Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie z gęstością

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

=

1

0

1

2

)

(

3

x

gdy

x

gdy

x

x

f

.

Obliczyć

{

}

{

}

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

4

3

2

1

4

3

2

1

,

,

,

max

,

,

,

min

X

X

X

X

X

X

X

X

E

(A)

45

16

(B)

245

128

(C)

35

8

(D)

16

5

(E)

35

16

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.

K

K

,

,

,

,

,

2

1

0

n

X

X

X

X

Niech N będzie zmienną losową o rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną

λ

=

EN

, niezależną od zmiennych

.

K

K

,

,

,

,

,

2

1

0

n

X

X

X

X

Niech

{

}

N

N

X

X

X

X

M

,

,

,

,

min

2

1

0

K

=

.

Wyznaczyć

(

)

N

M

Cov

N

,

.

(A)

(

)

λ

λ

λ

−

−

+

−

e

1

1

1

(B)

(

)

λ

λ

−

−

−

e

1

1

1

(C) 1

(D)

(

)

λ

λ

−

−

−

e

1

1

(E)

λ

λ

1

−

−

e

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym

zmienna losowa N ma rozkład geometryczny

K

K

,

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

N

(

) (

)

n

q

q

n

N

P

−

=

=

1

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

n

,

gdzie

jest ustaloną liczbą, a

są zmiennymi losowymi o

tym samym rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną

(

1

,

0

∈

q

)

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

λ

1

. Niech

.

⎩

⎨

⎧

=

>

+

+

+

=

0

gdy

0

0

gdy

2

1

N

N

X

X

X

S

N

K

Wyznaczyć prawdopodobieństwo

(

)

x

S

P

≤

, gdy

.

0

≥

x

(A)

(

)

(

)

1

2

1

1

1

+

−

−

−

−

−

x

q

x

q

e

e

q

λ

λ

(B)

(

)

(

)

x

q

e

q

−

−

−

−

1

1

1

λ

(C)

(

)

x

q

qe

−

−

−

1

1

λ

(D)

qx

qe

λ

−

−

1

(E)

(

)

x

q

q

−

+

−

1

1

1

λ

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

W urnie znajduje się trzydzieści kul, na każdej narysowana jest litera i cyfra. Mamy

10 kul oznaczonych X1

8 kul oznaczonych Y1

8 kul oznaczonych X2

4 kule oznaczone Y2.

Losujemy bez zwracania 15 kul. Niech

określa liczbę kul oznaczonych literą X

wśród kul wylosowanych, a

liczbę kul z cyfrą 2 wśród kul wylosowanych.

Obliczyć

.

X

N

2

N

(

)

2

|

N

N

E

X

(A)

2

36

5

8

N

−

(B)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

2

3

1

25

3

1

N

(C)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

2

3

1

25

3

1

N

(D)

(

)

2

25

3

1

N

+

(E)

2

36

5

8

N

+

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Zmienne losowe

są warunkowo niezależne przy danej wartości

K

K

,

,

,

1

n

X

X

)

1

,

0

(

∈

θ

i mają rozkład prawdopodobieństwa

(

)

(

)

θ

θ

θ

|

0

1

|

1

=

−

=

=

=

i

i

X

P

X

P

.

Zmienna losowa

θ ma rozkład beta określony na przedziale

o gęstości

)

1

,

0

(

)

1

(

12

)

(

2

θ

θ

θ

−

=

f

.

Niech

. Obliczyć

∑

=

=

n

i

i

n

X

S

1

(

)

0

|

0

6

8

=

>

S

S

P

.

(A)

11

5

(B)

5

4

(C)

2

1

(D)

4

3

(E)

11

7

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Wykonujemy n rzutów kością do gry i weryfikujemy hipotezę

mówiącą, że kość

jest rzetelna - tzn. że każda liczba oczek pojawia się z jednakowym

prawdopodobieństwem równym

H

0

6

1

. Standardowy test

na poziomie istotności 0.01

odrzuca hipotezę zerową, jeśli obliczona wartość statystyki

przekracza 15.0863

(kwantyl rzędu 0.99 rozkładu

z pięcioma stopniami swobody).

χ

2

χ

2

χ

2

Przypuśćmy, że wykonaliśmy tylko n

= 6 rzutów. Jest to zbyt mało, żeby

asymptotyczne przybliżenie rozkładu

było zadowalające. Faktyczny rozmiar testu:

χ

2

„odrzucamy

, jeśli wartość statystyki

przekroczy 15.0863” wynosi:

H

0

χ

2

(A)

1

6

5

(B)

5

6

5

(C)

6

6

31

(D)

5

6

31

(E)

4

6

1

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Zakładamy, że zależność czynnika Y od czynnika x (nielosowego) opisuje model
regresji liniowej

i

i

i

x

Y

ε

β

+

=

. Obserwujemy 5 elementową próbkę, w której

dla

. Zmienne losowe

są niezależne i błędy mają rozkłady

normalne o wartości oczekiwanej 0, przy czym

, gdy

.

Wyznaczono estymator

parametru

i

x

i

=

5

,

,

2

,

1 K

=

i

5

2

1

,

,

,

Y

Y

Y

K

2

σ

ε

i

Var

i

=

5

,

,

2

,

1 K

=

i

β

ˆ

β

wykorzystując ważoną metodę

najmniejszych kwadratów, to znaczy minimalizując sumę

∑

=

−

5

1

2

)

(

i

i

i

i

Var

x

Y

ε

β

. Wyznaczyć

stałą tak, aby

z

(

)

95

.

0

|

ˆ

|

=

<

−

σ

β

β

z

P

.

(A) 1.96

(B) 7.59

(C) 3.96

(D) 0.51

(E) 0.42

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu

jednostajnego na przedziale

6

2

1

,

,

,

X

X

X

K

( )

θ

,

0

, gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem.

Zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy

1

:

0

=

θ

H

przy

alternatywie

1

:

1

≠

θ

H

na poziomie istotności 0.125.

Obszar krytyczny tego testu jest równy

(A)

{

}

(

)

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+∞

∪

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∈

,

2

2

2

,

0

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

(B)

{

}

(

)

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

+∞

∪

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∈

,

1

2

2

,

0

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

(C)

{

}

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+∞

+

∪

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∈

,

2

2

1

2

2

,

0

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

(D)

{

}

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+∞

∈

,

8

7

,

,

,

max

6

6

2

1

X

X

X

K

(E)

{

}

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+∞

−

∈

,

2

2

1

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Niech

będzie próbką z rozkładu wykładniczego o gęstości określonej

dla

wzorem:

n

X

X

X

,...,

,

2

1

0

>

x

).

exp(

)

(

x

x

f

λ

λ

−

=

Nie obserwujemy dokładnych wartości zmiennych

, tylko wartości

zaokrąglone w

górę do najbliższej liczby całkowitej. Innymi słowy, dane są wartości zmiennych
losowych

, gdzie

i

X

n

Z

Z

Z

,...,

,

2

1

⎡ ⎤

i

i

X

Z

=

.

(symbol

oznacza najmniejszą liczbą całkowitą taką, że

⎡ ⎤

a

k

k

a

≤

).

Niech

.

∑

=

=

n

i

i

Z

S

1

Oblicz estymator

największej wiarogodności nieznanego parametru

λ

ˆ

λ

oparty na

obserwacjach

.

n

Z

Z

2

Z

,...,

,

1

(A)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

1

ln

ˆ

n

S

λ

(B)

S

n

=

λ

ˆ

(C)

⎥⎥

⎤

⎢⎢

⎡

=

S

n

λ

ˆ

(D)

n

S

=

λ

ˆ

(E)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

−

=

S

n

1

ln

ˆ

λ

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Załóżmy, że jest ciągiem zmiennych losowych takim, że

,...

,...,

,

2

1

n

W

W

W

• zmienna

ma gęstość Pareto: dla

1

W

0

1

>

w

5

1

1

)

1

(

4

)

(

w

w

f

+

=

• warunkowo, dla danych

, zmienna

ma gęstość Pareto: dla

n

W

W

W

,...,

,

2

1

1

+

n

W

0

1

>

+

n

w

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

+

≤

+

=

+

+

+

;.

1

)

1

(

3

;

1

)

1

(

4

)

,....,

|

(

4

1

5

1

1

1

n

n

n

n

n

n

w

gdy

w

w

gdy

w

w

w

w

f

Wyznaczyć

.

)

(

lim

n

n

W

E

∞

→

(A)

45

22

)

(

lim

=

∞

→

n

n

W

E

(B)

90

31

)

(

lim

=

∞

→

n

n

W

E

(C)

32

11

)

(

lim

=

∞

→

n

n

W

E

(D)

96

47

)

(

lim

=

∞

→

n

n

W

E

(E)

90

23

)

(

lim

=

∞

→

n

n

W

E

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

8.10.2007 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : ......................... K L U C Z O D P O W I E D Z I .............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 E

2 A

3 C

4 C

5 A

6 D

7 D

8 B

9 E

10 B

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11