UKŁADY RÓWNAŃ
LINIOWYCH
- Metody dokładne
2
Układy równań liniowych
Rozpatruje się układ
n
równań liniowych zawierających
n
niewiadomych:
11 1
12 2
1
1
21 1
22 2
2
2
1 1
2 2
...
...
.............................................
...
n n
n n
n
n
nn n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
który można zapisać w postaci macierzowej:
=
⋅
A X B
3
Układy równań liniowych
gdzie:
11 12
1
21
22
2
1
2
...
...
...................
...
n
n
n
n
nn
a a
a
a a
a
a a
a
=
A
1
2
n
x
x
x
=
X
»
1
2
n
b
b
b
=
B
»
A
– macierz główna układu
X
– wektor niewiadomych
B
– wektor wyrazów wolnych
4
Układy równań liniowych
Założenie:
Układ równań jest oznaczony, (tzn. posiada jedno rozwiązanie)
Macierz główna układu równań
A
nie jest osobliwa (wyznacznik
tej macierzy jest różny od zera)
Zastosowanie macierzy
odwrotnej
6
Zastosowanie macierzy odwrotnej
Układ równań:
⋅ =
A X B
Można rozwiązać obliczając macierz odwrotną do macierzy
głównej układu:
1
−
=
⋅
X A
B
Układ równań, w którym tylko
główna przekątna macierzy
A
ma elementy niezerowe
8
Układ równań z niezerową główną przekątną macierzy A
11 1
1
22 2
2
...
nn n
n
a x
b
a x
b
a x
b
=
°
=
°
®
°
°
=
¯
Algorytm:
,
0,
1, 2,...,
i
i
ii
ii
b
x
a
i
n
a
=
≠
=
Trójkątny układ równań
10
Trójkątny układ równań
11 1
12 2
1
1
22 2
2
2
...
...
...
n n
n n
nn n
n
a x
a x
a x
b
a x
a x
b
a x
b
+
+ +
=
°
+ +
=
°
®
°
°
=
¯
11
Trójkątny układ równań
Algorytm:
n
n
nn
b
x
a
=
1
,
1,
2,...,1
n
i
is s
s i
i
ii
b
a x
x
i n
n
a
= +
−
=
= −
−
¦
Przy spełnionym warunku:
0,
1,2,...,
ii
a
i
n
≠
=
12
Trójkątny układ równań
Przykład
Rozwiązać trójkątny układ równań:
1
2
3
4
1
3
2
15 1
1
0
4
4
2
1
8
0
0
3
3
x
x
x
ª
º
ª º
«
»
« »
ª º
«
»
« »
« »
«
»
« »
⋅
=
« »
«
»
« »
« »
«
»
« »
¬ ¼
«
»
« »
¬
¼
¬ ¼
13
Trójkątny układ równań
3
3
33
b
x
a
=
8
3
1
3
=
8
=
2
23 3
2
22
b
a x
x
a
−
=
1 1
8
2 4
15
4
− ⋅
=
2
5
= −
1
12 2
13 3
1
11
b
a x
a x
x
a
−
−
=
2
2 1
3 8
5
4
§
·
− ⋅ −
− ⋅
¨
¸
©
¹
=
27
5
= −
Wzory Cramera
(metoda wyznacznikowa)
15
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
Układ równań liniowych zapisujemy w postaci macierzowej.
Przez
W
oznaczamy macierz główną układu równań, czyli:
11 12
1
21
22
2
1
2
...
...
...................
...
n
n
n
n
nn
a a
a
a a
a
a a
a
ª
º
«
»
«
»
=
«
»
«
»
¬
¼
W
Obliczamy wyznacznik tej macierzy:
W
16
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
Jeżeli
|
W|
≠ 0
to obliczamy wyznaczniki macierzy pomocniczych:
1
12
1
2
22
2
2
...
...
...................
...
n
n
n
n
nn
b a
a
b a
a
b a
a
=
W1
11
1
1
21
2
2
1
...
...
...................
...
n
n
n
n
nn
a b
a
a b
a
a b
a
=
W2
itd..
17
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
Następnie obliczamy elementy wektora niewiadomych
X
:
itd..
1
x
=
W1
W
2
x
=
W2
W
3
x
=
W3
W
18
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
Przykład
Rozwiązać układ równań metodą wyznacznikową:
1
2
3
2 3 2
22
4 8 4
48
5 1 3
32
x
x
x
ª
º ª º ª º
«
» « » « »
⋅
=
«
» « » « »
«
» « » « »
¬
¼ ¬ ¼ ¬ ¼
8
= −
W
19
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
22 3 2
48 8 4
32 1 3
ª
º
«
»
= «
»
«
»
¬
¼
W1
2 22 2
4 48 4
5 32 3
ª
º
«
»
= «
»
«
»
¬
¼
W2
2 3 22
4 8 48
5 1 32
ª
º
«
»
= «
»
«
»
¬
¼
W3
24
= −
W1
16
= −
W2
40
= −
W3
20
Wzory Cramera (metoda wyznacznikowa)
1
x
=
W1
W
24
8
−
=
−
3
=
2
x
=
W2
W
16
8
−
=
−
2
=
3
x
=
W3
W
40
8
−
=
−
5
=
Metoda Thomasa dla
układów trójprzekątniowych
22
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Trójprzekątniowy układ równań:
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
2
3
3
1
1
1
1
1
.
.
.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
c
x
d
a
b
c
x
d
a
b
c
x
d
a
b
c
x
d
a
b
x
d
−
−
−
−
−
ª
º ª
º ª
º
«
» «
» «
»
«
» «
» «
»
«
» «
» «
»
⋅
=
«
» «
» «
»
«
» «
» «
»
«
» «
» «
»
«
» «
» «
»
¬
¼ ¬
¼ ¬
¼
1
0
a
=
0
n
c
=
23
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Układ można zapisać w następujący sposób:
1
1
1
,
1, 2, ... ,
0,
0
i i
i i
i i
i
n
a x
b x
c x
d
i
n
a
c
−
+
+
+
=
=
=
=
(1)
Rozwiązania tego układu równań poszukuje się w postaci:
1
i
i
i
i
x
x
+
= β
+ γ
(2)
lub inaczej zapisując:
1
1
1
i
i
i
i
x
x
−
−
−
= β
+ γ
(3)
β
i
,
γ
i
– nieznane współczynniki
24
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Po podstawieniu (3) do (1) i obliczeniu
x
i
:
1
1
1
1
i
i
i i
i
i
i i
i
i i
i
c
d
a
x
x
a
b
a
b
−
+
−
−
− γ
= −
+
β +
β +
(4)
Z porównania prawych stron (2) i (4):
1
i
i
i
i
i
c
a
b
−
β = −
β +
1
1
i
i i
i
i
i
i
d
a
a
b
−
−
− γ
γ =
β +
(5)
25
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Na podstawie równania (1) można wyznaczyć wartości
początkowe (dla
i = 1
):
1 1
1 2
1
b x
c x
d
+
=
1
1
1
2
1
1
c
d
x
x
b
b
= −
+
(6)
Ponieważ z (2) dla
i = 1
wynika, że:
1
1 2
1
x
x
= β + γ
(7)
więc:
1
1
1
1
1
1
,
c
d
b
b
β = −
γ =
(8)
26
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Do ostatniego równania układu (1), czyli:
1
n n
n n
n
a x
b x
d
−
+
=
(9)
wstawiamy zależność (3) (dla
i = n
):
(
)
1
1
n
n
n
n
n n
n
a
x
b x
d
−
−
β
+ γ
+
=
(10)
skąd otrzymujemy:
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
d
a
x
a
b
−
−
− γ
=
= γ
β +
(11)
27
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Po wyznaczeniu wartości
x
n
kolejne niewiadome obliczamy z
równania (3) dla
i = n - 1, n - 2, ...,1
28
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Algorytm:
1
1
1
c
b
β = −
1
1
1
d
b
γ =
1
i
i
i
i
i
c
a
b
−
β = −
β +
1
1
i
i i
i
i
i
i
d
a
a
b
−
−
− γ
γ =
β +
2,3,...,
i
n
=
n
n
x
= γ
1
i
i i
i
x
x
+
= β
+ γ
1,
2, ,1
i n
n
= −
−
…
29
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
Przykład
Rozwiązać układ równań metodą Thomasa:
1
2
3
4
5
2 2 0 0 0
2
3 1 1 0 0
6
0 1 2 4 0
4
0 0 1 1 1
1
0 0 0 2 2
4
x
x
x
x
x
ª º
ª
º
ª º
« »
«
»
« »
« »
«
»
« »
⋅
=
« »
«
»
« »
« »
«
»
« »
« »
«
»
« »
« »
«
»
« »
¬
¼
¬ ¼
¬ ¼
30
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
1
1
1
c
b
β = −
2
1
2
= − = −
2
2
2 1
2
c
a
b
β = −
β +
1
1
3 ( 1) 1 2
= −
=
⋅ − +
3
3
3 2
3
c
a
b
β = −
β +
4
8
1 (1/ 2) 2
5
= −
= −
⋅
+
4
4
4 3
4
c
a
b
β = −
β +
1
5
1 ( 8/ 5) 1 3
= −
=
⋅ −
+
5
5
5 4
5
c
a
b
β = −
β +
0
0
2 (5/ 3) 2
= −
=
⋅
+
31
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
1
1
1
d
b
γ =
2
1
2
= =
2
2 1
2
2 1
2
d
a
a
b
− γ
γ =
β +
6 3 1
3
3 ( 1) 1
2
− ⋅
=
= −
⋅ − +
3
3 2
3
3 2
3
d
a
a
b
− γ
γ =
β +
4 1 ( 3/ 2) 11
1 (1/ 2) 2
5
− ⋅ −
=
=
⋅
+
4
4 3
4
4 3
4
d
a
a
b
− γ
γ =
β +
1 1 (11/ 5)
2
1 ( 8/ 5) 1
− ⋅
=
=
⋅ −
+
5
5 4
5
5 4
5
d
a
a
b
− γ
γ =
β +
4 2 2
0
2 (5/ 3) 2
− ⋅
=
=
⋅
+
32
Metoda Thomasa dla układów trójprzekątniowych
5
5
x
= γ
0
=
4
4 5
4
x
x
= β
+ γ
5
0 2 2
3
= ⋅ + =
3
3 4
3
x
x
= β
+ γ
8
11
2
1
5
5
= − ⋅ +
= −
2
2 3
x
x
= β
+ γ
( )
1
3
1
2
2
2
§
·
= ⋅ − + −
= −
¨
¸
©
¹
1
1 2
1
x
x
= β + γ
1 ( 2) 1 3
= − ⋅ − + =
Metoda eliminacji Gaussa
34
Metoda eliminacji Gaussa
11 12
1
21
22
2
1
2
...
...
...................
...
n
n
n
n
nn
a a
a
a a
a
a a
a
ª
º
«
»
«
»
=
«
»
«
»
¬
¼
A
1
2
n
b
b
b
ª º
« »
« »
=
« »
« »
¬ ¼
B
≺
Macierz główną układu równań i wektor wyrazów wolnych:
Zapisujemy w postaci macierzy
C
:
11
12
1
1
21
22
2
2
1
2
...
...
...
...
... ...
...
...
n
n
n
n
nn
n
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
b
ª
º
«
»
«
»
=
«
»
«
»
¬
¼
C
11
12
1
1,
1
21
22
2
2,
1
1
2
,
1
...
...
...
...
... ...
...
...
n
n
n
n
n
n
nn
n n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
+
+
+
=
35
Metoda eliminacji Gaussa
Podstawowy wariant metody:
1. etap:
Przekształcenie macierzy
C
w taki sposób, aby
n
pierwszych
kolumn tworzyło macierz trójkątną.
2. etap:
Rozwiązanie trójkątnego układu równań.
36
Metoda eliminacji Gaussa
Jeżeli
c
11
≠ 0
Pierwsze równanie mnożymy przez:
1
11
i
c
c
Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego,
i
– tego
równania (
i = 2, 3, ..., n
)
Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.
37
Metoda eliminacji Gaussa
Otrzymujemy następujący układ równań:
11 1
12 2
13 3
1
1,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
32
2
33
3
3
3,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
2 2
3 3
,
1
...
...
...
...
...
n n
n
n n
n
n n
n
n
n
nn
n
n n
c x
c x
c x
c x
c
c x
c x
c x
c
c x
c x
c x
c
c x
c x
c x
c
+
+
+
+
+
+
+ +
=
°
+
+ +
=
°°
+
+ +
=
®
°
°
+
+ +
=
°¯
38
Metoda eliminacji Gaussa
Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy
C
do
C
1
:
11
12
13
1
1,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
23
2
2,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
32
33
3
3,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
2
3
,
1
...
0
...
0
...
...
...
...
... ...
...
0
...
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
+
+
+
+
=
1
C
za pomocą wzorów określających nowe współczynniki:
(1)
1
11
,
2,3,...,
2,3,...,
1
i
ij
ij
ij
c
c
c
c
i
n
j
n
c
= −
=
=
+
39
Metoda eliminacji Gaussa
Jeżeli
Drugie równanie mnożymy przez:
(1)
2
(1)
22
i
c
c
Odejmujemy to równanie od każdego kolejnego,
i
– tego
równania (
i = 3, 4, ..., n
)
Obliczone współczynniki zapisujemy na miejscu poprzednich.
(1)
22
0
c
≠
40
Metoda eliminacji Gaussa
Otrzymujemy następujący układ równań:
11 1
12 2
13 3
1
1,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2,
1
(2)
(2)
(2)
33
3
3
3,
1
(2)
(2)
(2)
3
3
,
1
...
...
...
...
...
n n
n
n n
n
n
n
n
n
nn
n
n n
c x
c x
c x
c x
c
c x
c x
c x
c
c x
c x
c
c x
c x
c
+
+
+
+
+
+
+ +
=
°
+
+ +
=
°°
+ +
=
®
°
°
+ +
=
°¯
41
Metoda eliminacji Gaussa
Układ ten odpowiada sprowadzeniu macierzy
C
1
do
C
2
:
11
12
13
1
1,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
23
2
2,
1
(2)
(2)
(2)
33
3
3,
1
(2)
(2)
(2)
3
,
1
...
0
...
0
0
...
...
...
...
... ...
...
0
0
...
n
n
n
n
n
n
n
nn
n n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
+
+
+
+
=
2
C
za pomocą wzorów określających nowe współczynniki:
(1)
(2)
(1)
(1)
2
2
(1)
22
,
3,4,...,
3,4,...,
1
i
ij
ij
j
c
c
c
c
i
n
j
n
c
=
−
=
=
+
42
Metoda eliminacji Gaussa
Po wykonaniu
n
kroków otrzymujemy trójkątny układ równań:
11 1
12 2
13 3
1
1,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
2
23 3
2
2,
1
(2)
(2)
(2)
33
3
3
3,
1
(
1)
(
1)
,
1
...
...
...
...
n n
n
n n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n n
c x
c x
c x
c x
c
c x
c x
c x
c
c x
c x
c
c
x
c
+
+
+
−
−
+
+
+
+ +
=
°
+
+ +
=
°°
+ +
=
®
°
°
=
°¯
43
Metoda eliminacji Gaussa
Dla tego układu macierz
C
n-1
ma postać:
11
12
13
1
1,
1
(1)
(1)
(1)
(1)
22
23
2
2,
1
(2)
(2)
(2)
33
3
3,
1
(
1)
(
1)
,
1
...
0
...
0
0
...
...
...
...
... ...
...
0
0
0
...
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n n
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
+
+
+
−
−
+
ª
º
«
»
«
»
«
»
=
«
»
«
»
«
»
¬
¼
n-1
C
44
Metoda eliminacji Gaussa
Algorytm:
( 1)
( )
( 1)
( 1)
( 1)
1,2,...,
1
1,
2,...,
,
1,
2,...,
1
s
s
s
s
is
ij
ij
sj
s
ss
s
n
i s
s
n
c
c
c
c
j s
s
n
c
−
−
−
−
=
−
° = + +
°
®°
®
°
=
−
= +
+
+
°
°¯
¯
45
Metoda eliminacji Gaussa
Przykład
Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
1
2
3
4 1 3
2
1 4 1
1
2 3 2
4
x
x
x
ª
º ª º ª º
«
» « » « »
=
«
» « » « »
«
» « » « »
¬
¼ ¬ ¼ ¬ ¼
4 1 3 2
1 4 1 1
2 3 2 4
ª
º
«
»
= «
»
«
»
¬
¼
C
46
Metoda eliminacji Gaussa
1
s
=
2
i
=
(1)
21
22
22
12
11
c
c
c
c
c
=
−
1
4
1
4
= − ⋅
15
4
=
(1)
21
23
23
13
11
c
c
c
c
c
=
−
1
1
3
4
= − ⋅
1
4
=
(1)
21
24
24
14
11
c
c
c
c
c
=
−
1
1
2
4
= − ⋅
1
2
=
47
Metoda eliminacji Gaussa
3
i
=
(1)
31
32
32
12
11
c
c
c
c
c
=
−
2
3
1
4
= − ⋅
5
2
=
(1)
31
33
33
13
11
c
c
c
c
c
=
−
2
2
3
4
= − ⋅
1
2
=
(1)
31
34
34
14
11
c
c
c
c
c
=
−
2
4
2
4
= − ⋅
3
=
48
Metoda eliminacji Gaussa
4 1
3
2
15 1 1
0
4
4 2
5
1
0
3
2
2
ª
º
«
»
«
»
«
»
=
«
»
«
»
«
»
¬
¼
1
C
49
Metoda eliminacji Gaussa
2
s
=
3
i
=
(1)
(2)
(1)
(1)
32
33
33
23
(1)
22
c
c
c
c
c
=
−
1 5 4 1
2 2 15 4
= − ⋅ ⋅
1
3
=
(1)
(2)
(1)
(1)
32
34
34
24
(1)
22
c
c
c
c
c
=
−
5 4 1
3
2 15 2
= − ⋅ ⋅
8
3
=
50
Metoda eliminacji Gaussa
4 1
3
2
15 1 1
0
4
4 2
1 8
0 0
3 3
ª
º
«
»
«
»
«
»
=
«
»
«
»
«
»
¬
¼
2
C
Macierz odpowiada trójkątnemu układowi równań.
Rozwiązanie takiego układu równań:
patrz wcześniejszy przykład
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
4 Metody numeryczne rozwiązywania układów równań2
IV.13.14.15 Metody numeryczne rozwiązywania układów liniowyc, IV
rozwiązywanie układów równań liniowych spr, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, sem III, sprawka,
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
3 Metody numeryczne rozwiązywania równań algebraicznych
Macierzowe metody rozwiązywania układów równań, t2d
Macierzowe metody rozwiązywania układów równań, 3
Metody numeryczne rozwiązywania równań Maxwella w kwazijednowymiarowych strukturach fotnicznych
Macierzowe metody rozwiązywania układów równań okładka
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań
Rozwiązywanie układów równań metodą wyznaczników
więcej podobnych podstron