Am2 pd.12 2011/12

Zad.1

Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę

a)



D

dxdy

x

y

arctg

gdzie D jest obszarem ograniczonym nierównościami

1

2

2





y

x

,

9

2

2





y

x

,

x

y

3

3



,

x

y

3



;

b)

dxdy

y

x

D





2

2

cos

D jest wycinkiem kołowym

2

2

2

2

4

4

1











y

x

,

x

y

x







;

c)



D

xdxdy

gdzie obszar D ograniczają okręgi

x

y

x

y

y

x

3

4

,

4

2

2

2

2









.

Zad.2

Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych obliczyć całkę

a)

dxdy

xy

D



gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

y

x

3

2



,

y

x

5

2



,

x

y



2

,

x

y

2

2



;

b)

dxdy

y

x

D





4

)

(

1

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

1





y

x

,

2





y

x

,

0

3





y

x

,

0

4





y

x

;

zad.3

Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych oblicz pole obszaru ograniczonego liniami

a)

2

2

a

xy



,

2

2a

xy



,

2

x

y



,

x

y

2



b)

1

9

4

2

2





y

x

(elipsa)

wsk. wprowadź takie współrzędne aby obrazem elipsy był okrag.


Odpowiedzi

Zad.1 a)

6

2



; b)











 

2

1

2





c)

18

3

4



zad.2 a) 4; b)

160

3

.

zad.3a)

2

2

ln

2

3

a

;

b)



6

Zadania z ćwiczeń

1.Dokonując odpowiedniej zamiany zmiennych oblicz całkę podwójną

dxdy

xy

D



gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi

1



xy

,

2



xy

2

x

y



2

3x

y



odp.

3

ln

2

1

.

2.Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę



D

dxdy

1

gdzie D jest obszarem ograniczonym nierównościami

0



x

,

9

)

3

(

2

2







y

x

,

x

y

3

1



.

odp.



3

3

4

9



.

3. Obliczyć całkę potrójną





V

dxdydz

z

x

y

)

cos(

po obszarze V, naszkicować ten obszar.

Am2 pd.12 2011/12































x

z

x

y

x

R

z

y

x

V

2

0

,

0

,

2

0

:

)

,

,

(

3





2

1

16

1

)

sin

1

(

2

1

2

1

)

sin(

2

1

)

cos(

)

cos(

2

2

0

2

0

2

0

2

0

0

2

0









































 



















dx

x

x

dx

z

x

x

dz

z

x

ydy

dx

dxdydz

z

x

y

x

V

x

x