Przykład 10.1. Obliczenie momentu plastycznego przy zginaniu

Obliczy´c momenty plastyczne przy zginaniu dla nast˛epuj ˛

acych przekrojów i warto´sci granicy

plastyczno´sci:

a) σ

c

pl

= 2σ

r

pl

= 2σ

pl

3a

2a

3a

6a

2a

C

M

b) σ

c

pl

= σ

r

pl

= σ

pl

2a

2a

6a

C

M

1

Rozwi ˛

azanie

a) σ

c

pl

= 2σ

r

pl

= 2σ

pl

3a

2a

3a

6a

2a

C

M

Rozwi ˛

azywanie zadania zacz ˛

a´c nale˙zy od okre´slenia poło˙zenia osi oboj˛etnej w stanie pełnego

uplastycznienia przekroju. Szukane poło˙zenie osi mo˙zna znale´z ´c z równania równowagi sił
normalnych w przekroju. W dalszych obliczeniach zało˙zono, ˙ze szukana o´s oboj˛etna przechodzi
przez ´srodnik przekroju.

A c

A r

σ

pl

r

σ

pl

c

M

pl

d

x

y

M

pl

σ

r

pl

A

r

= σ

c

pl

A

c

=⇒

σ

pl

A

r

= 2σ

pl

A

c

=⇒

A

r

= 2A

c

gdzie

A

r

−

pole rozci ˛

aganej cz˛e´sci przekroju

A

c

−

pole ´sciskanej cz˛e´sci przekroju

2

Poniewa˙z

A

r

+ A

c

= A

gdzie

A

= 2a · 8a + 6a · 2a = 28a

2

−

pole przekroju poprzecznego

to

2A

c

+ A

c

= A

=⇒

A

c

=

1
3

A

=⇒

A

c

=

28

3

a

2

St ˛

ad

A

c

= 2a · d =

28

3

a

2

=⇒

d

=

14

3

a

Poniewa˙z d

=

14

3

a <

6a, wi˛ec zało˙zenie dotycz ˛

ace poło˙zenia osi oboj˛etnej jest poprawne.

Równanie sumy momentów zginaj ˛

acych w przekroju pozwala obliczy ´c szukan ˛

a warto´s´c mo-

mentu plastycznego.

M

pl

− σ

r

pl

|S

r

x

| + σ

c

pl

|S

c

x

| = 0

=⇒

M

pl

= σ

pl

(|S

r

x

| + 2 |S

c

x

|)

S

r

x

i S

c

x

oznaczaj ˛

a odpowiednio moment statyczny rozci ˛

aganej i ´sciskanej cz˛e´sci przekroju.

S

r

x

= 2a · 8a ·

 14

3

a

− 6a − a



+ 2a ·



6a −

14

3

a



·

14

3

a

− 6a

2

=

= 16a

2

·



−

7
3

a



+

4
3

a

2

·



−

4
3

a



= −

112

3

a

3

−

16

9

a

3

= −

336 + 16

9

a

3

= −

352

9

a

3

S

c

x

= 2a ·

14

3

a

·

14

3

a

2

=

196

9

a

3

Tak wi˛ec

M

pl

= σ

pl

 352

9

a

3

+ 2 ·

196

9

a

3



=

248

3

a

3

σ

pl

≈ 82,667a

3

· σ

pl

Z uwagi na nierówno´s´c warto´sci granicy plastyczno´sci przy ´sciskaniu i rozci ˛

aganiu (σ

c

pl

6= σ

r

pl

),

a tak˙ze z powodu niesymetryczno´sci przekroju wzgl˛edem osi oboj˛etnej przekroju w stanie peł-
nego uplastycznienia, moment plastyczny przy zmienionym znaku b˛edzie miał inn ˛

a warto´s´c.

Ten przypadek przedstawiony został na rysunku na nast˛epnej stronie. Tym razem zało˙zono, ˙ze
o´s oboj˛etna przechodzi przez półk˛e przekroju.

3

A r

A c

σ

pl

c

σ

pl

r

M

pl

f

x

y

M

pl

Warto´sci A

c

i A

r

oczywi´scie nie zmieniaj ˛

a si˛e, czyli

A

c

= 8a · f =

28

3

a

2

=⇒

f

=

7
6

a

Poniewa˙z f

=

7

6

a <

2a wi˛ec zało˙zenie dotycz ˛

ace poło˙zenia osi oboj˛etnej w stanie pełnego

uplastycznienia było poprawne.
St ˛

ad

S

r

x

= 2a · 6a ·



2a −

7
6

a

+

1
2

· 6a



+



2a −

7
6

a



· 8a ·

2a −

7

6

a

2

=

= 12a

2

·

23

6

a

+

20

3

a

2

·

5

12

a

= 46a

3

+

25

9

a

3

=

414 + 25

9

a

3

=

439

9

a

3

S

c

x

= 8a ·

7
6

a

·

−

7

6

a

2

= −

49

9

a

3

Tak wi˛ec

M

pl

= σ

pl

 439

9

a

3

+ 2 ·

49

9

a

3



=

537

9

a

3

σ

pl

=

179

3

a

3

σ

pl

≈ 59,667a

3

· σ

pl

Podsumowuj ˛

ac mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze je˙zeli moment zginaj ˛

acy ma taki zwrot, ˙ze rozci ˛

agane

s ˛

a włókna górne przekroju, to uplastycznienie całego przekroju poprzecznego nast ˛

api przy

warto´sci M

pl

≈ 82,667a

3

· σ

pl

, je´sli za´s moment zginaj ˛

acy ma znak przeciwny, tj. rozci ˛

a-

gane s ˛

a włókna dolne, to uplastycznienie całego przekroju poprzecznego nast ˛

api przy warto´sci

M

pl

≈ 59,667a

3

· σ

pl

.

4

b) σ

c

pl

= σ

r

pl

= σ

pl

2a

2a

6a

C

M

W tym przypadku ze wzgl˛edu na równo´s´c dopuszczalnych napr˛e˙ze ´n ´sciskaj ˛

acych i rozci ˛

agaj ˛

a-

cych poło˙zenie osi oboj˛etnej okre´slone jest równaniami

A c

A r

σ

pl

r

σ

pl

c

M

gr

s

d

x

y

M

gr















A

c

= A

r

=

A

2

=

1

2

· 4a · 6a

2

=

12

2

a

2

= 6a

2

A

r

=

1
2

· 4a ·



1 −

d

6a



· (6a − d) =

(6a − d)

2

3

=⇒

(6a − d)

2

= 18a

2

=⇒

=⇒

d

2

− 12ad + 18a

2

= 0

St ˛

ad warto´s´c d wynosi

√

∆ =

√

144a

2

− 4 · 18a

2

=

√

144a

2

− 72a

2

=

√

72a = 6

√

2a

d

=

12a − 6

√

2a

2

= 3



2 −

√

2



a

≈ 1,757a

Wymiar s jest natomiast równy

s

=

2
3

(6a − d) =

2
3

h

6a − 3



2 −

√

2



a

i

= 2

√

2a ≈ 2,828a

5

Momenty statyczne rozci ˛

aganej i ´sciskanej cz˛e´sci przekroju wynosz ˛

a odpowiednio:

S

r

x

= 2

√

2a · 3



2 −

√

2



a

·



−

3
2



2 −

√

2



a



+

+ 2 ·

1
2

·

4a − 2

√

2a

2

· 3



2 −

√

2



a

·



−

2
3

· 3



2 −

√

2



a



=

= −9

√

2



2 −

√

2



2

a

3

− 6



2 −

√

2



3

a

3

=

= −



2 −

√

2



2



9

√

2 + 12 − 6

√

2



a

3

= −



2 −

√

2



2



12 + 3

√

2



a

3

=

= −



4 − 4

√

2 + 2

 

12 + 3

√

2



a

3

= −



72 + 18

√

2 − 48

√

2 − 24



a

3

=

= −



48 − 30

√

2



a

3

= −6



8 − 5

√

2



a

3

≈ −5,574a

3

S

c

x

=

1
2

· 2

√

2a · 3

√

2a ·

1
3

· 3

√

2a = 6

√

2a

3

≈ 8,485a

3

Wyznaczenie warto´sci momentów statycznych pozwala nam policzy´c moment plastyczny.

M

pl

= (|S

r

x

| + |S

c

x

|) σ

pl

=

h

6



8 − 5

√

2



a

3

+ 6

√

2a

3

i

σ

pl

=



48 − 24

√

2



a

3

σ

pl

=

= 24



2 −

√

2



a

3

σ

pl

≈ 14,059a

3

· σ

pl

6