www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

10

KWIETNIA

2010

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

1

(4

PKT

.)

Dwa poci ˛agi: towarowy o długo´sci 490 m i osobowy o długo´sci 210 m, jad ˛a naprzeciw siebie
po dwóch równoległych torach i spotykaj ˛a si˛e w miejscu S. Mijanie si˛e poci ˛agów trwa 20 s,
a czas przejazdu poci ˛agu osobowego przez miejsce S jest o 25 sekund krótszy od czasu
przejazdu poci ˛agu towarowego. Oblicz pr˛edko´sci obu poci ˛agów, zakładaj ˛ac, ˙ze poruszaj ˛a
si˛e ruchem jednostajnym.

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

2

(5

PKT

.)

Wyznacz dziedzin˛e funkcji

y

=

r 3

x

+

3

x

2

+

3

x

3

+

3

x

4

+

log

2x

+

2

5

−

x

6

−

x

.

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(6

PKT

.)

W trójk ˛acie prostok ˛atnym ABC wysoko´s´c BD dzieli przeciwprostok ˛atn ˛a AC na odcinki o
długo´sciach

|

AD

| =

3 i

|

DC

| =

24.

a) Oblicz długo´sci boków trójk ˛ata ABC.

b) Oblicz długo´s´c odcinka AE, gdzie E jest punktem wspólnym dwusiecznej k ˛ata BAC i

boku BC.

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(4

PKT

.)

Dane s ˛a dwa niesko ´nczone ci ˛agi

(

x

n

)

i

(

y

n

)

takie, ˙ze dla ka ˙zdego n

>

1, punkt o współ-

rz˛ednych

(

y

n

+

n

, x

n

)

jest ´srodkiem ci˛e ˙zko´sci trójk ˛ata o wierzchołkach A

= (

x

n

, y

n

)

, B

=

(−

2, 1

)

, C

= (

4,

−

3

)

. Wyznacz wzory ci ˛agów

(

x

n

)

i

(

y

n

)

.

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(5

PKT

.)

Prawdopodobie ´nstwa zdarze ´n A i B oraz zdarze ´n do nich przeciwnych spełniaj ˛a warunki:

P

(

A

∪

B

′

) =

0, 23 i P

(

A

′

∪

B

′

) =

0, 81.

a) Oblicz P

(

B

)

.

b) Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli P

(

A

) <

0, 21 to P

(

A

′

∩

B

′

) >

0, 02.

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(5

PKT

.)

a) Wyka ˙z, ˙ze równanie x

5

+

8x

2

+

x

+

1

=

0 nie ma rozwi ˛aza ´n w przedziale

h−

1, 1

i

.

b) Wyka ˙z, ˙ze równanie

sin x cos

4

x

−

2 sin x cos

2

x

−

8 cos

2

x

+

2 sin x

+

9

=

0

nie ma rozwi ˛aza ´n rzeczywistych.

7

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(5

PKT

.)

´Srodki okr˛egów o

1

i o

2

znajduj ˛a si˛e po ró ˙znych stronach prostej y

= −

3x

+

2, która zawiera

punkty wspólne tych okr˛egów. Wiedz ˛ac, ˙ze promie ´n okr˛egu o

2

jest równy 7

√

2 oraz, ˙ze okr ˛ag

o

1

ma równanie

(

x

+

1

)

2

+ (

y

−

3

)

2

=

20, wyznacz równanie okr˛egu o

2

.

8

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

9

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(5

PKT

.)

Proste k, l, m s ˛a parami ró ˙zne i równoległe. Na prostych tych wybrano zbiór S składaj ˛acy
si˛e z 3n punktów (n

>

3), przy czym na ka ˙zdej z prostych wybrano n punktów. Wiadomo

ponadto, ˙ze je ˙zeli trzy punkty zbioru S le ˙z ˛a na jednej prostej, to prost ˛a t ˛a jest k, l lub m.
Oblicz ile jest trójk ˛atów o wierzchołkach nale ˙z ˛acych do zbioru S.

10

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(6

PKT

.)

Wszystkie kraw˛edzie boczne ostrosłupa trójk ˛atnego ABCS o wierzchołku S maj ˛a długo´s´c

p2

+

√

3. Wiedz ˛ac, ˙ze

|∡

ASB

| =

30

◦

,

|

BC

| =

√

3,

|

AC

| =

2 oblicz obj˛eto´s´c tego ostrosłupa.

11

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

12

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(5

PKT

.)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których jeden z pierwiastków równania

4x

2

−

35x

+

m

2

=

0

jest kwadratem drugiego pierwiastka. Oblicz te pierwiastki.

13

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

14