Ć w i c z e n i e 13

POMIAR REZYSTANCJI ZA POMOCĄ MOSTKA PRĄDU

STAŁEGO

13.1 Wstęp teoretyczny

Różne metody pomiarowe zostały omówione we Wstępie pkt. 1.„Wiadomości z podstaw metrolo-
gii”. Za najdokładniejsze metody porównania bezpośredniego są uważane metody zerowe. Porów-
nanie wartości mierzonej z wartością wzorcową odbywa się w nich za pomocą układu pomiarowe-
go, w którym przez zmianę parametrów układu pomiarowego doprowadza się do zaniku napięcia
lub prądu w kontrolowanej gałęzi obwodu. Wskaźnik służący do zaobserwowania tego stanu ( np.
galwanometr) nazywamy wskaźnikiem równowagi. Na dużą dokładność pomiarów metodami ze-
rowymi wpływa duża precyzja wykonania wzorców oraz wysoka czułość wskaźników równowagi.
Przy metodzie zerowej można zatem jako pomijalnie małe odrzucić błędy systematyczne. Pozostają
jedynie błędy przypadkowe. Można wyróżnić metody zerowe mostkowe oraz kompensacyjne. Przy
pomiarach rezystancji R (opór czynny) oraz reaktancji X (X

C

=1/

ωC;

L

X

L

ω

=

- opór bierny) obwo-

dów elektrycznych zarówno przy prądzie stałym jak i zmiennym najczęściej stosuje się układy
zwane mostkowymi. Są to układy schematycznie przedstawione na Rys. 13.1

Rys. 13.1 Schemat układu mostkowego.

Ramionami mostka są impedancje Z

1

, Z

2

, Z

3

, Z

4

gdzie :

2

2

)

(

L

C

X

X

R

Z

+

+

=

. Na przekątnej w

punktach C, D włączony jest wskaźnik równowagi, np. galwanometr o impedancji Z

5

. Wskaźnik ten

jest włączony jak „most” między równolegle połączonymi gałęziami (Z

1

+ Z

2

) oraz (Z

3

+Z

4

). W

punktach A, B mostek jest zasilany ze źródła prądu o sile elektromotorycznej E i impedancji we-
wnętrznej Z

6

. Oprócz mostków stałoprądowych mogą wystąpić mostki zasilane źródłem zmienno-

prądowym. W tym przypadku zamiast źródła stałoprądowego na Rys. 13.1 należy podstawić źródło
zmiennoprądowe zaś na impedancje występujące w schemacie składają się rezystancje, pojemności
oraz indukcyjności własne i wzajemne.

C

Z

1

Z

2

A

Z

5

B

Z

3

Z

4

- +

Z

6

E

Mostek stałoprądowy w układzie czteroramiennym nazywa się mostkiem Wheatstone’a i jest naj-
bardziej rozpowszechniony przy pomiarach rezystancji. W jego skład wchodzą cztery ramiona opo-
rowe R

1

, R

2

, R

3

, R

4

, wskaźnik równowagi – galwanometr o rezystancji R

5

oraz źródło o sile elek-

tromotorycznej E i rezystancji wewnętrznej R

6

.

Rys. 13.2. Mostek Wheatstone’a

Aby wyznaczyć zależność na nieznaną rezystancję korzystamy z podstawowych praw zachowania
ładunku i energii, które dla przypadku obwodów elektrycznych przyjmują postać pierwszego pierw-
szego drugiego prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi, że suma prądów wpływają-
cych i suma prądów wypływających z węzła są sobie równe. Oznaczając jako dodatnie prądy
wpływające a jako ujemne wypływające pierwsze prawo Kirchhoffa zapisujemy w postaci:

∑

=

=

n

k

k

I

1

0

(13.1)

gdzie: n - liczba gałęzi zbiegających się w węźle, I

k

– prąd płynący w k-tej gałęzi.

Drugie prawo, zwane również twierdzeniem o oczkach sieci elektrycznej, mówi, że suma zmian
potencjału napotykanych przy dokonywaniu obiegu wokół dowolnego obwodu ( oczka) jest równa
zeru. Zmiana potencjału może być spowodowana zarówno spadkiem napięcia na rezystancji jak i
źródłem siły elektromotorycznej. Dla schematu z Rys. 13.2. mamy zatem trzy równania na spadki
napięć w oczkach:

- 1 oczko

4

4

3

3

6

6

I

R

I

R

I

R

E

+

+

=

- 2 oczko

3

3

5

5

2

2

0

I

R

I

R

I

R

−

+

=

(13.2)

- 3 oczko

5

5

4

4

1

1

0

I

R

I

R

I

R

−

−

=

oraz trzy równania na sumy prądów w węzłach:

C

I

2

R

1

I

5

R

2

I

1

R

5

A III II

B

I

4

R

4

R

3

I

3

D

I

6

I

- +

R

G

E

- węzeł A

0

4

6

1

=

+

−

I

I

I

- węzeł B

0

2

3

6

=

−

−

I

I

I

(13.3)

- węzeł C

0

1

5

2

=

−

−

I

I

I

Jest to układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi prądami. Korzystając z metody podsta-
wiania lub macierzowej wyznaczymy prąd I

5

.

M

R

R

R

R

E

I

4

2

3

1

5

−

=

(13.4)

gdzie:

)

(

)

(

)

)(

(

)

)(

(

)

(

2

1

4

3

4

3

2

1

3

2

4

1

6

4

3

2

1

5

4

3

2

1

6

5

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

M

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

W warunkach równowagi mostka ( prąd I

5

=0) otrzymujemy:

4

3

2

1

R

R

R

R

R

x

=

=

(13.5)

W celu uzyskania równowagi mostka należy regulować wzorcowy opornik R

4

przy stałym stosunku

R

2

/R

3

lub stosunek rezystancji R

2

/R

3

utrzymując niezmienną wartość rezystancji wzorcowej R

4

. W

tym ćwiczeniu wykorzystuje się drugą metodę (Rys. 13.3).

Rys. 13.3 . Metoda równoważenia mostka Wheatstone’a

W przypadku, gdy oporniki R

2

, R

3

zostały zastąpione drutem ślizgowym, warunek równowagi

mostka ma postać:

2

2

4

3

2

4

l

l

l

R

l

l

R

R

X

−

=

=

(13.6)

C

R

X

R

2

l

2

B

A

R

3

l

3

R

4

D

oznaczenia:

3

2

l

l

l

+

=

- całkowita długość drutu,

ρ

- opór właściwy drutu, S – powierzchnia prze-

kroju drutu, gdyż

S

l

R

2

2

⋅

=

ρ

;

S

l

R

3

3

⋅

=

ρ

;

(13.7)

13.1.1. Dokładność metody.

Rozpatrzmy zależność 13.6 z której metodą pośrednią określamy wartość nieznanej rezystancji R

X

.

Mierząc l

2

i popełniając błąd

2

l

∆

. Wartość l oraz R

4

zostały zmierzone ze znacznie większą precy-

zją. Załóżmy, że błędy wynoszą odpowiednio

l

∆

oraz

4

R

∆

. Jeżeli przyjąć, że podane błędy są war-

tościami granicznymi, to maksymalny (graniczny) błąd pomiaru R

X

stanowi sumę wartości bez-

względnych błędów cząstkowych :

4

4

2

2

R

R

R

l

l

R

l

l

R

R

X

X

X

X

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

+

∆

∂

∂

=

∆

(13.8)

Przy pominięciu wkładów od błędu

l

∆

oraz

4

R

∆

jako znacznie mniejsze od wkładu od

2

l

∆

wzór na

błąd względny przyjmuje postać:

)

(

2

2

2

l

l

l

l

l

R

R

X

X

−

∆

⋅

=

∆

(13.9)

Błąd ten osiąga minimum, kiedy mianownik osiąga maksimum tzn. dla

3

2

2

czyli

2

l

l

l

l

=

=

co daje

R

2

= R

3

. Podstawiając ten warunek do 13.9 uzyskuje się:

l

l

R

R

X

X

2

2

∆

=

∆

(13.10)

Wniosek: minimalny błąd pomiaru wielkości R

X

jest wtedy, gdy jego wartość mało różni się od R

4

.

13.2. Opis układu pomiarowego.

Schemat montażowy przedstawiony jest na stole pomiarowym, ale zasada jest zgodna z Rys. 13.3.
Ramię AC- odpowiada mierzonej rezystancji R

X

, zaś ramię AD – rezystancji zatyczkowej R

4

.

Wielkości rezystancji R

2

i R

3

zależą od położenia suwaka reochordu długości 1 m. Przy przesuwa-

niu jego suwaka zmieniają się wielkości rezystancji R

2

i R

3

, a w związku z tym ich stosunek a za-

razem stosunek długości odcinków reachordu. Pomiar nieznanej rezystancji sprowadza się do takie-
go znalezienia położenia suwaka reochordu ( po uprzednim dobraniu za pomocą rezystora zatycz-
kowego odpowiedniej wartości rezystancji R

4

), przy którym prąd nie płynie przez galwanometr.

Powyższa operacja nosi nazwę równoważenia mostka, a mostek przez który prąd nie płynie nazywa
się zrównoważonym.
Na schemacie montażowym dodatkowo zainstalowano komutator służący do zamiany miejscami
rezystancji włączonych w ramiona mostka bez przełączania przewodów. Stosowanie komutatora
jest wskazane z tego powodu, że drut reochordu nie bywa całkowicie jednorodny wzdłuż całej dłu-
gości i dlatego stosunek R

2

/ R

3

nie jest dokładnie równy stosunkowi l

2

/ l

3

. Przy końcowych obli-

czeniach należy brać średnią arytmetyczną wartości l

2

i l

3

z wielkości znalezionych przy dwóch

położeniach komutatora. Drugim elementem różniącym układ pomiarowy od schematu jest po-
dwójny klucz K

1

, którym można otwierać i zamykać obwód prądu jak i obwód galwanometru. Jego

konstrukcja pozwala przy naciśnięciu zamykać najpierw obwód prądu a po nim obwód galwanome-
tru zaś przy otwieraniu – odwrotnie. Zastosowanie klucza pozwala włączać obwód na krótki okres,
co zapobiega nagrzewaniu się drutu a jednocześnie zapobiega galwanometr przed przeciążeniem.
Dodatkowym zabezpieczeniem galwanometru jest klucz K

3

, za pomocą którego można włączać

szeregowo dodatkowy rezystor przy wstępnym równoważeniu mostka. Dla dokładnego zrównowa-
żenia mostka , klucz K

3

trzeba zamknąć. Obwód zasilany jest prądem stałym.

13.3. Przebieg pomiarów

1. Zmontować układ pomiarowy według schematu montażowego umieszczonego na stole pomia-

rowym.

2. Przy otwartym kluczu K

3

ustawić na rezystorze zatyczkowym rezystancję około 100

Ω .

3. Przeprowadzić orientacyjny pomiar badanego rezystora przyciskając na krótko klucz K

1

i prze-

suwając suwak reochordu aż do momentu wyzerowania galwanometru.

4. Przeprowadzić dokładny pomiar – ustawić suwak w połowie długości reochordu przy otwartym

kluczu K

3

, zaś na rezystancji zatyczkowej dobrać taką rezystancję aby przy zamykaniu klucza

K

1

przez galwanometr nie płynął prąd. Całkowite wyzerowanie osiągamy przez minimalne

zmiany w położeniu suwaka reochordu.

5. Zamknąć klucz K

3

i przeprowadzić ostateczne zrównoważenie mostka zmieniając położenie su-

waka reochordu.

6. Czynności według punktów 2-5 przeprowadzić dla przeciwnego położenia komutatora.
7. Powyższe czynności powtórzyć dla drugiej rezystancji a także dla rezystancji połączonych sze-

regowo oraz równolegle.

Uwaga

! W przypadku pomiaru rezystancji powyżej 10

Ω ustawiamy suwak w połowie długości

reochordu zaś równoważenie mostka dokonujemy tylko opornikiem zatyczkowym. Wynika to fak-
tu, że błędy powodowane złym odczytem położenia suwaka przewyższają dokładność opornika
zatyczkowego.

13.4. Opracowanie wyników pomiarów.

1. Wykonać obliczenia wartości mierzonych rezystancji: pierwszej, drugiej oraz ich połączenia

szeregowego i równoległego korzystając ze wzoru (13.6).

2. Obliczyć niepewności wyznaczenia powyższych rezystancji korzystając ze wzoru (13.10). Błąd

2

l

∆

obliczyć za pomocą następującego wzoru

2

2

2

2

1

2

2

2

l

l

l

l

l

śr

śr

−

+

−

=

∆

,

gdzie

2

2

1

2

l

i

l

oznaczają długości odcinka przy różnych położeniach komutatora.

Jeżeli tak otrzymany wynik jest mniejszy od dokładności odczytu położenia reochordu, to za

2

l

∆

należy przyjąć dokładność odczytu.

3. Wykorzystując wyniki pomiarów rezystancji i niepewności wartości średnich porównać z wyni-

kami uzyskanymi dla połączenia szeregowego i równoległego.

L i t e r a t u r a

[1] M. Łaciński, Miernictwo elektryczne, PWN, Warszawa 1974
[2] A. Piekara , Elektryczność i magnetyzm, PWN, Warszawa, 1970