7. TWIERDZENIE O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOŚCI

Podstawy:

Układ równao różniczkowych

zależnych od czasu

Do analizy istnienia i jednoznaczności rozwiązania ukłądu wykorzystuje się twierdzenie o
odwozoraniach zwężających.

Twierdzenie o ODWZOROWANIACH

Niech (x,d) będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że odwzorowanie jest zwężające, jeżeli

Każde odwzorowanie zwężające jest ciągłe.

Twierdzenie Zarada Baracka

Niech będzie odwzorowaniem zwężajdym ze stałą g, x

0

dowolnyn punktem zbioru X.

Wówczas:

a) Ciąg

, gdzie

jest zbieżny do punktu

b)

dla każdego

c) Punkt jest jedynym punktem stałym odwzorowania F

TWIERDZENIE O ISTNIENIU I JEDNOZNACZNOSCI

Załóżmy, że f(x,t) jest ciagłe ze względu na x i t i niech:

–

Dla

, a także, niech

Wówczas równanie ma jednoznaczne

rozwiązanie x(t) określone dodatnio dla