TESTY

NIEPARAMETRYCZNE

NIEPARAMETRYCZNE

Test losowo

ść

próby

(Test liczby serii).

:

0

H

Próba jest losowa

1) Wyznaczamy median

ę

z próby.

2) Wyznaczamy liczb

ę

serii L mniejszych i wi

ę

kszych od mediany

Obszar krytyczny testu jest dwustronny (-oo , l

1

] U [l

2

, +oo)

©

Barbara Gładysz

(

)

(

) (

)















−

+

⋅

+

−

−

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

1

2

2

,

1

2

2

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

N

Statystyka L ma asymptotyczny rozkład normalny

(n

a

– liczba elementów jednego rodzaju, n

b

– liczna elementów drugiego rodzaju)

Test losowo

ś

ci próby wzrostu

(160 160, 163, 165, 168,

170, 170,

173, 176, 178, 183, 186)

(183,

160,

186,

178,

170,

168,

165,

163,

176,

160,

170,

173)

Próba po uporz

ą

dkowaniu

Me=170

Me=170

(183,

160,

186,

178,

170,

168,

165,

163,

176,

160,

170,

173)

b a b b a a a b a b

L = 7

n1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n2

n2

2

2

4

3

3

5

6

4

4

5

7

8

0,025

0,975

5

2

2

5

5

7

8

9

6

2

2

3

3

6

5

7

8

9

10

7

2

2

3

3

3

7

5

7

9

10

11

12

8

2

3

3

3

4

4

8

5

7

9

10

11

12

13

9

2

3

3

4

4

5

5

9

5

7

9

11

12

13

13

14

10

2

3

3

4

5

5

5

6

10

5

7

9

11

12

13

14

15

15

:

0

H

Próba wzrostu jest losowa

Liczb

ę

serii L = 7

Test losowo

ś

ci próby wzrostu

(test liczby serii)

L(5,5) = 7

(-oo, 2] U [9,+oo]

∉

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowo

ś

ci

próby

Dla

α

=0,05

Obszar krytyczny:

(-oo, 2] U [9,+oo)

Test zgodno

ś

ci dla du

ż

ej liczby obserwacji

TEST

2

χ

Cecha X ma rozkład ma rozkład normalny

:

0

H

)

;

(

σ

m

N

∑

=

⋅

⋅

−

=

r

i

i

i

i

p

n

p

n

n

1

2

2

)

(

χ

r - liczba klas szeregu rozdzielczego,

(

)

1

2

−

−

s

r

χ

- rozkład

r - liczba klas szeregu rozdzielczego,

i

n

)

8

(

5

≥

i

n

-ilo

ść

obserwacji w i-tej klasie,

i

p

-prawdopodobie

ń

stwo hipotetyczne zaobserwowania cechy X w i-tej klasie.

Obszar krytyczny

©

Barbara Gładysz

s - liczba parametrów szacowanych z próby,

HISTOGRAM

klasy

Cz

ę

sto

ść

155

9

Histogram

15

20

25

30

ę

s

to

ś

ć

Cz

ę

sto

ść

162,5

14

170

28

177,5

28

185

15

Wi

ę

cej

6

0

5

10

15

15

5

16

2,

5

17

0

17

7,

5

18

5

W

i

ę

ce

j

klasy

C

z

ę

s

to

Cz

ę

sto

ść

Histogram for wzrost

fr

eq

u

en

cy

30

40

)

54

.

9

;

58

.

170

(

N

wzrost

fr

eq

u

en

cy

140

150

160

170

180

190

200

0

10

20

30

klasy

n

i

F(x

i

)

p

i

np

i

n

i

-np

i

(n

i

-np

i

)

2

/np

i

-oo

155

9

0,0514

0,051385

5,14

3,86

2,90

155

162,5

14

0,1987

0,147362

14,74

-0,74

0,04

162,5

170

28

0,4758

0,277075

27,71

0,29

0,00

170

177,5

28

0,7657

0,289897

28,99

-0,99

0,03

170

177,5

28

0,7657

0,289897

28,99

-0,99

0,03

177,5

185

15

0,9345

0,168796

16,88

-1,88

0,21

185

+oo

6

1,0000

0,065486

6,55

-0,55

0,05

100

1

3,23

chi

2

=

3,23

Test normalno

ś

ci dla du

ż

ej liczby obserwacji

TEST

2

χ

Wzrost ma rozkład ma rozkład normalny

:

0

H

)

54

.

9

;

58

.

170

(

N

23

,

3

)

(

1

2

2

=

⋅

⋅

−

=

∑

=

r

i

i

i

p

n

p

n

n

χ

(

)

1

2

−

−

s

r

χ

- rozkład

1

⋅

=

i

i

p

n

(

)

©

Barbara Gładysz

( )

815

,

7

3

23

,

3

2

=

<

α

χ

Nie ma podstaw do odrzucamy hipotezy

0

H

Test z godno

ś

ci dla małej liczby obserwacji

Davida-Hellwiga

Cecha X ma rozkład ma rozkład normalny

:

0

H

)

;

(

δ

m

N

1) Konstruujemy cele, dziel

ą

c odcinek [0,1] na n rozł

ą

cznych odcinków o długo

ś

ci 1/n.

2) Wyznaczamy warto

ś

ci dystrybuanty hipotetycznej F(x

i

) i sprawdzamy,

do których cel wpadaj

ą

.

3) Wyznaczamy liczb

ę

pustych cel K

Obszar krytyczny testu jest dwustronny [0 , k

1

] U [k

2

, n-1]

©

Barbara Gładysz

Wzrost (x)

F(x)

160

0,0985

160

0,0985

163

0,1741

165

0,2409

168

0,3625

170

0,4533

F(x)

0,6667

0,7500

0,8333

0,9167

1,0000

170

0,4533

170

0,4533

173

0,5927

176

0,7212

178

0,7941

183

0,9203

186

0,9607

Liczba pustych cel

K=4

0,0000

0,0833

0,1667

0,2500

0,3333

0,4167

0,5000

0,5833

0,6667

155

160

165

170

175

180

185

190

wzrost

Odczyt z tablic statystycznych

Wzrost

stand.

(x

st

)

Φ

(x

st

)

-1,2899

0,0985

-1,2899

0,0985

-0,9381

0,1741

52

,

8

171

−

=

−

=

x

s

x

x

x

st

-0,7036

0,2409

-0,3518

0,3625

-0,1173

0,4533

-0,1173

0,4533

0,2345

0,5927

0,5863

0,7212

0,8208

0,7941

1,4071

0,9203

1,7589

0,9607

Liczba pustych cel: K=4

:

0

H

Wzrost ma rozkład ma rozkład normalny

)

52

.

8

,

171

(

N

Dla

α

=0,05

Obszar krytyczny:

[0,2] U [6,11]

K=4

[0,2] U [6,11]

∉

Nie ma podstaw do odrzucamy hipotezy

0

H

©

Barbara Gładysz

Tablice liczby pustych cel

n

0,05

0,01

k1

k2

k1

k2

2

3

4

2

5

0

3

3

6

0

3

4

7

0

4

0

4

8

0

4

0

5

9

1

5

0

5

10

1

5

0

6

11

1

6

1

6

12

2

6

1

7

Test niezale

ż

no

ś

ci

TEST

2

χ

Cechy X, Y s

ą

niezale

ż

ne

:

0

H

∑ ∑

= =

⋅

⋅

−

=

r

i

s

j

ij

ij

ij

p

n

p

n

n

1

1

2

2

)

(

χ

r - liczba kategorii cechy X,

(

)(

)

1

1

2

−

−

s

r

χ

- rozkład

r - liczba kategorii cechy X,

ij

n

n

n

n

r

i

s

j

ij

ij

=

≥

∑ ∑

= =

1

1

;

)

8

(

5

-ilo

ść

obserwacji w kategorii i oraz j,

n

n

n

n

p

p

p

r

i

ij

s

j

ij

j

i

ij

∑

∑

=

=

⋅

=

⋅

=

1

1

.

.

-prawdopodobie

ń

stwo hipotetyczne zaobserwowania obserwacji

w kategorii

i oraz j

.

Obszar krytyczny

©

Barbara Gładysz

s - liczba kategorii cechy Y,

Test niezale

ż

no

ś

ci wzrostu od płci

TEST

2

χ

Wzrost nie zale

ż

y od płci

:

0

H

nij

wzrost<170

wzrost>=170

©

Barbara Gładysz

kobieta

80

20

m

ęż

czyzna

30

70

nij

wzrost<170

wzrost>=170

ni.

kobieta

80

20

100

m

ęż

czyzna

30

70

100

n.j

110

90

200

Prawdopodobie

ń

stwo brzegowe

pij

wzrost<170

wzrost>=170

pi.

kobieta

0,5

m

ęż

czyzna

0,5

p.j

0,55

0,45

1

pij

wzrost<

170

wzrost>=

170

p

i.

kobieta

0,5

m

ęż

czyz

na

0,5

p

0,55

0,45

1

Prawdopodobie

ń

stwo hipotetyczne p

ij

= p

i.

p

.j

p

.j

0,55

0,45

1

p

ij

wzrost<

170

wzrost>=

170

p

i.

kobieta

0,275

0,225

0,5

m

ęż

czyz

na

0,275

0,225

0,5

p

.j

0,55

0,45

1

pij

wzrost<170

wzrost>=170

p

i.

kobieta

0,275

0,225

0,5

m

ęż

czyzna

0,275

0,225

0,5

p

.j

0,55

0,45

1

Hipotetyczna liczba obserwacji w klasach

p

.j

0,55

0,45

1

npij

wzrost<170

wzrost>=170

p

i.

kobieta

55

45

0,5

m

ęż

czyzna

55

45

0,5

p

.j

0,55

0,45

1

n

ij

wzrost<170

wzrost>=170

n

i.

kobieta

80

20

100

m

ęż

czyzna

30

70

100

n

.j

110

90

200

np

ij

wzrost<170

wzrost>=170

p

i.

kobieta

55

45

0,5

Ró

ż

nice w liczebno

ś

ciach empirycznych i hipotetycznych

m

ęż

czyzna

55

45

0,5

p.j

0,55

0,45

1

n

ij

-np

ij

wzrost<170

wzrost>=170

kobieta

25

-25

m

ęż

czyzna

-25

25

Test niezale

ż

no

ś

ci wzrostu od płci

TEST

2

χ

Wzrost nie zale

ż

y od płci

:

0

H

(

)

(

)

5

,

50

45

25

45

25

55

25

55

25

)

(

2

2

2

2

1

1

2

2

=

−

+

+

−

+

=

⋅

⋅

−

=

∑ ∑

= =

r

i

s

j

ij

ij

ij

p

n

p

n

n

χ

©

Barbara Gładysz

( )

841

,

3

1

5

,

50

2

=

>

α

χ

Odrzucamy hipotez

ę

o niezale

ż

no

ś

ci wzrostu od płci

0

H

45

45

55

55

⋅

ij

p

n