¹ postaci
jl
ik
kl
ij
B
A
B
A
≡
⊗
,
)
(
, gdy¿
∑
∑
∑
⊗
=
=
=
⊗
kl
kl
kl
kl
ij
kl
jl
ik
kl
T
lj
kl
ik
ij
C
B
A
C
B
A
B
C
A
C
B
A
,
)
(
]
)
[(
Stwierdzenie. Iloczyn prosty macierzy to zestawienie dwóch niezale¿nych macierzy, tj.
A⊗ B = A B, przy czym macierze A i B nie ³¹czy ¿adna operacja, przez co tworz¹ wyra-
¿enie czterowskanikowe.
Stwierdzenie. lad iloczynu prostego Tr(A ⊗B) to lad po indeksach podwójnych, czyli
∑
∑∑
⋅
=
=
⊗
=
⊗
ij
i
j
jj
ii
ij
ij
B
Tr
A
Tr
B
A
B
A
B
A
Tr
,
)
(
)
(
,
a zatem Tr(A⊗ B) = Tr A ·Tr B.
Stwierdzenie. Je¿eli D(U) i D'(U) s¹ dwiema reprezentacjami grupy G, to ich iloczyn
prosty D(U)⊗D'(U) jest tak¿e reprezentacj¹ tej grupy.
12. Reprezentacje grup
65
Dowód
Iloczyn prosty zachowuje dzia³anie grupowe
(
)
(
) (
) (
)
)
('
)
(
)
('
)
('
)
(
)
(
)
('
)
(
)
('
)
(
j
i
j
i
j
i
j
i
j
j
i
i
U
U
D
U
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
⊗
=
⊗
=
⊗
⊗
Stwierdzenie. Je¿eli przynajmniej jedna z reprezentacji D(U) i D'(U) jest wierna, to nowa
reprezentacja okrelona przez iloczyn prosty D(U)⊗D(U) jest te¿ wierna.
12. Reprezentacje grup
66
13. W
YZNACZANIE
REPREZENTACJI
GRUP
Metody wyznaczania reprezentacji grup, przyk³ady dla grup obrotów, reprezen-
tacje nieprzywiedlne, reprezentacja jako suma prosta reprezentacji nieprzywie-
dlnych, charaktery i ich w³asnoci
Stwierdzenie. W celu znalezienia reprezentacji grupy zazwyczaj wykorzystywane s¹
nastêpuj¹ce sposoby:
Sposób 1
Nale¿y znaleæ zbiór liniowo niezale¿nych funkcji {f
i
(x)}, które pod dzia³aniem wszy-
stkich elementów grupy U ∈ G transformuj¹ siê miêdzy sob¹, tzn.
)
(
)
(
)
(
x
x
j
j
ji
i
f
U
D
Uf
∑
=
Zbiór macierzy {D(U)} tworzy wówczas reprezentacje grupy G. Sposób ten jest bardzo
u¿yteczny w odniesieniu do grup nieskoñczonych, np. grupy Liego.
Sposób 2
Dotyczy grup skoñczonych. Dla dowolnej funkcji f(x) zbiór funkcji {f
i
(x)} otrzyma-
nych nastêpuj¹co: f
i
(x) = U
i
f(x) jest zamkniêty na transformacje grupowe, gdy¿
)
(
)
(
)
(
)
(
x
f
x
f
U
x
f
U
U
x
f
U
k
k
i
j
i
j
=
=
=
gdzie U
j
U
i
= U
k
. Nie wszystkie, tak otrzymane, funkcje f
i
(x) musz¹ byæ liniowo nieza-
le¿ne.
Stwierdzenie. Je¿eli wszystkie funkcje f
i
(x) s¹ liniowo niezale¿ne oraz U
i
= U
v
U
j
, wów-
czas U
v
f
j
(x) = f
i
(x) oraz
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
i
k
k
k
ki
k
kj
j
v
f
f
f
U
D
f
U
=
=
=
∑
∑
δ
ν
. Zatem
ki
jj
ki
v
kj
U
D
δ
δ
δ
=
=
)
(
, gdy¿ U
i
= U
ν
U
j
, a powsta³a reprezentacja jest reprezentacj¹ re-
gularn¹.
67
Stwierdzenie. Je¿eli w zbiorze {f
i
(x)} nie wszystkie funkcje f
i
(x) s¹ liniowo niezale¿ne,
to elementami otrzymanej reprezentacji s¹ macierze ni¿szego stopnia ni¿ w reprezenta-
cji regularnej, w której stopieñ macierzy g tworz¹cych reprezentacjê jest równy rzêdo-
wi grupy.
P
RZYK£AD
Reprezentacja grupy obrotów. Reprezentacjê grupy obrotów R
z
(
α) ustala siê wed³ug
pierwszego sposobu.
I. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci: f
1
(
ϕ) = cos ϕ, f
2
(
ϕ)
= sin
ϕ, (dwie funkcje). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:
R
z
(
α)f
1
(
ϕ) = f
1
(
ϕ α) = cos(ϕ α) = cosϕ cosα + sinϕ sinα = cosαf
1
(
ϕ) + sin αf
2
(
ϕ),
R
z
(
α)f
2
(
ϕ) = f
2
(
ϕ α) = sin(ϕ α) = sinϕ cosα cosϕ sinα = sinα f
1
(
ϕ) + cosα f
2
(
ϕ),
które w notacji macierzowej mo¿na zapisaæ:
[
]
(
)
=
2
1
2
1
)
(
,
)
(
f
f
R
D
f
f
R
z
T
z
α
α
z czego wynika, ¿e macierze reprezentacji operatora R
z
(
α) maj¹ postaæ:
(
)
−
=
α
α
α
α
α
cos
sin
sin
cos
)
(
)
1
(
z
R
D
oraz ¿e otrzymana reprezentacja
))}
(
(
{
)
1
(
α
z
R
D
to grupa SO(2). Górny indeks macie-
rzy, tu (1), numeruje ró¿ne reprezentacje.
Stwierdzenie. Poniewa¿ na mocy relacji grupowych zachodzi zwi¹zek:
)
(
)
(
)
(
β
α
β
α
+
=
z
z
z
R
R
R
, wiêc
(
) (
)
(
)
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
β
α
β
α
+
=
z
z
z
R
D
R
D
R
D
z czego wynikaj¹ poni¿sze zwi¹zki dla funkcji trygonometrycznych:
(
)
(
)
(
)
(
)
.
cos
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
sin
cos
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
sin
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
+
+
+
−
+
≡
+
−
+
−
−
−
=
−
−
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
α
β
β
β
β
α
α
α
α
13. Wyznaczanie reprezentacji grup
68
II. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci:
ϕ
ϕ
i
e
f
=
)
(
1
, (tylko jedna
funkcja). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
1
1
ϕ
α
ϕ
ϕ
α
α
ϕ
α
α
ϕ
f
e
e
e
e
f
f
R
i
i
i
i
z
−
−
−
=
=
=
−
=
a zatem macierze reprezentacji
(
)
]
[
)
(
)
2
(
α
α
i
z
e
R
D
−
=
tworz¹ grupê U(1).
III. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci:
ϕ
ϕ
i
e
f
−
=
)
(
2
, (tylko
jedna funkcja). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi wówczas do relacji:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
)
(
2
2
ϕ
α
ϕ
ϕ
α
α
ϕ
α
α
ϕ
f
e
e
e
e
f
f
R
i
i
i
i
z
=
=
=
−
=
−
−
−
a zatem macierze reprezentacji
]
[
))
(
(
)
3
(
α
α
i
z
e
R
D
=
tworz¹ grupê U(1).
IV. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci:
ϕ
ϕ
i
e
f
=
)
(
1
,
ϕ
ϕ
i
e
f
−
=
)
(
2
, (dwie funkcje). Macierze reprezentacji maj¹ wówczas postaæ:
(
)
=
−
α
α
α
i
i
z
e
e
R
D
0
0
)
(
)
4
(
i tworz¹ grupê SU(2), gdy¿
1
))
(
(
det
)
4
(
=
α
z
R
D
.
V. Zbiór liniowo niezale¿nych funkcji wybiera siê w postaci:
ϕ
ϕ
im
m
e
f
=
)
(
, (tylko
jedna funkcja). Dzia³anie operatora obrotu prowadzi do relacji:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ϕ
α
ϕ
ϕ
α
α
α
ϕ
m
im
im
m
m
z
f
e
e
f
f
R
−
−
=
=
−
=
a zatem macierze reprezentacji
]
[
))
(
(
)
(
α
α
im
z
m
e
R
D
−
=
tworz¹ grupê U(1).
Stwierdzenie. Poniewa¿ grupa R
z
(
α) jest zwarta o objêtoci 2π i obroty o k¹ty zerowy
i 2π s¹ równowa¿ne R
z
(0) = R
z
(2π), wiêc D
(m)
(R
z
(0)) = D
(m)
(R
z
(2π)), czyli e
i2πm
= 1,
z czego wynika, ¿e m musi byæ liczb¹ ca³kowit¹.
Stwierdzenie. Reprezentacje D
(1)
(R
z
(
α)) i D
(4)
(R
z
(
α)) s¹ sobie równowa¿ne, gdy¿ istnie-
je transformacja podobieñstwa
=
1
1
2
1
i
i
S
, która przekszta³ca jedn¹ reprezentacjê
w drug¹.
Macierz odwrotna
−
−
=
−
1
1
2
1
1
i
i
S
, gdy¿
1
2
1
2
2
2
1
det
=
= i
i
S
, zatem
13. Wyznaczanie reprezentacji grup
69
))
(
(
0
0
2
1
1
1
2
1
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
1
1
2
1
1
1
cos
sin
sin
cos
1
1
2
1
))
(
(
)
4
(
)
1
(
1
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
z
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
z
R
D
e
e
e
e
ie
ie
ie
ie
e
e
e
ie
ie
e
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
S
R
D
S
=
=
+
+
−
−
+
=
−
−
=
+
+
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
Stwierdzenie. Je¿eli reprezentacjê D(U) mo¿na sprowadziæ, jednoczenie dla wszystkich
G
U
∈
, za pomoc¹ jakiej transformacji podobieñstwa S, tj.
S
U
D
S
U
D
)
(
)
(
~
1
−
=
, do
postaci klatkowej:
=
O
O
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
~ U
D
w której reprezentacja
)
(
~ U
D
jest sum¹ prost¹ reprezentacji o mniejszych wymiarach
(tj. reprezentacji podstawowych), to w zbiorze funkcji {f
i
(x)} istniej¹ podzbiory funk-
cji, których elementy pod dzia³aniem rozpatrywanej grupy G przekszta³caj¹ siê wzaje-
mnie na siebie.
Definicja Reprezentacje nieprzywiedlne
Reprezentacje, których nie mo¿na za pomoc¹ transformacji podobieñstwa sprowa-
dziæ do prostszych postaci klatkowych (o mniejszych klatkach) nazywaj¹ siê reprezen-
13. Wyznaczanie reprezentacji grup
70
tacjami nieprzywiedlnymi lub nieredukowalnymi. Pozosta³e reprezentacje to reprezen-
tacje przywiedlne lub redukowalne.
Stwierdzenie. Reprezentacje powi¹zane ze sob¹ transformacj¹ podobieñstwa
U
D )
(
~
=
S
U
D
S
)
(
1
−
, gdzie det S ≠ 0, s¹ reprezentacjami równowa¿nymi. (por. s. 63).
Stwierdzenie. Reprezentacja przywiedlna jest sum¹ prost¹ reprezentacji nieprzywiedl-
nych
)
(
)
(
...
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
U
D
a
U
D
a
U
D
a
U
D
a
U
D
n
n
n
υ
υ
υ
⊕
=
=
⊕
⊕
⊕
=
,
gdzie
)
(
)
(
U
D
υ
to reprezentacje nieprzywiedlne, a
( )
υ
a
jest liczb¹ równowa¿nych re-
prezentacji nieprzywiedlnych danej reprezentacji, a zatem
[ ]
...
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
(
)
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
⊕
⊕
⊕
⊕
=
=
n
a
a
a
a
U
D
O
O
Stwierdzenie. Wszystkie równowa¿ne reprezentacje nieprzywiedlne mo¿na jednoczenie
sprowadziæ do tej samej postaci za pomoc¹ transformacji podobieñstwa
)
(
~
)
(
)
(
)
(
1
U
D
S
U
D
S
υ
υ
=
−
.
Dowód
Je¿eli w reprezentacji przywiedlnej D(U) istniej¹ dwie równowa¿ne reprezentacje
)}
(
{
)
(
U
D
υ
i
)}
(
~
{
)
(
U
D
υ
13. Wyznaczanie reprezentacji grup
71
( )
( )
( )
( )
( )
=
U
D
U
D
U
D
υ
υ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
~
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
O
to wykorzystuj¹c macierz postaci
=
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
~
O
S
S
i transformacjê podobieñstwa, gdzie S jest macierz¹ spe³niaj¹c¹ relacjê
)
(
)
(
1
S
U
D
S
υ
−
)
(
~
)
(
U
D
υ
=
, mo¿na równowa¿ne nieprzywiedlne reprezentacje sprowadziæ do jednolitej
postaci.
Definicja Charaktery
lad macierzy reprezentacji TrD(U) jest oznaczany
χ(U) i nazywany charakterem
elementu U ∈ G w danej reprezentacji.
13. Wyznaczanie reprezentacji grup
72
Stwierdzenie. Charakter elementu U jest taki sam we wszystkich równowa¿nych repre-
zentacjach.
Dowód
Poniewa¿
( )
( )
S
U
D
S
U
D
1
~
−
=
oraz
( )
( )
U
TrD
U =
χ
, wiêc
)
(
)
(
)]
(
[
]
)
(
[
)
(
~
)
(
~
1
1
U
U
TrD
U
D
SS
Tr
S
U
D
S
Tr
U
D
Tr
U
χ
χ
=
=
=
=
=
−
−
gdy¿ wyra¿enia wystêpuj¹ce pod znakiem ladu wolno przestawiaæ cyklicznie.
Definicja Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych
lad elementu U w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej oznacza siê:
)
(
)
(
U
v
χ
i
( )
)
(
)
(
)
(
U
TrD
U
v
v
=
χ
Stwierdzenie. Wszystkie elementy grupy nale¿¹ce do jednej klasy maj¹ ten sam cha-
rakter.
Dowód
Niech elementy grupy U
v
, U
µ
∈ C
i
, wtedy istnieje U
ρ
∈ G takie, ¿e U
ρ
U
ν
U
ρ
1
= U
µ
.
Poniewa¿ macierze reprezentacji spe³niaj¹ relacje grupowe, wiêc
1
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
−
−
−
=
=
=
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
µ
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
U
U
D
U
D
v
v
v
a zatem
)
(
)
(
)]
(
)
(
)
(
[
]
)
(
)
(
)
(
[
)
(
)
(
1
1
1
v
v
v
v
v
U
U
TrD
U
D
U
D
U
D
Tr
U
D
U
D
U
D
Tr
U
U
U
TrD
U
χ
χ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
µ
=
=
=
=
=
−
−
−
Stwierdzenie. Charaktery to funkcje ca³ych klas, a nie poszczególnych elementów grupy.
Definicja Charakter
)
(v
i
χ
Symbol
)
(v
i
χ
oznacza charakter i-tej klasy w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej.
Stwierdzenie. Je¿eli grupa ma k klas, to wyznaczenie charakterów
)
(v
i
χ
dla i = 1, ....., k
w v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej dostarcza istotnych informacji o reprezentacji.
13. Wyznaczanie reprezentacji grup
73
14. R
EPREZENTACJE
UNITARNE
Równowa¿noæ reprezentacji, lematy Schura, reprezentacje grup abelowych, w³a-
snoci reprezentacji wynikaj¹ce z lematów Schura
Definicja Macierze unitarne
Macierze A ∈ {M
n
(C)} takie, ¿e dla dowolnych x, y ∈ V jest spe³niona równoæ
(x, y) = (Ax, Ay), gdzie ( , ) oznacza iloczyn skalarny, nazywaj¹ siê macierzami unitar-
nymi.
Stwierdzenie. Macierze unitarne A spe³niaj¹ relacje: AA
+
=A
+
A = E ⇒ A
+
= A
1
oraz two-
rz¹ grupê unitarn¹ U(n).
Definicja Reprezentacje unitarne
Reprezentacje unitarne to reprezantacje utworzone z macierzy unitarnych.
TWIERDZENIE. Ka¿da reprezentacja grupy skoñczonej jest równowa¿na reprezenta-
cji unitarnej. Oznacza to, ¿e dla ka¿dej reprezentacji {D(U)} istnieje nieosobliwa ma-
cierz S taka, ¿e dla ka¿dego U ∈ G i dla ka¿dej pary x, y ∈ V spe³niona jest równoæ:
)
,
(
)
)
(
~
,
)
(
~
(
y
x
y
x
=
U
D
U
D
gdzie:
S
U
D
S
U
D
)
(
)
(
~
1
−
=
Dowód
Dowód przeprowadzany jest w kilku etapach. W pierwszym etapie pokazuje siê, ¿e
ka¿da reprezentacja jest unitarna wzglêdem pewnego szczególnego iloczynu skalarne-
go, nazwanym iloczynem wewnêtrznym.
Definicja iloczynu wewnêtrznego:
Iloczyn postaci
(
)
∑
∈
=
G
U
U
D
U
D
y
x
y
x
)
(
,
)
(
}
,
{
spe³nia aksjomaty iloczynu skalarne-
go, gdy¿
74
C
∈
}
,
{ y
x
, {x, y} = {y, x}*
oraz
{x,
αy + βz) = α{x, y} + β{x, z} i {αx + βy, z) = α*{x, z} + β*{y, z}
gdzie (x, y) =
i
n
i
i
y
x
∑
=1
*
.
Dowolna macierz spe³nia relacjê {D(U)x, D(U)y} = {x, y}, gdy¿
(
)
(
)
∑
∑
∈
∈
′
′
=
′
′
=
′
′
G
U
G
U
U
U
D
U
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
y
x
y
x
y
x
)
(
,
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
}
)
(
,
)
(
{
(
)
}
,
{
)
(
,
)
(
y
x
y
x
=
′′
′′
=
∑
∈
′′ G
U
U
D
U
D
gdzie zosta³o uwzglêdnione, ¿e U" = UU' ∈ G.
Stwierdzenie. Dowolna reprezentacja {D(U)} wype³nia warunek unitarnoci wzglêdem
pewnego szczególnego iloczynu wewnêtrznego. Nale¿y zatem znaleæ transformacjê
podobieñstwa S, która pozwoli uczyniæ {D(U)} reprezentacj¹ unitarn¹ wzglêdem ilo-
czynu skalarnego.
W drugim etapie okrela siê transformacjê podobieñstwa S.
Niech wektory {
ξξξξξ
i
} stanowi¹ zupe³n¹, ortogonaln¹ i unormowan¹ bazê w V wzglê-
dem iloczynu skalarnego, zatem (
ξξξξξ
i
,
ξξξξξ
j
) =
δ
ij
, a wektory {
ηηηηη
i
} stanowi¹ zupe³n¹, ortogo-
naln¹ i unormowan¹ bazê w V wzglêdem zdefiniowanego iloczynu wewnêtrznego, za-
tem {
ηηηηη
i
,
ηηηηη
j
} =
δ
ij
. Operator S okrelony w V, który transformuje wektory
ξξξξξ
i
w wektory
ηηηηη
i
, tj.
ξξξξξ
i
= S
ηηηηη
i
, spe³nia w³asnoci:
}
,
{
)
,
(
y
x
y
x
S
S
=
lub
}
,
{
)
,
(
1
1
y
x
y
x
=
−
−
S
S
gdzie
j
n
j
j
j
n
j
j
b
a
ξ
ξ
∑
∑
=
=
=
=
1
1
, y
x
, wiêc
j
n
j
j
b
a
∑
=
=
1
*
)
,
( y
x
,
gdy¿
{
}
{
}
{ }
,
,
,
}
,
{
1
*
1
,
*
1
,
*
1
,
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
j
n
j
j
j
i
j
n
j
i
i
j
i
j
n
j
i
i
n
j
i
j
j
i
i
b
a
b
a
S
S
b
a
Sb
Sa
S
S
η
η
ξ
ξ
ξ
ξ
y
x
(x, y)
W trzecim etapie wykazuje siê, ¿e
S
U
D
S
U
D
)
(
)
(
~
1
−
=
jest reprezentacj¹ unitarn¹,
czyli ¿e dla dowolnego U ∈ G jest spe³niona równoæ:
)
,
(
)
)
(
~
,
)
(
~
(
y
x
y
x
=
U
D
U
D
.
14. Reprezentacje unitarne
75
Z powy¿ej otrzymanych relacji wynika, ¿e
=
)
)
(
~
,
)
(
~
(
y
x
U
D
U
D
}
)
(
,
)
(
{
)
)
(
,
)
(
(
1
1
y
x
y
x
S
U
D
S
U
D
S
U
D
S
S
U
D
S
=
−
−
a poniewa¿ {D(U)} jest reprezentacj¹ unitarn¹ wzglêdem iloczynu wewnêtrznego { , },
wiêc
)
,
(
}
,
{
}
)
(
,
)
(
{
y
x
y
x
y
x
=
=
S
S
S
U
D
S
U
D
,
zatem
)
,
(
)
)
(
~
,
)
(
~
(
y
x
y
x
=
U
D
U
D
i
)}
(
~
{ U
D
jest reprezentacj¹ unitarn¹.
Stwierdzenie. Dowoln¹ reprezentacjê grupy skoñczonej zawsze mo¿na przetransformo-
waæ w reprezentacjê unitarn¹, ale na ogó³ jest to tak¿e mo¿liwe dla wielu nieskoñczo-
nych i ci¹g³ych grup np. grup Liego.
LEMAT. Je¿eli macierz M komutuje z macierz¹ unitarn¹ A, MA = AM, to macierze M
+
i M
zdefiniowane nastêpuj¹co:
M
+
=
2
1 (M + M
+
) oraz M
=
i
2
1 (M M
+
) tak¿e komutuj¹ z A, przy czym M
+
i M
s¹
macierzami samosprzê¿onymi.
Dowód
+
+
+
+
=
⇒
=
M
A
A
M
MA
AM
oraz
E
A
A
AA
=
=
+
+
zatem
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
⇒
=
=
AM
A
A
AM
A
M
M
M
AA
A
AM
czyli
+
+
= AM
A
M
Poniewa¿
A
M
MA
AM
AM
+
+
+
=
+
, wiêc
A
M
AM
+
+
=
oraz
A
M
MA
AM
AM
+
+
−
=
−
, wiêc
A
M
AM
−
−
=
Macierze M
+
i M
s¹ samosprzê¿one, gdy¿
+
+
+
+
+
+
=
+
=
+
=
+
=
+
M
M
M
M
M
M
M
M
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
14. Reprezentacje unitarne
76
oraz
−
+
+
+
+
−
=
−
=
−
−
=
−
=
+
M
M
M
i
M
M
i
M
M
i
M
)
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
LEMAT SCHURA I. Je¿eli D(U) jest elementem nieprzywiedlnej reprezentacji grupy
G (U ∈ G) i je¿eli D(U)M = MD(U) dla wszystkich U ∈ G, to M musi byæ postaci:
M = cE, gdzie E jest macierz¹ jednostkow¹, a c pewn¹ sta³¹.
Dowód
Zak³ada siê, ¿e reprezentacja {D(U)} jest unitarna, wiêc D(U) s¹ macierzami unitar-
nymi. Poniewa¿
)
(
)
(
)
(
)
(
U
D
M
M
U
D
U
MD
M
U
D
±
±
=
⇒
=
oraz
−
+
+
=
iM
M
M
,
gdzie macierze M
+
i M
s¹ macierzami hermitowskimi. Dlatego rozwa¿ania mo¿na
przeprowadziæ w odniesieniu do macierzy M
+
i M
. Niech
λ
n
, n = 1, 2,..., k, s¹ ró¿ny-
mi wartociami w³asnymi oraz x
n
(i)
, i = 1, 2,..., m
n
ró¿nymi, odpowiadaj¹cymi warto-
ci w³asnej
λ
n
wektorami w³asnymi operatora (macierzy) M
+
, które spe³niaj¹ relacjê
M
+
x
n
(i)
=
λ
n
x
n
(i)
. Wektory x
n
(i)
rozpinaj¹ N wymiarow¹ przestrzeñ, wiêc
N
m
k
n
n
=
∑
=1
.
Stwierdzenie. Wszystkie wartoci w³asne
λ
n
macierzy hermitowskiej s¹ rzeczywiste a
wektory w³asne x
n
(i)
s¹ ortonormalne tj. (x
n
(i)
, x
k
(j)
) =
δ
nk
δ
ij
, gdy¿ dla ró¿nych wartoci
λ
n
, x
n
(i)
musz¹ byæ ortogonalne, a dla tej samej wartoci
λ
n
mog¹ zostaæ wybrane jako
ortogonalne i w obu przypadkach mo¿na je unormowaæ.
Wektor D(U)x
n
(i)
jest wektorem w³asnym macierzy M
+
, gdy¿
]
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
i
n
n
i
n
n
i
n
i
n
U
D
U
D
M
U
D
U
D
M
x
x
x
x
λ
λ
=
=
=
+
+
zatem
∑
=
=
n
m
j
j
n
n
ij
i
n
U
d
U
D
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
gdzie i = 1, 2,..., m
n
dla wszystkich U ∈ G.
Elementy
)
(
)
(
U
d
n
ij
macierzy D(U) w reprezentacji wektorów w³asnych x
n
(i)
okrela
relacja
∑
∑
=
=
=
=
=
n
n
m
l
kn
n
ij
jl
kn
n
il
m
l
l
n
j
k
n
il
i
n
j
k
U
d
U
d
U
d
U
D
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
)(
(
)
)
(
,
(
δ
δ
δ
x
x
x
x
a zatem elementy macierzy D(U), dla których k ≠ n s¹ zawsze równe zero i macierz
D(U) w bazie x
n
(i)
ma dla wszystkich U ∈ G postaæ:
14. Reprezentacje unitarne
77
−
×
−
=
×
)
(
)
(
0
0
)
(
)
(
1
1
)
1
(
)
(
1
1
m
N
m
N
U
d
U
D
m
m
ij
w której elementy ró¿ne od zera s¹ zawarte w blokach roz³o¿onych wzd³u¿ diagonali.
Dla n = 1 elementy
)
(
)
1
(
U
d
ij
tworz¹ macierz (m
1
×m
1
) itd. Poniewa¿ z za³o¿enia repre-
zentacja jest nieprzywiedlna, wiêc sprzecznoæ, gdy¿ {D(U)} ma strukturê blokow¹ w³a-
ciw¹ dla reprezentacji przywiedlnych. Jedyn¹ mo¿liwoci¹ unikniêcia sprzecznoci jest
przyjêcie, ¿e m
1
= N, ale wówczas
λ
1
staje siê N-krotnie zdegenerowane.
Stwierdzenie. Macierz hermitowska w bazie ortonormalnych wektorów w³asnych ma
postaæ
=
+
n
n
M
λ
λ
λ
λ
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
1
1
gdzie niezerowe wartoci równe odpowiednio
λ
n
, n = 1, 2,..., k wystêpuj¹ wy³¹cznie na
diagonali.
Gdy zatem
λ
n
=
λ
1
dla n = 1, 2,..., k, macierz M
+
przyjmuje postaæ
E
M
1
1
1
1
1
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
λ
λ
λ
λ
λ
=
=
+
i analogicznie macierz M
=
κ
1
E, a st¹d M = (
λ
1
+
κ
1
)E = cE.
14. Reprezentacje unitarne
78
Stwierdzenie. Je¿eli macierz M, która nie jest macierz¹ jednostkow¹, komutuje ze wszy-
stkimi elementami reprezentacji {D(U)}, tj. MD(U) = D(U)M dla wszystkich U ∈ G, to
reprezentacja ta jest przewidywalna.
Stwierdzenie: Grupa abelowa ma tylko jednowymiarowe reprezentacje nieprzewidywalne.
Dowód
Poniewa¿ wszystkie elementy grupy abelowej komutuj¹ ze sob¹, wiêc [D(U), D(U')]
= 0 dla wszystkich U' ∈ G. Macierz D(U) komutuje zatem ze wszystkimi elementami
nieprzywiedlnej reprezentacji {D(U')}, czyli D(U) = cE. Ale ¿eby reprezentacja ma-
cierzy jednostkowych by³a nieprzywiedlna musi byæ jednowymiarowa.
LEMAT SCHURA II. Niech {D(U)} i {D(U)} bêd¹ dwiema nieprzewidywalnymi re-
prezentacjami grupy G. Je¿eli dla wszystkich U ∈ G jest spe³niona relacja D(U)M
= MD'(U), to D(U) i D'(U) s¹ reprezentacjami równowa¿nymi albo M = 0.
Dowód
Macierz D(U) i D'(U) s¹ unitarne i mog¹ mieæ ró¿ne wymiary i niech D(U) macierz
n×n, D'(U) macierz m×m, wówczas M jest macierz¹ n×m. Poniewa¿ dla wszystkich U ∈ G
D(U)M = MD'(U), wiêc M
+
D
+
(U) = D'
+
(U)M
+
. Ale D
+
(U) = D(U)
1
= D(U
1
) dla dowol-
nego U ∈ G, a zatem tak¿e dla U' = U
1
∈ G. Dlatego
+
+
+
−
−
+
+
+
+
+
′
=
⇒
′
=
⇒
′
=
M
U
D
U
D
M
M
U
D
U
D
M
M
U
D
U
D
M
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
a st¹d
+
+
′
=
M
U
D
M
U
D
MM
)
(
)
(
. Podobnie z warunku D(U)M = MD'(U) wynika, ¿e
D(U)MM
+
= MD'(U)M
+
, a zatem
+
+
=
MM
U
D
U
D
MM
)
(
)
(
dla wszystkich U ∈ G.
Otrzymana relacja na podstawie pierwszego lematu Schura prowadzi do wniosków, ¿e
MM
+
= cE, gdzie MM
+
jest macierz¹ kwadratow¹ n×n oraz M
+
M = c'E, gdzie M
+
M jest
macierz¹ kwadratow¹ m×m.
W dowodzie lematu rozpatruje siê trzy przypadki.
I. Niech n = m, wówczas M jest macierz¹ kwadratow¹. Je¿eli c = 0, to MM
+
= 0, co
oznacza, ¿e wszystkie wyrazy macierzy MM
+
s¹ równe 0, a wiêc tak¿e (MM
+
)
ii
= 0. St¹d
wynika, ¿e
∑
∑
∑
=
=
=
+
+
=
=
=
=
n
j
ij
n
j
ij
ij
n
j
ji
ij
ii
M
M
M
M
M
MM
1
2
1
*
1
0
)
(
czyli ka¿dy wyraz M
ij
= 0, a zatem macierz M = 0. Je¿eli c ≠ 0, to
)
det(
+
MM
0
c
det
det
det
2
≠
=
=
⋅
=
+
n
M
M
M
, a wiêc det M ≠ 0 i istnieje macierz odwrotna M
1
,
a st¹d D(U) = MD'(U)M
1
dla wszystkich U ∈ G, czyli reprezentacje {D(U)} i {D(U)}
s¹ równowa¿ne.
14. Reprezentacje unitarne
79
II. Je¿eli n > m, to macierz M (n×m) nale¿y uzupe³niæ do macierzy kwadratowej n×n
dopisuj¹c n m kolumn zer. Wówczas macierz N i N
+
(n×n) maj¹ postaæ:
=
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
0
0
...
0
M
N
,
=
+
+
0
0
0
0
0
0
.
.
.
.
.
.
0
0
0
0
0
0
M
N
£atwo mo¿na zauwa¿yæ, ¿e NN
+
= MM
+
, a skoro MM
+
= cE, wiêc NN
+
= cE. Podob-
nie jak poprzednio
n
N
N
N
NN
c
det
det
det
)
det(
2
=
=
⋅
=
+
+
, ale teraz det N = 0, gdy¿
macierz N ma co najmniej jedn¹ kolumnê zer, zatem c = 0, a st¹d wynika, ¿e N = 0,
a wiêc i M = 0.
III. Je¿eli m > n, to macierz M (n×m) nale¿y uzupe³niæ do macierzy kwadratowej
m×m dopisuj¹c m n wierszy zer i dalej postêpowaæ jak w przypadku II.
Stwierdzenie. Lematy Schura obowi¹zuj¹ dla dowolnych skoñczenie wymiarowych re-
prezentacji unitarnych. S¹ one zatem tak¿e s³uszne dla grup nieskoñczonych (np. Lie-
go) posiadaj¹cych skoñczenie wymiarowe reprezentacje.
Stwierdzenie. Macierz postaci
∑
∈
=
i
C
U
i
U
D
M
)
(
)
(
)
(
ν
ν
, gdzie C
i
oznacza i-t¹ klasê, a v nu-
meruje reprezentacje nieprzywiedlne {D
(v)
(U)}, jest wielokrotnoci¹ macierzy jednost-
kowej.
Dowód
Nale¿y zauwa¿yæ, ¿e
[
]
)
'
'
(
)
'
(
)
(
)'
(
)'
(
)'
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
−
∈
−
∈
−
∑
∑
=
=
U
U
U
D
U
D
U
D
U
D
U
D
M
U
D
i
i
C
U
C
U
i
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ν
ale U ∈ C
i
, wiêc U" = U'UU'
1
∈ C
i
i sumowanie po U ∈ C
i
mo¿na zast¹piæ sumowa-
niem po U" ∈ C
i
. Zatem
[
]
)
(
"
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
"
(
)'
(
)'
(
ν
ν
ν
ν
ν
i
C
U
i
M
U
D
U
D
M
U
D
i
=
=
∑
∈
−
14. Reprezentacje unitarne
80
dla wszystkich U' ∈ G, a st¹d na mocy pierwszego lematu Schura
E
M
i
i
)
(
)
(
c
ν
ν
=
. Gdy
wymiar reprezentacji o indeksie v wynosi n
v
, wówczas
ν
ν
ν
n
M
Tr
i
i
)
(
)
(
c
=
. Ale
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
ν
ν
ν
ν
χ
χ
i
i
C
U
C
U
i
g
U
U
D
Tr
M
Tr
i
i
=
=
=
∑
∑
∈
∈
gdy¿ lady wszystkich macierzy reprezentuj¹cych elementy jednej klasy s¹ sobie rów-
ne, st¹d
)
(
)
(
c
ν
ν
ν
χ
i
i
i
n
g
=
oraz
∑
∈
i
C
U
U
D
)
(
)
(ν
E
n
g
i
i
)
(ν
ν
χ
=
Stwierdzenie. Macierz postaci
[
]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
−
∈
∑
=
U
D
X
U
D
M
G
U
µ
ν
, gdzie D
(v)
(U) i D
(
µ)
(U)
s¹ macierzami nieprzywiedlnych reprezentacji o wymiarach odpowiednio n
v
i n
µ
, a X
jest dowoln¹ macierz¹ n
v
×n
µ
, jest proporcjonalna do macierzy jednostkowej.
Dowód
Nale¿y zauwa¿yæ, ¿e dla wszystkich U' ∈ G spe³niona jest relacja
[
]
(
)
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)'
(
)'
(
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
M
U
XD
U
D
U
U
XD
U
U
D
U
D
U
D
X
U
D
U
D
U
D
M
U
D
G
U
G
U
G
U
=
′′
′′
=
′
′
=
′
′
=
−
∈
′′
−
∈
−
−
∈
−
∑
∑
∑
µ
ν
µ
ν
µ
µ
ν
ν
µ
ν
gdzie U" =U'U ∈ G, z której wynika, ¿e
)
(
)
(
)
(
)
(
U
MD
M
U
D
µ
ν
=
. Na mocy zatem obu
lematów Schura
νµ
δ
E
X
M
)
(
c
=
i M = 0, gdy v ≠
µ, oraz M = c(X)E, gdy v = µ, czyli
[
]
νµ
µ
ν
δ
E
X
U
D
X
U
D
G
U
)
(
c
)
(
)
(
1
)
(
)
(
=
−
∈
∑
.
14. Reprezentacje unitarne
81
15. R
ELACJE
ORTOGONALNOCI
Relacje ortogonalnoci dla elementów macierzowych i charakterów dowolnych
reprezentacji oraz reprezentacji regularnych i otrzymywane warunki
Stwierdzenie. Elementy macierzy
)
(
),
(
)
(
)
(
U
D
U
D
lk
ij
µ
ν
dwóch nieprzywiedlnych reprezen-
tacji unitarnych {D
(v)
(U)} i {D
(
µ)
(U)} spe³niaj¹ zwi¹zek ortogonalnoci ze wzglêdu na
posiadane trzy wskaniki v, i, j oraz
µ, l, k.
Dowód
Macierze unitarne D
(v)
(U) i D
(
µ)
(U) oraz dowolna macierz X spe³niaj¹ zwi¹zek:
νµ
µ
ν
δ
E
X
U
XD
U
D
G
U
)
(
c
)
(
)
(
)
(
)
(
=
+
∈
∑
gdy¿ D
(v)
(U)
1
= D
(v)
(U)
+
, który rozpisany po elementach macierzowych wyra¿a siê na-
stêpuj¹co:
νµ
µ
ν
δ
δ
il
l
l
l
i
G
U
ii
X
U
D
X
U
D
)
(
c
]
)
(
[
)
(
'
)
(
'
'
)
(
'
=
+
∈
∑
Poniewa¿
l
l
U
D
'
)
(
]
)
(
[
+
µ
jest elementem macierzy sprzê¿onej po hermitowsku, wiêc
)
(
]
)
(
[
)
(
'
'
)
(
U
D
U
D
l
l
l
l
∗
+
=
µ
µ
. Niech X jest tak¹ macierz¹, która ma tylko jeden element ró¿ny
od zera X
jk
= 1, zatem
k
l
j
i
l
i
X
'
'
'
'
δ
δ
=
. Wówczas po przyjêciu, ¿e c(X) = c
jk
, rozwa¿any
zwi¹zek uzyskuje postaæ:
νµ
ν
µ
δ
δ
il
jk
G
U
ij
lk
U
D
U
D
c
)
(
)
(
)
(
)
(
=
∑
∈
∗
Aby wyznaczyæ wspó³czynnik c
jk
, stosuje siê nastêpuj¹c¹ procedurê. Niech
µ = v
oraz l = i, wówczas po zsumowaniu po i otrzymuje siê
ν
ν
ν
ν
ν
δ
n
U
D
U
D
jk
n
i
ii
jk
G
U
ij
n
i
ik
c
c
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
∑
∑∑
=
∈ =
∗
=
=
82
Ale D
(v)
(U) jest macierz¹ unitarn¹, wiêc
kj
ij
n
i
ik
U
D
U
D
δ
ν
ν
ν
=
∑
=
∗
)
(
)
(
)
(
1
)
(
a st¹d
kj
G
U
kj
jk
g
n
δ
δ
ν
=
=
∑
∈
c
, czyli
kj
jk
n
g δ
ν
=
c
gdzie g jest rzêdem grupy G. Elementy macierzy
)
(
),
(
)
(
)
(
U
D
U
D
lk
ij
µ
ν
nieprzywiedlnych
reprezentacji unitarnych spe³niaj¹ zatem nastêpuj¹cy zwi¹zek ortogonalnoci:
µν
ν
ν
µ
δ
δ
δ
kj
li
G
U
ij
lk
n
g
U
D
U
D
=
∑
∈
∗
)
(
)
(
)
(
)
(
który jest zgodny z posiadanymi wskanikami.
Stwierdzenie. Macierz D
(v)
(U) o wymiarze n
v
ma
2
ν
n
elementów D
ij
(v)
(U). Mo¿na wiêc
utworzyæ co najwy¿ej
2
2
2
2
1
...
N
n
n
n
+
+
+
ortogonalnych wektorów w g-wymiarowej prze-
strzeni, gdzie N jest liczb¹ nierównowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych, zatem
g
n
N
≤
∑
=1
2
ν
ν
Stwierdzenie. Grupa skoñczonego rzêdu g mo¿e mieæ tylko skoñczon¹ liczbê nierówno-
wa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych
g
N ≤
, przy czym wymiar ka¿dej z nich musi
spe³niaæ warunki
g
n ≤
≤
ν
1
.
Stwierdzenie. Poniewa¿ w grupach abelowych wszystkie reprezentacje nieprzywiedlne
s¹ jednowymiarowe, wiêc
g
N
n
N
N
≤
=
=
∑
∑
=
=
1
1
2
1
ν
ν
ν
oraz k = g, gdy¿ ka¿dy element two-
rzy osobn¹ klasê.
Stwierdzenie. Charaktery
)
(
ν
χ
i
i
)
(
µ
χ
i
, gdzie i = 1, 2,..., k dwóch nieprzywiedlnych re-
prezentacji unitarnych {D
(v)
} i {D
(
µ)
(U)} spe³niaj¹ zwi¹zek ortogonalnoci ze wzglêdu
na równowa¿noæ reprezentacji.
Dowód
Elementy macierzy
)
(
),
(
)
(
)
(
U
D
U
D
lk
ij
µ
ν
spe³niaj¹ nastêpuj¹cy zwi¹zek ortogonalnoci:
15. Relacje ortogonalnoci
83
µν
ν
ν
µ
δ
δ
δ
kj
li
G
U
ij
lk
n
g
U
D
U
D
=
∑
∈
∗
)
(
)
(
)
(
)
(
K³ad¹c k = l i sumuj¹c po l, otrzymuje siê
ij
n
l
lj
li
G
U
ij
n
l
ll
n
g
n
g
U
D
U
D
δ
δ
δ
δ
δ
µν
ν
µν
ν
ν
µ
µ
µ
=
=
∑
∑∑
=
∈ =
∗
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
ale
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
U
U
D
Tr
U
D
n
l
ll
∗
∗
=
∗
=
=
∑
µ
µ
µ
χ
µ
wiêc
ij
G
U
ij
n
g
U
D
U
δ
δ
χ
µν
µ
ν
µ
=
∑
∈
∗
)
(
)
(
)
(
)
(
Z kolei k³ad¹c i = j i sumuj¹c po i otrzymuje siê
µν
ν
µ
ν
µ
δ
χ
χ
χ
ν
g
U
U
U
D
U
G
U
G
U
n
i
ii
=
=
∑
∑
∑
∈
∗
∈
=
∗
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
)
(
)
(
gdy¿ prawa strona jest ró¿na od zera, jedynie gdy
µ = v, a wtedy n
µ
= n
v
. Poniewa¿
wszystkie elementy nale¿¹ce do tej samej klasy C
i
maj¹ równe charaktery, otrzymana
równoæ redukuje siê do postaci
µν
ν
µ
δ
χ
χ
g
g
k
i
i
i
i
=
∑
=
∗
1
)
(
)
(
gdzie k jest liczb¹ klas C
i
w grupie G, g
i
liczb¹ elementów w klasie C
i
, a N liczb¹
nierównowa¿nych, nieprzywiedlnych reprezentacji grupy G. Istnieje zatem N ortogo-
nalnych k-wymiarowych wektorów
)
(
)
(
2
2
)
(
1
1
...,
,
,
ν
ν
ν
χ
χ
χ
k
k
g
g
g
g
g
g
, a poniewa¿ ich
liczba nie mo¿e przewy¿szaæ wymiaru przestrzeni, wiêc
g
k
N
≤
≤
.
Stwierdzenie. W przypadku nieskoñczonych grup ci¹g³ych, np. Liego, sumowanie po
elementach grupy nale¿y zast¹piæ ca³kowaniem po parametrach grupy. Dla grup zwar-
tych podane relacje i w³asnoci zachowuj¹ wa¿noæ, a przedstawione dowody mog¹ byæ
³atwo rozszerzone.
15. Relacje ortogonalnoci
84
P
RZYK£AD
Grupa obrotów w p³aszczynie XY o k¹t
α, 0 ≤ α < 2π, {R
z
(
α)}. Grupa ta jest abe-
lowa, a jej jednowymiarowe reprezentacje tworz¹ grupê U(1) i s¹ postaci
))
(
(
)
(
α
z
m
R
D
]
[
α
im
e
=
, gdzie m s¹ liczbami ca³kowitymi. Poniewa¿ macierze reprezentacji s¹ jedno-
wymiarowe, wiêc maj¹ wy³¹cznie jeden element
α
α
α
im
z
m
z
m
e
R
D
R
D
=
≡
))
(
(
))
(
(
)
(
)
(
11
Sumowanie po elementach grupy U ∈ G zostaje zast¹pione ca³kowaniem po para-
metrze
α:
⋅
→
⋅
∫
∑
∈
π
α
2
0
d
G
U
, wówczas rz¹d grupy G równy
∑
∈
=
G
U
g
1
odpowiada objêto-
ci grupy {R
z
(
α )} równej
∫
∞
<
=
π
π
α
2
0
2
1
d
, gdy¿ grupa jest zwarta. Ponadto zwi¹zek
ortogonalnoci
µν
ν
ν
µ
δ
δ
δ
kj
li
G
U
ij
lk
n
g
U
D
U
D
=
∑
∈
∗
)
(
)
(
)
(
)
(
po uwzglêdnieniu, ¿e g → 2π, n
v
= 1 oraz l = k = i = j = 1, przyjmuje postaæ
mn
z
n
z
m
R
D
R
D
d
δ
π
α
α
α
π
1
2
))
(
(
))
(
(
)
(
2
0
)
(
=
∫
∗
W celu sprawdzenia s³usznoci otrzymanej relacji nale¿y uwzglêdniæ jawn¹ postaæ
elementów
(
)
α
α
im
z
m
e
R
D
=
)
(
)
(
wówczas
mn
m
n
i
m
n
i
in
im
m
n
m
n
e
m
n
i
e
d
e
e
d
δ
α
α
α
α
α
α
π
=
=
π
≠
=
π
−
=
=
−
π
−
π
−
∫
∫
2
gdy
2
gdy
0
)
(
1
0
2
)
(
2
0
)
(
2
0
Stwierdzenie. Charaktery grupy {R
z
(
α)} maj¹ postaæ
α
α
α
χ
im
z
m
m
e
R
D
Tr
=
=
))
(
(
)
(
)
(
i s¹
równe macierzom reprezentacji nieprzywiedlnej, tj. jedynemu elementowi macierzowemu
macierzy jednowymiarowych. Dlatego relacja ortogonalnoci dla charakterów jest rów-
nowa¿na relacji otrzymanej dla macierzy i ma postaæ
mn
n
m
d
δ
χ
χ
α
α
α
π
=
∗
π
∫
2
)
(
)
(
2
0
15. Relacje ortogonalnoci
85
Stwierdzenie. Proste rozszerzenia teorii grup skoñczonych nie zawsze s¹ mo¿liwe w przy-
padku grup nieskoñczonych, np. grupy Lorentza.
Stwierdzenie. Znajomoæ charakterów reprezentacji (
)
(
µ
χ
i
i
i
χ ) umo¿liwia okrelenie
krotnoci a
(
µ)
dla
µ = 1, 2,..., N równowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych.
Dowód
Niech
( )
( )
( )
( )
U
D
a
U
D
a
U
D
a
U
D
N
N
)
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
⊕
⊕
⊕
=
K
, gdzie U ∈ G, a
(v)
jest
krotnoci¹ równowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych, a D
(v)
(U) jest elementem
v-tej reprezentacji nieprzywiedlnej grupy G, wówczas charakter wszystkich elementów
U danej klasy C
i
jest równy
∑
=
=
+
+
+
=
N
v
v
i
v
N
i
N
i
i
i
a
a
a
a
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
χ
χ
χ
χ
χ
K
Po wymno¿eniu obu stron powy¿szej równoci przez
∗
)
(
µ
χ
i
i
g
, gdzie g
i
jest liczb¹
elementów w klasie C
i
, i zsumowaniu po i otrzymuje siê wyra¿enie
∑
∑∑
=
= =
∗
∗
=
k
i
N k
i
v
i
i
i
v
i
i
i
g
a
g
1
1 1
)
(
)
(
)
(
)
(
ν
µ
µ
χ
χ
χ
χ
które po zastosowaniu relacji ortogonalnoci
∑
=
∗
=
k
i
v
i
v
i
i
g
g
1
)
(
)
(
µ
µ
δ
χ
χ
redukuje siê do
postaci
∑
∑
=
=
∗
=
=
N
v
v
k
i
i
i
i
ga
g
a
g
1
)
(
)
(
1
)
(
µ
µν
µ
δ
χ
χ
a st¹d
i
k
i
i
i
g
g
a
χ
χ
µ
µ
∑
=
∗
=
1
)
(
)
(
1
Stwierdzenie. Je¿eli dwie reprezentacje danej grupy maj¹ te same charaktery, to musz¹
byæ one równowa¿ne, gdy¿ s¹ scharakteryzowane tymi samymi a
(
µ)
.
Stwierdzenie. W reprezentacji regularnej krotnoæ wystêpowania równowa¿nych repre-
zentacji nieprzywiedlnych jest równa wymiarowi tych reprezentacji, tj. a
(
µ)
= n
µ
.
Dowód
Niech U
i
∈ G i rz¹d grupy G wynosi g. Wówczas wymiar reprezentacji regularnej
wynosi tak¿e g, a elementami reprezentacji s¹ macierze g×g. Elementy macierzy repre-
15. Relacje ortogonalnoci
86
zentacji regularnej s¹ okrelone nastêpuj¹co
( )
jl
ik
v
kl
U
D
δ
δ
=
, gdzie
j
v
i
U
U
U =
. Ele-
ment jednostkowy I grupy G tworzy jednoelementow¹ klasê C
1
= {I}. Poniewa¿ U
i
= IU
i
,
wiêc D
kl
(I) =
δ
kl
, a zatem macierz reprezentacji odpowiadaj¹ca elementowi jednostko-
wemu I jest macierz¹ jednostkow¹ E, podczas gdy pozosta³e macierze elementy re-
prezentacji regularnej odpowiadaj¹ce innym elementom grupy G maj¹ na diagonali
same zera. Dla reprezentacji regularnych zatem
g
TrD
=
=
)
(
1
ε
χ
oraz
0
=
i
χ
, gdy i ≠
1. Poniewa¿ macierz jednostkowa w wyniku transformacji podobieñstwa przechodzi
zawsze w macierz jednostkow¹, wiêc charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych otrzy-
mane dla klasy C
1
= {I} s¹ równe wymiarowi tych reprezentacji, tj.
µ
µ
χ
n
=
)
(
1
. Zatem
z relacji
∑
=
=
N
v
v
i
v
i
a
1
)
(
)
(
χ
χ
wynika, ¿e
∑
=
=
N
v
v
v
n
a
g
1
)
(
, gdzie n
v
jest wymiarem v-tej re-
prezentacji nieprzywiedlnej, a z relacji
i
k
i
i
i
g
g
a
χ
χ
µ
µ
∑
=
∗
=
1
)
(
)
(
1
po uwzglêdnieniu, ¿e
g
=
1
χ
,
0
=
i
χ
dla i ≠ 1 oraz
µ
µ
χ
n
=
)
(
1
otrzymuje siê
µ
µ
gn
g
a
⋅
⋅
=
1
1
)
(
a st¹d
µ
µ
n
a
=
)
(
, co prowadzi do wyra¿enia
∑
=
=
N
v
v
n
g
1
2
.
Stwierdzenie. Dla dowolnych reprezentacji nieprzywiedlnych grup skoñczonych spe³-
niona jest nierównoæ
∑
=
≤
n
v
v
g
n
1
2
. W przypadku reprezentacji regularnych nierównoæ
ta przechodzi w równoæ
∑
=
=
N
v
v
n
g
1
2
, która oznacza, ¿e liczba elementów macierzowych
we wszystkich nierównowa¿nych reprezentacjach nieprzywiedlnych odpowiadaj¹cych
danemu elementowi grupy jest równa rzêdowi grupy.
Stwierdzenie. Elementy
( )
U
D
v
ij
)
(
macierzy nieprzywiedlnych reprezentacji, gdzie
1 ≤ i,j ≤ n
v
oraz v = 1, 2,..., N, w reprezentacji regularnej tworz¹ zupe³ny ortonormalny
uk³ad g wektorów w g-wymiarowej przestrzeni. Wektory te, które unormowane s¹ po-
staci
)
(
,
..
.
,
)
(
)
(
)
1
(
11
1
U
D
g
n
U
D
g
n
N
n
n
N
N
N
15. Relacje ortogonalnoci
87
musz¹ spe³niaæ nastêpuj¹c¹ (drug¹) relacjê ortogonalnoci:
U
U
N
v
n
i
n
j
v
ij
v
ij
v
v
v
U
D
U
D
g
n
′
= =
=
∗
∑∑∑
=
′
δ
1 1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
Poprzednio zosta³o wykazane (por. s. 82), ¿e elementy
( )
( )
U
D
v
ij
spe³niaj¹ relacjê orto-
gonalnoci postaci:
( )
( )
∑
∈
∗
=
G
U
jl
ik
v
kl
v
ij
v
U
D
U
D
g
n
δ
δ
δ
µ
µ)
(
)
(
Stwierdzenie. Z otrzymanej relacji ortogonalnoci wynika drugi zwi¹zek ortogonalno-
ci dla charakterów.
Dowód
Nale¿y zsumowaæ obie strony otrzymanej (drugiej) relacji ortogonalnoci po wszy-
stkich elementach U ∈ C
l
oraz U' ∈ C
m
, wówczas
( )
( )
lm
l
C
U
C
U
UU
N
v
n
i
n
j
C
U
v
ij
C
U
v
ij
v
gg
g
U
D
U
D
n
l
m
v
v
m
l
δ
δ
=
=
′
∑ ∑
∑∑∑
∑
∑
∈
∈
′
= =
=
∈
′
∗
∈
'
1 1
1
)
(
)
(
,
z której po uwzglêdnieniu, ¿e (por. s. 80)
( )
∑
∈
=
m
C
U
ij
v
m
v
m
v
ij
n
g
U
D
δ
χ
)
(
)
(
otrzymuje siê wyra¿enie
∑∑∑
= =
=
∗
=
N
v
n
i
n
j
im
l
ij
v
l
v
l
ij
v
m
v
m
v
v
v
gg
n
g
n
g
n
1 1
1
)
(
)
(
δ
δ
χ
δ
χ
,
z którego z kolei po uwzglêdnieniu, ¿e
∑∑
=
=
=
=
v
v
n
i
n
j
v
ij
ij
ij
n
1
1
2
2
oraz
δ
δ
δ
wynika nastêpu-
j¹cy (drugi) zwi¹zek ortogonalnoci dla charakterów:
∑
=
∗
=
N
v
lm
l
v
l
v
m
g
g
1
)
(
)
(
δ
χ
χ
15. Relacje ortogonalnoci
88
Stwierdzenie. Otrzymany zwi¹zek
∑
=
∗
=
N
v
lm
l
v
l
v
m
g
g
1
)
(
)
(
δ
χ
χ
dowodzi, ¿e wektory postaci
)
(
)
(
2
2
)
(
1
,
,
,
v
k
k
v
v
l
g
g
g
g
g
g
χ
χ
χ
K
tworz¹ zupe³ny, ortonormalny uk³ad w k-wymiarowej przestrzeni.
Stwierdzenie. Liczba nieprzywiedlnych reprezentacji w reprezentacji regularnej jest równa
liczbie klas, N = k.
Dowód
Z relacji ortogonalnoci dla charakterów wynika odpowiednio, ¿e
k
N
g
g
v
k
i
i
v
i
i
≤
⇒
=
∑
=
∗
µ
µ
δ
χ
χ
1
)
(
)
(
oraz
N
k
g
g
N
v
lm
l
v
m
v
l
≤
⇒
=
∑
=
∗
1
)
(
)
(
δ
χ
χ
, zatem k = N.
Stwierdzenie. Poniewa¿ odwzorowanie grupy G w reprezentacjê regularn¹ jest izomor-
fizmem, a odwzorowanie reprezentacji w charaktery jest homomorfizmem, wiêc relacje
dzia³añ grupowych przenosz¹ siê na reprezentacje i charaktery.
Stwierdzenie. Elementy macierzy i charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych wyzna-
czonych dla reprezentacji regularnej spe³niaj¹ po dwa zwi¹zki ortogonalnoci:
( )
( )
∑
∈
∗
=
G
U
jl
ik
v
v
v
kl
v
ij
n
g
U
D
U
D
δ
δ
δ
µ
)
(
)
(
i
( )
( )
'
1 1
1
)
(
)
(
UU
N
v
n
i
n
j
v
ij
v
ij
v
g
U
D
U
D
n
v
v
δ
∑∑∑
= =
=
∗
=
′
oraz
∑
=
∗
=
k
i
v
i
v
i
i
g
g
1
)
(
)
(
µ
µ
δ
χ
χ
i
∑
=
∗
=
N
v
lm
l
v
m
v
l
g
g
1
)
(
)
(
δ
χ
χ
.
Stwierdzenie. Zawsze istnieje trywialna reprezentacja jednowymiarowa taka, ¿e dla wszy-
stkich U ∈ G, U → [1] ∈ SO(1).
Stwierdzenie. Dla reprezentacji jednowymiarowych charaktery
)
(U
TrD
i
=
χ
s¹ iden-
tyczne z macierzami reprezentacji oraz
i
U
D
χ
=
)
(
dla wszystkich U ∈ C
i
.
Stwierdzenie. Charaktery klasy identycznoci s¹ równe wymiarowi reprezentacji.
15. Relacje ortogonalnoci
89
16. P
RZYK£ADY
WYZNACZANIA
REPREZENTACJI
Wyznaczania charakterów i reprezentacji nieprzywiedlnych reprezentacji regular-
nej dla kilku grup skoñczonych
Oznaczenia:
g rz¹d grupy G, liczba elementów w grupie,
k liczba klas w grupie G,
g
i
liczba elementów w klasie C
i
,
N liczba nierównowa¿nych reprezentacji nieprzywiedlnych, N=k.
Wskaniki: i = 1, 2,..., k oraz v = 1, 2,..., N
Stwierdzenie. Tabele charakterów wyznacza siê wykorzystuj¹c zwi¹zki ortogonalnoci
oraz relacje grupowe.
P
RZYK£AD
Grupa jednoelementowa G = {e} zawiera jedn¹ klasê C
1
= {e} oraz g = 1, k = 1, N = 1.
Poniewa¿
∑
=
=
1
1
2
1
v
v
n
wiêc
( )
1
1
1
=
= a
n
, a zatem istnieje tylko jedna jednowymiarowa reprezentacja grupy
jednoelementowej D(1)(e) = [1].
P
RZYK£AD
Grupa dwuelementowa G = {e, a} zawiera dwie klasy C
1
= {e} i C
2
= {a} oraz g = 2,
k = 2, N = 2. Poniewa¿
∑
=
=
2
1
2
2
v
v
n
, wiêc
1
2
2
1
2
2
2
1
=
=
⇒
=
+
n
n
n
n
oraz g
1
= g
2
= 1.
Istniej¹ zatem dwie reprezentacje jednowymiarowe. Charaktery klasy elementu jedno-
90
stkowego s¹ równe wymiarowi reprezentacji,
ν
ν
χ
n
=
)
(
1
, a charaktery reprezentacji try-
wialnej
1
)
1
(
=
i
χ
. Tabela charakterów zawiera elementy:
Tabela charakterów
)
(
ν
χ
i
v i
1
2
1
1
1
2
1
α = –1
co wynika z relacji
( )
( )
( )
1
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
±
=
⇒
=
⇒
=
=
=
=
α
α
χ
χ
α
e
a
Macierze reprezentacji maj¹ zatem postaæ:
D
(1)
(e) = D
(1)
(a) = [1] oraz D
(2)
(e) = [1], D
(2)
(a) = [1]
P
RZYK£AD
Grupa 3-elementowa G = {e, a, a
2
} zawiera trzy klasy C
1
= {e} i C
2
= {a}, C
3
= {a
2
}
oraz g = 3, k = 3, N = 3. Poniewa¿
∑
=
=
3
1
2
3
v
v
n
, wiêc
1
3
2
1
=
=
=
n
n
n
oraz g
1
= g
2
= g
3
= 1.
Istniej¹ zatem 3 reprezentacje jednowymiarowe. Charaktery klasy elementu jednostko-
wego s¹ równe wymiarowi reprezentacji,
ν
ν
χ
n
=
)
(
1
, a charaktery reprezentacji trywial-
nej
1
)
1
(
=
i
χ
. Tabela charakterów zawiera elementy:
Tabela charakterów
)
(
ν
χ
i
v i
1
2
3
1
1
1
1
2
1
β
β
2
3
1
γ
γ
2
co wynika z relacji
e
a =
=
=
3
3
3
gdy¿
1
γ
β
, ale
2
3
2
1
1
3
2
3
i
e
i
+
−
=
=
⇒
=
π
ε
ε
czyli
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
91
2
2
2
i
ε
γ
β
ε
γ
β
=
=
=
=
a st¹d
Tabela charakterów
)
(
ν
χ
i
v i
1
2
3
1
1
1
1
2
1
ε
ε
2
3
1
ε
2
ε
oraz D
(v)
(e) =
)
(
1
ν
χ = 1, D
(v)
(a) =
)
(
2
ν
χ , D
(v)
(a
2
) =
)
(
3
ν
χ
P
RZYK£AD
Grupa symetryczna S
3
= {e, (12), (13), (23), (123), (321)} ma g = 6 elementów za-
wartych w trzech klasach: C
1
= {e}, C
2
= {(12), (13), (23)}, C
3
= {(123), (321)}, za-
tem g
1
= 1, g
2
= 3, g
3
= 2 oraz N = k = 3. Poniewa¿
6
2
1
1
6
6
2
2
2
2
3
2
2
2
1
3
1
2
=
+
+
⇒
=
+
+
⇒
=
∑
=
n
n
n
n
v
v
wiêc
n
1
= n
2
= 1, n
3
= 2 oraz a
(1)
= a
(2)
= 1, a
(3)
= 2
Jako ¿e
ν
ν
χ
n
=
)
(
1
, a charaktery reprezentacji trywialnej
1
)
1
(
=
i
χ
, w tabeli charakte-
rów pojawiaj¹ siê tylko 4 nieznane elementy a, b, c, d.
Tabela charakterów
)
(
ν
χ
i
Liczba elementów g
i
w klasie
→
1
2
3
Wymiar
n
ν
↓
v i
1
2
3
1
1
1
1
1
1
2
1
a
b
2
3
2
c
d
W celu wyznaczenia elementów nieznanych w tabeli charakterów wykorzystuje siê
zwi¹zki ortogonalnoci
ε
2
ε
2
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
92
( ) ( )
( ) ( )
∑
∑
=
∗
=
∗
=
=
N
v
lm
l
v
m
v
l
v
k
i
i
v
i
i
g
g
g
g
1
1
,
δ
χ
χ
δ
χ
χ
µ
µ
które prowadz¹ do równañ
,
0
2
1
0
2
1
0
2
3
2
0
2
3
1
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
d
b
c
a
d
c
b
a
z których tylko 3 s¹ liniowo niezale¿ne. Dlatego pozwalaj¹ one wyznaczyæ jedynie a, b,
d w zale¿noci od c i wówczas
c
d
c
b
c
a
2
3
1
3
1
2
1
−
−
=
+
=
−
−
=
Aby ustaliæ c, nale¿y zauwa¿yæ, ¿e elementy (123) i (321) zawarte w klasie C
3
spe³-
niaj¹ relacjê (123)
2
= (321). Poniewa¿ tym elementom odpowiada jeden charakter
)
(2
3
χ
,
wiêc
( )
( )
( )
0
1
3
1
1
2
3
2
2
3
=
⇒
=
+
=
⇒
=
=
c
c
b
χ
χ
oraz a = d = 1
a st¹d
Tabela charakterów
)
(
ν
χ
i
Liczba elementów g
i
w klasie
→
1
3
2
Wymiar
n
ν
↓
v i
1
2
3
1
1
1
1
1
1
2
1
–1
1
2
3
2
0
–1
Reprezentacje grupy
Grupa symetryczna S
3
ma dwie reprezentacje jednowymiarowe i jedn¹ dwuwymia-
row¹. W reprezentacjach jednowymiarowych charaktery s¹ równe elementom macie-
rzowym.
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
93
Reprezentacja I (jednowymiarowa trywialna)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
1
321
123
23
13
12
1
1
1
1
1
1
=
=
=
=
=
=
D
D
D
D
D
e
D
Reprezentacja II (jednowymiarowa antysymetryczna)
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
1
321
123
2
2
2
=
=
=
D
D
e
D
permutacje parzyste,
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
23
13
12
2
2
2
−
=
=
=
D
D
D
permutacje nieparzyste.
Reprezentacja III (dwuwymiarowa)
Macierz elementu jednostkowego e jest macierz¹ jednostkow¹:
=
1
0
0
1
)
(
)
3
(
e
D
Pozosta³e macierze s¹ unitarne, mo¿na zatem przyj¹æ, ¿e pierwsza z nich ma postaæ
diagonaln¹
( )
=
b
a
D
0
0
)
12
(
)
3
(
Ale
( )
a
b
b
a
TrD
−
=
⇒
=
+
⇒
=
=
0
0
)
12
(
)
3
(
2
)
3
(
χ
. Poniewa¿ (12)
2
= e, wiêc
=
=
−
⋅
−
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
2
a
a
a
a
a
a
a st¹d a = ±1 i mo¿na przyj¹æ, ¿e
( )
−
=
1
0
0
1
)
12
(
)
3
(
D
Macierze reprezentacji elementów (13) i (23) spe³niaj¹ relacje
)
(
))]
23
((
[
))]
13
((
[
)
3
(
2
)
3
(
2
)
3
(
e
D
D
D
=
=
gdy¿ (13)
2
= (23)
2
= e.
Wynika st¹d, ¿e
1
)
3
(
)
3
(
))]
13
((
[
))
13
((
−
= D
D
oraz
( )
( )
[
]
1
)
3
(
)
3
(
)
23
(
)
23
(
−
= D
D
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
94
Poniewa¿ macierze reprezentacji s¹ unitarne, wiêc
1
)
3
(
)
3
(
))]
13
((
[
))]
13
((
[
−
+
= D
D
oraz
1
)
3
(
)
3
(
))]
23
((
[
))]
23
((
[
−
+
= D
D
a st¹d
+
=
))]
13
((
[
))
13
((
)
3
(
)
3
(
D
D
oraz
( )
( )
[
]
+
=
)
(
)
(
)
(
)
(
23
23
3
3
D
D
Uwzglêdniwszy, ¿e
0
))
23
((
))
13
((
)
3
(
2
)
3
(
)
3
(
=
=
=
χ
TrD
TrD
mo¿na przyj¹æ je w for-
mie
−
=
∗
a
b
b
a
D
))
13
((
)
3
(
oraz
−
=
∗
c
d
d
c
D
))
23
((
)
3
(
gdzie a, c rzeczywiste, a b, d zespolone. Wykorzystuj¹c relacjê
∑
∈
i
C
U
U
D
)
(
)
(ν
E
n
g
i
i
)
(ν
ν
χ
=
oraz k³ad¹c
0
3
2
=
)
(
χ
, otrzymuje siê wyra¿enie
0
))
23
((
))
13
((
))
12
((
)
3
(
)
3
(
)
3
(
=
+
+
D
D
D
z którego wynika, ¿e
=
−
−
−
+
+
+
+
0
0
0
0
1
*
*
1
c
a
d
b
d
b
c
a
a st¹d 1 + a + c = 0 oraz b + d = 0, czyli
−
=
∗
a
b
b
a
D
))
13
((
)
3
(
oraz
+
−
−
+
−
=
∗
1
)
1
(
))
23
((
)
3
(
a
b
b
a
D
Dla macierzy tych z warunku unitarnoci
E
D
D
D
D
=
=
+
+
))]
23
((
[
))
23
((
))]
13
((
[
))
13
((
)
3
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
otrzymuje siê
=
+
+
+
+
=
+
+
0
1
0
1
|
|
)
1
(
0
0
|
|
)
1
(
|
|
0
0
|
|
2
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
a
b
a
b
a
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
95
a st¹d równania
a
2
+ |b|
2
= 1 i (1+a)
2
+ |b|
2
= 1
z których wynika, ¿e
φ
i
e
b
a
2
3
i
2
1
=
−
=
zatem
( )
−
=
−
2
1
2
3
2
3
2
1
)
13
(
)
3
(
φ
φ
i
i
e
e
D
oraz
( )
−
−
−
=
−
2
1
2
3
2
3
2
1
)
23
(
)
3
(
φ
φ
i
i
e
e
D
Aby wyznaczyæ D
(3)
((123)) oraz D
(3)
((321)), nale¿y uwzglêdniæ, ¿e reprezentacja za-
chowuje dzia³ania grupowe, oraz ¿e (123) = (13)(12) i (321) = (123)
1
, zatem
(
)
( ) ( )
−
−
−
=
−
⋅
−
=
=
−
−
2
1
2
3
2
3
2
1
1
0
0
1
2
1
2
3
2
3
2
1
)
12
(
)
13
(
)
123
(
)
3
(
)
3
(
)
3
(
φ
φ
φ
φ
i
i
i
i
e
e
e
e
D
D
D
oraz
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
−
−
−
=
=
=
−
+
−
2
1
2
3
2
3
2
1
)
123
(
)
123
(
)
321
(
)
3
(
1
)
3
(
)
3
(
φ
φ
i
i
e
e
D
D
D
Stwierdzenie. Sta³a
φ jest zupe³nie dowolna i mo¿na przyj¹æ, ¿e φ = 0.
Dowód
Macierze reprezentacji s¹ postaci
( )
=
⋅
d
ce
be
a
D
i
i
φ
φ
)
(
)
3
(
i niech
=
1
0
0
φ
i
e
S
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
96
Rysunek. Elementy symetrii kwadratu: 4 p³aszczyzny symetrii a, b, c , d i o czterokrotna r
jest macierz¹ transformacji podobieñstwa. Wówczas wykonuj¹c transformacjê podobieñ-
stwa otrzymuje siê równowa¿n¹ reprezentacjê
( )
=
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
−
−
−
−
d
c
b
a
d
c
be
ae
e
e
d
ce
be
a
e
S
D
S
i
i
i
i
i
i
i
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
1
0
0
1
0
0
1
0
0
)
(
)
3
(
1
która odpowiada po³o¿eniu
φ = 0.
P
RZYK£AD
Grupa symetrii kwadratu w przestrzeni R
2
oznaczana jako C
4v
ma jedn¹ o symetrii
(o obrotu) czterokrotn¹, gdzie r okrela obrót o k¹t π/2, oraz cztery p³aszczyzny syme-
trii a, b, c, d przecinaj¹ce siê w tej osi. Grupa C
4v
= {e, r, r
2
, r
3
, a, b, c, d} ma 8 elemen-
tów symetrii, rz¹d jej zatem wynosi 8. Sk³adanie operacji symetrii zosta³o przedstawio-
ne w tabeli mno¿enia.
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
c
b
r
a
d
97
Grupa C
4v
nie jest abelowa, gdy¿ np. ac = r
3
≠ ca = r, bc = r ≠ ba= r
3
, cr = a ≠ b = rc
itp.
Grupa C
4v
ma nietrywialne podgrupy rzêdu 2 i 4 (2 i 4 s¹ podzielnikami 8), tj.
podgrupy dwuelementowe: {e, r
2
}, {e, a}, {e, b}, {e, c}, {e, d}, gdy¿
a
2
= b
2
= c
2
= d
2
= r
4
=e,
podgrupy czteroelementowe:
cykliczna {e, r, r
2
, r
3
} podgrupa obrotów,
czterogrupa C
2v
= {e, r
2
, a, b} grupa symetrii prostok¹ta,
czterogrupa { e, r
2
, c, d}.
Podgrupa {e, r
2
} jest inwariantna i ma warstwy {r, r
3
}, {a, b}, {c, d}, co pozwala
utworzyæ grupê ilorazow¹ izomorficzn¹ z czterogrup¹. Pozosta³e trzy podgrupy cztero-
elementowe s¹ tak¿e inwariantne i maj¹ odpowiednio warstwy:
{e, r, r
2
, r
3
} {a, b, c, d},
{ e, r
2
, a, b} { r, r
3
, c, d},
{ e, r
2
, c, d} { r, r
3
, a, b}.
Odpowiadaj¹ca im grupa ilorazowa jest izomorficzna z grup¹ dwuelementow¹ {E, A}.
Grupa C
4v
ma k = 5 klas:
dwie jednoelementowe: C
1
= {e}, C
2
= {r
2
},
trzy dwuelementowe: C
3
= {r, r
3
}, C
4
= {a, b}, C
5
= {c, d},
zatem g
1
= g
2
= 1, g
3
= g
4
= g
5
= 2 oraz N = k = 5, poniewa¿
8
2
1
1
1
1
8
8
2
2
2
2
2
2
5
2
4
2
3
2
2
2
1
5
1
2
=
+
+
+
+
⇒
=
+
+
+
+
⇒
=
∑
=
n
n
n
n
n
n
v
v
,
wiêc
n
1
= n
2
= n
3
= n
4
= 1, n
5
= 2 oraz a
(1)
= a
(2)
= a
(3)
= a
(4)
= 1, a
(5)
= 2.
W celu wyznaczenia tabeli charakterów reprezentacji nale¿y uwzglêdniæ, ¿e:
Tabela mno¿enia
e
r
r
2
r
3
a
b
c
d
e
e
r
r
2
r
3
a
b
c
d
r
r
r
2
r
3
e
c
d
b
a
r
2
r
2
r
3
e
r
b
a
d
c
r
3
r
3
e
r
r
2
d
c
a
b
a
a
d
b
c
e
r
2
r
3
r
b
b
c
a
d
r
2
e
r
r
3
c
c
a
d
b
r
r
3
e
r
2
d
d
b
c
a
r
3
r
r
2
e
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
98
charaktery klasy C
1
= {e} s¹ równe wymiarowi reprezentacji, wiêc
ν
ν
χ
n
=
)
(
1
,
charaktery reprezentacji trywialnej
1
1
=
)
(
i
χ
,
charaktery reprezentacji jednowymiarowych s¹ to¿same z macierzami reprezentacji, wiêc
spe³niaj¹ relacje grupowe:
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
)
(
5
2
)
(
4
2
)
(
2
=
=
=
=
ν
ν
ν
ν
χ
χ
χ
χ
i
1
)
(
)
(
1
4
)
(
3
=
=
ν
ν
χ
χ
dla v = 2, 3, 4 (oraz, co zosta³o ju¿ uwzglêdnione, v = 1),
dla i = 2, 4, 5 oraz v = 2, 3, 4 charaktery
)
(
ν
χ
i
przyjmuj¹ wartoci +1 albo 1,
poniewa¿
1
)
(
)
(
2
2
)
(
3
±
=
=
ν
ν
χ
χ
, zatem
)
(
3
ν
χ mo¿e byæ równe +1, 1, +i albo i.
Jednak wszystkie pozosta³e wartoci charakterów s¹ rzeczywiste, wiêc na mocy zwi¹z-
ków ortogonalnoci
)
(
3
ν
χ musi byæ te¿ rzeczywiste,
)
(
3
ν
χ = ±1, a zatem
1
)
(
2
+
=
ν
χ
.
Wskazane w³asnoci pozwalaj¹ okreliæ charaktery dla reprezentacji jednowymia-
rowych, wówczas charaktery reprezentacji dwuwymiarowej mo¿na wyznaczyæ bezpo-
rednio ze zwi¹zków ortogonalnoci
( ) ( )
( ) ( )
∑
∑
=
∗
=
∗
=
=
N
v
lm
l
v
m
v
l
v
k
i
i
v
i
i
g
g
g
g
1
1
,
δ
χ
χ
δ
χ
χ
µ
µ
Uwzglêdniwszy powy¿sze otrzymuje siê:
Tabela charakterów
)
(
ν
χ
i
Liczba elementów g
i
w klasie
→
1
1
2
2
2
Wymiar
n
ν
↓
v i
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
–1
–1
1
3
1
1
–1
1
–1
1
4
1
1
–1
–1
1
2
5
2
–2
0
0
0
£atwo mo¿na sprawdziæ, ¿e wyznaczone charaktery spe³niaj¹ zwi¹zki ortogonalnoci.
Reprezentacje grupy
Grupa symetrii C
4v
ma cztery reprezentacje jednowymiarowe i jedn¹ dwuwymiaro-
w¹. W reprezentacjach jednowymiarowych charaktery s¹ równe elementom macierzo-
wym. Jej elementy symetrii odpowiadaj¹ pewnym szczególnym obrotom w³aciwym
i niew³aciwym w p³aszczynie. Wszystkie obroty w p³aszczynie tworz¹ grupê klasyczn¹
O(2), która jest izomorficzna z U(1). Elementy reprezentacji dwuwymiarowej stanowi¹
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
99
zatem podgrupê grupy O(2), podczas gdy elementy reprezentacji jednowymiarowych
tworz¹ grupê O(1) = {[1], [1]}∈U(1), a reprezentacji trywialnej SO(1) = {[1]}.
Reprezentacja I (jednowymiarowa trywialna)
( )
[ ]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
=
=
=
=
=
=
=
=
d
D
c
D
b
D
a
D
r
D
r
D
r
D
e
D
Reprezentacja II (jednowymiarowa)
[ ]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
3
)
2
(
2
)
2
(
)
2
(
)
2
(
=
=
=
=
r
D
r
D
r
D
e
D
,
[ ]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
−
=
=
=
=
d
D
c
D
b
D
a
D
reprezentacja podgrupy cyklicznej
obrotów
Reprezentacja III (jednowymiarowa)
[ ]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
(
)
3
(
2
)
3
(
)
3
(
=
=
=
=
b
D
a
D
r
D
e
D
[ ]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
(
)
3
(
3
)
3
(
)
3
(
−
=
=
=
=
d
D
c
D
r
D
r
D
reprezentacja podgrupy czterogrupy
symetrii prostok¹ta
Reprezentacja IV (jednowymiarowa)
[ ]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
(
)
4
(
2
)
4
(
)
4
(
=
=
=
=
d
D
c
D
r
D
e
D
reprezentacja podgrupy drugiej
czterogrupy
[ ]
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
(
)
4
(
3
)
4
(
)
4
(
−
=
=
=
=
b
D
a
D
r
D
r
D
Reprezentacja V (dwuwymiarowa ortogonalna)
Macierz elementu jednostkowego e jest macierz¹ jednostkow¹:
=
1
0
0
1
)
(
)
5
(
e
D
Pozosta³e macierze s¹ unitarne i spe³niaj¹ relacjê:
∑
∈
i
C
U
U
D
)
(
)
(ν
E
n
g
i
i
)
(ν
ν
χ
=
Poniewa¿ klasa C
2
= {r
2
} jest jednoelementowa oraz
2
)
5
(
2
−
=
χ
, wiêc
−
−
=
1
0
0
1
)
(
2
)
5
(
r
D
lady wszystkich pozosta³ych elementów reprezentacji s¹ równe 0, tj.
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
100
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
5
(
)
5
(
)
5
(
)
5
(
3
)
5
(
)
5
(
=
=
=
=
=
=
d
TrD
c
TrD
b
TrD
a
TrD
r
TrD
r
TrD
.
Wszystkie pozosta³e elementy reprezentacji to macierze ortogonalne, których lad
wynosi 0. Niech zatem
−
=
u
w
v
u
r
D
)
(
)
5
(
Poniewa¿ [D
(5)
(r)]
2
= D
(5)
(r
2
), wiêc
−
−
=
+
+
1
0
0
1
0
0
2
2
vw
u
vw
u
a st¹d u
2
+ vw = 1 oraz
1
)
(
det
2
)
5
(
=
−
−
=
vw
u
r
D
. Wówczas z warunku [D
(5)
(r)]
1
= [D
(5)
(r)]
T
otrzymuje siê
−
=
−
−
−
u
v
w
u
u
w
v
u
a zatem u = 0, v = w i v = ±1, a st¹d
−
=
0
1
1
0
)
(
)
5
(
r
D
oraz
−
=
0
1
1
0
)
(
3
)
5
(
r
D
co wynika zarówno z relacji dla sumy macierzy reprezentacji elementów grupy nale¿¹-
cych do jednej klasy, tj. D
(5)
(r) + D
(5)
(r
3
) = 0, jak i z izomorfizmu grupy i reprezentacji,
tj. D
(5)
(r)D
(5)
(r
2
) = D
(5)
(r
3
), gdy¿ rr
2
= r
3
. Otrzymane macierze D
(5)
(r
k
) dla k = 0, 1, 2, 3
odpowiadaj¹ macierzom reprezentacji grupy obrotów w³aciwych SO(2)
( )
−
=
α
α
α
α
α
cos
sin
sin
cos
))
(
(
1
z
R
D
odpowiednio o k¹t
α = 0, π/2, π, 3π/2 (por. s. 67).
Pozosta³e elementy grupy to szczególne obroty niew³aciwe, które maj¹ w³asnoæ
ρ
2
= e, czyli
ρ
1
=
ρ, gdzie ρ ∈ {a, b, c, d}, wiêc reprezentuj¹ce je macierze ortogonal-
ne spe³niaj¹ równoci D
(5)
(
ρ) = [D
(5)
(
ρ)]
1
= [D
(5)
(
ρ)]
T
oraz TrD
(5)
(
ρ) = 0. Mo¿na za-
tem przyj¹æ, ¿e
−
=
x
y
y
x
a
D
)
(
)
5
(
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
101
Poniewa¿ [D
(5)
(a)]
2
= D
(5)
(e) = E, wiêc
=
+
+
=
−
⋅
−
1
0
0
1
0
0
2
2
2
2
y
x
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
z czego wynika, ¿e x
2
+ y
2
= 1 czyli
1
)
(
det
2
2
)
5
(
−
=
−
−
=
y
x
a
D
, a zatem x i y mog¹
byæ wziête w postaci x = cos
ϕ, y = sin ϕ. Wówczas
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
sin
sin
cos
)
(
)
5
(
a
D
oraz
−
−
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
sin
sin
cos
)
(
)
5
(
b
D
gdy¿ C
4
= {a, b}, wiêc D
(5)
(a) + D
(5)
(b) = 0. Aby wyznaczyæ D
(5)
(c) i D
(5)
(d) wystarczy
wykorzystaæ relacje grupowe np. r·a = c i a·r = d, z czego wynika, ¿e D
(5)
(c) =
D
(5)
(r)·D
(5)
(a) i D
(5)
(d) = D
(5)
(a)·D
(5)
(r), a zatem
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
cos
cos
sin
)
(
)
5
(
c
D
oraz
−
−
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
cos
cos
sin
)
(
)
5
(
d
D
Wybór parametru
ϕ uzale¿niony jest od wyboru osi uk³adu wspó³rzêdnych w sto-
sunku do boków kwadratu i gdy wybrane osie le¿¹ w p³aszczyznach a i b, wówczas
ϕ = 0.
16. Przyk³ady wyznaczania reprezentacji
102
L
ITERATURA
1. B
IR
G.L., P
IKUS
G.E., Symetria i odkszta³cenia w pó³przewodnikach, PWN, Warszawa 1977.
2. B
YRON
F.W., F
ULLER
R.W., Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej, t. 2, PWN, Warsza-
wa 1975.
3. M
OZRZYMAS
J., Zastosowanie teorii grup w fizyce, PWN, Warszawa 1976.
4. Z
ALEWSKI
K., Wyk³ady o grupie obrotów, PWN, Warszawa 1987.
5. K
OSTYRKIN
A.I., Wstêp do algebry, PWN, Warszawa 1984.
Document Outline
- Spis treści
- Wstęp
- 1. Pojęcia podstawowe
- 2. Morfizmy grup
- 3. Grupy permutacji
- 4. Własności grup symetrycznych
- 5. Grupy klasyczne
- 6. Ogólne własności grup
- 7. Podgrupy i ich własności
- 8. Grupy obrotów
- 9. Grupy ciągłe
- 10. Całkowanie na grupie Liego
- 11. Grupy operatorowe
- 12. Reprezentacje grup
- 13. Wyznaczanie reprezentacji grup
- 14. Reprezentacje unitarne
- 15. Relacje ortogonalności
- 16. Przykłady wyznaczania reprezentacji
- Literatura
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
F A Cotton Teoria grup Zastosowania w chemii
6c. Teoria grup odniesienia, Ćwiczenia - dr K
Teoria grup odniesienia, socjologia
Teoria grup odniesienia pati i natalka
F A Cotton Teoria grup Zastosowania w chemii
3 Jan Turowski Teoria grup odniesienia
teoria grup w analizie widm oscylacyjnych (sprawdzić jak zależą przejścia elektronowe!)
Urbański P Teoria Grup II
cw26(teoria), Studia PWr W-10 MBM, Semestr II, Fizyka, Fizyka - laborki, Fizyka - laborki, Fizyka La
Teoria sterowania wykład 3 (14 03 2003)
Teoria sterowania wykład 4 (21 03 2003)
obwody ciae ga, Materiały PWR elektryczny, Semestr 2, semestr II, TEORIA OBWODOW 1
sprawko cw3, Automatyka i robotyka air pwr, VI SEMESTR, Notatki.. z ASE, teoria automatow
cw31(teoria), Studia PWr W-10 MBM, Semestr II, Fizyka, Fizyka - laborki, Fizyka - laborki, Fizyka La
cw21(teoria), Studia PWr W-10 MBM, Semestr II, Fizyka, Fizyka - laborki, Fizyka - laborki, Fizyka La
niezbednik trt sciaga, pwr-eit, Teoria ruchu(Sambor)
Teoria polityki teorie grup int Nieznany
więcej podobnych podstron