SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 8, 2010-11-25

Wypukłość funkcji

Wypukłość dla figur geometrycznych na płaszczyźnie i brył w przestrzeni jest zdefiniwana
następująco:
Figura (bryła) F jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolych punktów A, B ∈
F odcinek AB ⊂ F . Tej definicji wypukłości nie można bezpośrednio wykorzystać do
zdefiniowania wypukłości funkcji.

Definicja: f : D → R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x ∈ D, y ­ f (x)}
jest wypukły.
Definicja: f : D → R jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x ∈ D, y ¬ f (x)}
jest wypukły.

Uwaga: Jeżeli f : D → R jest wypukła lub wklęsła to dziedziną tej funkcji musi być
przedział.

Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) → R jest wypukła ⇐⇒ (∀x

1

, x

2

∈ (a, b), t ∈< 0, 1 >)

f (x

1

+ t(x

2

− x

1

)) ¬ f (x

1

) + t(f (x

2

) − f (x

1

))

Twierdzenie to oznacza, że część wykresu funkcji wypukłej wycięta dowolną prostą sieczną
leży pod tą prostą.

Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) → R jest wklęsła ⇐⇒ ∀x

1

, x

2

∈ (a, b), t ∈ (0, 1)f (x

1

+

t(x

2

− x

1

)) ­ f (x

1

) + t(f (x

2

) − f (x

1

))

Twierdzenie: Funkcja różniczkowalna f : (a, b) → R jest wypukła wtedy i tylko wtedy,
gdy jej wykres leży nad każdą prostą styczną do wykresu. Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko
wtedy, gdy jej wykres leży pod każdą prostą styczną do wykresu.

Definicja: Niech f : D → R będzie funkcją ciagłą . Punkt x ∈ D nazywamy punktem
przegięcia funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. (∃ > 0)(x − , x + ) ⊂ D
2. f jest wypukła na przedziale (x − , 0) oraz wklęsła na przedziale (0, x + ) lub f jest
wklęsła na przedziale (x − , 0) oraz wypukła na przedziale (0, x + )

Twierdzenie Niech f : (a, b) → R będzie dwukrotnie różniczkowalna.
Funkcja f jest wypukła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x ∈ (a, b) f

00

(x) ­ 0 .

Funkcja jest wklęsła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x ∈ (a, b) f

00

(x) ¬ 0 .

Przykład: Zbadać przedziały wypukłości, wklęsłości oraz znaleźć punkty przegięcia funkcji:
f (x) = x

3

− 3x

Dziedzina D = (−∞, ∞)
f

0

(x) = 3x

2

− 3 , D

0

= (−∞, ∞)

f

00

(x) = 6x , D

00

= (−∞, ∞)

Rozwiązujemy nierówność:
f

00

(x) > 0

6x > 0
x > 0
Analogicznie:
f

00

(x) < 0 ⇐⇒ x < 0

Stąd:
f jest wypukła na przedziale < 0, ∞)

1

f jest wklesła na przedziale (−∞, 0 >
f ma punkt przegięcia w x = 0

Twierdzenie: Jeżeli f : D → R jest wypukła to dla dowolnych punktów x

1

, x

2

, . . . x

n

∈ D

oraz dowolnych dodatnich liczb p

1

, p

2

, . . . p

n

takich, że p

1

+ p

2

+ . . . p

n

= 1 zachodzi:

f (p

1

x

1

+ p

2

x

2

+ . . . p

n

x

n

) ¬ p

1

f (x

1

) + p

2

f (x

2

) + . . . p

n

f (x

n

)

Dowód: Ustawione w kolejności rosnącej x

i

punkty W

i

=



x

i

, f (x

i

)



są wierzchołkami wie-

lokąta wypukłego. Jeżeli w wierzchołkach tych umieścimy masy p

i

to środek ciężkości układu

tych punktów będzie leżał wewnątrz wielokąta, a więc nad wykresem funkcji. Współrzędne
środka ciężkości:
S

x

= p

1

x

1

+ p

2

x

2

+ . . . p

n

x

n

S

y

= p

1

f (x

1

) + p

2

f (x

2

) + . . . p

n

f (x

n

)

Środek ciężkości będzie leżał nad wykresem funkcji: f (S

x

) ¬ S

y

Uwaga: Podobne twierdzenie zachodzi dla funkcji wklęsłych.

Przykład: Pokazać, że dla x

1

, x

2

, . . . x

n

> 0 zachodzi:

n

√

x

1

· x

2

· . . . x

n

¬

x

1

+ x

2

+ . . . x

n

n

Uwaga: Lewa strona nierówności nazywa się średnią geometryczną, a prawa średnią aryt-
metyczną.

Funkcja f (x) = ln x jest wklęsła na całej dziedzinie D = (0, ∞) ponieważ:

f

00

(x) =



1

x



0

= −

1

x

2

< 0

Wobec tego dla p

i

=

1

n

mamy:

ln(

1

n

x

1

+

1

n

x

2

+ . . .

1

n

x

n

) ­

1

n

ln(x

1

) +

1

n

ln(x

2

) + . . .

1

n

ln(x

n

)

Czyli:

x

1

+ x

2

+ . . . x

n

n

­

n

√

x

1

· x

2

· . . . x

n

Asymptoty funkcji

Asymptotą wykresu funkcji nazywamy prostą l taką, że punkty pewnej gałęzi wykresu funkcji
P

x

(x, f (x)) zliżają się do tej prostej i jednocześnie oddalają się nieskończenie daleko od

początku układu współrzędnych:

lim

x→a

+

d(P

x

, l) = 0

lim

x→a

+

d(P

x

, O) = ∞

gdzie a może być skończone, +∞, −∞ , a granica może być też lewostronna. d oznacza
odległość, a O(0, 0) początek układu współrzędnych.
Jeżeli a ∈ R to asymptotę nazywamy pionową. Jeżeli a = +∞ lub −∞ to asymptotę
nazywamy ukośną. Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma:
współczynnik kierunkowy asymptoty jest równy zero.

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę pionową lewostronną x = a , a ∈ R wtedy
i tylko wtedy, gdy lim

x→a

−

f (x) = ±∞

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę pionową prawostronną x = a , a ∈ R
wtedy i tylko wtedy, gdy lim

x→a

+

f (x) = ±∞

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę ukośną y = ax + b w +∞ wtedy i tylko
wtedy, gdy:

a = lim

x→∞

f (x)

x

2

b = lim

x→∞

(f (x) − ax)

Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę ukośną y = ax + b w −∞ wtedy i tylko
wtedy, gdy:

a = lim

x→−∞

f (x)

x

b = lim

x→−∞

(f (x) − ax)

Przebieg zmienności funkcji

Aby zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) badamy następujące elementy:

1. Dziedzina

2. Ciągłość, parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe

3. Granice lub wartości funkcji

(a) Na każdym końcu przedziału

(b) W każdym punkcie nieciągłości

4. Asymptoty

(a) Pionowe

(b) Ukośne w ±∞

5. Pochodna f

0

(x)

(a) Dziedzina

(b) Znak

(c) Przedziały monotoniczności

(d) Ekstrema lokalne

6. Druga pochodna f

00

(x)

(a) Dziedzina

(b) Znak

(c) Przedziały wypukłości i wklęsłości

(d) Punkty przegięcia

7. Tabela i wykres

Przykład: Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) =

ln x

2

x

Rozwiązanie:
Dziedzina funkcji: D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
Funkcja jest ciągła na całej dziedzinie.
Dziedzina jest symetryczna, badamy parzystość f :

f (−x) =

ln(−x)

2

−x

= −

ln x

2

x

= −f (x)

Funkcja jest nieparzysta.

3

Wystarczy więc ją zbadać na zbiorze D

1

= (0, ∞). Na przedziale (−∞, 0) wykres będzie

symetryczny.
Miejsca zerowe: f (x) = 0 dla x = 1
Obliczamy granice:

lim

x→0

+

f (x) = lim

x→0

+

ln x

2

x

=

−∞

0

+

= −∞

lim

x→∞

f (x) = lim

x→∞

ln x

2

x

=

[

∞
∞

]

[H]

lim

x→∞

2x
x

2

1

= lim

x→∞

2

x

= 0

Asymptoty:
Z obliczonych wcześniej granic wynika, że funkcja ma asymptotę pionową x = 0 i poziomą
y = 0 w +∞.
Badamy pierwszą pochodną:

f

0

(x) =

2x
x

2

x − ln x

2

x

2

=

2 − ln x

2

x

2

D

0

= (0, ∞)

Rozwiązujemy nierówność f

0

(x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni:

2 − ln x

2

> 0

2 − 2 ln x > 0
ln x < 1
x < e
Wniosek: Funkcja f (x) jest rosnąca na przedziale (0, e >, malejąca na przedziale < e, ∞),
ma więc w x = e maksimum lokalne. Jest to jedyne ekstremum na D

1

.

Badamy drugą pochodną:

f

00

(x) =

−

2x
x

2

x

2

− (2 − ln x

2

)2x

x

4

=

−6 + 2 ln x

2

x

3

D

0

= (0, ∞)

Rozwiązujemy nierówność f

00

(x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni:

−6 + 2 ln x

2

> 0

−6 + 4 ln x > 0
ln x >

3
2

x > e

3
2

Wniosek: Funkcja f (x) jest wklęsła na przedziale (0, e

3
2

), wypukła na przedziale (e

3
2

, ∞), ma

więc w x = e

3
2

punkt przegięcia.

Tabela:

x

0

+

...

e

...

e

3
2

...

∞

f

0

(x)

+

0

−

−

1

e

3

−

f

00

(x)

−

−

−

0

+

f (x)

−∞

%

2
e

&

3e

−

3
e

&

0

Wykres: zaznaczamy punkty charakterystyczne z tabeli, rysujemy asymptoty, rysujemy wy-
kres na D

1

, a następnie symetryczny na zbiorze (−∞, 0)

4