2005 05 16 prawdopodobie stwo i statystykaid 25341

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

Założenie: że tworzą przedziały symetryczne czyli najlepsze (niedoprecyzowane zadanie
moim zdaniem)

28

,

1

8

,

0

/

1

.

1

=

=

<

a

a

n

m

X

P

28

,

1

8

,

0

/

2

.

2

=

=

<

b

b

n

m

Y

P





+

n

X

n

X

m

28

,

1

;

28

,

1

.

1





+

n

Y

n

Y

m

2

28

,

1

;

28

,

1

2

.

2

P(rozłączne)=





>

=





<

+

<

+

n

Y

X

P

n

Y

n

X

n

X

n

Y

P

28

,

1

3

28

,

1

2

28

,

1

lub

28

,

1

28

,

1

2

(

)

0

=

Y

X

E

(

)

n

n

n

n

n

n

Y

Y

n

X

X

Y

X

Y

X

n

n

3

2

1

2

1

1

2

4

1

...

;

...

cov

2

var

var

var

2

1

1

=

+

=

+

+

+

+

+

=

}

03

,

0

3

28

,

1

3

1

)

1

,

0

(

<

=

N

X

P

ODP


Zadanie 2

(

)

(

)

X

β

Y

β

X

X

y

X

X

β

i

i

i

1

0

2

1

ˆ

ˆ

,

ˆ

=

=

(

)

=

+

=

=

20

10

10

,

2

2

X

X

X

i

dla

)

10

,...,

1

(

i

1

0

)

10

(

β

β

EY

+

=

1

0

)

20

(

3β

β

EY

+

=

2

)

10

(

var

σ

Y

=

2

)

20

(

4

var

σ

Y

=

[

]

(

)

(

)

[

]

1

1

0

1

0

)

20

(

)

10

(

1

3

10

10

20

1

10

10

20

1

ˆ

β

β

β

β

β

EY

EY

β

E

=

+

+

+

=

+

=

[

]

[

]

8

4

10

10

400

1

var

10

var

10

400

1

ˆ

var

2

2

2

)

20

(

)

10

(

1

σ

σ

σ

Y

Y

β

=

+

=

+

=

background image



8

;

ˆ

2

1

1

σ

β

N

β

(

)

(

)

(

)

0

1

1

0

1

0

1

0

2

3

10

10

20

1

ˆ

ˆ

β

β

β

β

β

β

β

E

X

Y

E

β

E

=

+

+

+

=

=

( )

( )

Y

β

X

β

X

Y

β

,

ˆ

cov

2

ˆ

var

var

ˆ

var

1

1

2

0

+

=

(

)

(

)

20

11

10

1

20

11

10

1

20

1

...

...

;

...

...

cov

400

1

20

...

;

20

1

cov

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

X

X

i

i

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

[

]

2

2

2

40

3

4

10

10

400

1

σ

σ

σ

=

+

=

[

]

2

2

2

2

2

2

0

40

13

10

3

2

1

8

1

40

3

4

8

4

40

10

400

1

ˆ

var

σ

σ

σ

σ

σ

σ

β

=

+

=

+

+

=

2

0

0

40

13

;

ˆ

σ

β

N

β

(

)

12

,

1

96

,

1

13

40

95

,

0

13

40

40

13

ˆ

ˆ

0

0

0

0

0

0

0

0

=

=

<

=

<

z

z

z

σ

β

β

P

σ

z

β

β

P

(

)

69

,

0

96

,

1

8

95

,

0

8

8

ˆ

ˆ

1

1

1

1

1

1

1

1

=

=

<

=

<

z

z

z

σ

β

β

P

σ

z

β

β

P

odpowiedź (D) jest najlepszym przybliżeniem

Zadanie 3

X

Y

V

Y

X

S

=

+

=

2

2

V

S

Y

V

S

X

+

=

=

V

S

V

S

>

>

,

0

2

S

V

V

S

>

>

+

0

2

S+V<1
V<1-S

)

1

,

(

,

1

,

2

1

lub

)

;

(

,

2

1

;

0

:

S

S

V

S

S

S

V

S

background image

=

)

,

(

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

v

s

)

(

2

3

2

1

2

6

)

,

(

v

s

v

s

v

s

f

=

=

=

+

+

=





=

=

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

v

sv

dv

v

s

s

f

2

2

2

2

2

2

2

1

;

0

3

4

3

2

3

4

3

2

3

4

3

2

3

)

(

2

3

)

(

=

=

s

s

s

s

dv

v

s

s

f

1

1

;

2

1

4

3

3

)

(

2

3

)

(

4

3

2

1

=

s

f

dla obu

=

=

=





=

2

1

;

2

1

2

1

2

1

2

4

3

)

(

2

3

2

1

v

v

v

v

s

s

v

f

(

)

=

=

=





=

5

,

0

5

,

0

5

,

0

5

,

0

3

2

2

6

1

3

2

2

2

2

1

x

x

x

x

S

V

E

=

+

+

=

=

=





=

5

,

0

5

,

0

5

,

0

5

,

0

4

3

3

2

2

12

1

32

1

24

1

32

1

24

1

2

3

2

2

1

x

x

x

x

S

V

E

18

1

36

2

36

1

3

36

1

12

1

2

1

var

=

=

=

=





=

S

V


Zadanie 4

0

)

(

0

)

(

)

(

0

)

(

)

(

>

>

>

C

B

P

C

B

P

B

P

B

C

P

C

P

(

)

>

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

B

P

B

A

P

B

C

P

C

P

C

B

A

P

C

A

P

B

C

A

P

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

.

1

B

C

P

C

P

B

P

B

A

P

C

B

A

P

C

A

P

>

Sprawdzamy (D)

(

)

=

+

+

>

+

+

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

C

B

P

C

P

B

P

B

C

P

C

P

B

P

B

A

P

B

A

P

C

B

P

C

P

B

P

C

B

A

P

C

A

P

B

A

P

L

[

]

( )

B

A

P

B

P

B

A

P

B

C

P

C

P

B

P

B

C

P

C

P

B

P

B

P

B

A

P

=

=

+

+

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

background image

Zadanie 5

=

=

<

t

θ

t

θ

x

t

X

P

0

2

2

2

2

)

(

1

2

θ

θ

>

(

)

( )

(

)

(

)

STAT

x

θ

χ

θ

χ

θ

θ

θ

χ

θ

X

θ

χ

θ

X

n

n

i

n

i

=





=

Π

max

1

max

2

max

2

2

1

1

max

2

1

2

max

2

2

;

0

;

0

;

0

2

;

0

2

(

)

1

,

0

1

)

(max

1

2

0

max

0

=

=

<

=

>

n

t

t

P

t

x

P

9

,

0

2

=

n

t

9

,

0

2

3

9

,

0

1

)

(max

1

)

(max

2

1

1

=

<

=

>

=

n

t

P

t

P

moc

9

4

9

n

dla n=3 OK.

Zadanie 6

(

)

(

)

(

)

(

)

=

>

>

+

>

>

=

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

X

X

P

X

X

X

X

E

X

X

P

X

X

X

X

E

X

X

E

∫ ∫

=

+

=

+

=

+

=

=

=

1

0

1

1

0

1

0

1

0

2

3

2

2

1

2

3

1

2

1

2

1

6

1

2

2

2

6

2

2

2

1

2

2

2

)

(

2

x

x

x

x

x

x

x

x

xy

y

dydx

x

y

(

)

(

)

∫ ∫

∫ ∫

=

+

=

=

=

1

0

1

0

1

0

1

0

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

)

(

dxdy

y

xy

x

dxdy

y

x

X

X

E

X

X

E

=

+

=

+

=

+

=

+

=



+

=

1

0

1

0

1

0

3

2

2

1

0

2

2

3

6

1

6

2

3

2

3

1

2

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

y

y

y

dy

y

y

xy

y

x

x

18

1

18

2

3

9

1

6

1

var

2

1

=

=

=

X

X





background image

Zadanie 7

(

)

=





+

=

=

=

=

=

=

=

2

1

1

1

!

2

3

1

1

)

(

e

k

i

k

k

N

P

k

N

Z

E

EZ

k

k

k

k

i

N

N

=

=

=

=

=

+

+

=

1

1

2

2

3

2

2

3

!

2

2

3

!

2

2

)

1

(

3

1

1

k

k

k

k

e

k

k

e

k

k

k

k

( )

(

)

(

)

=

=

+

=

=

=

=

1

1

2

2

2

2

2

!

2

)

1

(

1

)

(

k

k

k

i

N

N

e

k

iX

E

k

k

N

P

k

N

Z

E

Z

E

(

)

(

)

(

)

=

+

+

+

+

=

+

+

=

+

=

k

i

i

i

i

k

k

k

k

k

k

k

i

iX

E

iX

i

X

E

1

2

2

2

2

2

2

)

1

(

4

9

6

)

1

2

)(

1

(

9

2

)

1

(

3

9

var

( )

=

=





+

+

+

+

+

=

1

2

2

2

2

2

!

2

)

1

(

4

9

)

1

2

)(

1

(

2

3

)

1

(

1

k

k

N

e

k

k

k

k

k

k

k

Z

E

(

)

=

=

=

+

=

+

+

=

1

2

2

2

2

1

!

2

4

9

!

2

2

2

3

k

k

k

n

k

e

k

k

e

k

k

k

[

]

(

)

=

=

=

=

+

+

+

=

+

+

=

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

)

4

2

(

4

9

!

2

1

3

2

4

3

!

2

4

9

!

2

1

)

1

(

2

2

3

n

k

n

n

k

n

e

n

n

n

e

k

k

e

n

n

n

[

]

(

)

=

+

=

+

=

+

+

+

=

2

2

2

4

3

2

27

4

21

2

27

7

4

3

6

4

9

1

2

3

)

4

2

(

2

4

3

e

e

e

2

2

75

,

0

4

75

75

,

0

4

54

21

=

+

=

e

e

2

2

2

2

75

,

0

75

,

9

75

,

0

4

39

75

,

0

4

36

75

9

75

,

0

4

75

var

=

=

=

=

e

e

e

e

Z

N


Zadanie 8

∏ ∏

=

=

1

2

1

20

10

1

2

10

10

1

10

2

2

θ

i

θ

i

θ

i

θ

i

y

x

θ

y

θ

X

θ

L

+

+

+

=

i

i

y

θ

x

θ

θ

L

ln

)

1

2

(

ln

)

1

(

ln

20

2

ln

10

ln

=

=

=

+

+

=

i

i

i

i

y

x

θ

T

y

x

θ

θ

ln

2

ln

20

ˆ

0

ln

2

ln

20

(

)

=

=

>

=

<

1

1

)

1

(

1

ln

θ

t

e

t

θ

θ

t

i

wykl

e

x

θ

e

X

P

t

x

θ

P

(

)

=

=

>

=

<

1

1

2

2

2

)

1

(

1

2

ln

2

θ

t

e

t

θ

θ

t

wykl

e

x

θ

e

y

P

t

y

θ

P

Γ

)

1

;

20

(

ln

2

ln

i

i

y

θ

X

θ

=

=

=

=

<

=

=

>

=

>

Γ

a

x

X

t

x

e

x

a

X

P

a

X

P

a

θ

T

P

20

0

19

)

1

;

20

(

2

!

19

1

20

20


background image

}

=

=

<

=

=

a

χ

t

a

a

a

X

P

dt

e

t

40

0

)

40

(

2

20

19

772

,

0

805

,

51

40

9

,

0

40

2

!

19

1

2


Zadanie 9

p

p

p

p

p

p

=

=

=

=

3

2

,

,

15

4

,

15

1

4

3

2

1

(

)

(

)

=

+

=

+

+

4

3

2

4

3

4

3

2

2

1

,

cov

,

cov

N

N

N

N

N

n

N

N

N

N

N

(

)

(

)

(

)

(

)

=

+

+

=

4

4

3

4

2

4

3

3

3

2

var

,

cov

,

cov

,

cov

var

,

cov

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

(

)

(

)

=

=

3

2

3

4

2

4

,

cov

var

,

cov

var

N

N

N

N

N

N

(

)

[

]

(

)

[

]

=

+

+

=

3

2

3

2

3

4

2

4

2

4

var

var

var

2

1

var

var

var

var

2

1

var

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

(

)

(

)

=

+

+

+

=

3

2

4

2

3

2

4

var

2

1

var

2

1

var

2

1

var

var

2

3

N

N

N

N

N

N

N

=

+

+

+

+

=

p

p

p

p

p

p

p

p

n

15

11

15

4

2

1

15

1

15

14

2

1

)

1

(

2

1

15

11

15

4

3

1

3

2

2

3

=





+

+

+

+

+

+

+

=

2

2

2

2

2

1

30

11

15

2

225

22

2

1

30

1

15

7

225

7

2

1

2

1

225

44

2

3

2

1

3

1

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

n

75

45

5

3

2

3

5

2

0

5

2

3

2

=

=

=

=





+

=

p

p

n


Zadanie 10

)

9

(

9

2

2

2

9

χ

σ

S

Z nie jest niezależne od X bo

+

=

=

2

2

2

2

2

2

9

9

,

9

X

S

X

nS

X

X

n

i

n

i

X

X

X

S

i

n

od

zl

2

=

<

+

=

<

+

=

<

t

X

S

P

t

X

X

S

P

t

X

Z

P

1

1

1

1

2

2

9

0

2

2

9

=

>

=

<

=



<

=

2

2

9

2

2

9

2

2

2

9

1

1

1

1

t

t

S

X

P

t

t

X

S

P

t

X

S

P

632

,

0

602

,

0

1

3

262

,

2

1

3

)

9

(

1

3

3

2

2

2

2

9

=



>

=

>

=

t

t

t

t

t

t

P

t

t

σ

σ

S

σ

σ

X

P




Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2005.05.16 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.05.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 05 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21698
2007 05 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 25652
2007.05.14 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.11.16 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.01.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.05.31 prawdopodobie stwo i statystyka
1 1998.05.30 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.10.10 prawdopodobie stwo i statystyka
2005 10 10 prawdopodobie stwo i statystykaid 25346
2005 01 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 25338
1996 11 16 prawdopodobie stwo i statystykaid 18573
2010 05 31 prawdopodobie stwo i statystyka

więcej podobnych podstron