Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

Budownictwo, studia I stopnia, semestr III

rok akademicki 2010/2011

Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Ewa Pabisek

Adam Wosatko

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Czym jest problem własny?

Algebraiczny problem własny – definicja

W teorii układów liniowych dla układu liniowych równań algebraicznych
o zwykłej postaci:

A x = y,

gdzie A

n×n

jest macierzą kwadratową, wyróżnia się:

1) pewną daną wielkość wejściową y (

sygnał wejściowy

)

2) i poszukiwaną wielkość wyjściową x (

sygnał wyjściowy

).

Równanie to przedstawia odwzorowanie wektora x w wektor y.

Istotą algebraicznego problemu własnego jest

poszukiwanie takiego

sygnału wejściowego y, do którego byłby proporcjonalny sygnał
wyjściowy x

. Zatem powinien zachodzić związek:

y = λ x,

w którym λ jest skalarnym współczynnikiem proporcjonalności.
Otrzymujemy ogólną postać

standardowego problemu własnego

:

A x = λ x

lub

(A − λ I) x = 0

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Czym jest problem własny?

Algebraiczny problem własny – definicja

Standardowy problem własny ma postać:

A x = λ x

lub

(A − λ I) x = 0

y = λ x

y = A x

x

inny kierunek

inna norma

ten sam kierunek = kolinearność

inna norma

x

Algebraiczny problem własny sprowadza się zatem do poszukiwania
rozwiązań jednorodnego układu liniowych równań algebraicznych,
w którym macierz współczynników A − λ I zależy od jednego
parametru λ.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Rozwiązanie problemu własnego

Rozwiązanie problemu własnego

Problem własny

(A − λ I) x = 0

ma nietrywialne rozwiązanie x 6= 0

tylko wtedy, gdy:

det(A − λ I) = 0

Zajmiemy się takimi algebraicznymi problemami własnymi, o których
będzie wiadomo a priori, że mają dokładnie n liniowo niezależnych
rozwiązań, przy czym n określa rozmiar macierzy A

n×n

.

Rozwiązaniem problemu własnego jest zatem cały zbiór n

par własnych

:

(λ

i

, x

i

),

i = 1, 2, . . . , n

uporządkowany przez relacje λ

1

­ λ

2

­ . . . ­ λ

n

.

Wartości λ

i

, i = 1, 2, . . . , n nazywamy

wartościami własnymi

rowiązywanego problemu. Każdej wartości własnej odpowiada

wektor własny

x

i

. Zbiór wartości własnych λ

i

, i = 1, 2, . . . , n

oznaczamy Sp(A) i nazywamy

widmem

(spektrum) macierzy A,

a liczbę max

i

|λ

i

| – jej promieniem spektralnym ρ(A).

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Rozwiązanie problemu własnego

Wektor własny – dowolna długość

Jeżeli (λ

i

, x

i

) jest parą własną macierzy A, to jej parą własną jest także

w (λ

i

, c x

i

), gdzie c jest dowolnym skalarem różnym od zera.

Wynika to z faktu, że jeżeli

x

i

jest rozwiązaniem równania:

(A − λ

i

I) x

i

= 0

to jego rozwiązaniem będzie również

c x

i

(c 6= 0), gdyż spełnia ono

równanie:

(A − λ

i

I) (c x

i

) = 0

Wektor własny jest więc określony tylko z dokładnością do kierunku,
natomiast jego długość może być dowolna.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Rozwiązanie problemu własnego

Unormowany wektor własny

Dla wygody i zapewnienia jednoznaczności rozwiązania problemu
własnego wektory własne poddaje się normalizacji.
Jeśli x

i

ma np. normę ||x

i

|| = α

i

, to unormowany wektor własny u

i

o jednostkowej długości ||u

i

|| = 1 otrzymujemy mnożąc x

i

przez skalar c

i

:

||u

i

|| = ||c

i

x

i

|| = |c

i

| · ||x

i

|| = |c

i

| α

i

= 1 →

|c

i

| = 1/α

i

Jeżeli wartości własne λ

i

spełniają relacje λ

1

­ λ

2

­ . . . ­ λ

n

, to macierz

U utworzona z kolejnych wektorów własnych:

U = [u

1

, u

2

, . . . , u

n

] =







u

11

u

12

· · ·

u

1n

u

21

u

22

· · ·

u

2n

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

u

n1

u

n2

· · ·

u

nn







jest

ortonormalna

, tzn. U U

T

= U

T

U = I.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Równanie charakterystyczne

Równanie charakterystyczne

Po rozwinięciu wyznacznika det(A − λ I) = 0 otrzymujemy równanie
wielomianowe w (λ) znane jako

równanie charakterystyczne

det(A − λ I) = w (λ) =

(1)

n

λ

n

− a

1

λ

n−1

+ a

2

λ

n−2

+ . . . − a

n−1

λ + a

n

= 0

o pierwiastkach λ

i

, i = 1, 2, . . . , n , które są

wartościami własnymi

,

a rozwiązania x

i

układu (A − λ I)x = 0 są

wektorami własnymi

macierzy A.

Tradycyjne rozwiązanie problemu własnego polega na:

1

obliczeniu wartości własnych jako pierwiastków równania
charakterystycznego,

2

rozwiązaniu równań (liniowo zależnych) (A − λ

i

I) x

i

= 0,

tzn. wyznaczeniu wektorów własnych x

i

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Równanie charakterystyczne

Rozwiązanie problemu własnego

na podstawie równania charakterystycznego

Przykład:

Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy:

A =





1

−1

0

−1

2

−1

0

−1

1





Rozwiązanie:

Równanie charakterystyczne ma postać:

det(A − λI) =








1 − λ

−1

0

−1

2 − λ

−1

0

−1

1 − λ








= −λ

3

+ 4λ

2

− 3λ = 0.

Wartości własne wynoszą odpowiednio:

λ

1

= 0;

λ

2

= 1;

λ

3

= 3

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Równanie charakterystyczne

Rozwiązanie problemu własnego

na podstawie równania charakterystycznego

Wektory własne są rozwiązaniami układu:

(A − λ I) x = 0.

Wyznacznik macierzy jest zerem co oznacza , że równania nie są liniowo
niezależne. Dlatego, można dowolnie przyjąć jeden z elementów x a
następnie z dwóch równań wyznaczyć pozostałe składniki rozwiązania.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Równanie charakterystyczne

Rozwiązanie problemu własnego

na podstawie równania charakterystycznego

Wektor własny odpowiadający λ

3

= 3,

jest rozwiązaniem równania (A − λ I) x = 0 gdzie λ = λ

3

.

1)
2)
3)





1

−1

0

−1

2

−1

0

−1

1









x

1

x

2

x

3





=





0
0
0





Po przyjęciu np. x

1

=1,

z równania 1) obliczamy x

2

= −2 a następnie z równia 3) x

3

= 1.

Wektor własny odpowiadający wartości własnej

λ

3

= 3

ma postać:

x

3

=





1

−2

1





.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Równanie charakterystyczne

Rozwiązanie problemu własnego

na podstawie równania charakterystycznego

Pozostałe dwa wektory własne mają postać:

x

2

=





1
0

−1





x

1

=





1
1
1





.

Dla wygody, wektory własne są przestawiane jako kolumny macierzy X.
W rozważanym przykładzie:

X = [ x

1

x

2

x

3

] =





1

1

1

1

0

−2

1

−1

1





.

Po znormalizowaniu, wektory własne przyjmują postać:

u =





1/

√

3

1/

√

2

1/

√

6

1/

√

3

0

−2/

√

6

1/

√

3

−1/

√

2

1/

√

6





.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Problem własny – wybrane definicje

W dalszym ciągu przytoczone zostaną wybrane definicje i twierdzenia
dotyczących macierzy

symetrycznych

.

Definicja 1.

Macierz A nazywamy diagonalnie dominującą, jeżeli moduły elementów
na jej przekatnej są niemniejsze od sumy modułów pozostałych
elementów z tego wiersza:

|a

ii

| ­

n

X

k=1,k6=i

|a

ik

|, i = 1, 2, . . . , n

Definicja 2.

Ilorazem Rayleigha nazywamy wyrażenie powstające na podstawie
równości A x

i

= λ

i

x

i

pomnożonej lewostronnie przez x

T
i

:

x

T
i

Ax

i

= λ

i

x

T
i

x

i

→ λ

i

=

x

T
i

Ax

i

x

T
i

x

i

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Problem własny – wybrane twierdzenia

Twierdzenie 1.

Wartości i wektory własne macierzy symetrycznej są rzeczywiste.

Twierdzenie 2.

Wartości własne macierzy symetrycznej i dodatnio określonej są dodatnie.

Twierdzenie 3.

Wektory własne macierzy symetrycznej odpowiadające różnym
wartościom własnym są wzajemnie ortogonalne tzn. x

T

x = I

Twierdzenie 4.

Jeżeli wartościami własnymi macierzy A są liczby λ

i

to wartościami

własnymi macierzy odwrotnej A

−1

są liczby λ

−1
i

(i = 1, 2, . . . , n).

Twierdzenie 5.

Jeżeli do macierzy A dodamy dowolną macierz skalarną µI to
Sp(A + µI) = Sp(A) + µ. Widmo macierzy A + µI jest więc zbiorem liczb:

λ

1

+ µ, λ

2

+ µ, . . . , λ

n

+ µ.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Twierdzenia Gerszgorina

o lokalizacji wartości własnych

Twierdzenie 6.

Twierdzenia Gerszgorina służy do określenia globalnych przedziałów
wartości własnych macierzy A tzn. granic w których zawarte są wszystkie
wartości własne.
Uproszczone twierdzenie dla macierzy symetrycznych:

Jeśli λ jest wartością własną A, to

a

i

− R

i

¬ λ ¬ a

i

+ R

i

,

i = 1, 2, . . . , n

gdzie

a

i

= A

ii

R

i

=

n

X

j =1 j 6=i

| A

ij

|

Z tego wynika, że globalne granice w których zawierają się wartości
własne są:

λ

min

­ min

i

(a

i

− R

i

)

λ

max

¬ max

i

(a

i

+ R

i

)

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Twierdzenie Gerszgorina – przykład zastosowania

Zastosować twierdzenie Gerszgorina dla zlokalizowania wartości wlasnych
macierzy A:

A =





1.5

−1.0

0.0

−1.0

4.0

0.5

0.0

0.5

2.0





Rozwiązanie:

a

11

= 1.5

a

22

= 4.0

a

33

= 2.0

R

1

= | − 1.0| + 0.0 = 1.0

R

2

= | − 1.0| + 0.5 = 1.5

R

3

= 0.0 + 0.5 = 0.5

1

2

3

4

5

6

λ

R

3

R

2

R

1

λ

min

­ min

i

(a

i

− R

i

) = 0.5

λ

max

¬ max

i

(a

i

+ R

i

) = 5.5

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda potęgowa

Idea metody potęgowej

Metoda ta służy do wyznaczania pojedynczej wartości własnej,

o największym module

, macierzy A stopnia n i odpowiadającego jej

wektora własnego x.

Metoda polega na iteracyjnym generowniu ciągu wektorów:

x

(1)

= Ax

(0)

,

x

(2)

= Ax

(1)

,

. . . ,

x

(k)

= Ax

(k−1)

, . . .

Po udanym wyborze startowego wektora własnego x

(0)

, w kolejnych

przybliżeniach ciąg jest zbieżny do wektora własnego x

1

odpowiadającego

wartości własnej λ

1

.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda potęgowa

Zasada działania metody potęgowej

Zakładamy, że istnieją unormowane wektory własne u

i

, i = 1, 2, . . . , n

macierzy A. Wektory te tworzą pewną bazę przestrzeni R

n

:

U = [u

1

, u

2

, . . . , u

n

]

Dzięki temu każdy wektor x ∈ R

n

możemy przedstawić jako kombinację

liniową wektorów własnych:

x

(0)

=

n

X

i =1

ξ

i

u

i

gdzie ξ

i

oznacza i −tą współrzędną wektora x

(0)

liczoną względem

przyjętej bazy.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda potęgowa

Zasada działania metody potęgowej

Dla kazdej pary własnej (λ

i

, u

i

) mamy A u

i

= λ

i

u

i

. Otrzymujemy:

x

(1)

= Ax

(0)

= A

n

P

i =1

ξ

i

u

i

=

n

P

i =1

ξ

i

Au

i

=

n

P

i =1

ξ

i

λ

i

u

i

x

(2)

= Ax

(1)

= A

n

P

i =1

ξ

i

λ

i

u

i

=

n

P

i =1

ξ

i

λ

i

Au

i

=

n

P

i =1

ξ

i

λ

2
i

u

i

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

x

(k)

=

n

P

i =1

ξ

i

λ

k
i

u

i

= λ

k

1

h

ξ

1

u

i

+

n

P

i =2

ξ

i

λ

i

λ

1

k

u

i

i

czyli

x

(k)

λ

k

1

= ξ

1

u

1

+

n

X

i =1

ξ

i



λ

i

λ

1



k

u

i

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda potęgowa

Zasada działania metody potęgowej

Zakładając, że λ

1

jest największą co do modułu i pojedynczą wartością

własną, tzn. gdy:

|λ

1

| > |λ

2

| ­ |λ

3

| ­ . . . ­ |λ

n

|,

otrzymujemy



λ

i

λ

1



k

→ 0

dla

k → ∞,

i = 1, 2, . . . , n

oraz

lim

k→∞

x

(k)

λ

k

1

ξ

1

= u

1

.

Mając przybliżony wektor własny u

1

możemy wykorzystać

twierdzenie

Rayleigha

do obliczenia przybliżonej wartości własnej

(maksymalnej co do modułu).

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda potęgowa

Metoda potęgowa – przykład

Znaleźć największą wartość własną λ

max

i odpowiadający jej wektor własny x

macierzy A:

A =





1.5

1.0

0

1.0

4.0

0.5

0

0.5

2.0





,

Wektor startowy:

x

0

=





1
0
0





1

2

3

4

5

6

λ

R

3

R

2

R

1

λ

max

¬ max

i

(a

i

+ R

i

) = max(2.5, 5.5, 2.5) = 5.5.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda potęgowa

Metoda potęgowa – wyniki dla przykładu

it

λ

u

1

u

2

u

3

0

0.00000

1.00000

0.00000

0.00000

1

1.50000

0.83205

0.55470

0.00000

2

3.19231

0.50718

0.85830

0.07803

3

4.28234

0.37342

0.91779

0.13497

4

4.42428

0.33362

0.92824

0.16452

5

4.43968

0.32174

0.92983

0.17862

6

4.44181

0.31798

0.92986

0.18509

7

4.44216

0.31670

0.92971

0.18800

8

4.44223

0.31623

0.92961

0.18928

9

4.44224

0.31605

0.92955

0.18985

10

4.44224

0.31597

0.92953

0.19010

11

4.44224

0.31594

0.92952

0.19021

12

4.44224

0.31593

0.92951

0.19026

13

4.44224

0.31592

0.92951

0.19028

14

4.44224

0.31592

0.92951

0.19030

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda iteracji odwrotnej

Zasada działania metody iteracji odwrotnej

Metoda ta służy do obliczenia

najmniejszej co do modułu

wartości

własnej i odpowiadającego jej wektora własnego.

W tym celu równanie:

(A − λI)x = 0

mnożymy przez macierz A

−1

:

A

−1

(A − λI)x = 0 −→ (I − λA

−1

)x = 0

Co prowadzi do:

(A

0

− λ

0

I)x = 0

gdzie:

A

0

= A

−1

λ

0

= 1/λ.

Dzięki temu taką wartość własną można obliczyć metodą potęgową.

przyjmując macierz A

−1

zamiast macierzy A.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Metoda iteracji odwrotnej

Metoda iteracji odwrotnej – przykład

do rozwiązania

Znaleźć najmniejszą wartość własną λ

min

i odpowiadający jej wektor własny x

macierzy A:

A =





1.5

1.0

0

1.0

4.0

0.5

0

0.5

2.0





Wektor startowy:

x

0

=





1
0
0





A

−1

=





0.898551

−0.231884

0.057971

−0.347826

0.347826

−0.086957

0.086957

−0.086957

0.521739





1

2

3

4

5

6

λ

R

3

R

2

R

1

λ

min

­ min

i

(a

i

− R

i

) = 0.5

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Przesuwanie widma

Przesuwanie widma

Metodę iteracji odwrotnej można uogólnić na poszukiwanie wartości
własnej

najbliższej żądanej wartości µ

.

Weźmy macierz:

A

?0

= (A − µI)

−1

= (A

?

)

−1

.

Jeśli macierz A ma wartość własną λ

i

,

to macierz A

?

= A − µI ma wartość własną λ

?
i

= λ

i

− µ,

a macierz A

?0

= (A

?

)

−1

ma wartość własną λ

?0

=

1

λ

?
i

=

1

λ

i

−µ

.

Wniosek:

Jeśli znajdziemy wartość własną macierzy A

?0

→ (λ

?
i

)

to znajdziemy najbliższą µ wartość własną macierzy A,
która wynosi:

λ

i

=

1

λ

?

+ µ.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Przesuwanie widma

Przesuwanie widma – przykład

A =





1.5

1.0

0

1.0

4.0

0.5

0

0.5

2.0





,

Wektor startowy:

x

0

=








1
0
0








Wyniki:

µ

it

λ

u

1

u

2

u

3

0.0

18

1.11563

0.91480

−0.35161

0.19878

2.0

7

1.94213

−0.25169

−0.11128

0.96139

4.0

9

4.44224

0.31592

0.92951

0.19030

1

2

3

4

5

6

λ

R

3

R

2

R

1

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Uogólniony problem własny

Uogólniony problem własny

(A − λB)x = 0

lub

Ax = λBx

gdzie A i B są macierzami symetrycznymi o wymiarach n × n. Dla
macierzy symetrycznych i dodatnio określonych można przekształcić
odpowiedni

uogólniony problem własny

w odpowiedni

problem standardowy (prosty)

.

Wykonując dekompzycję Choleskiego dla macierzy A otrzymujemy:

A = L L

T

−→ L L

T

x = λB x.

Po wprowadzeniu transformacji:

x = (L

−1

)

T

z

otrzymujemy:

L L

T

(L

−1

)

T

z = λB (L

−1

)

T

z

które po obustronnym pomnożeniu przez L

−1

ma postać:

L

−1

L L

T

(L

−1

)

T

z = λL

−1

B (L

−1

)

T

z.

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY

Wiadomości wstępne

Wybrane definicje i twierdzenia

Rozwiązanie problemu własnego – metody numeryczne

Uogólniony problem własny

Uogólniony problem własny

L

−1

L L

T

(L

−1

)

T

z = λL

−1

B (L

−1

)

T

z.

Ponieważ L

−1

L = L

T

(L

−1

)

T

= I równanie zostanie zredukowane do

postaci standardowej:

( ˜

A − ˜

λI)˜

x = 0

(1)

gdzie:

˜

A = L

−1

B (L

−1

)

T

˜

λ = 1/λ

˜

x = L

T

x.

Po rozwiązaniu problemu opisanego równaniem (1) wartość własną
i wektor własny można obliczyć ze wzorów:

λ = 1/˜

λ

x = (L

−1

)

T

˜

x

MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE

ALGEBRAICZNY PROBLEM WŁASNY