Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

1

Wykład 3a. Funkcje charakterystyczne zm. los. i ich własności

.

Funkcje charakterystyczne (F.Ch.)



Jest to bardzo użyteczne narzędzie w rękach matematyka

Definicja. Funkcja charakterystyczna zm. los. X to odwzorowanie

C

R

:





dane wzorem:



itX

def

Ee

)

t

(





, gdzie i =

1



, C- liczby zespolone.

lub



)

tX

sin(

iE

)

tX

cos(

E

)

t

(







lub























R

itx

x

itx

.

c

absolutnie

.

los

.

zm

dla

,

dx

)

x

(

f

e

.

dysk

.

los

.

zm

.

dla

,

)

x

X

(

P

e

)

t

(

Ostatnie przekształcenie znane jest pod nazwą transformata Fouriera
gęstości prawdopodobieństwa.

Przykład 1. X~ Poisson(

)













0

k

itk

e

)

t

(

!

k

e

k







=













0

k

k

it

)

e

(

!

k

1

e

=







it

e

e

e

=

)

1

e

(

it

e





Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

2

Przykład 2. X

~N(0,1)

2

/

2

t

2

/

2

x

itx

e

dx

e

(

2

1

)

t

(





















( Ostatnia równość nie jest natychmiastowa. Dowód można
sprowadzić do rozwiązania pewnego równania różniczkowego).

Twierdzenie 2.1. Własności F.Ch.

a)

itX

Ee

)

t

(





jest ciągła,

1

)

0

(





, |

1

|

)

t

(





b) Jeżeli E|X





k

|

, to F.Ch. jest k-krotnie różniczkowalna

oraz

)

X

(

E

i

)

0

(

k

k

)

k

(





c)

)

at

(

e

)

t

(

X

itb

b

aX









,

R

b

,

a



d)

)

t

(

)

t

(

X

X









e) Jeżeli X i Y są niezależne to

)

t

(

)

t

(

)

t

(

Y

X

Y

X











Związek

między gęstością zmiennej X a jej funkcją

charakterystyczną



Twierdzenie . Niech f(x) będzie gęstością rozkładu zm.

los. X. Załóżmy, że funkcja charakterystyczna



zmiennej losowej X jest całkowalna (tzn.

)

dt

|

)

t

(

|















. Wtedy mamy następującą równość

dt

)

t

(

e

2

1

)

x

(

f

itx

















Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

3



Twierdzenie 5.1 (O jednoznaczności). Funkcja charakterystyczna

jednoznacznie wyznacza rozkład prawdopodobieństwa, tzn. jeśli

)

t

(

)

t

(

X

X









dla wszystkich t

R



, to

)

x

(

F

)

x

(

F

X

X





dla x

R



.



Twierdzenie 5.2 (O ciągłości). Zbieżność funkcji

charakterystycznych w każdym punkcie jest równoważna

zbieżności rozkładów (dystrybuant) w każdym punkcie

z wyjątkiem, być może, punktów nieciągłości dystrybuanty

granicznej. Innymi słowy:

)

a

(

F

)

a

(

F

że

,

takich

a

dla

)

a

(

F

)

a

(

F

t

),

t

(

)

t

(

X

X

X

X

X

n

n

X

















Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

4

Wykład 3b.

Część 2

.

Rozkład gamma i jego funkcja charakterystyczna, rozkład

wykładniczy, rozkłady średnich z próby losowej prostej, rozkład chi-kwadrat z k stopniami
swobody.



Rozkład gamma. Funkcja charakterystyczna

Zmienna losowa X ma rozkład gamma, jeśli jej gęstość
prawdopodobieństwa jest postaci

0

p

,

0

a

0

x

dla

e

x

)

p

(

a

0

x

dla

0

)

x

(

f

ax

1

p

p







































0

x

1

p

def

dx

e

x

)

p

(

Wzór na f(x) określa gęstość, ponieważ podstawiając y = ax mamy

1

dy

e

y

)

p

(

1

dx

e

x

)

p

(

a

0

y

1

p

0

ax

1

p

p

























. Stąd

p

0

ax

1

p

a

)

p

(

dx

e

x













(*)

Ostatni wzór jest prawdziwy dla a = a

1

+i a

2

, a

1

> 0 (dowód

pomijamy).

Funkcja charakterystyczna dla zmiennej losowej o rozkładzie gamma
z parametrami a i p przybiera postać



)

t

(















dx

e

)

x

(

f

itx

p

p

p

p

0

x

)

it

a

(

1

p

p

a

it

1

a

it

1

/

1

)

it

a

(

)

p

(

)

p

(

a

dx

e

x

)

p

(

a





















 













 

















Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

5



Momenty zmiennej los. o rozkładzie gamma(a,p)

E(X) =

a

p

, Var(X) =

2

a

p



Ważna uwaga. Przy parametrze p = 1 rozkład gamma sprowadza
się do rozkładu wykładniczego (przypominamy

1

)

1

(





).





















0

,

0

x

dla

e

1

0

x

dla

0

)

x

(

f

x

1







Zwyczajowo parametr a oznacza się przez 1/



.

Zatem E(X) =



,

Var(X) =

2



Funkcja charakterystyczna dla zmiennej o rozkładzie wykładniczym
ma więc postać

)

it

1

(

1

)

t

(









Komentarz do rozkładów wykładniczych.

1. Jeżeli mamy do czynienia z próbą prostą pochodzącą z rozkładu

wykładniczego, to średnia arytmetyczna z próby losowej oznaczana

n

X

=

)

X

X

(

n

1

n

1







( kreska tym razem nie oznacza sprzężenia!)

ma parametry: E(

X

n

) =



, Var(

X

n

) =

n

/

2



. Zatem widać, że

statystyki tej można użyć do estymacji parametru



, który jest

wartością oczekiwaną w tym rozkładzie, a wariancja (miara

rozproszenia od tej wartości) zbiega do zera przy n





.

Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

6

Rozkład średniej z próby losowej prostej:

n

2

1

X

,

X

,

X



1)

n

X

=

)

X

X

(

n

1

n

1







,

n

1

X

,

,

X 

~ rozkład wykładniczy(



).

Przypominamy F.Ch spełnia warunek

)

at

(

e

)

t

(

X

itb

b

aX









,

zatem dla a=1/n, b=0 mamy

)

n

/

t

(

)

t

(

k

k

X

n

/

X







=

n

it

1

1





k



Zatem

n

X

jest sumą niezależnych zm. los., o identycznych F. Ch.

Otrzymujemy więc

n

X

X

X

X

n

it

1

1

)

n

/

t

(

)

n

/

t

(

)

n

/

t

(

)

t

(

n

2

1

n

































Wniosek z twierdzenia o jednoznaczności.

n

X

ma rozkład

gamma z parametrami p = n, a = n/



.

2)

n

X

=

)

X

X

(

n

1

n

1







,

n

1

X

,

,

X 

~ N(

)

,













k

k

X

Y

~ N(0,1); zatem









k

k

Y

X

Z własności F. Ch.

)

at

(

e

)

t

(

X

itb

b

aX









oraz z faktu

2

/

t

Y

2

k

e

)

t

(







mamy

Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

7

2

/

t

it

2

/

t

it

Y

it

Y

X

2

2

2

2

k

k

k

e

e

e

)

t

(

e

)

t

(

)

t

(





































Zatem

n

2

t

it

n

)

n

2

t

n

it

(

)

X

(

n

2

t

n

it

n

/

)

X

(

2

2

2

2

2

2

2

2

k

e

e

)

t

(

zatem

e

)

t

(

































Wniosek. Z postaci funkcji charakterystycznej wynika, że

średnia

n

X

z próby pochodzącej z rozkładu normalnego

N

(

)

,





ma rozkład N(

)

n

/

,





.



Rozkład Chi-kwadrat z k-stopniami swobody

Jest to rozkład zmiennej losowej







k

1

i

2

i

Z

X

gdzie

k

,

,

2

,

1

i

Z

i





są niezależnymi zmiennymi losowymi

o rozkładzie N(0,1). Zapis: X

~

2



(k)



Stwierdzenie 4.1 Rozkład

2



(k) jest rozkładem Gamma z

parametrami p= k/2, a=1/2.

Dowód. Niech Y=Z

2

. Niech

F

1

(y) = P(

)

y

(

F

)

y

(

F

)

y

Z

y

(

P

)

y

Z

2

















Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

8

Zatem

f

1

(y) = 0 dla y

0



, natomiast z faktu , że gęstość rozkładu N(0,1) jest

symetryczna, mamy

f

1

(y) =

y

)

y

(

f

y

2

/

)

y

(

f

2

)

)

y

(

F

)

y

((

F











Stąd, biorąc pod

uwagę gęstość rozkładu normalnego, otrzymujemy

f

1

(y)=



















0

y

dla

e

y

2

1

0

y

dla

0

2

y

2

/

1



Tak więc Y ma rozkład Gamma ( ½, ½).

Można wykazać (posługując się np. F. Ch.) następujący fakt.



Lemat. Jeżeli niezależne zmienne losowe mają rozkłady gamma

o parametrach (p

1

,a),...,(p

n

,a) to zm. los.

X

1

+....+X

n

ma rozkład gamma o parametrach

)

a

,

p

(

n

1

i

i





.

W naszym przypadku

Y

i

=

2

i

Z

mają rozkłady gamma o parametrach (1/2,1/2).

Zatem







k

1

i

2

i

Z

X

=





k

1

i

i

Y

ma rozkład gamma z parametrami

p = k/2 oraz a = 1/2 c.b.d.o.

Mat. Statystyka. Wykład 3 . R. Rempała Materiały dydaktyczne

9

Wniosek. Jeżeli zmienne losowe Z

1

, Z

2

, ... ,Z

n

są niezależne i o

jednakowym rozkładzie N(

)

,





to statystyka









n

1

i

2

2

i

)

Z

(

X





ma rozkład

)

n

(

2



.