Pojęcia całki
- jest to działanie odwrotne do pochodnej.
′
=
+
=
= ⋅
+
+
f
x
x
x
F x
F x
x
x
C
( )
( )
?
( )
5 2
6
5
3
3
6
2
Obliczyć całkę to odpowiedzieć na pytanie jak wyglądała funkcja która ma taką pochodną.
gdzie stała C może byc dowolną liczbą
f x dx
F x
C
F x
f x
( )
( )
( )
( )
∫
=
+
′
=
Wzory:
1.
xndx
xn
n
C
n
=
+
+
+
≠ −
∫
1
1
1
dla
2.
gdy x = -1 to
1
x
dx
x C
=
∫
+
ln| |
3. Cf x dx
C f x dx
( )
( )
=
∫
∫
4.
(
)
f x
g x dx
f x dx
g x dx
( )
( )
( )
( )
±
=
± ∫
∫
∫
5.
1
1
1
x
dx
x
dx
C
−
∫
=
−
+
ln(
)
Przykład:
1
5 2
1
5
2
5
3
3
1
1
2
1
1
2
5
3
3
3
2
3
2
x
x
x dx
x
dx
x dx
xdx
x
x
x
C
x
x
x
C
+
+
=
∫
+ ∫
+ ∫
=
+ ⋅
+
+ =
∫
=
+
+
+
ln| |
ln| |
Przykład:
(
)
x
dx
xdx
dx
x
x
C
x
x
C
+
=
+
=
+
+
+
+ =
+ +
∫
∫
∫
1
1
2
2
0 1
0 1
2
2
Przykład:
3 5
5
2
1
3
1
5
5
2
1
2
+
+
+
∫
= ∫
+
+
− +
−
∫
∫
∫
=
x
x
x
dx
dx
x dx
x
x
=
+
+
+
+
+
+
− +
− +
+
− +
− +
+ =
+
+ −
− +
+ =
3
0 1
0 1
1
5
1
1
1
5
5
2 1
2 1
1
2
1
1
2
1
3
5
6
6
5
5 1
1 2
1
2
x
x
x
x
C
x
x
x
x
C
(
)
=
+
−
− +
+
3
5
6
6
5
5
1
2
1
2
x
x
x
x
C
Przykład:
1
1
1
1
1
x
dx
x
t
x
dx
dx
dt
−
∫
=
−
=
− ′
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
(
)
1
1
1
x
dx
dt
t C
x
dx
C
−
∫
=
=
+ =
−
+
∫
1
t
ln| |
ln(
)
Przykład:
1
3
2
3
2
3
3
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
1
3
1
3
1
1
3
1
3
3
2
t
dt
t
dt
t C
x
C
=
=
+ =
∫
∫
=
+ +
ln| |
ln|
|
Przykład:
(
)
3
5
3
5
3
3
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
(
)
(
)
3
5
1
3
1
3
1
2
1
3
1
2
1
1
2
1
1
3
2
3
3
2
2
9
3
2
2
9
3
5
3
2
x
dx
dx
t dt
t dt
t
C
t
C
t
C
x
C
+
∫
= ∫
= ∫
= ∫
= ⋅
+
+
+ = ⋅ ⋅
+ =
+ =
=
+
+
t
Przykład:
x
x
dx
x
t
x dx
dt
dx
dt
2
3
5
3
5
3 2
3
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
x2
(
)
Uproszczenia możliwe w obliczeniach:
Uproszczenie 1.
Wyprowadzenie:
Rozwiążmy poniższy przykład:
1
2
1
2
1
2
2
x
dx
x
t
dx
dt
dx
dt
+
∫
=
+
=
=
=
podstawiamy
liczymy pochodną stronami:
(
)
=
=
∫
+ +
1
2
1
2
2
1
t
dt
x
C
ln|
|
Uproszczenie 1.
Końcowy wzór:
Jeżeli w mianowniku jest funkcja a w liczniku
jest pochodna tej funkcji
to całka jest równa:
ln| ( )|
f x
C
+
Przykład1:
(
)
(
)
1
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
x
dx
x
dx
x
dx
x
C
+
∫
=
⋅
∫
+
=
+
=
∫
+ +
ln|
|
Przykład2:
1
2
5
1
2
2
2
5
1
2
2
2
5
1
2
2
5
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
C
+
∫
=
⋅
∫
+
= ∫
+
=
+ +
ln|
|
Uproszczenie 2.
Wyprowadzenie:
Rozwiążmy następujący przykład:
dx
x
x
2
5
6
+
+
∫
Nie możemy zastosować poznanych wcześniej wzorów. Stosujemy metodę rozkładu na ułamki proste.
Sprowadzamy mianownik do postaci rozłożonej.
∆ =
−
=
−
=
b
ac
2
4
25
24
1
∆ =
1
x1
5 1
2
3
= − − = −
x1
5 1
2
2
= − + = −
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Matematyka (24 strony id 282823 Nieznany
Matematyka (24 strony)
Matematyka (24 strony)
matematyka 24 strony
matma Matematyka (24 strony)
Matematyka Sem 2 Wykład Całki Powierzchniowe
Matematyka Pochodne funkcji Calki ZAD 4
Matematyka Pochodne funkcji Calki ZAD 5
Analiza matematyczna egzamin I (lato) calki teoria, Wykłady - Studia matematyczno-informatyczne
matematyka, Podać własności całki oznaczonej, 1
Matematyka Pochodne funkcji Calki ZAD 2
Matematyka Pochodne funkcji Calki ZAD 1
Matematyka Sem 2 Wykład Całki Podwójne
Matematyka Sem 2 Wykład Całki Powierzchniowe
Matematyka Pochodne funkcji Calki ZAD 4
więcej podobnych podstron