49

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Elektromagnetyzm i fale elektromagnetyczne

Definicje i poj

ħcia podstawowe

Elektrostatyka
Ten dzia

ų fizyki zajmuje siħ badaniem wųasnoƑci i wzajemnego oddziaųywania nieruchomych

ųadunków elektrycznych w rozpatrywanym ukųadzie odniesienia.

Badunki elektryczne – pojħcie pierwotne. Badunki elektryczne to Ǎródųa pola elektrycznego.
Badunki elektryczne mogČ byđ dodatnie lub ujemne.
Badunki jednoimienne odpychajČ siħ, zaƑ róǏnoimienne przyciČgajČ.

Obowi

Čzuje prawo zachowania ųadunku elektrycznego, podobnie jak i inne prawa zachowania w

fizyce.

Ca

ųkowity ųadunek dowolnego ciaųa jest wielokrotnoƑciČ pewnego ųadunku elementarnego.

Najmniejsz

Č czČstkħ posiadajČcČ ųadunek elementarny ujemny nazwano elektronem, zaƑ dodatni

protonem.

Prawo Coulomba
Coulomb poda

ų nastħpujČce prawo oddziaųywania dwóch ųadunków punktowych lub maųych

na

ųadowanych kulek:

ܨ ൌ ݇

ଵ

ݍ

ଵ

ݍ

ଶ

ݎ

ଶ

gdzie

݇

ଵ

– wspó

ųczynnik proporcjonalnoƑci.

Prawo Coulomba w postaci wektorowej:

ܨԦ

ଵ

ൌ ݇

ଵ

ݍ

ଵ

ݍ

ଶ

ݎ

ଶ

ݎԦ

ଶଵ

ݎ

ܨԦ

ଵ

oznacza si

ųħ dziaųajČcČ na ݍ

ଵ

od

ݍ

ଶ

. Podobnie si

ųa ܨԦ

ଶ

dzia

ųajČca na ݍ

ଶ

od

ݍ

ଵ

:

ܨԦ

ଶ

ൌ ݇

ଵ

ݍ

ଵ

ݍ

ଶ

ݎ

ଶ

ݎԦ

ଵଶ

ݎ

gdzie

ݎԦ

ଵଶ

ൌ െݎԦ

ଶଵ

. W uk

ųadzie SI:

݇ ൌ

ͳ

Ͷߨߝ

଴

w pró

Ǐni zaƑ w oƑrodku o przenikalnoƑci dielektrycznej ɸ ogólnie

݇ ൌ

ͳ

Ͷߨߝ

଴

ߝ

Ǥ

ɸ pokazuje ile razy siųa wzajemnego oddziaųywania dwóch ųadunków punktowych elektrycznych
jest mniejsza ni

Ǐ w próǏni.

(2.01)

(2.02)

(2.03)

(2.04)

(2.05)

50

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Nat

ħǏenie pola elektrycznego

Zajmiemy si

ħ teraz wybranymi wųasnoƑciami pól elektrostatycznych (wytwarzanych przez

nieruchome

ųadunki).

Nat

ħǏeniem pola elektrycznego w danym punkcie nazywa siħ wektor ܧ, którego wartoƑđ równa

si

ħ wartoƑci siųy z jakČ pole to oddziaųuje na jednostkowy ųadunek dodatni umieszczony w tym

punkcie (

ųadunek próbny), a kierunek odpowiada kierunkowi dziaųania siųy:

ܧ ൌ

ܨԦ

଴

ݍ

଴

Jednostka nat

ħǏenia pola N/C.

Korzystaj

Čc z prawa Coulomba

ܨԦ

଴

ൌ

ͳ

Ͷߨߝ

଴

ݍ

଴

ݍ

ߝݎ

ଷ

ݎԦ

i powy

Ǐszej definicji ܧ dla ݍ

ଵ

ൌ ݍ

ଶ

=

ݍ moǏna ųatwo okreƑliđ natħǏenie pola pochodzČce od

punktowego

ųadunku elektrycznego ݍ:

ܧ ൌ

ͳ

Ͷߨߝ

଴

ݍ

ߝݎ

ଷ

ݎԦ

W postaci skalarnej:

ܧ ൌ

ͳ

Ͷߨߝ

଴

ݍ

ߝݎ

ଶ

Z postaci wektorowej wynika,

Ǐe wektor natħǏenia pola ųadunku punktowego jest zawsze

skierowany wzd

ųuǏ ݎԦ od ųadunku, gdy ݍ ൐ Ͳ, a do ųadunku, gdy ݍ ൏ Ͳ.

(2.06)

(2.07)

(2.08)

(2.09)

Zasada superpozycji pól elektrycznych
Rozwa

Ǐmy pole wytwarzane przez ukųad nieruchomych ųadunków punktowych. PoniewaǏ

wypadkowa si

ųa dziaųajČca na ųadunek próbny jest zawsze sumČ wektorowČ sių skųadowych od

poszczególnych

ųadunków to:

ܨԦ ൌ ෍ ܨԦ

௜

௡

௜ୀଵ

Ponadto

ܨԦ ൌ ݍ

଴

ܧ

ܨԦ

௜

ൌ ݍ

଴

ܧ

௜

St

Čd

ܧ ൌ ෍ ܧ

௜

௡

௜ୀଵ

Nat

ħǏenie pola elektrycznego ukųadu ųadunków punktowych jest sumČ wektorowČ natħǏeŷ pól

wytworzonych przez ka

Ǐdy z nich – zasada superpozycji.

Stosuj

Čc wzór na natħǏenie pola dla dowolnego i-tego ųadunku punktowego na wypadkowe

nat

ħǏenie zatem dostajemy:

ܧ

௜

ൌ

ͳ

Ͷߨߝ

଴

ݍ

௜

ߝݎ

௜

ଷ

ݎԦ

௜

ܧ ൌ

ͳ

Ͷߨߝ

଴

෍

ݍ

௜

ߝݎ

௜

ଷ

ݎԦ

௜

௡

௜ୀଵ

(2.10)

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

51

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Badunki mogČ byđ rozųoǏone w przestrzeni w sposób ciČgųy lub dyskretny.
W przypadku rozk

ųadu ciČgųego operujemy czħsto pojħciem għstoƑci ųadunku:

߬ ൌ Ž‹

ο௟՜଴

οݍ

ο݈

ൌ

݀ݍ

݈݀

(g

ħstoƑđ liniowa)

ߪ ൌ Ž‹

οௌ՜଴

οݍ
οܵ

ൌ

݀ݍ
݀ܵ

(g

ħstoƑđ powierzchniowa)

ߩ ൌ Ž‹

ο௏՜଴

οݍ

οܸ

ൌ

݀ݍ

ܸ݀

(g

ħstoƑđ objħtoƑciowa)

Wa

Ǐny przykųad – pole dipola elektrycznego

Dipolem elektrycznym nazywamy uk

ųad dwóch róǏnoimiennych i równych co do wartoƑci

ųadunków elektrycznych, których Ƒrodki ciħǏkoƑci sČ oddalone od siebie na pewnČ odlegųoƑđ d.
Pole dipola elektrycznego zwykle analizujemy dla odleg

ųoƑci przekraczajČcych wyraǍnie rozmiary

liniowe tego dipola.
Model dipola elektrycznego jest niezwykle wa

Ǐny ze wzglħdu na opis wųasnoƑci elektrycznych

cz

Čsteczek oraz opis ich oddziaųywania z promieniowaniem elektromagnetycznym.

Poni

Ǐszy rysunek ilustruje pojħcie dipola elektrycznego oraz tzw. momentu dipolowego.

(2.16)

(2.17)

(2.18)

Graficznie charakter pola elektrycznego odwzorowuj

Č

linie si

ų pola. Linie sių pola to takie krzywe, do których

styczne w ka

Ǐdym ich punkcie majČ kierunek wektora

nat

ħǏenia pola (rysunek obok).

Przyk

ųadowy rozkųad linii sių pola dla

ųadunku punktowego dodatniego

dipola elektrycznego

ųadunku punktowego ujemnego

Wszystkie rysunki: [Jaworski t.2]

52

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Potencja

ų pola elektrycznego

Formalne podobie

ŷstwo wyraǏeŷ na siųħ oddziaųywania elektrostatycznego dwóch ųadunków

ܨ ൌ ݇

ଵ

ݍ

ଵ

ݍ

ଶ

ݎ

ଶ

oraz przyci

Čgania dwóch mas w oddziaųywaniu grawitacyjnym

ܨ ൌ ߛ

݉

ଵ

݉

ଶ

ݎ

ଶ

sugeruje,

Ǐe podobnie jak w tym ostatnim przypadku takǏe i siųy elektrostatyczne powinny byđ

zachowawcze.
Obliczmy w zwi

Čzku z tym pracħ siųy ܨԦ ൌ ݍ

ᇱ

ܧdziaųajČcej na ųadunek elektryczny ݍ

ᇱ

przy

przemieszczeniu go na ma

ųym odcinku ݈݀Ԧ:

ܹ݀ ൌ ܨ݈݀ …‘• ܨԦǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ ݍ

ᇱ

ܧ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

݈݀

Przy przemieszczeniu

ųadunku od a do b praca tej siųy:

ܹ ൌ ݍ

ᇱ

න ܧ

௕

௔

…‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

݈݀

Gdy pole wytwarza

ųadunek punktowy +q jak na

rysunku obok to:

݈݀ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ ݀ݎǡ ܧ ൌ

ݍ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

ଶ

ܹ ൌ

ݍݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

න

݀ݎ

ݎ

ଶ

௥

మ

௥

భ

ൌ

ݍݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

ͳ

ݎ

ଵ

െ

ͳ

ݎ

ଶ

ݎ

ଵ

,

ݎ

ଶ

– odleg

ųoƑci ųadunku q odpowiednio od a oraz b.

(2.20)

(2.21)

(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Praca ta jest dodatnia, gdy

ųadunki jednoimienne oddalajČ siħ od siebie a ujemna, gdy zbliǏajČ siħ do

siebie (praca si

ų zewnħtrznych). Odwrotnie jest w przypadku ųadunków róǏnoimiennych: praca ta jest

dodatnia, gdy

ųadunki zbliǏajČ siħ a ujemna, gdy oddalajČ siħ od siebie (praca sių zewnħtrznych).

Z ostatniego wyra

Ǐenia wynika, Ǐe praca ta nie zaleǏy od ksztaųtu toru, po którym porusza siħ

ųadunek, a tylko od poczČtkowego i koŷcowego poųoǏenia ųadunku q’ od przenikalnoƑci dielektrycznej
oraz warto

Ƒci ųadunków q i q’. Na ųadunek q’ poruszajČcy siħ w polu wytworzonym przez ukųad

ųadunków punktowych dziaųa siųa:

ܨԦ ൌ ܨԦ

ଵ

൅ ܨԦ

ଶ

൅ ڮ ൅ ܨԦ

௡

Praca si

ųy wypadkowej:

ܹ ൌ ܹ

ଵ

൅ ܹ

ଶ

൅ ڮ ൅ ܹ

௡

ൌ ෍

ݍ

௜

ݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

ͳ

ݎ

௜ଵ

െ

ͳ

ݎ

௜ଶ

௡

௜ୀଵ

ݎ

௜ଵ

,

ݎ

௜ଶ

– odleg

ųoƑci ųadunku q od punktów a i b. Praca ta oczywiƑcie zaleǏy tylko od

pocz

Čtkowego i koŷcowego punktu toru, a nie od jego ksztaųtu. Przy przemieszczaniu ųadunku po

krzywej zamkni

ħtej L w polu elektrostatycznym:

ර ܧ݈݀ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ ර ܧǡ ݈݀Ԧ

௅

௅

Poniewa

Ǐ punkt poczČtkowy i koŷcowy w tym przypadku pokrywajČ siħ, to zgodnie ze wzorem

na prac

ħ:

ර ܧ݈݀ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ Ͳ

௅

Pole elektrostatyczne jest wi

ħc polem potencjalnym.

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

53

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Poniewa

Ǐ praca ܹ jakČ wykonuje siųa w polu elektrostatycznym przemieszczajČc ųadunek q’

zale

Ǐy tylko od poųoǏenia koŷcowego i poczČtkowego ųadunku w tym polu to jest ona równa

ubytkowi energii potencjalnej

ܧ

௣

tego

ųadunku

ܹ݀ ൌ െ݀ܧ

௣

zatem

ܹ ൌ න ݍ

ᇱ

ܧ݈݀

௕

௔

…‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ െοܧ

௣

ൌ ܧ

௣ଵ

െ ܧ

௣ଶ

ܧ

௣ଵ

ǡ ܧ

௣ଶ

 െwartoƑci energii potencjalnej ųadunku q’ w punktach a i b pola.

Za

ųóǏmy, Ǐe ųadunek punktowy q’ porusza siħ w polu ųadunku q. Zmiana energii potencjalnej przy

elementarnym przemieszczeniu:

݀ܧ

௣

ൌ െܹ݀ ൌ െ

ݍ

௜

ݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

ଶ

݀ݎ

Przy sko

ŷczonym przemieszczeniu

οܧ

௣

ൌ ܧ

௣ଶ

െ ܧ

௣ଵ

ൌ െ

ݍ

௜

ݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

න

݀ݎ

ݎ

ଶ

௥

మ

௥

భ

ൌ

ݍݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

ଶ

െ

ݍݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

ଵ

Gdy pole wytwarza uk

ųad ųadunków punktowych zmiana energii potencjalnej q’:

οܧ

௣

ൌ ෍ οܧ

௣௜

௡

௜ୀଵ

ൌ ݍ

ᇱ

෍

ݍ

௜

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

௜ଶ

െ

ݍ

௜

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

௜ଵ

௡

௜ୀଵ

ݎ

௜ଵ

ǡ ݎ

௜ଶ

– odleg

ųoƑci ųadunków q i q’ przed i po przesuniħciu q’.

(2.30)

(2.31)

(2.32)

(2.33)

(2.34)

Ostatnie zwi

Čzki podajČ wyraǏenia na zmiany energii potencjalnej. WartoƑđ samej energii

potencjalnej

ųadunku q’ moǏna wyznaczyđ po ustaleniu umownym punktu pola w którym

energia potencjalna

ųadunku jest 0.

Ca

ųkowanie (2.32) daje:

ܧ

௣

ൌ

ݍ

௜

ݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

൅ ܥ

C – staųa. Wygodnie jest przyjČđ, Ǐe energia potencjalna ųadunku q’ ܧ

௣

ൌ Ͳ w nieskoŷczonej

odleg

ųoƑci od ݍ. Daje to natychmiastowo C = 0 i

ܧ

௣

ൌ

ݍ

௜

ݍ

ᇱ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

Dla

ųadunków jednoimiennych ܧ

௣

ro

Ƒnie przy ich zbliǏaniu oraz maleje dla zbliǏania ųadunków

ró

Ǐnoimiennych. Rysunek przedstawia graficznČ zaleǏnoƑđ energii potencjalnej oddziaųywania

dwóch

ųadunków punktowych od ich wzajemnej odlegųoƑci.

(2.35)

(2.36)

54

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Oczywi

Ƒcie energia potencjalna ųadunku ݍ

ᇱ

w polu wielu

ųadunków punktowych:

ܧ

௣

ൌ ෍ ܧ

௣௜

௡

௜ୀଵ

ൌ ݍ

ᇱ

෍

ݍ

௜

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

௜

௡

௜ୀଵ

Warto zwróci

đ uwagħ, Ǐe iloraz ܧ

௣

Ȁݍǯ nie zaleǏy od ݍǯ, zatem moǏe byđ jednoznacznČ charakterystykČ

pola elektrostatycznego:

߮ ൌ

ܧ

௣

ݍ

ᇱ

ൌ ෍

ݍ

௜

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

௜

௡

௜ୀଵ

߮ nazywa siħ potencjaųem pola elektrycznego.
Zatem potencja

ų pola kreowanego przez ųadunek punktowy:

߮ ൌ

ݍ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

Prac

ħ wykonanČ przez siųy pola elektrostatycznego przy przemieszczaniu ųadunku q’ od a do b

mo

Ǐna okreƑliđ jako róǏnice energii potencjalnych w tych punktach:

ܹ ൌ ܧ

௣ଵ

െ ܧ

௣ଶ

ൌ ݍ

ᇱ

߮

ଵ

െ ߮

ଶ

߮

ଵ

ǡ ߮

ଶ

- potencja

ų pola odpowiednio w a i b.

Je

Ƒli b znajduje siħ w nieskoŷczonoƑci to ܧ

௣ଶ

= 0 czyli i

߮

ଶ

= 0. Zatem praca

ܹ

ஶ

wykonana na

przeniesienie

ݍǯ z ܽ do nieskoŷczonoƑci wynosi:

ܹ

ஶ

ൌ ܧ

௣ଵ

ൌ ݍ

ᇱ

߮

ଵ

A st

Čd:

߮

ଵ

ൌ

ܹ

ஶ

ݍ

ᇱ

Potencja

ų jest wiħc równy pracy wykonanej przez siųy pola elektrostatycznego przy przeniesieniu

jednostkowego dodatniego

ųadunku z danego punktu pola do nieskoŷczonoƑci.

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)

Z powodów praktycznych cz

ħsto przyjmuje siħ, Ǐe Ziemia ma potencjaų 0. NaleǏy pamiħtađ, Ǐe

istotna jest tylko ró

Ǐnica potencjaųów miħdzy dowolnymi punktami pola.

Jednostk

Č potencjaųu (róǏnicy potencjaųów) jest J/C.

Relacja mi

ħdzy potencjaųem pola a natħǏeniem pola

Praca wykonywana przy niesko

ŷczenie maųym przesuniħciu q’ w polu:

ܹ݀ ൌ ݍ

ᇱ

ܧ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

݈݀ ൌ െ݀ܧ

௣

Z uwagi na

ݍ

ᇱ

ൌ ܿ݋݊ݏݐ mamy ݀ܧ

௣

ൌ ݍ

ᇱ

݀߮, a stČd:

ܧ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

݈݀ ൌ െ݀߮

lub

ܧ ή ݈݀Ԧ ൌ െ݀߮

Wielko

Ƒđ ݈݀ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

jest elementem

݀ݎ dųugoƑci linii siųy, stČd:

ܧ ൌ െ

݀߮

݀ݎ

gdzie

݀߮ ݀ݎ

Τ

– szybko

Ƒđ zmiany potencjaųu w kierunku linii siųy, równČ zmianie potencjaųu

odpowiadaj

Čcej jednostce dųugoƑci linii siųy.

Okazuje si

ħ, Ǐe zmiana potencjaųu na jednostkħ dųugoƑci jest najwiħksza w kierunku linii siųy.

Wynika to

ųatwo po rozpatrzeniu sytuacji jak na rysunku obok. Mamy:

ܧ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ ܧ

௟

ܧ

௟

– rzut

ܧ na kierunek przemieszczenia ݈݀Ԧ. StČd:

ܧ

௟

ൌ െ

݀߮

݈݀

(2.43)

(2.44)

(2.45)

(2.46)

(2.47)

(2.48)

55

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Poniewa

Ǐ …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

൑ ͳ to ܧ

௟

൑ ܧ, a takǏe

ௗఝ

ௗ௟

൑

ௗఝ

ௗ௥

.

ܧ

௟

oraz

݀߮ ݈݀

Τ

osi

ČgajČ maksimum

dla

…‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ ͳ czyli dla kierunku ݈݀Ԧ zgodnego z ݀ݎ.

Zatem potencja

ų w okolicy danego punktu pola najszybciej zmienia siħ w kierunku linii siųy. Znak

„–” wskazuje,

Ǐe ܧ ma zwrot najszybszego spadku potencjaųu. PodsumowujČc opisanČ relacjħ

mo

Ǐna przedstawiđ jako:

ܧ ൌ െ݃ݎܽ݀߮

Miejsca geometryczne dla których w polu mamy jednakowy potencja

ų tworzČ powierzchniħ

ekwipotencjaln

Č. Potencjaų jest staųy jedynie gdy ųadunek przemieszcza siħ w kierunku

prostopad

ųym do linii sių pola: …‘• ܧǡ ݈݀Ԧ

෣

ൌ Ͳ. OczywiƑcie wtedy ܧ

௟

ൌ Ͳ i െ݀߮ ݈݀

Τ

ൌ Ͳ co daje

߮ ൌ ܿ݋݊ݏݐǤPowierzchnie ekwipotencjalne sČ prostopadle uųoǏone wszħdzie do linii sių.
Praca wykonywana zatem przy przemieszczaniu

ųadunku po powierzchni ekwipotencjalnej jest 0.

Rysunek poni

Ǐszy pokazuje relacje miħdzy liniami sių pola a przekrojami powierzchni

ekwipotencjalnych.

(2.49)

[Jaworski t.2]

Pojemno

Ƒđ elektryczna

Pojemno

Ƒđ przewodnika odosobnionego

Rozpatrzmy przewodnik oddalony od innych cia

ų naųadowanych i innych przewodników

(odosobniony).
Rozk

ųad ųadunku na powierzchni przewodnika zaleǏy tylko od jego ksztaųtu. Zwiħkszenie ųadunku

na powierzchni zwi

ħksza po prostu jego għstoƑđ powierzchniowČ, ale nie zmienia samego

rozk

ųadu. Zatem:

ߪ ൌ ݇ݍ

݇ – oznacza pewnČ funkcjħ wspóųrzħdnych danego punktu powierzchni przewodnika.
Podzielmy powierzchni

ħ przewodnika na bardzo maųe elementy ݀ܵ zawierajČce ųadunek ߪ݀ܵ.

Potencja

ų pola tego ųadunku w odlegųoƑci ݎ od niego wynosi jak wiemy:

݀߮ ൌ

ߪ݀ܵ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

Ca

ųkowanie po caųej powierzchni ܵ daje potencjaų w dowolnym miejscu pola:

߮ ൌ ර

ߪ݀ܵ

Ͷߨߝߝ

଴

ݎ

ௌ

lub dalej

߮ ൌ

ݍ

Ͷߨߝߝ

଴

ර

݇݀ܵ

ݎ

ௌ

Warto zwróci

đ uwagħ, Ǐe gdy analizujemy samČ powierzchniħ przewodnika, to wartoƑđ caųki

zale

Ǐy tylko od ksztaųtu i wielkoƑci ܵ przewodnika. PoniewaǏ dla wszystkich punktów powierzchni

potencja

ų jest staųy to i wartoƑci caųek w dowolnych punktach powierzchni ܵ sČ jednakowe.

(2.50)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

56

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

ܥ ൌ

ݍ

߮

dla danego przewodnika nazywa si

ħ jego pojemnoƑciČ. Zatem:

ܥ ൌ Ͷߨߝߝ

଴

ͳ

ׯ

݇݀ܵ

ݎ

ௌ

Przyk

ųad: pojemnoƑđ odosobnionej przewodzČcej kuli.

߮ ൌ

ݍ

Ͷߨߝߝ

଴

ܴ

ܥ ൌ Ͷߨߝߝ

଴

ܴ

Jednostk

Č pojemnoƑci jest farad (F): 1F = 1C/1V.

1 F to bardzo du

Ǐa pojemnoƑđ. Takiej pojemnoƑci odpowiadaųaby kula przewodzČca w próǏni o

promieniu:

 ൌ

େ

ସగఌ

బ

ൌ 9 000 000 km.

Jak

Č pojemnoƑđ powinna mieđ zatem Ziemia? (obliczyđ)

zatem:

Wiemy,

Ǐe potencjaų takiej kuli wynosi:

Iloraz:

(2.54)

(2.55)

(2.56)

(2.57)

BČczenie kondensatorów

Je

Ƒli chcemy uzyskađ duǏe pojemnoƑci, to ųČczymy kondensatory

równolegle (rysunek obok).

Niech poszczególne pojemno

Ƒci wynoszČ ܥ

ଵ

ǡ ܥ

ଶ

ǡ ǥ ǡ ܥ

௡

Ǥ

Poniewa

Ǐ miħdzy okųadkami kaǏdego jest ta sama róǏnica potencjaųów, to

ųadunki zgromadzone wynoszČ odpowiednio:

ݍ

ଵ

ൌ ܥ

ଵ

ο߮

ݍ

ଶ

ൌ ܥ

ଶ

ο߮

…

ݍ

௡

ൌ ܥ

௡

ο߮

Ca

ųkowity ųadunek :

ݍ ൌ ෍ ݍ

௜

௡

௜ୀଵ

ൌ ܥ

ଵ

൅  ܥ

ଶ

൅  ǥ ൅  ܥ

௡

ο߮

Z drugiej strony mamy te

Ǐ:

ݍ ൌ ܥο߮

St

Čd przy równolegųym poųČczeniu:

ܥ ൌ ෍ ܥ

௜

௡

௜ୀଵ

Ca

ųkowita pojemnoƑđ jest sumČ pojemnoƑci poszczególnych kondensatorów.

(2.59)

(2.60)

(2.61)

(2.58)

[Jaworski t.2]

57

Podstawy fi zyki z elementami biofi zyki

Przy po

ųČczeniu szeregowym kondensatorów caųkowita róǏnica potencjaųów dzieli siħ na

poszczególne kondensatory, przy czym potencja

ųy poųČczonych sČsiednich okųadek sČ jednakowe,

za

Ƒ ųadunek caųkowity ݍ zespoųu kondensatorów wynosi tyle co ųadunek kaǏdego z

kondensatorów.

Niech

ܥ – pojemnoƑđ caųkowita, a ܥ

௜

– i-tego kondensatora oraz

ο߮ ൌ σ

ο߮

௜

௡

௜ୀଵ

ca

ųkowita

ró

Ǐnica potencjaųów. PoniewaǏ:

ο߮

௜

ൌ

ݍ

ܥ

௜

to

ο߮ ൌ

ݍ

ܥ

ൌ ݍ ෍

ͳ

ܥ

௜

௡

௜ୀଵ

St

Čd:

ͳ

ܥ

ൌ ෍

ͳ

ܥ

௜

௡

௜ୀଵ

Zatem przy

ųČczeniu szeregowym, odwrotnoƑđ pojemnoƑci caųkowitej jest sumČ odwrotnoƑci

pojemno

Ƒci poszczególnych kondensatorów.

(2.62)

(2.63)

(2.64)

[Jaworski t.2]

Energia pola elektrycznego

Przy

ųadowaniu przewodnika wykonujemy pracħ na pokonanie sių kulombowskich odpychania

jednoimiennych

ųadunków elektrycznych. Powiħksza siħ w ten sposób energia elektryczna

na

ųadowanego przewodnika (analog energii potencjalnej w mechanice).

Rozpatrzmy przewodnik charakteryzowany przez wielko

Ƒci: ܥǡ ݍǡ ߮. Praca wykonana przy

przenoszeniu ma

ųego ųadunku z nieskoŷczonoƑci na przewodnik przy pokonaniu sių pola wynosi:

ܹ݀ ൌ ߮݀ݍ ൌ ܥ߮݀߮

Aby na

ųadowađ ciaųo do potencjaųu ߮ (od 0) wykonađ trzeba zatem pracħ:

ܹ ൌ න ܥ߮݀߮ ൌ

ܥ߮

ଶ

ʹ

ఝ

଴

Jest to zarazem energia w

ųasna naųadowanego ciaųa:

ܧ

௪

ൌ

ܥ߮

ଶ

ʹ

ൌ

ݍ߮

ʹ

ൌ

ݍ

ଶ

ʹܥ

Jest to oczywi

Ƒcie teǏ energia naųadowanego kondensatora.

(2.65)

(2.66)

(2.67)