granica funkcji zadania 1 plus 2

background image

GRANICA FUNKCJI

SYMBOLE NIEOZNACZONE :

;

0
0

;

∞ − ∞ ; 0 · ∞ ; 1

; 0

0

; 0

;

0

Zad 1 Znaleźć granice funkcji w punkcie:

a) lim

x

→−2

x + 1

x

1

e) lim

x

1

(

1

x

1

3

1

− x

3

)

i) lim

x

0

x

3

4x

2

+ 5x

x(

|x| + 1)

b) lim

x

3

x

2

9

x

3

+ x

30

f) lim

x

0

x + 1

1

x

j) lim

x

0

2

3

x + 8

x

c) lim

x

→−5

x

2

− x − 30

x

3

+ 5x

2

4x − 20

g) lim

x

1

x

1

1

2

− x

d) lim

x

4

x

4

2

x

h) lim

x

3

2

x + 1

x + 13

x

2

9

Zad 2 Korzystając z tego, że lim

x

0

sin x

x

= 1 znaleźć granice funkcji w punkcie:

a) lim

x

0

sin 4x

x

f) lim

x

0

4x

·ctg 6x

k) lim

x

1

sin(x

1)

1

− x

2

b) lim

x

0

sin 7x

sin 4x

g) lim

x

0

sin

2

2x

6x

2

l) lim

x

4

x

2

3x − 4

sin(x

4)

c) lim

x

0

2x

sin 5x

sin 2x

h) lim

x

0

sin 3x

− x

5x + sin 2x

m) lim

x

0

x + 4

2

sin 3x

d) lim

x

0

tg 6x

3x

i) lim

x

0

1

cos x

x

2

n) lim

x

0

x

2

+ 4

2

tg

2

3x

e) lim

x

0

x

2

tg 4x

j) lim

x

0

cos 3x

cos x

x

2

o) lim

x

→−2

(x

2

4)ctg (x+2)

Zad 3 Znaleźć granice:

a) lim

x

→∞

(5x

3

−x+2)

f) lim

x

→∞

9x

2

6

2

3x

k) lim

x

→−∞

(√

(x + 2)(x + 8)+x

)

b) lim

x

→−∞

(5x

3

−x+2)

g) lim

x

→−∞

9x

2

6

2

3x

l) lim

x

→∞

(√

(x + 2)(x + 8)+x

)

c) lim

x

→∞

(2x

4

+x

2

3x)

h) lim

x

→∞

x

2

+ 1

−x

m) lim

x

→−∞

(√

x

2

+ 2x + 3

x

2

1

)

d) lim

x

→−∞

(2x

4

+x

2

3x)

i) lim

x

→−∞

x

2

+ 1

−x

n) lim

x

→∞

(√

e

2x

+ 1

e

2x

1

)

e) lim

x

→∞

(

x

3

+ x

2

x

2

+ 4

−x

)

j) lim

x

→∞

1

x(

x

x

1)

o) lim

x

→−∞

10

2x

2

+x

1

10

2x

2

1

Zad 4 Znaleźć granice funkcji:

a) lim

x

→∞

sin x

x

1

b) lim

x

→−∞

cos x

2

x

2

− x

c) lim

x

0

sin x

·ctg x

d) lim

x

→∞

(

1)

x

(

arctg x

π

2

)

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG

background image

Zad 5 Znaleźć granice funkcji:

a) lim

x

→∞

(7

x

+5

x

3

x

)

c) lim

x

→∞

3

x+2

+ 4

x

6

x

3

3

e) lim

x

→∞

e

x

+ e

−x

e

x

− e

−x

g) lim

x

→∞

π

2x

+ π

2x

π

2x

− π

2x

i) lim

x

→∞

[(

1

2

)

x

(

3

4

)

x

]

b) lim

x

→−∞

(7

x

+5

x

3

x

) d) lim

x

→−∞

3

x+2

+ 4

x

6

x

3

3

f) lim

x

→−∞

e

x

+ e

−x

e

x

− e

−x

h) lim

x

→−∞

π

2x

+ π

2x

π

2x

− π

2x

j) lim

x

→−∞

[(

1

2

)

x

(

3

4

)

x

]

Zad 6 Znaleźć granice funkcji:

a) lim

x

→∞

(

x + 1

x

2

)

2x

1

c) lim

x

→∞

(

x

1

3x + 2

)

3x

e) lim

x

→∞

(

7x + 3

7x

5

)

x

2

g) lim

x

→∞

(

x

2

2

x

2

+ 1

)

x

3

i) lim

x

→−∞

(

2x + 1

x

1

)

2

−x

b) lim

x

→−∞

(

x + 1

x

2

)

2x

1

d) lim

x

→−∞

(

x

1

3x + 2

)

3x

f) lim

x

→−∞

(

7x + 3

7x

5

)

x

2

h) lim

x

→−∞

(

x

2

2

x

2

+ 1

)

x

3

j) lim

x

→−∞

(

x

2

+ x

1

x

2

3

)

2x

Zad 7 Znaleźć granice funkcji:

a) lim

x

→∞

sin(arctg x)

d) lim

x

→∞

log

2

x + 1

x

2

+ 2

g) lim

x

→∞

arctg

( x

2

x

1

+

x

1

− x

2

)

b) lim

x

→−∞

cos(arcctg (x

2

+3))

e) lim

x

→∞

arcsin

1

− x

2 + 2x

h) lim

x

→∞

(2x

2

1)arctg (x

2

2)

x

2

+ 1

c) lim

x

0

log

1
2

cos x

f) lim

x

→∞

arctg (

ln x)

i) lim

x

→∞

x(ln x

ln(x+1))

GRANICE JEDNOSTRONNE
DEF.
Niech funkcja f będzie określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x

0

tzn. w przedziale (x

0

−r, x

0

) dla pewnego r

∈ R

+

.

Liczbę g nazywamy granicą lewostronną właściwą (lub niewłaściwą) funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu

(x

n

) o wyrazach z przedziału (x

0

− r, x

0

) zbieżnego do x

0

, ciąg (f (x

n

)) jest zbieżny do g.

Piszemy: lim

x

→x


0

f (x) = g

DEF. Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x

0

tzn. w przedziale (x

0

, x

0

+ r) dla pewnego

r

∈ R

+

. Liczbę g nazywamy granicą prawostronną właściwą (lub niewłaściwą) funkcji f w punkcie x

0

wtedy i tylko wtedy, gdy dla

każdego ciągu (x

n

) o wyrazach z przedziału (x

0

, x

0

+ r) zbieżnego do x

0

, ciąg (f (x

n

)) jest zbieżny do g.

Piszemy: lim

x

→x

+
0

f (x) = g

TWIERDZENIE (o warunku koniecznym i wystarczającym isnienia granicy)
Funkcja f ma w punkcie x

0

granicę właściwą (lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne

lim

x

→x


0

f (x) i

lim

x

→x

+
0

f (x) i są one sobie równe, tj.

lim

x

→x


0

f (x) =

lim

x

→x

+
0

f (x) = g. Wtedy

lim

x

→x

0

f (x) = g.

Zad 8 Obliczyć granice jednostronne

lim

x

→x


0

f (x), lim

x

→x

+
0

f (x), gdy:

a)f (x) =

x

2

5

x

, x

0

= 0

e)f (x) =

1

− x

x

, x

0

= 0

i)f (x) = e

π

1

−x

, x

0

= 1

b)f (x) =

x

2

+ 4

x

1

, x

0

= 1

f)f (x) =

x

2

1

−x

2

− x + 2

, x

0

= 1, x

1

=

2

j)f (x) =

1

4

2

1

x

, x

0

= 0

c)f (x) =

x

2

4x

3

− x

, x

0

= 3

g)f (x) = 2

x

(x+1)2

, x

0

=

1

k)f (x) =

5

1

x

1 + 5

1

x

, x

0

= 0

d)f (x) =

x

2

2

x

2

2x − 3

, x

0

= 3, x

1

=

1

h)f (x) =

(

1

2

)

1

x

, x

0

= 0

l)f (x) =

2

2

x

+ 6

6

2

x

+ 2

, x

0

= 0

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG

background image

Zad 9 Znaleźć granice jednostronne funkcji:

a) lim

x

0

+

log

3

2

x

2

d) lim

x

0

x

sin

2

x

g) lim

x

0

+

x

ln x

b) lim

x

1

2x + 1

ln x

e) lim

x

π

2

+

sin

x

2

tg x

h) lim

x

0

x

ln x

c) lim

x

4

+

x

1

log

1
2

(x

4)

f) lim

x

3

2x

x + 6

3

i) lim

x

0

arctg

1

x

Zad 10 Sprawdzić, czy istnieją podane granice funkcji. Jeśli tak, to obliczyć je.

a) lim

x

0

x

2

2x

|x|

d) lim

x

1

|1 − x

2

|

2

− x − 1

g) lim

x

2

x

1

log(x

1)

b) lim

x

3

|x

2

9|

x

3

e) lim

x

0

ln

|x|

h) lim

x

→−1

f (x),

f (x) =

{

x+1
x

2

dla

x <

1

x

2

1

dla

x

> 1

c) lim

x

→−2

(x + 2)

3

|x + 2|

f) lim

x

1

x

1

x + 3

2

i) lim

x

1

f (x),

f (x) =

{

4x

2

7x+3

4(x

1)

dla

x < 1

x+3

2

x

1

dla

x > 1

CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
DEF.
Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x

0

∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica

lim

x

→x

0

f (x) oraz

lim

x

→x

0

f (x) = f (x

0

)

Zatem f jest ciągła w punkcie x

0

∈ D, gdy lim

x

→x


0

f (x) =

lim

x

→x

+
0

f (x) = f (x

0

)

UWAGA!
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach. Ciągłe są również sumy, różnice, iloczyny, ilorazy, złożenia takich funkcji.

RODZAJE PUNKTÓW NIECIĄGŁOŚCI Mówimy, że x

0

∈ D jest punktem nieciągłości:

I RODZAJU, gdy

lim

x

→x

0

f (x) i

lim

x

→x

0

f (x) istnieją i są właście oraz

lim

x

→x


0

f (x)

̸= f(x

0

) lub

lim

x

→x

+
0

f (x)

̸= f(x

0

).

II RODZAJU, gdy któraś z granic jednostronnych jest niewłaściwa albo nie istnieje.

Zad 11 Zbadać ciągłość funkcji. Podać rodzaje punktów nieciągłości.

a)f (x) =

{

x

1

x

2

+x

2

dla

x

∈ R − {1, −2}

1
3

dla

x = 1 lub x =

2

c)f (x) =

{

arctg

1

2

−x

dla

x

̸= 2

π

2

dla

x = 2

b)f (x) =


2

1

x

dla

x < 0

1

dla

x

∈ ⟨0, 1)

x + 1

dla

x

> 1

d)f (x) =

{

x

2

1

2

−x−1

dla

x < 1

4x

dla

x

> 1

Zad 12 Zbadać dla jakich wartości parametrów a, b funkcja jest ciągła.

a)f (x) =

{

2

x

+ 8

dla

x

6 0

(x

− a)

2

dla

x < 0

c)f (x) =


2x + cos a

dla

x < 1

b

2

dla

x = 1

3 ln x + 3

dla

x > 1

b)f (x) =

{

sin 8x

2x

dla

x

̸= 0

a

2

dla

x = 0

mgr Dorota Grott CNMiKnO PG


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
granice funkcji-zadania, =====STUDIA, Fizyka Budowli - WSTiP
Granica i ciągłość funkcji zadania
8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1
Granice funkcji Wprowadzenie Rozwiazanie zadania domowego id
Granice funkcji Wprowadzenie Zadanie domowe id 705334
Granica i ciągłość funkcji zadania
8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1
Podstawowe wlasnosci funkcji zadania domowe
Analiza matematyczna Wykłady, GRANICE FUNKCJI
Matematyka cw5 Granice funkcji Ciaglosc funkcji Asymptoty
15 Zasada trójpodziału władzy organy sprawujące poszczególne rodzaje władzy, ich funkcje i zadani
Granica funkcji(1), Prywatne
Granice funkcji - pochodne, Prywatne, matna
Granice funkcji
granice pochodna zadania

więcej podobnych podstron