Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Macierze dla przedszkolaków
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Jeśli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ), gdzie
1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba
rzeczywista a
ij
, to mówimy, że określona jest macierz prostokątna i
piszemy:
A = [a
ij
]
n×m
=
a
11
a
12
. . .
a
1m
a
21
a
22
. . .
a
2m
. . .
. . .
a
n1
a
n2
. . .
a
nm
.
Liczby a
ij
nazywamy elementami macierzy A. Liczba
n
oznacza ilość
wierszy
, a liczba
m
– ilość
kolumn
macierzy,
n
×
m
nazywamy
wymiarem macierzy. Zbiór wszystkich macierzy o elementach
rzeczywistych wymiaru n × m oznaczamy przez M
n×m
(R).
Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywamy macierzą
zerową.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Jeśli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ), gdzie
1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba
rzeczywista a
ij
, to mówimy, że określona jest macierz prostokątna i
piszemy:
A = [a
ij
]
n×m
=
a
11
a
12
. . .
a
1m
a
21
a
22
. . .
a
2m
. . .
. . .
a
n1
a
n2
. . .
a
nm
.
Liczby a
ij
nazywamy elementami macierzy A. Liczba
n
oznacza ilość
wierszy
, a liczba
m
– ilość
kolumn
macierzy,
n
×
m
nazywamy
wymiarem macierzy. Zbiór wszystkich macierzy o elementach
rzeczywistych wymiaru n × m oznaczamy przez M
n×m
(R).
Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywamy macierzą
zerową.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Jeśli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i , j ), gdzie
1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba
rzeczywista a
ij
, to mówimy, że określona jest macierz prostokątna i
piszemy:
A = [a
ij
]
n×m
=
a
11
a
12
. . .
a
1m
a
21
a
22
. . .
a
2m
. . .
. . .
a
n1
a
n2
. . .
a
nm
.
Liczby a
ij
nazywamy elementami macierzy A. Liczba
n
oznacza ilość
wierszy
, a liczba
m
– ilość
kolumn
macierzy,
n
×
m
nazywamy
wymiarem macierzy. Zbiór wszystkich macierzy o elementach
rzeczywistych wymiaru n × m oznaczamy przez M
n×m
(R).
Macierz, której wszystkie elementy są zerami nazywamy macierzą
zerową.
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Jeśli macierze A = [a
ij
] oraz B = [b
ij
] są tego samego wymiaru
n
×
m
, to możemy je dodawać. Wynikiem dodawania jest macierz
C = [c
ij
] taka, że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
= a
ij
+ b
ij
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Jeśli macierze A = [a
ij
] oraz B = [b
ij
] są tego samego wymiaru
n
×
m
, to możemy je dodawać. Wynikiem dodawania jest macierz
C = [c
ij
] taka, że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
= a
ij
+ b
ij
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Jeśli macierze A = [a
ij
] oraz B = [b
ij
] są tego samego wymiaru
n
×
m
, to możemy je dodawać. Wynikiem dodawania jest macierz
C = [c
ij
] taka, że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
= a
ij
+ b
ij
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Niech A =
2
1
3
−3
i B =
7 −6
4
2
.
Obie są wymiaru 2 × 2, więc możemy je dodać.
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3 −3
+
7 −6
4
2
=
? ?
? ?
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3 −3
+
7
−6
4
2
=
?
?
? ?
? = 2 + 7 = 9
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3 −3
+
7 −6
4
2
=
9 ?
? ?
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3 −3
+
7
−6
4
2
=
9
?
? ?
? = 1 + (−6) = −5
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3 −3
+
7 −6
4
2
=
9 −5
?
?
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3
−3
+
7 −6
4
2
=
9 −5
?
?
? = 3 + 4 = 7
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3 −3
+
7 −6
4
2
=
9 −5
7
?
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Dodajemy:
2
1
3
−3
+
7 −6
4
2
=
9 −5
7
?
? = −3 + 2 = −1
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Ostatecznie:
2
1
3 −3
+
7 −6
4
2
=
9 −5
7 −1
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Macierz A, dowolnego wymiaru
n
×
m
możemy mnożyć przez
dowolną liczbę rzeczywistą α. Wynikiem jest macierz C = [c
ij
] taka,
że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
= α · a
ij
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Macierz A, dowolnego wymiaru
n
×
m
możemy mnożyć przez
dowolną liczbę rzeczywistą α. Wynikiem jest macierz C = [c
ij
] taka,
że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
= α · a
ij
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Macierz A, dowolnego wymiaru
n
×
m
możemy mnożyć przez
dowolną liczbę rzeczywistą α. Wynikiem jest macierz C = [c
ij
] taka,
że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
= α · a
ij
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Niech A =
6
8
−2
5
i α =
1
2
. Obliczmy α · A.
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Obliczamy:
1
2
·
6
8
−2 5
=
?
?
? ?
? =
1
2
· 6 = 3
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Obliczamy:
1
2
·
6
8
−2 5
=
3
?
? ?
? =
1
2
· 8 = 4
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Obliczamy:
1
2
·
6
8
−2
5
=
3 4
?
?
? =
1
2
· (−2) = −1
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Obliczamy:
1
2
·
6
8
−2
5
=
3
4
−1
?
? =
1
2
· 5 = 2
1
2
Transponowanie
Mnożenie
macierzy
Transponowanie
Mnożenie macierzy
Mamy więc:
1
2
·
6
8
−2 5
=
3
4
−1 2
1
2
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Macierz A = [a
ij
] dowolnego wymiaru
n
×
m
możemy transponować.
Wynikiem jest macierz C = [c
ij
], którą oznaczamy przez A
T
, taka,
że:
•
C jest wymiaru
m
×
n
,
•
c
ij
= a
ji
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Oznacza to, że aby transponować macierz A “przestawiamy” jej
wiersze tak, by stały się kolumnami.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Macierz A = [a
ij
] dowolnego wymiaru
n
×
m
możemy transponować.
Wynikiem jest macierz C = [c
ij
], którą oznaczamy przez A
T
, taka,
że:
•
C jest wymiaru
m
×
n
,
•
c
ij
= a
ji
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Oznacza to, że aby transponować macierz A “przestawiamy” jej
wiersze tak, by stały się kolumnami.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Macierz A = [a
ij
] dowolnego wymiaru
n
×
m
możemy transponować.
Wynikiem jest macierz C = [c
ij
], którą oznaczamy przez A
T
, taka,
że:
•
C jest wymiaru
m
×
n
,
•
c
ij
= a
ji
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Oznacza to, że aby transponować macierz A “przestawiamy” jej
wiersze tak, by stały się kolumnami.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Macierz A = [a
ij
] dowolnego wymiaru
n
×
m
możemy transponować.
Wynikiem jest macierz C = [c
ij
], którą oznaczamy przez A
T
, taka,
że:
•
C jest wymiaru
m
×
n
,
•
c
ij
= a
ji
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Oznacza to, że aby transponować macierz A “przestawiamy” jej
wiersze tak, by stały się kolumnami.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Niech A =
1
0
−2
5
7
−1
.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Niech A =
1
0
−2
5
7
−1
.
Macierz A jest wymiaru
3
×
2
.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Niech A =
1
0
−2
5
7
−1
.
Macierz A jest wymiaru
3
×
2
.
Stąd macierz transponowana – A
T
jest wymiaru
2
×
3
.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Niech A =
1
0
−2
5
7
−1
.
Macierz A jest wymiaru
3
×
2
.
Stąd macierz transponowana – A
T
jest wymiaru
2
×
3
.
Wyznaczmy ją:
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
1
0
−2
5
7
−1
T
=
? ? ?
? ? ?
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
1
0
−2
5
7
−1
T
=
? ? ?
? ? ?
[?
?
?] = [1
− 2
7]
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
1
0
−2
5
7
−1
T
=
1 −2 7
?
?
?
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
1
0
−2
5
7
−1
T
=
? ? ?
? ? ?
[?
?
?] = [0
5
− 1]
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
1
0
−2
5
7
−1
T
=
1 −2
7
0
5
−1
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Jeśli A = [a
ij
] jest macierzą wymiaru
n
×
p
oraz B = [b
ij
] jest
macierzą wymiaru
p
×
m
, to możemy macierz A pomnożyć przez
macierz B. Wynikiem będzie macierz C = [c
ij
] taka, że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
=
P
p
k=1
a
ik
· b
kj
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Drugi warunek oznacza, że macierze mnożymy “wiersz razy kolumna”.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Jeśli A = [a
ij
] jest macierzą wymiaru
n
×
p
oraz B = [b
ij
] jest
macierzą wymiaru
p
×
m
, to możemy macierz A pomnożyć przez
macierz B. Wynikiem będzie macierz C = [c
ij
] taka, że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
=
P
p
k=1
a
ik
· b
kj
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Drugi warunek oznacza, że macierze mnożymy “wiersz razy kolumna”.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Jeśli A = [a
ij
] jest macierzą wymiaru
n
×
p
oraz B = [b
ij
] jest
macierzą wymiaru
p
×
m
, to możemy macierz A pomnożyć przez
macierz B. Wynikiem będzie macierz C = [c
ij
] taka, że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
=
P
p
k=1
a
ik
· b
kj
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Drugi warunek oznacza, że macierze mnożymy “wiersz razy kolumna”.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Jeśli A = [a
ij
] jest macierzą wymiaru
n
×
p
oraz B = [b
ij
] jest
macierzą wymiaru
p
×
m
, to możemy macierz A pomnożyć przez
macierz B. Wynikiem będzie macierz C = [c
ij
] taka, że:
•
C jest wymiaru
n
×
m
,
•
c
ij
=
P
p
k=1
a
ik
· b
kj
dla wszystkich i , j : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.
Drugi warunek oznacza, że macierze mnożymy “wiersz razy kolumna”.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 3 −1
2
0
5
i B =
4
−2
2
6
1
7
.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 3 −1
2
0
5
i B =
4
−2
2
6
1
7
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a B wymiaru
3
×
2
.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 3 −1
2
0
5
i B =
4
−2
2
6
1
7
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a B wymiaru
3
×
2
.
Ponieważ liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy
macierzy B (
3
), możemy pomnożyć A przez B.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 3 −1
2
0
5
i B =
4
−2
2
6
1
7
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a B wymiaru
3
×
2
.
Ponieważ liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy
macierzy B (
3
), możemy pomnożyć A przez B.
W wyniku otrzymamy macierz wymiaru
2
×
2
.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 3 −1
2
0
5
i B =
4
−2
2
6
1
7
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a B wymiaru
3
×
2
.
Ponieważ liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy
macierzy B (
3
), możemy pomnożyć A przez B.
W wyniku otrzymamy macierz wymiaru
2
×
2
.
Wykonujemy mnożenie:
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4 −2
2
6
1
7
=
? ?
? ?
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4
−2
2
6
1
7
=
?
?
? ?
? = 1 · 4 + 3 · 2 + (−1) · 1 = 9
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4 −2
2
6
1
7
=
9 ?
? ?
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4
−2
2
6
1
7
=
9
?
? ?
? = 1 · (−2) + 3 · 6 + (−1) · 7 = 9
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4 −2
2
6
1
7
=
9 9
? ?
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4
−2
2
6
1
7
=
9 9
?
?
? = 2 · 4 + 0 · 2 + 5 · 1 = 13
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4 −2
2
6
1
7
=
9 9
13 ?
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Wykonujemy mnożenie:
1 3 −1
2 0
5
·
4
−2
2
6
1
7
=
9 9
13
?
? = 2 · (−2) + 0 · 6 + 5 · 7 = 31
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Ostatecznie:
1 3 −1
2 0
5
·
4 −2
2
6
1
7
=
9
9
13 31
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 2 3
3
1
2
i B =
4 7
8
1
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a macierz B wymiaru
2
×
2
.
Liczba kolumn macierzy A jest różna od liczby wierszy macierzy B.
Stąd, mnożenie AB jest niewykonalne.
Uwaga: Wykonalne jest natomiast mnożenie BA.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 2 3
3
1
2
i B =
4 7
8
1
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a macierz B wymiaru
2
×
2
.
Liczba kolumn macierzy A jest różna od liczby wierszy macierzy B.
Stąd, mnożenie AB jest niewykonalne.
Uwaga: Wykonalne jest natomiast mnożenie BA.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 2 3
3
1
2
i B =
4 7
8
1
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a macierz B wymiaru
2
×
2
.
Liczba kolumn macierzy A jest różna od liczby wierszy macierzy B.
Stąd, mnożenie AB jest niewykonalne.
Uwaga: Wykonalne jest natomiast mnożenie BA.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 2 3
3
1
2
i B =
4 7
8
1
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a macierz B wymiaru
2
×
2
.
Liczba kolumn macierzy A jest różna od liczby wierszy macierzy B.
Stąd, mnożenie AB jest niewykonalne.
Uwaga: Wykonalne jest natomiast mnożenie BA.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1 2 3
3
1
2
i B =
4 7
8
1
.
Macierz A jest wymiaru
2
×
3
, a macierz B wymiaru
2
×
2
.
Liczba kolumn macierzy A jest różna od liczby wierszy macierzy B.
Stąd, mnożenie AB jest niewykonalne.
Uwaga: Wykonalne jest natomiast mnożenie BA.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1
7
3
−1
i B =
4
5
−2
1
.
Wtedy:
AB =
1
7
3
−1
4
5
−2
1
=
−10 12
14
14
.
Natomiast:
BA =
4
5
−2
1
1
7
3
−1
=
19
23
1
−15
.
Wniosek: Mnożenie macierzy nie jest (w ogólności) przemienne.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1
7
3
−1
i B =
4
5
−2
1
.
Wtedy:
AB =
1
7
3
−1
4
5
−2
1
=
−10 12
14
14
.
Natomiast:
BA =
4
5
−2
1
1
7
3
−1
=
19
23
1
−15
.
Wniosek: Mnożenie macierzy nie jest (w ogólności) przemienne.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1
7
3
−1
i B =
4
5
−2
1
.
Wtedy:
AB =
1
7
3
−1
4
5
−2
1
=
−10 12
14
14
.
Natomiast:
BA =
4
5
−2
1
1
7
3
−1
=
19
23
1
−15
.
Wniosek: Mnożenie macierzy nie jest (w ogólności) przemienne.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1
7
3
−1
i B =
4
5
−2
1
.
Wtedy:
AB =
1
7
3
−1
4
5
−2
1
=
−10 12
14
14
.
Natomiast:
BA =
4
5
−2
1
1
7
3
−1
=
19
23
1
−15
.
Wniosek: Mnożenie macierzy nie jest (w ogólności) przemienne.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1
7
3
−1
i B =
4
5
−2
1
.
Wtedy:
AB =
1
7
3
−1
4
5
−2
1
=
−10 12
14
14
.
Natomiast:
BA =
4
5
−2
1
1
7
3
−1
=
19
23
1
−15
.
Wniosek: Mnożenie macierzy nie jest (w ogólności) przemienne.
Dodawanie
macierzy
Mnożenie
macierzy przez
stałą
Transponowanie
Dodawanie macierzy
Mnożenie macierzy przez stałą
Transponowanie
Niech A =
1
7
3
−1
i B =
4
5
−2
1
.
Wtedy:
AB =
1
7
3
−1
4
5
−2
1
=
−10 12
14
14
.
Natomiast:
BA =
4
5
−2
1
1
7
3
−1
=
19
23
1
−15
.
Wniosek: Mnożenie macierzy nie jest (w ogólności) przemienne.
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
angielski dla sanitariuszy id 6 Nieznany
edukacja dla bezpieczenstwa id Nieznany
Materialy dla uczestnikow K id Nieznany
Business English dla kazdego id Nieznany
angielski dla pielegniarek id 6 Nieznany
Materialy dla prowadzacego id 2 Nieznany
planFinanse Przedsiebiorstw id Nieznany
Hacking dla poczatkujacych id 1 Nieznany
Bhp kolokwium dla studentow id Nieznany (2)
d finanse przedsiebiorstwa id 1 Nieznany
angielski dla recepcjonistow id Nieznany
Blachownica EC dla sturentow id Nieznany (2)
angielski dla sanitariuszy id 6 Nieznany
edukacja dla bezpieczenstwa id Nieznany
więcej podobnych podstron