AM2 semII wykład 6

28.03.2012

19

E

KS TREMA LOKALNE FUNKCJI

Załóżmy, że funkcja f n zmiennych jest określona w pewnym otoczeniu punktu

0

x .

D

EFINICJA

Funkcja f ma w punkcie

0

x minimum lok alne właściwe, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu

0

x , że

dla każdego punktu x należącego do tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność

)

(

)

(

0

x

f

x

f



.

Funkcja f ma w punkcie

0

x mak simum lok alne właściwe, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo punktu

0

x ,

że dla każdego punktu x należącego do tego sąsiedztwa spełniona jest nierówność

)

(

)

(

0

x

f

x

f



.

Jeżeli zamiast nierówności mocnej (>, < )zachodzi nierówność słaba(



,



), to mówimy, że funkcja f

ma w

0

x minimum (maksimum).

Minima i maksima (właściwe lub niewłaściwe) nazywamy ekstremami. Ekstremum jest
lokalną własnością funkcji, charakteryzuje rozkład wartości funkcji w dowolnie małym
otoczeniu danego punktu. Nie należy mylić ekstremów lokalnych z ekstremami globalnymi
czyli z wartością największą oraz wartością najmniejszą funkcji na zadanym zbiorze.

Przykład
Korzystając z definicji rozstrzygnąć, czy funkcja f ma we wskazanym punkcie ekstremum.

a)

2

2

)

,

(

y

x

y

x

f





)

0

,

0

(

b)

)

4

)(

1

(

)

,

(

2

2

y

x

y

x

f







)

0

,

0

(

c)

xy

y

x

f



)

,

(

)

0

,

0

(

TW.

W

ARUNEK KONIECZNY IS TNIENIA EKS TREMUM

(dowód dla n=2)

.

Jeżeli funkcja f ma w punkcie

0

x ekstremum i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu

pierwszego, to są one równe zero

0

)

(

0





x

f

i

x

dla

n

i





1

.

0

)

(

0



x

gradf

Punkt

0

x , w których spełniony jest warunek

0

)

(

0



x

gradf

nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f.

W

NIOS EK

Funkcja wielu zmiennych może mieć ekstremum jedynie w punktach stacjonarnych lub w punktach, w
których nie istnieje przynajmniej jedna pochodna cząstkowa rzędu pierwszego.

AM2 semII wykład 6

28.03.2012

20

W

IADOMOŚCI Z ALGEBRY

DEFINICJA

Niech

)

(R

M

A

n

n





będzie niezerową symetryczną macierzą ,

)

,

,

,

(

2

1

n

x

x

x

x





.

Funkcję

R

R

n



:



określoną wzorem







n

j

i

j

i

ij

n

x

x

a

x

x

x

1

,

2

1

)

,

,

(



































n

n

n

x

x

x

A

x

x

x

x

x

x







2

1

2

1

2

1

,

,

,

)

,

,

,

(



nazywamy formą kwadratową.

Zauważmy, że











n

j

i

ij

a

1

,

0

0

0

)

0

,

,

0

,

0

(





D

EF

:

Formę kwadratową

R

R

n



:



nazywamy

a) określoną dodatnio,
jeżeli

0

)

(



x



dla każdego niezerowego wektora x

b) określoną ujemnie,
jeżeli

0

)

(



x



dla każdego niezerowego wektora x

c) nieokreśloną ,
jeżeli istnieją dwa różne punkty z

n

R

w których funkcja



przyjmuje wartości różnych znaków

0

)

(

)

(

,







y

x

R

y

x

n





d) półokreśloną dodatnio,
jeżeli

0

)

(



x



dla każdego

n

R

x



i istnieje niezerowy wektor

x

taki, że

0

)

(



x



e) półokreśloną ujemnie,
jeżeli

0

)

(



x



dla każdego

n

R

x



i istnieje niezerowy wektor

x

taki, że

0

)

(



x



S

TWIERDZEN IE

(

TW

.

S

YLVES TERA

)

(dowód n=2)

Forma kwadratowa







n

j

i

j

i

ij

n

x

x

a

x

x

x

1

,

2

1

)

,

,

(





(symetryczna macierz A)

a) jest dodatnio określona



0

1

1

2

22

21

1

12

11



ii

i

i

i

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a















dla

n

i



,

2

,

1



b) ujemnie określona



0

)

1

(

1

1

2

22

21

1

12

11





ii

i

i

i

i

i

a

a

a

a

a

a

a

a

a















dla

n

i



,

2

,

1



czyli wyznaczniki stopni parzystych są

DODATNIE

, a stopni nieparzystch

UJEMNE

.

AM2 semII wykład 6

28.03.2012

21

W

ARUNEK WYSTARCZAJĄCY EKSTREMUM FUNKCJI

f

W PUNKCIE

0

x sformułujemy przy założeniu,

że funkcja f jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu U punktu

0

x .

M

ACIERZ

drugich pochodnych cząstkowych











































)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

1

1

2

1

1

1

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

H

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x















nazywamy macierzą Hessego.

Jeżeli funkcja f jest klasy C

2

w pewnym zbiorze, to macierz Hessego dla punktów z tego zbioru jest

macierzą symetryczną (z tw. Schwarza pochodne mieszane są wówczas równe).









































n

n

n

j

i

j

i

x

x

n

h

h

h

x

H

h

h

h

h

h

x

f

h

x

f

d

h

h

h

j

i







2

1

0

2

1

1

,

0

0

2

2

1

)

(

,

,

,

)

(

)

)(

(

)

,

,

,

(



Druga rózniczka

)

)(

(

0

2

h

x

f

d

jest formą kwadratową o macierzy

)

(

0

x

H

.

TW. W

ARUNEK WYSTARCZAJĄCY EKSTREMUM

(dowód)

Jeżeli funkcja f jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu punktu

0

x oraz

1)

0

)

(

0



x

gradf

2a) druga różniczka

)

(

0

2

x

f

d

jest określona dodatnio

(macierz

)

(

0

x

H

jest dodatnio określona)

to funkcja f ma w punkcie

0

x minimum właściwe .

Jeżeli funkcja f jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu punktu

0

x oraz

1)

0

)

(

0



x

gradf

2b) druga różniczka

)

(

0

2

x

f

d

jest określona ujemnie

(macierz

)

(

0

x

H

jest ujemnie określona),

to funkcja f ma w punkcie

0

x maksimum właściwe .

AM2 semII wykład 6

28.03.2012

22

Oznaczając











































)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

det

)

(

2

1

1

2

1

1

1

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

f

x

W

i

i

i

i

i

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

i















dla

n

i



,

2

,

1



warunek 2a) jest równoważny
2a) wyznaczniki

0

)

(

0



x

W

i

dla każdego

n

i



,

2

,

1



to funkcja f ma w punkcie

0

x minimum właściwe .

zaś
2b)

0

)

(

)

1

(

0





x

W

i

i

n

i



,

2

,

1



wyznaczniki

)

(

0

x

W

i

stopnia parzystego są dodatnie, a stopnia nieparzystego ujemne,

to funkcja f ma w punkcie

0

x maksimum właściwe .

TW. W

ARUNEK WYKLUCZAJĄCY EKSTREMUM

Jeżeli funkcja f jest klasy C

2

w pewnym otoczeniu punktu

0

x ,

0

)

(

0



x

gradf

i druga różniczka

)

(

0

2

x

f

d

jest formą kwadratową nieokreśloną, to w punkcie

0

x funkcja f nie ma ekstremum.

Uwaga

)

(

0

2

x

f

d

jest formą kwadratową nieokreśloną, gdy istnieje liczba parzysta k taka, że

0

)

(

0



x

W

k

lub

istnieją liczby nieparzyste k, l, takie, że

0

)

(

)

(

0

0



x

W

x

W

l

k

gdzie

}

,

,

2

,

1

{

,

n

l

k





.

Przykład
Wyznaczyć ekstrema funkcji

a)

)

(

)

,

(

2

y

x

e

y

x

f

x







b)

y

xy

xz

z

y

x

z

y

x

f













2

2

)

,

,

(

2

2

3

c)

)

2

(

)

,

(

2

2

4

x

y

x

x

y

x

f







odp. funkcja ma w punktach

}

0

{

\

)

,

0

(

R

y

y



minimum niewłaściwe równe 0,

w punkcie













0

,

3

5

minimum właściwe równe

6

5

3

5



.