Wydział WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Równania różniczkowe rzędu pierwszego

Zad.1 Rozwiąż równanie o zmiennych rozdzielonych:

1.1 y

0

= e

3x+2y

1.2 y

0

= 2x(y − 3)

1.3 y

0

=

y−1

x

2

1.4 y

0

=

4y

x(y−3)

1.5 y

0

=

√

xy

1.6 y

0

= x

p

1 − y

2

1.7 y

0

=

3y

x

1.8 x

2

y

0

= y

2

+ 4

1.9 y

0

+ ytg x = y

1.10 xy dx +

√

1 − x

2

dy = 0

1.11 (1 + y) dx = (1 − x) dy

1.12 e

y

dx + x

2

(2 + e

y

) dy = 0

Zad.2 Rozwiąż równanie jednorodne:

2.1 y

0

=

2y

y−4x

2.2 y

0

=

y+

√

x

2

+y

2

x

2.3 xy

0

= y + ctg

y
x

2.4 x

2

y

0

= xy + 4x

2

+ 4y

2

2.5 y(ln y − ln x) dx = x dy

2.6 xy

0

− y = (x + y) ln

x+y

x

Zad.3 Rozwiąż równanie postaci y

0

= f (ax + by + c):

3.1 y

0

= sin

2

(x + y)

3.2 y

0

= (y − x)

4

3.3 y

0

= cos(3x + 5y)

3.4 y

0

=

√

4y − x

3.5 y

0

=

1

y+x−1

3.6 y

0

= (4x + y)

−2

Zad.4 Rozwiąż zagadnienie początkowe Cauchy’ego:

4.1 y

0

=

2y+2

2−x

, y(0) = 1

4.2 y

0

=

y

2

−1

x

2

−1

, y(2) = 2

4.3 y

0

√

x = (x + 1)

√

y, y(9) = 4

4.4 y = y

0

cos

2

x ln y, y(π) = 1

4.5 y

0

sin x = y ln y, y

π

2

= 1

4.6 (1 + y

2

) dx = xy dy, y(1) = 0

4.7 sin x cos 2y dx + cos x sin 2y dy = 0, y(0) =

π

2

4.8 x y

0

= 3y + 2x, y(1) = 0

4.9 y − xy

0

=

x

cos

y
x

, y(1) = π

4.10 y

0

=

x+y
x−y

, y(1) = 1

4.11 y

0

= (y + 4x)

−2

, y(1) = 4

4.12 x y

0

= y(ln y − ln x), y(1) = e

3

Zad.5 Rozwiąż równanie liniowe:

5.1 y

0

+

1

x

y = x

2

5.2 y

0

+ 3y = 15x

2

+ 4x + 4

5.3 y

0

+ 2xy = 2x

5.4 y

0

+ 3y = e

7x

5.5 y

0

+ 2xy = xe

−x

2

5.6 y

0

+

xy

1+x

2

=

1

x(1+x

2

)

5.7 x

2

y

0

− y = x

2

e

x−1

x

5.8 y

0

+ y cos x =

1
2

sin 2x

5.9 y

0

+ y sin x = xe

cos x

5.10 y

0

− 4y = (2x

2

+ 1)e

4x

5.11 y

0

+ yctg x = sin

2

x

5.12 x(x − 1) y

0

+ y = x

2

5.13 xy

0

− 2y = x

3

sin x

5.14 xy

0

− 2y = 3x

5.15 y

0

− 2xy = x − x

3

5.16 y

0

+ 2y = x

2

e

x

+ sin 2x

Zad.6 Rozwiąż zagadnienie początkowe Cauchy’ego:

6.1 y

0

+

2

x

y = x, y(−1) = 1

6.2 y

0

+ y = e

−x

, y(0) = −2

6.3 y

0

− 4y = 3 sin 2x, y(0) = −1

6.4 y

0

+

y
x

= e

x

, y(1) = 1

6.5 y

0

+ 2xy = 2x

3

, y (0) = 1

6.6 y

0

+ y = 2xe

−x

, y(1) = 2

6.7 y

0

+

2

x

y =

4

x

, y(1) = 6

6.8 y

0

+

y
x

= 2 ln x + 1, y(1) = 0

6.9 y

0

+ yctg x = 2 cos x, y

π

2

= 3

6.10 y

0

+

x+1

x

y = 3xe

−x

, y(1) = 0

6.11 y

0

+ ytg x = cos

2

x, y

π

4

=

1
2

6.12 x y

0

− y = x

2

+ x, y(1) = 2