5. Statystyka opisowa – miary zmienności (wzory)

1

Miary pozycyjne

Rozstęp r = x

max

− x

min

.

Kwantyle – wartości danej cechy, które dzielą ją na określone części pod względem liczby jednostek.
Dane muszą być uporządkowane niemalejąco.

Kwartyle dla danych niezgrupowanych

• Kwartyl pierwszy (dolny) Q

1

– dzieli dane tak, że 1/4 jednostek ma wartości niższe lub równe, a

3/4 jednostek ma wartości wyższe lub równe niż kwartyl. (Mediana „lewej połowy danych”.)

• Kwartyl drugi (środkowy) Q

2

to mediana. Dzieli dane tak, że 1/2 jednostek ma wartości niższe

lub równe i 1/2 jednostek ma wartości wyższe lub równe niż kwartyl.

• Kwartyl trzeci (górny) Q

3

– dzieli dane tak, że 3/4 jednostek ma wartości niższe lub równe, a

1/4 jednostek ma wartości wyższe lub równe niż kwartyl. (Mediana „prawej połowy danych”.)

Uwaga Gdy liczba danych jest nieparzysta, to spotyka się dwie definicje kwartyli Q

1

i Q

3

. Jedna

każe włączyć Q

2

zarówno do lewej, jak i do prawej części danych, druga każe Q

2

w ogóle pominąć w

obliczaniu Q

1

i Q

3

.

Kwartyle dla danych zgrupowanych

• Kwartyl pierwszy (dolny)

Q

1

= x

Q

1

+

n

4

−

k−1

P

i=1

n

i

n

Q

1

i

Q

1

,

gdzie:

x

Q

1

– lewy koniec klasy zawierającej pierwszy kwartyl,

n

Q

1

– liczność klasy zawierającej pierwszy kwartyl,

k – numer klasy zawierającej pierwszy kwartyl,
i

Q

1

– szerokość klasy zawierającej pierwszy kwartyl.

• Kwartyl drugi (środkowy)

Q

2

= m

e

= x

m

e

+

n

2

−

k−1

P

i=1

n

i

n

m

e

i

m

e

,

gdzie:

x

m

e

– lewy koniec klasy zawierającej drugi kwartyl,

n

m

e

– liczność klasy zawierającej drugi kwartyl,

k – numer klasy zawierającej drugi kwartyl,
i

m

e

– szerokość klasy zawierającej drugi kwartyl.

• Kwartyl trzeci (górny)

Q

3

= x

Q

3

+

3n

4

−

k−1

P

i=1

n

i

n

Q

3

i

Q

3

,

gdzie:

x

Q

3

– lewy koniec klasy zawierającej trzeci kwartyl,

n

Q

3

– liczność klasy zawierającej trzeci kwartyl,

k – numer klasy zawierającej trzeci kwartyl,
i

Q

3

– szerokość klasy zawierającej trzeci kwartyl.

Rozstęp międzykwartylowy Q

3

− Q

1

.

Odchylenie ćwiartkowe (rozstęp międzykwartylowy połówkowy) Q =

Q

3

−Q

1

2

.

Typowy obszar zmienności (m

e

− Q, m

e

+ Q).

1

2

Miary klasyczne

Odchylenie przeciętne dla danych niezgrupowanych

d =

1

n

n

X

i=1

|x

i

− ¯

x|

Odchylenie przeciętne dla danych zgrupowanych

d =

1

n

k

X

i=1

|s

i

− ¯

x|n

i

,

gdzie:

k – liczba klas,
s

i

– środek i-tej klasy,

n

i

– liczność i-tej klasy,

¯

x – średnia arytmetyczna.

Wariancja dla danych niezgrupowanych

s

2

=

1

n

n

X

i=1

(x

i

− ¯

x)

2

.

Odchylenie standardowe

s =

√

s

2

=

v

u

u

t 1

n

n

X

i=1

(x

i

− ¯

x)

2

.

Typowy obszar zmienności (¯

x − s, ¯

x + s).

Wariancja dla danych zgrupowanych

s

2

=

1

n

k

X

i=1

(s

i

− ¯

x)

2

n

i

,

gdzie:

k – liczba klas,
s

i

– środek i-tej klasy,

n

i

– liczność i-tej klasy,

¯

x – średnia arytmetyczna.

3

Współczynnik zmienności

Miara pozycyjna

v =

Q

m

e

,

gdzie Q – odchylenie ćwiartkowe

Miary klasyczne

v =

d

¯

x

,

gdzie d – odchylenie przeciętne

v =

s
¯

x

2