1
Automatyka i sterowanie
Część II
Zestaw ilustracji do wykładu „Automatyka i sterowanie”
kurs 10 godz. dla studiów magisterskich uzupełniających
opracował dr inż. Grzegorz Rogacki
2
Przekształcenie Laplace’a
Symbolicznie
)
(
)
(
s
Y
t
y
⎯
⎯ →
⎯
L
Definicja
[
]
∫
∞
⋅
−
=
0
)
(
)
exp(
)
(
dt
t
y
st
s
Y
3
Przekształcenie Laplace’a
Terminologia
)
(
)
(
s
Y
t
y
⎯
⎯ →
⎯
L
-
przekształcenie, transformacja
t
-
czas, zmienna rzeczywista, zmienna
s
-
zmienna zespolona
y(t) -
oryginał
Y(s) -
obraz, transformata
)
(
)
(
t
y
s
Y
⎯
⎯ →
⎯
1
-
L
-
przekształcenie odwrotne
4
oryginał
obraz
Przekształcenie Laplace’a
Fundamentalne własności
dt
t
dy )
(
2
2
)
(
dt
t
y
d
)
0
(
)
0
(
)
(
2
y
sy
s
Y
s
′
−
−
∫
t
dt
t
y
0
)
(
)
(
1
s
Y
s
)
(
)
(
2
1
t
y
t
y
+
)
(
)
(
2
1
s
Y
s
Y
+
)
(t
y
k
⋅
)
(s
Y
k
⋅
)
0
(
)
(
y
s
sY
−
5
Przekształcenie Laplace’a
Tablica przekształceń Laplace’a
opis funkcji
funkcja
obraz
skok jednostkowy
puls
impuls Diraca
( )
t
δ
1
( )
t
1
s
1
2
2
ω
ω
+
s
t
ω
sin
6
Tablica przekształceń Laplace’a
opis funkcji
funkcja
obraz
inercja I-go rzędu
inercja II-go rzędu
……………….
……….
………
czyste opóźnienie
transportowe
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
T
t
T
exp
1
1
1
+
Ts
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
2
1
1
2
exp
exp
1
T
t
T
t
T
T
(
)(
)
1
1
1
2
1
+
+
s
T
s
T
(
) (
)
0
0
1
t
t
t
t
f
−
⋅
−
(
)
)
(
exp
0
s
F
s
t
−
7
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
te
go
ró
wn
an
ia
ni
e p
ot
ra
fil
iśm
y
sc
ał
ko
wa
ć
)
(
)
(
)
(
t
Q
t
kh
dt
t
dh
A
IN
+
−
=
0
,
0
h
h
t
=
=
L
Q
IN
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
)
(
)
(
)
(
0
s
Q
s
kh
h
s
Ash
IN
+
−
=
−
8
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
)
(
)
(
)
(
0
s
Q
s
kh
h
s
Ash
IN
+
−
=
−
Q
IN
V, m
3
0
0
=
h
Q
OUT
h
)
(
)
(
)
(
s
Q
s
kh
s
Ash
IN
=
+
A, m
2
(
)
)
(
)
(
s
Q
k
As
s
h
IN
=
+
(
)
k
As
s
Q
s
h
IN
+
=
1
)
(
)
(
1
-
L
?
9
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
(
)
k
As
s
Q
s
h
IN
+
=
1
)
(
)
(
Q
IN
(
)
k
As
s
Q
s
h
IN
+
=
1
)
(
)
(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
1
1
)
(
)
(
s
k
A
k
s
Q
s
h
IN
(
)
1
1
)
(
)
(
+
=
Ts
K
s
Q
s
h
IN
to
jes
t t
ra
ns
m
ita
nc
ja
zb
ior
ni
ka
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
10
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
Dla zbiornika ze swobodnym wypływem
stosunek transformaty odpowiedzi h(s) do
transformaty zakłócenia Q
IN
nie zależy od
rodzaju zakłócenia i wynosi:
Q
IN
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
(
)
1
1
)
(
)
(
+
=
Ts
K
s
Q
s
h
IN
)
(t
h
k
Q
OUT
⋅
=
gdzie:
k
A
T
=
k
K
1
=
,
zbiornik
Q
IN
h
11
Zbiornik z wypływem grawitacyjnym
k
A
T
=
k
K
1
=
)
(t
h
k
Q
OUT
⋅
=
,
,
Q
IN
V, m
3
)
(t
h
Q
k
OUT
=
[ ]
2
m
s
K
=
[ ]
s
m
m
s
m
k
2
3
=
=
[ ]
s
s
m
m
T
=
=
2
2
Q
OUT
h
A, m
2
K - współczynnik wzmocnienia
T - stała czasowa
12
Czujnik termometryczny
Czujnik termometryczny jest to urządzenie, które wytwarza łatwy do zmierzenia
sygnał - proporcjonalny do mierzonej temperatury.
ϑ
,°C
cieczowy
wysokość słupka, mm
termopara
napięcie, mV
termometr oporowy
opór, Ω
pneumatyczny
spektroskop
bimetalowy
odkształcenie, mm
ciśnienie, Pa
długość fali, nm
13
Czujnik termometryczny
Bilans ciepła:
ϑ
q
dt
d
mc
p
=
ϑ
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
Kinetyka wnikania ciepła:
(
)
ϑ
ϑ
α
−
=
f
A
q
Razem:
α
(
)
ϑ
ϑ
α
ϑ
−
=
f
p
A
dt
d
mc
0
,
0
ϑ
ϑ
=
=
t
14
Czujnik termometryczny
(
)
ϑ
ϑ
α
ϑ
−
=
f
p
A
dt
d
mc
0
,
0
ϑ
ϑ
=
=
t
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
(
)
ϑ
ϑ
α
ϑ
−
=
f
p
mc
A
dt
d
f
p
p
mc
A
mc
A
dt
d
ϑ
α
ϑ
α
ϑ
+
−
=
*) patrz slajd 6!
czujnik
f
ϑ
ϑ
15
Czujnik termometryczny
0
,
0
ϑ
ϑ
=
=
t
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
f
p
p
mc
A
mc
A
dt
d
ϑ
α
ϑ
α
ϑ
+
−
=
L
f
p
p
mc
A
mc
A
s
ϑ
α
ϑ
α
ϑ
ϑ
+
−
=
−
0
f
p
p
mc
A
mc
A
s
ϑ
α
α
ϑ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
0
0
=
ϑ
16
Czujnik termometryczny
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
1
1
s
A
mc
p
f
α
ϑ
ϑ
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
f
p
s
A
mc
ϑ
α
ϑ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+1
f
p
p
mc
A
mc
A
s
ϑ
α
α
ϑ
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
(
)
2
2
)
(
)
(
m
K
m
W
K
kg
J
kg
A
mc
p
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
α
s
m
J
K
kg
s
K
m
J
kg
A
mc
p
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
2
α
17
Czujnik termometryczny
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
ϑ
α
(
)
1
1
+
=
Ts
f
ϑ
ϑ
A
mc
T
p
α
=
*) patrz slajd 9.
Czujnik termometryczny wykazuje dynamikę
członu inercyjnego I-go rzędu.
1. Wzmocnienie wynosi 1.
2. Stała czasowa jest równa stosunkowi pojemności
cieplnej do „podatności” na wymianę ciepła
18
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
Bilans masy:
Kinetyka reakcji:
Razem:
rV
QC
QC
dt
dC
V
OUT
IN
+
−
=
0
,
0
C
C
t
=
=
C
k
r
⋅
=
kCV
QC
QC
dt
dC
V
IN
+
−
=
*) patrz slajd 12.
rea
kc
ja
I-g
o r
zęd
u
Q, C
IN
V, C, r
C
OUT
stan idealnego wymieszania
C
OUT
= C
19
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
V, C, r
Q, C
IN
C
OUT
kCV
QC
QC
dt
dC
V
IN
+
−
=
• dzielimy przez V
• wyciągamy C przed nawias
•
• zakładamy, że C
0
= 0
• przenosimy C na lewą stronę
• dzielimy przez C
IN
• dzielimy przez…
L
0
,
0
C
C
t
=
=
IN
C
V
Q
C
k
V
Q
dt
dC
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
1
1
1
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
s
k
V
Q
k
V
Q
V
Q
C
C
IN
20
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
1
1
1
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
s
k
V
Q
k
V
Q
V
Q
C
C
IN
Q, C
IN
C
OUT
1
3
3
−
=
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
s
sm
m
V
Q
[
]
[ ]
1
3
1
3
−
−
=
→
⋅
=
=
=
s
k
m
kmol
s
s
m
kmol
kC
r
[czas, s}
V, C, r
1
1
+
⋅
=
Ts
K
C
C
IN
21
Reaktor zbiornikowy, przepływowy
V, C, r
C
OUT
Q, C
IN
reaktor
C
IN
C = C
OUT
1
1
+
⋅
=
Ts
K
C
C
IN
k
V
Q
V
Q
K
−
=
k
V
Q
T
−
=
1
,
1. Reaktor zbiornikowy, przepływowy, z idealnym wymieszaniem,
z reakcją chemiczną I-go rzędu zachowuje się jak człon
inercyjny I-go rzędu.
1. Jeśli nie ma reakcji (k = 0) reaktor staje się mieszalnikiem
przepływowym o tej samej dynamice ale ze współczynnikiem
wzmocnienia K = 1 i stałej czasowej równej średniemu czasowi
przebywania (V/Q).
22
Ładowanie kondensatora
Bilans elektryczności (ładunku):
*) patrz slajd 12.
i
V
IN
R
C
Kinetyka elementów:
V
I N
R
C
i
Razem:
i
dt
dq =
iR
V
R
=
C
q
V
C
=
C
R
IN
V
V
V
+
=
RC
q
R
V
i
IN
−
=
IN
V
R
q
RC
dt
dq
1
1
+
−
=
0
,
0
=
=
q
t
23
Ładowanie kondensatora
IN
V
R
q
RC
dt
dq
1
1
+
−
=
0
,
0
=
=
q
t
i
V
IN
C
L
R
+ trochę roboty
(
)
1
1
+
⋅
=
RCs
C
V
q
IN
24
Ładowanie kondensatora
i
V
IN
C
R
(
)
1
1
+
⋅
=
RCs
C
V
q
IN
[ ]
s
A
As
V
C
A
V
F
RC
=
=
=
⋅
Ω
=
(
)
1
1
+
⋅
=
Ts
C
V
q
IN
V
IN
q
T = RC
Obwód szeregowego połączenia pojemności i oporu ma dynamikę
członu inercyjnego I-go rzędu, którego stała czasowa równa jest
iloczynowi oporu R i pojemności C.
25
Małe uogólnienie
Q
IN
V, m
3
Q
OUT
h
A, m
2
ϑ
f
ϑ
q
m, c
p
, A
α
V, C, r
Q, C
IN
C
OUT
i
V
IN
R
C
T = RC
k
V
Q
T
−
=
1
A
mc
T
p
α
=
k
A
T
=
)
(
t
h
k
Q
OUT
⋅
=
R
U
i
=
(
)
ϑ
ϑ
α
−
=
f
A
q
k
1
=
R
A
α
1
=
R
R
=
R
A
=
C
p
mc
=
C
C
=
C
V
=
C
Q
1
=
R
r =kC
26
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
tra
nsm
ita
ncj
a je
st p
o to
,
żeb
y o
blic
za
ć Y
(
)
1
+
=
Ts
K
X
Y
(
)
X
Ts
K
Y
⋅
+
=
1
1. Impuls Diraca
1
)
(
⎯→
⎯
L
t
δ
← slajd 4.
(
)
(
)
1
1
1
+
=
+
=
Ts
K
Ts
K
Y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
T
t
T
K
t
y
exp
)
(
← slajd 5.
27
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
1. Impuls Diraca
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
K = 0.75
T = 1.5
czas
y(
t)
T
28
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
(
)
X
Ts
K
Y
⋅
+
=
1
(
)
1
+
=
Ts
K
X
Y
1. Skok jednostkowy
s
t
1
)
(
1
⎯→
⎯
L
← slajd 4.
(
)
(
)
1
1
1
1
+
=
⋅
+
=
Ts
s
K
s
Ts
K
Y
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
−
=
T
t
K
t
y
exp
1
)
(
← tablice.
29
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
2. Skok jednostkowy
0
0.25
0.5
0.75
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
K = 0.75
T = 1.5
T
30
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
(
)
X
Ts
K
Y
⋅
+
=
1
(
)
1
+
=
Ts
K
X
Y
3. Wymuszenie sinusoidalne
2
2
1
sin
ω
ω
+
⎯→
⎯
s
t
L
← slajd 4.
(
)
?
1
2
2
=
+
⋅
+
=
ω
ω
s
Ts
K
Y
(
)(
)
1
:
gdzie
2
2
2
−
=
−
+
=
+
j
j
s
j
s
s
ω
ω
ω
31
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
1. rozkład na ułamki proste
(
)
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
+
+
+
=
+
⋅
+
=
ω
ω
ω
ω
ω
j
s
C
j
s
B
T
s
A
T
K
s
Ts
K
Y
1
1
2
2
1
2
−
=
j
2. wyznaczenie stałych A, B, C
…………………..
3. trochę trygonometrii i algebry (poziom maturalny)
(
)
(
)
T
t
T
T
t
T
T
t
y
ω
ω
ω
ω
ω
−
=
Φ
Φ
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
=
arctan
:
gdzie
sin
1
1
exp
1
)
(
2
2
2
2
32
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
[
]
)
arctan(
sin
1
1
exp
1
)
(
2
2
2
2
T
t
T
T
t
T
T
t
y
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
=
część aperiodyczna część periodyczna
bardzo duża
częstotliwość
-1.571
-0.785
0.000
0.785
1.571
-10
-5
0
5
Przebieg funkcji arctan
2
π
−
=
Φ
∞
→
∞
→
T
ω
bardzo „leniwy”
człon
33
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
34
Odpowiedzi członu inercyjnego I-go rzędu
3. Wymuszenie sinusoidalne c.d.
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
35
Koniec cz. II
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
Probiotyki antybiotyki id 66316 Nieznany
miedziowanie cz 2 id 113259 Nieznany
LTC1729 id 273494 Nieznany
D11B7AOver0400 id 130434 Nieznany
analiza ryzyka bio id 61320 Nieznany
pedagogika ogolna id 353595 Nieznany
Misc3 id 302777 Nieznany
cw med 5 id 122239 Nieznany
D20031152Lj id 130579 Nieznany
więcej podobnych podstron