WILi, Budownictwo 2
Materiaª do przypomnienia
Rachunek macierzowy
Zadanie 1. Obliczy¢ iloczyny macierzy
a)
[
3
2
1
4
] [
2
1
−1 0
]
b)
3
2
1
4
7
1
−1 2 0
3
0
1
2
−1 2
0
5
1
Zadanie 2. Obliczy¢ wyznacznik macierzy
A =
3
4
2
5
7
1
0
2
0
3
1
1
2
0
4
0
, B =
2
0
2
1
0
1
2
0
2
2
1
1
2
2
1
−2
, C =
1
0
2
1
0
2
3
0
1
4
1
1
2
8
2
−4
.
Zadanie 3. Obliczy¢ macierz odwrotn¡ do danej
A =
[
−1 −1
3
2
]
,
B =
1
−2 −1
2
−1 −1
3
−4
2
.
Zadanie 4. Obliczy¢ rz¡d macierzy
a)
1
1
1
3
2
−1 1 1
0
3
1
5
, b)
2
1
11
2
1
0
4
−1
11
4
56
5
2
−1 5
6
Zadanie 5. Rozwi¡za¢ ukªad równa«
a).
x
1
+ x
2
+ x
3
= 2
x
1
− x
2
− x
3
= 0
2x
1
+ x
2
+ 3x
3
= 1
, b)
2x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
= 0
3x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 0
3x
1
+ x
2
− x
3
+ x
4
= 0
x
1
+ x
4
= 0
, c)
x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 5
2x
1
+ x
2
− x
3
= 4
x
1
− x
2
− 2x
3
=
−1
, d)
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 2
2x
1
− x
2
− 2x
3
+ x
4
= 0
3x
1
− 3x
2
− 5x
3
+ x
4
= 1
.
Liczby zespolone
Zadanie 6. Oblicz
6.1
Re[(4 + i)(5 + 3i)
− (3 + i)(3 − i)], 6.2
(5+i)(3+5i)
2i
,
6.3
i
−77
,
6.4
(3 + i)
3
− (3 − i)
3
,
6.5
(1 + i)
100
,
6.6
√
−16,
6.7
4
√
64i,
6.8
3
√
i + 1.
Zadanie 7. Przedstaw w postaci trygonometrycznej
7.1
−4i,
7.2
3
− 3i,
7.3
−1 + i
√
3,
7.4
1+i
1
−i
.
Zadanie 8. Rozwi¡» równania
8.1
z
2
− 5z + 4 + 10i = 0,
8.2
iz
3
− i
3
= 0
.
Granice ci¡gu
Zadanie 9. Oblicz granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym
9.1
a
n
=
2n
5
−3n
7
+8n
2n
3
+6n
7
−8n+4
,
9.2
a
n
=
1
−5n
3
2+n
2
,
9.3
a
n
=
√
1+2n
2
−
√
1+4n
2
n
,
9.4
a
n
=
3
√
n
3
+ 3
−
3
√
n
3
− 3,
9.5
a
n
= 2
−n
cos(nπ),
9.6
a
n
=
(
n
2
+3
n
2
+1
)
2n
2
+5
,
9.7
a
n
=
27
log3 n
16
log2 n
,
9.8
a
n
=
2n+(
−1)
n
n
,
9.9
a
n
=
−8
n
−1
7
n+1
,
9.10
a
n
=
5
·3
2n
−1
4
·9
n
+7
,
9.11
a
n
=
n
√
10
n
+ 9
n
+ 8
n
.
Równania ró»niczkowe liniowe rz¦du 2 o staªych wspóªczynnikach
Zadanie 10. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe
10.1
y
′′
+ 3y
′
+ 2y = 0,
10.2
y
′′
+ 12y
′
+ 36y = 0,
10.3
y
′′
+ 2y
′
+ 5y = 0,
10.4
y
′′
− 8y
′
+ 16y = 0,
10.5
y
′′
− 5y
′
+ 6y = 2x + 1,
10.6
y
′′
− y = sin x,
10.7
y
′′
− 6y
′
= cos 2x.
Zadanie 11. Rozwi¡» równanie ró»niczkowe speªniaj¡ce warunki pocz¡tkowe
11.1
y
′′
+ 4y = 0,
y(0) = 0, y
′
(0) = 2,
11.2
y
′′
− 4y
′
+ 3y = e
2x
sin x,
y(0) = 1, y
′
(0) = 1.
Pochodne cz¡stkowe
Zadanie 12. Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji
12.1
f (x, y) = e
x
2
sin y
,
12.2
f (x, y) = arccos
y
x
,
12.3
f (x, y, z) = x
y
− z
x
.
Powierzchnie stopnia drugiego
Zadanie 13. Wyznacz i narysuj przekroje danej powierzchni z pªaszczyznami ukªadu wspóªrz¦dnych. Nazwij i narysuj
t¦ powierzchni¦.
13.1
36y
2
− 4x
2
− 9z
2
− 144y + 108 = 0, 13.2
x
2
4
− y
2
= z + 1,
13.3
x
2
−
y
2
4
+ z
2
= 1,
13.4
z = 4
− x
2
− y
2
,
13.5
y = x
2
+ 2z
2
,
13.6
x
2
+ z
2
= 9.
Szeregi liczbowe
Zadanie 14. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregu
14.1
∑
∞
n=1
arctg n
n
2
,
14.2
∑
∞
n=1
5 log n
n
4
,
14.3
∑
∞
n=1
(2n)!(3n)!
5n!
,
14.4
∑
∞
n=1
√
n
3
+1
3
√
n
7
+1
,
Odpowiedzi:
1. a)
[
4
3
−2 1
]
, b)
13
3
8
26
−2 19
1
−2 3
2. |A| = −262, |B| = 30, |C| = 84
3. A
−1
=
[
2
1
−3 −1
]
,
B
−1
=
1
13
−6
8
1
−7
5
−1
−5 −2
3
,
4. a) 2, b) 3
5. a) x
1
= 1
, x
2
= 2
, x
3
=
−1, b) x
1
= x
2
= x
3
= x
4
= 0
, c) x
1
= t + 1
, x
2
= 2
− t, x
3
= t
, d) brak rozwi¡za«
6.1 7, 6.2 14 − 5i, 6.3 −i, 6.4 52i, 6.5 −2
50
, 6.6 4i, −4i, 6.7 w
0
= 2
√
2
(
cos
π
8
+ i sin
π
8
)
, w
1
= 2
√
2
(
cos
5π
8
+ i sin
5π
8
)
,
w
2
= 2
√
2
(
cos
9π
8
+ i sin
9π
8
)
, w
3
= 2
√
2
(
cos
13π
8
+ i sin
13π
8
)
, 6.8 w
0
=
6
√
2
(
cos
π
12
+ i sin
π
12
)
, w
1
= 2
−
1
3
i
− 2
−
1
3
,
w
3
=
6
√
2
(
cos
−7π
12
+ i sin
−7π
12
)
7.1 4
(
cos
−π
4
+ i sin
−π
4
)
, 7.2 3
√
2
(
cos
π
4
+ i sin
−π
4
)
, 7.3 2
(
cos
2π
3
+ i sin
2π
3
)
, 7.4 cos
π
2
+ i sin
π
2
8.1 z
1
=
1+5i
2
, z
2
=
9
−5i
2
, 8.2 z
1
=
1
2
+
√
3
2
i
, z
2
=
−1, z
3
=
1
2
−
√
3
2
i
9.1 −
1
2
, 9.2 −∞, 9.3,
√
2
− 2, 9.4 0, 9.5 0, 9.6 e
4
, 9.7 0, 9.8 2, 9.9 −∞, 9.10
5
4
, 9.11 10
10.1 y(x) = C
1
e
−2x
+ C
2
e
−x
, 10.2 y(x) = C
1
e
−6x
+ C
2
xe
−6x
, 10.3 y(x) = e
−x
C
1
sin 2x + e
−x
C
2
cos 2x
,
10.4 y(x) = C
1
e
4x
+ C
2
xe
4x
, 10.5 y(x) =
1
9
(4 + 3x) + C
1
e
2x
+ C
2
e
3x
, 10.6 y(x) = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
−
1
2
sin x
,
10.7 y(x) =
1
6
e
6x
C
1
+ C
2
−
1
40
cos 2x
−
3
40
sin 2x
11.1 y(x) = sin 2x, 11.2 y(x) =
1
4
e
3x
+
3
4
e
x
−
1
2
e
2x
sin x
12.1
∂f
∂x
= e
x
2
sin y
2x sin y
,
∂f
∂y
= e
x
2
sin y
x
2
cos y
, 12.2
∂f
∂x
=
y
x
√
x
2
−y
2
,
∂f
∂y
=
−1
√
x
2
−y
2
, 12.3
∂f
∂x
= yx
y
−1
−z
x
ln z
,
∂f
∂y
= x
y
ln x
,
∂f
∂z
=
−xz
x
−1
13.1 hiperboloida dwupowªokowa, 13.2 paraboloida hiperboliczna, 13.3 hiperboloida jednopowªokowa, 13.4 paraboloida
eliptyczna, 13.5 paraboloida eliptyczna, 13.6 walec eliptyczny
14.1 zbie»ny, 14.2 zbie»ny, 14.3 zbie»ny, 14.4 rozbie»ny
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
material do powtorki
materialy do powtorek 10 godzi Nieznany
material do powtorki
hist-wer2, Powtórzenie z historii - wersja II, „Powtórzenie materiału do egzaminu z HISTORII G
ZAKRES MATERIAŁU DO PRZEROBIENIA - MATURA Z BIOLOGII, Dla biol-chem LICEUM, biologia liceum !! Zadan
Materiały do kolokwium III
POBIERANIE I PRZECHOWYWANIE MATERIAŁÓW DO BADAŃ wiRUSOLOGICZNYCH prezentacja
Materialy do seminarium inz mat 09 10 czesc III
Enzymologia materiały do ćwiczeń
materiały do egazaminu CHIR
Materiały do wykładu 4 (27 10 2011)
Materiały do izolacji termicznych
Materiały do ćwiczeń z geologii
BHP materiały do lekcji
MATERIALY DO WYKLADU CZ IV id Nieznany
Zadanie z kompensacji, Elektrotechnika-materiały do szkoły, Gospodarka Sowiński
więcej podobnych podstron