Rachunek macierzowy
METODY OBLICZENIOWE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr
rok akademicki 2010/2011
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
(1)
Czym jest macierz?
Definicja
Macierzą A nazywamy funkcję dwóch zmiennych,
która parze (i , j ) przyporządkowuje dokładnie jeden element a
ij
,
przy czym i = 1, 2, . . . , m, natomiast j = 1, 2, . . . , n.
Tworzy się w ten sposób
zbiór m ·n elementów
umieszczonych w tablicy o
m wierszach i n kolumnach.
A =
a
11
a
12
· · ·
a
1j
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2j
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
· · ·
..
.
a
i 1
a
i 2
· · ·
a
ij
· · ·
a
in
..
.
..
.
· · ·
..
.
. .
.
..
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mj
· · ·
a
mn
Ogólnie dany element macierzy a
ij
może być np. liczbą rzeczywistą,
liczbą zespoloną, operatorem (np. różniczkowania, całkowania),
wielomianem lub wektorem.
(2)
Czym jest macierz?
Inny zapis
A = [a
ij
] , gdzie: i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n
A = [a
ij
]
[m×n]
= A
[m×n]
[m × n] - wymiary macierzy (liczba wierszy, liczba kolumn)
i - indeks numeracji wierszy
j - indeks numeracji kolumn
Dalsze rozważania ograniczymy wyłącznie do
macierzy rzeczywistych
,
tzn. dla których element a
ij
jest liczbą rzeczywistą.
(3)
Macierz kwadratowa, diagonalna, jednostkowa
Jeśli
m 6= n
to macierz A nazywamy
prostokątną
.
Jeśli
m = n = N
to macierz A nazywamy
kwadratową
(stopnia N).
Przekątna główna macierzy kwadratowej A
[n×n]
składa się z elementów
a
ii
, gdzie i = 1, 2, . . . , n. Macierz kwadratowa A
[n×n]
, w której wszystkie
elementy poza przekątną główną są zerowe, nazywa się macierzą
diagonalną
(oznaczoną D).
Jeśli wszystkie elementy macierzy diagonalnej mają wartość 1, to taka
macierz stanowi macierz
jednostkową
(oznaczoną I ).
D
[n×n]
=
a
11
0
· · ·
0
0
a
22
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
a
nn
I
[n×n]
=
1
0
· · ·
0
0
1
· · ·
0
..
.
..
.
. .
.
..
.
0
0
· · ·
1
D = diag(a
ii
)
I = [δ
ij
]
[n×n]
,
gdzie δ
ij
=
0
dla
i 6= j
1
dla
i = j
δ
ij
– symbol Kroneckera
(4)
Macierz transponowana
Macierz A
T
jest
transponowana
względem macierzy A, jeśli a
ij
= a
T
ji
(wiersze zamieniamy z kolumnami).
A
[m×n]
=
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
m1
a
m2
· · ·
a
mn
A
T
[n×m]
=
a
11
a
21
· · ·
a
m1
a
12
a
22
· · ·
a
m2
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
1n
a
2n
· · ·
a
mn
Właściwości macierzy transponowanej:
1
A
T
T
= A
2
(αA)
T
= αA
T
, α – liczba rzeczywista
3
(A + B)
T
= A
T
+ B
T
4
(A B)
T
= B
T
A
T
(5)
Macierz symetryczna i antysymetryczna
Jeśli dla macierzy kwadratowej A
[n×n]
zachodzi związek A = A
T
to
macierz A jest
symetryczna
.
Jeśli dla macierzy kwadratowej A
[n×n]
zachodzi związek A = −A
T
to
macierz A jest
antysymetryczna
(skośnie symetryczna).
Przykład:
4
3
2
3
−1
1
2
1
5
0
−4
2
4
0
−5
−2
5
0
Macierz symetryczna
i
antysymetryczna.
Jeśli A jest macierzą kwadratową to:
1
A + A
T
jest macierzą symetryczną,
2
A − A
T
jest macierzą antysymetryczną.
Jeśli A jest dowolną macierzą prostokątną i S = A A
T
,
to S jest macierzą symetryczną.
(6)
Równość, dodawanie, odejmowanie macierzy
Dwie macierze A
[m×n]
i B
[m×n]
są
równe
, jeśli odpowiednie elementy są
sobie równe, tzn. a
ij
= b
ij
dla i = 1, 2, . . . , m i j = 1, 2, . . . , n.
Sumą
lub
różnicą
dwóch macierzy A
[m×n]
i B
[m×n]
nazywamy macierz C
[m×n]
, gdzie c
ij
= a
ij
± b
ij
:
C = A ± B =
c
11
c
12
· · ·
c
1n
c
21
c
22
· · ·
c
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
c
m1
c
m2
· · ·
c
mn
=
a
11
± b
11
a
12
± b
12
· · ·
a
1n
± b
1n
a
21
± b
21
a
22
± b
22
· · ·
a
2n
± b
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
m1
± b
m1
a
m2
± b
m2
· · ·
a
mn
± b
mn
1
Przemienność dodawania: A + B = B + A.
2
Łączność dodawania i odejmowania: (A ± B) ± C = A ± (B ± C ).
3
A + 0 = A.
(7)
Mnożenie macierzy przez liczbę
Iloczyn
(αA lub Aα) macierzy A i liczby α tworzy macierz:
αA = Aα = [αa
ij
] =
αa
11
αa
12
· · ·
αa
1n
αa
21
αa
22
· · ·
αa
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
αa
m1
αa
m2
· · ·
αa
mn
1
1 · A = A
2
0 · A = 0
3
α(βA) = (αβ)A
4
(α + β)A = αA + βA
5
α(A + B) = αA + αB
(8)
Mnożenie macierzy przez macierz
Iloczyn
dwóch macierzy A
[m×n]
i B
[n×p]
tworzy macierz C
[m×p]
, gdzie:
c
ik
=
n
X
j =1
a
ij
b
jk
dla
i = 1, 2, . . . , m
i
k = 1, 2, . . . , p .
C
[m×p]
= A
[m×n]
· B
[n×p]
Przykład:
−1
4
2
−2
1
2
−3
0
−1
0
0
5
·
2
−1
1
3
−2
0
0
−4
=
−2
21
10
5
−2
−19
n
j
i
4
2
−2
−1
m
k
j
p
2
0
−2
1
m
n
i
k
p
−2
c
11
=
4
X
j =1
a
1j
b
j 1
=
a
11
b
11
+ a
12
b
21
+ a
13
b
31
+ a
14
b
41
= (−1) · 2 + 4 · 1 + 2 · (−2) + (−2) · 0 = −2
c
32
=
4
X
j =1
a
3j
b
j 2
=
a
31
b
12
+ a
32
b
22
+ a
33
b
32
+ a
34
b
42
= (−1) · (−1) + 0 · 3 + 0 · 0 + 5 · (−4) = −19
(9)
Właściwości mnożenia macierzy
1
Mnożenie A B może być wykonalne, natomiast mnożenie B A może
być niewykonalne. Liczba wierszy pierwszej macierzy musi się
zgadzać z liczbą kolumn drugiej macierzy, tak aby zapewnić
prawidłowe sumowanie iloczynów.
2
Dla macierzy kwadratowych także zazwyczaj zachodzi A B 6= B A.
3
Mnożenie macierzy jest łączne: (A B) C = A (B C ).
4
Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania
i odejmowania:
(A ± B) C = A C ± B C
C (A ± B) = C A ± C B.
5
Jeśli A B = 0, to nie oznacza, że koniecznie A = 0 lub B = 0.
6
Jeśli A B = A C , to B nie zawsze jest równe C , nawet gdy A 6= 0.
7
A I = I A = A
(10)
Potęgowanie macierzy
Dla macierzy A obowiązują następujące reguły potęgowania:
A
0
= I
A
1
= A
A
2
= A A
A
3
= A A A
itd.
Właściwości potęgowania macierzy:
1
A
k
A
p
= A
k+p
2
(A
k
)
p
= A
k p
(11)
Wyznacznik macierzy
Każdej macierzy kwadratowej A możemy przypisać wartość liczbową D,
nazywaną
wyznacznikiem
macierzy A stopnia N i oznaczoną jako det A.
det A =
a
11
a
12
· · ·
a
1n
a
21
a
22
· · ·
a
2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
a
n1
a
n2
· · ·
a
nn
= D
W literaturze można spotkać także oznaczenia:
det (A) = |A| = |a
ij
| = det |a
ij
|
Znane są różne sposoby obliczania wartości wyznacznika.
det
jest skrótem francuskiego słowa determinant czyli wyznacznik.
(12)
Wyznacznik macierzy
Rozwinięcie Laplace’a
Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie
wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne
det A =
n
X
j =1
a
ij
· A
ij
rozwinięcie względem i − tego wiersza
det A =
n
X
i =1
a
ij
· A
ij
rozwinięcie względem j − tej kolumny
gdzie: a
ij
– element w i -tym wierszu i j -tej kolumnie, A
ij
– dopełnienie
algebraiczne elementu a
ij
.
Dopełnienie algebraiczne
A
ij
elementu a
ij
macierzy A stanowi minor |M
ij
|
pomnożony przez (−1)
i +j
.
Minorem
|M
ij
| macierzy A przynależnym elementowi a
ij
nazywamy
wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i -tego
wiersza oraz j -tej kolumny.
(13)
Wyznacznik macierzy
Rozwinięcie Laplace’a
Przykład:
Obliczyć wyznacznik macierzy A:
A =
1
3
2
4
−1
2
1
−1
0
Korzystając z rozwinięcia 3-go wiersza:
det A =
1
3
2
4
−1
2
1
−1
0
= a
31
· A
31
+ a
32
· A
32
+ a
33
· A
33
=
a
31
· (−1)
(3+1)
· |M
31
| + a
32
· (−1)
(3+2)
· |M
32
| + a
33
· (−1)
(3+3)
· |M
33
| =
1 · (−1)
(3+1)
·
3
2
−1
2
+ (−1) · (−1)
(3+2)
·
1
2
4
2
= 8 − 6 = 2
(14)
Wyznacznik macierzy
Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3
a
13
a
11
a
12
a
21
a
22
a
23
a
11
a
12
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
det A =
a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
31
a
22
a
13
− a
32
a
23
a
11
− a
33
a
21
a
32
Powyższa reguła wykorzystuje definicję permutacyjną wyznacznika,
ale ma zastosowanie tylko dla macierzy stopnia 3.
Jeśli obliczamy wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3,
to można wykorzystać rozwinięcie Laplace’a i własności wyznaczników,
a po sprowadzeniu ich do stopnia 3 – zastosować regułę Sarrusa.
Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3
można obliczyć także przy pomocy eliminacji Gaussa.
(15)
Wyznacznik macierzy
Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3
Przykład:
Obliczyć wyznacznik macierzy A:
A =
1
3
2
4
−1
2
1
−1
0
1
3
2
4
−1
2
1
−1
0
1
3
4
−1
1
−1
=
1 · (−1) · 0 + 3 · 2 · 1 + 2 · 4 · (−1) − 1 · (−1) · 2 − (−1) · 2 · 1 − 0 · 4 · 3
= 0 + 6 − 8 + 2 + 2 + 0 = 2
(16)
Właściwości wyznaczników
1
Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz)
złożoną z samych zer jest równy 0
2
Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przedstawimy
między sobą dwie kolumny (dwa wiersze)
3
Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe lub
proporcjonalne kolumny (dwa wiersze) jest równy 0
4
Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza)
macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten
można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy
5
Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej
kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej
kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną
liczbę
6
Wyznaczniki macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe
7
Jeżeli det A = 0, to macierz jest
osobliwa
.
(17)
Właściwości wyznaczników
5
det A = det(A
T
)
6
det(AB) = det A det B (twierdzenie Cauchy’ego)
7
det(A + B) 6= det A + det B
8
det(A
−1
) = (det A)
−1
9
Jeżeli macierz A jest
trójkątna
, to det A = a
11
a
22
. . . a
nn
.
(18)
Wyznacznik macierzy stopnia 4
Przykład:
−1
0
2
1
1
3
1
2
4
−5
−1
2
1
−1
−2
−1
w. 1 + w. 4
−
−−−−−−
→
0
−1
0
0
1
3
1
2
4
−5
−1
2
1
−1
−2
−1
−−−−→
(−1)·(−1)
1+2
·
1
1
2
4
−1
2
1
−2
−1
(-2) k. 2 + k. 3
−−−−−−−−−→
1
1
0
4
−1
4
1
−2
3
(-1) k. 1 + k. 3
−−−−−−−−−→
1
1
−1
4
−1
0
1
−2
2
2 w. 1 + w. 3
−−−−−−−−−→
1
1
−1
4
−1
0
3
0
0
−−−−→
3 · (−1)
3+1
·
1
−1
−1
0
−−−−→ − 3
(19)
Macierz odwrotna
Jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa, to możemy otrzymać
macierz do niej
odwrotną
A
−1
.
Zachodzi zatem zależność:
A A
−1
= A
−1
A = I
Oznaczmy: C = A
−1
.
Element macierzy odwrotnej c
ij
obliczamy w następujący sposób:
c
ij
=
1
det A
(−1)
i +j
M
T
ij
gdzie
M
T
ij
jest minorem otrzymywanym z macierzy A
T
.
(20)
Właściwości macierzy odwrotnych
1
Jeśli det A = 0 czyli macierz jest osobliwa,
to macierz odwrotna A
−1
nie istnieje
.
2
(A B)
−1
= B
−1
A
−1
3
A
T
−1
= A
−1
T
4
det A
−1
= (det A)
−1
5
A
−1
−1
= A
(21)
Macierz odwrotna
Przykład:
Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A:
A =
1
3
2
4
−1
2
1
−1
0
−→ A
T
=
1
4
1
3
−1
−1
2
2
0
−→ det A = 2
c
11
=
1
det A
(−1)
2
M
T
11
=
1
2
−1
−1
2
0
= 1
(. . . )
c
33
=
1
det A
(−1)
6
M
T
33
=
1
2
1
4
3
−1
= −
13
2
C = A
−1
=
1.0
−1.0
4.0
1.0
−1.0
3.0
1.5
2.0
−6.5
−→ A · C = I
(22)
Definicja normy macierzy
Normą macierzy
kwadratowej A nazywamy nieujemną liczbę
rzeczywistą kAk (nie należy mylić z wyznacznikiem!), która spełnia
następujące warunki:
1
kAk > 0, gdy A 6= 0 i k0k = 0
2
kαAk = |α| kAk, α jest liczbą
3
kA + Bk ¬ kAk + kBk
4
kA Bk ¬ kAk · kBk
(23)
Normy macierzy
jednokolumnowej (jednowierszowej) i kwadratowej
Dla macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej X określamy
następujące normy:
suma modułów: kX k
1
=
P
n
i =1
|x
i
|
norma euklidesowa: kX k
2
=
q
P
n
j =1
|x
i
|
2
norma maksimum: kX k
∞
= max
i
|x
i
|
Dla macierzy kwadratowej A określamy następujące normy:
norma sumy kolumn: kAk
1
=
max
1 ¬ j , ¬ n
P
m
i =1
|a
ij
|
norma euklidesowa: kAk
2
=
q
P
m
i =1
P
n
j =1
|a
ij
|
2
norma sumy wierszy: kAk
∞
=
max
1 ¬ i ¬ m
P
n
j =1
|a
ij
|
(24)
Normy macierzy
Przykład:
Obliczyć normy macierzy:
A =
1
2
6
3
||A||
1
= max
1¬j ¬2
[7, 5] = 7
||A||
2
=
√
1 + 4 + 36 + 9 = 7.0711
||A||
∞
= max
1¬i ¬2
3
9
= 9
(25)
Zadanie domowe
Oblicz wyznacznik, macierz odwrotną i normy macierzy:
A =
2
4
2
1
4
−1
1
2
−1
(26)
„Matematyka jest alfabetem,
przy pomocy którego Bóg opisał świat”
Galileusz
Dziękuję za uwagę
(27)
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Przeksztalcenia macierzowe id 4 Nieznany
Demineralizowana macierz kostna Nieznany
06 macierzeid 6141 Nieznany (2)
prawne aspekty macierzynstwa za Nieznany
metoda przemieszczen macierz sz Nieznany
MO dzialania macierzowe 2009100 Nieznany
Komorki macierzyste biologia i Nieznany
14 SVD macierz pseudoodwrotna w Nieznany (2)
Przeksztalcenia macierzowe id 4 Nieznany
Demineralizowana macierz kostna Nieznany
macierze i wyznaczniki lista nr Nieznany
macierze moje i rzad id 275988 Nieznany
k macierze1 id 229458 Nieznany
MACIERZE z przykladem id 276013 Nieznany
Macierz RAID CKOGY5VWXPEVRLWAPR Nieznany
Operacje na macierzach id 33628 Nieznany
więcej podobnych podstron