1

Inżynieria Środowiska

Studia dzienne - Semestr II - 2012/13

Zagadnienia do egzaminu z zadań

I. Obliczyć całki nieoznaczone:

Z

x + 13

(x − 2)(x + 3)

dx,

Z

x − 21

(x + 2)(x − 3)

dx,

Z

2x − 3

x(x + 3)

dx,

Z

3x − 8

x(x − 2)

dx,

Z

1

e

x

+ 1

dx,

Z

1

sin x

dx,

Z

1

cos x

dx,

Z

√

x

2

− 81 dx,

Z

√

x

2

+ 49 dx,

Z

√

25 − x

2

dx.

II.1. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi o równaniach:

y = x

2

− 4, y = 2x − 4; y = −x

2

+ 4, y = −2x + 4;

y =

3

x

, y = −x + 4; y = −

3

x

, y = x − 4.

II.2. Obliczyć długości krzywych o równaniach:

L = {(x, y) : 0 6 x 6 3, y = 2x

2

}, L = {(x, y) : 0 6 x 6 2, y = 3x

2

}.

II.3. Obliczyć objętości brył powstałych w wyniku obrotu dookoła osi Ox

obszarów:

G = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x

2

+ 3},

G = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x

3

+ 2}.

II.4. Obliczyć pola powierzchni powstałych w wyniku obrotu dookoła osi

Ox krzywych:

L = {(x, y) : 1 6 x 6 2, y = 3x + 5}, L = {(x, y) : 1 6 x 6 2, y = 5x + 3}.

III.1. Wyznaczyć Re z, Im z, jeśli:

z =

2 + i

1 − 3i

, z =

3 − i

1 + 2i

.

III.2. Obliczyć:

(

√

3 + i)

30

, (−

√

3 + i)

30

, (1 −

√

3i)

60

, (−1 −

√

3i)

60

.

2

III.3. Rozwązać równania zespolone:

z

2

= −5 + 12i, z

2

= 5 − 12i, z

2

− 10z + 41 = 0, z

2

+ 10z + 41 = 0.

IV.1. Wyznaczyć macierz A

−1

, jeśli:

A =





−1 2 3

1 0 0

−2 3 5





, A =





3 0

1

5 0

2

−3 1 −2





.

IV.2. Rozwązać równania macierzowe:

 −1 2

0 3



· X =

 −5 1

−6 0



, X ·



0 −2

−1

1



=

 0 −6

1 −5



.

IV.3. Rozwiązać układy równań liniowych:



−x + 3iy =

2

2ix +

7y = 1 − i

,

 3ix −

5y = 1 + i

x + 2iy =

−2

,







x −

3y − 2z +

3u =

5

3x −

9y − 5z +

9u = 15

4x − 12y − 8z + 12u = 20

,







x − 2y +

3z −

5u =

7

2x − 4y +

6z −

9u = 14

4x − 8y + 12z − 16u = 28

.

IV.4. Obliczyć cos

](~u, ~v), jeśli ~u = [1, −1, 2], ~v = [−4, 2, −2].

IV.5. Obliczyć |sin

](~u, ~v)|, jeśli ~u = [−1, 0, 2], ~v = [4, −2, 0].

V.1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych:

f (x, y) = x

2

+ y

2

− 2x + 8y − 1, f (x, y) = −x

2

− y

2

+ 2x − 8y + 1,

f (x, y) = x

2

+ xy + y

2

− 4x + 7y − 11, f (x, y) = −x

2

− xy − y

2

+ 4x − 7y + 11,

f (x, y) = 2x

2

− xy + y

2

− 3x − 8y + 2, f (x, y) = −2x

2

+ xy − y

2

+ 3x + 8y − 2.

V.2. Obliczyć całki podwójne

RR

P

f (x, y) dx dy, jeśli:

f (x, y) = x

2

+ 2y, P = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2};

f (x, y) = 2x + y

2

, P = {(x, y) : 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1};

f (x, y) = x

2

y − xy

2

, P = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 2};

f (x, y) = xy

2

− x

2

y, P = {(x, y) : 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1}.