1

Sprawdzian z funkcji kwadratowej

Grupa 1

1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej: y =

2

7

6

2

+

+

x

x

. (3 pkt.)

2. Funkcje

2

4

4

2

−

+

=

x

x

y

przedstaw w postaci kanonicznej oraz sporz

ądź jej wykres.

Podaj przedziały monotoniczno

ści funkcji. (4 pkt.)

3. Wyznacz

najwi

ększą i najmniejsza wartość funkcji f(x) = x

2

+ 5x –36 w przedziale

[-3,5] (4 pkt.)

4. Rozwi

ąż nierówność:

x

x

x

−

≥

+

−

7

)

1

)(

2

(

.(3 pkt.)

5. Który z prostok

ątów o obwodzie 20m ma największe pole. (4 pkt.)

6. Suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych jest równa 145. Znajd

ź te liczby.

(4 pkt.)

Propozycja punktacji

Nr

zad.

Etapy rozwi

ązania zadania

Liczba

punktów

Wyznaczenie

∆

= 1

1pkt.

1.

Obliczenie miejsc zerowych: x

1

=

3

2

−

, x

2

=

2

1

−

.

2pkt.

Wyznaczenie

∆

= 48, p =

2

1

−

, q = -3.

1pkt.

Zapisanie funkcji w postaci kanonicznej:

3

)

2

1

(

4

2

−

+

=

x

y

.

1pkt.

Naszkicowanie wykresu funkcji.

1pkt.

2.

Wyznaczenie przedziałów monotoniczno

ści funkcji:

)

2

1

,

(

−

−∞

∈

x

funkcja maleje

)

,

2

1

(

∞

−

∈

x

funkcja ro

śnie.

1pkt.

Wyznaczenie warto

ści f(- 3) = - 42

1pkt.

Wyznaczenie warto

ści f(5) = 14

1pkt.

Wyznaczenie wierzchołka paraboli:

)

4

1

42

,

2

5

(

−

=

W

1pkt.

3.

Podanie poprawnej odpowiedzi: f

min

4

1

42

)

2

5

(

=

−

, f

max

(5) = 14.

1pkt.

Przekształcenie nierówno

ści do postaci:

0

9

2

≥

−

x

1pkt.

Zapisanie nierówno

ści w postaci iloczynowej:

0

)

3

)(

3

(

≥

+

−

x

x

1pkt.

4.

Rozwi

ązanie nierówności:

)

,

3

[

]

3

,

(

∞

∪

−

−∞

∈

x

1pkt.

Wyznaczenie z podanego obwodu np. a = 10 – b.

1pkt.

Wyznaczenie funkcji P = 10b – b

2

. 1pkt.

Wyznaczenie b

max

= 5 wraz z uzasadnieniem

1pkt.

5.

Wyznaczenie a

max

= 5. Podanie odpowiedzi

1pkt.

Zapisanie równania:

145

)

1

(

2

2

=

+

+

n

n

1pkt.

Przekształcenie równania do postaci:

0

72

2

=

−

+

n

n

1pkt.

Wyznaczenie n

1

= -9, n

2

= 8

1pkt.

6.

Podanie poprawnej odpowiedzi: 8 i 9

1pkt.

2

Grupa2

1. Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej: y =

3

4

2

+

−

x

x

. (3 pkt.)

2. Funkcje

7

20

5

2

+

−

=

x

x

y

przedstaw w postaci kanonicznej oraz sporz

ądź jej wykres.

Podaj przedziały monotoniczno

ści funkcji. (4 pkt.)

3. Wyznacz

najwi

ększą i najmniejsza wartość funkcji y = -x

2

-2x +3 w przedziale [-2,3]

(4 pkt.)

4. Rozwi

ąż nierówność:

2

)

2

(

12

)

4

(

−

−

≤

+

x

x

x

(3 pkt.)

5. Jedna z przyprostok

ątnych trójkąta prostokątnego jest o 4 cm dłuższa niż druga.

Znajd

ź przyprostokątne, gdy długość przeciwprostokątnej jest równa 20 cm. (4 pkt.)

6. Liczb

ę 100 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, by suma ich kwadratów

była najmniejsza. (4 pkt.)

Propozycja punktacji

Nr

zad.

Etapy rozwi

ązania zadania

Liczba

punktów

Wyznaczenie

∆

= 4

1pkt.

1.

Obliczenie miejsc zerowych: x

1

=1, x

2

=3.

2pkt.

Wyznaczenie

∆

= 260, p =2, q = -13.

1pkt.

Zapisanie funkcji w postaci kanoniczne.

13

)

2

(

5

2

−

−

=

x

y

1pkt.

Naszkicowanie wykresu funkcji.

1pkt.

2.

Wyznaczenie przedziałów monotoniczno

ści funkcji:

)

2

,

(

−∞

∈

x

funkcja maleje

)

,

2

(

∞

∈

x

funkcja ro

śnie.

1pkt.

Wyznaczenie warto

ści f(- 2) = 3

1pkt.

Wyznaczenie warto

ści f(3) = -12

1pkt.

Wyznaczenie wierzchołka paraboli:

)

4

,

1

(

−

=

W

1pkt.

3.

Podanie poprawnej odpowiedzi: f

min

12

)

3

(

−

=

, f

max

(-1) = 4

1pkt.

Przekształcenie nierówno

ści do postaci:

0

)

4

(

2

2

≤

−

x

1pkt.

Zapisanie nierówno

ści w postaci iloczynowej:

0

)

2

)(

2

(

2

≤

+

−

x

x

1pkt.

4.

Rozwi

ązanie nierówności:

]

2

,

2

[

−

∈

x

1pkt.

Zapisanie równania:

400

)

4

(

2

2

=

+

+

a

a

1pkt.

Przekształcenie równania do postaci:

0

192

4

2

=

−

+

a

a

1pkt.

Wyznaczenie a

1

= -16, a

2

= 12

1pkt.

5.

Podanie poprawnej odpowiedzi: 12 i 16

1pkt.

Wyznaczenie z danych np. b = 100 – a.

1pkt.

Wyznaczenie funkcji f(a) = 2a

2

-200a+10000 1pkt.

Wyznaczenie a

min

= 50 wraz z uzasadnieniem

1pkt.

6.

Wyznaczenie b

min

= 50. Podanie odpowiedzi

1pkt.