1

Odpowiedzi na pytania na egzamin z algebry i geometrii

analitycznej

1. Jakie odwzorowanie nazywamy złożeniem odwzorowań?

Dane są odwzorowania 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵, 𝑔𝑔: 𝐵𝐵 → 𝐶𝐶. Złożeniem odwzorowań 𝑓𝑓 i 𝑔𝑔 nazywamy
odwzorowanie

(𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔): 𝐴𝐴 → 𝐶𝐶 takie, że ∀𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴(𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔)(𝑎𝑎) = 𝑔𝑔�𝑓𝑓(𝑎𝑎)�.

2. Podaj i uzasadnij wzór na odwzorowanie odwrotne do złożenia odwzorowań.

(𝑓𝑓 ∘ 𝑔𝑔)

−1

= 𝑓𝑓

−1

∘ 𝑔𝑔

−1

(𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓)

−1

(𝑐𝑐) = 𝑎𝑎 ⟺ (𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓)(𝑎𝑎) = 𝑐𝑐 ⟺ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑏𝑏 ∧ 𝑔𝑔(𝑏𝑏) = 𝑐𝑐

(𝑓𝑓

−1

∘ 𝑔𝑔

−1

)(𝑐𝑐) = 𝑎𝑎

1

⟺ 𝑓𝑓

−1

�𝑔𝑔

−1

(𝑐𝑐)� = 𝑎𝑎

1

⟺ 𝑔𝑔

−1

(𝑐𝑐) = 𝑓𝑓(𝑎𝑎

1

) ⟺ 𝑐𝑐 = 𝑔𝑔�𝑓𝑓(𝑎𝑎

1

)�

= (𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓)(𝑎𝑎

1

) ⇒ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎

1

⇒ 𝑓𝑓

−1

∘ 𝑔𝑔

−1

= (𝑔𝑔 ∘ 𝑓𝑓)

−1

3. Co nazywamy odwzorowaniem odwrotnym do danego? Kiedy istnieje?

Odwzorowanie 𝑔𝑔: 𝐵𝐵 → 𝐴𝐴 nazywamy odwrotnym do 𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 i oznaczamy 𝑔𝑔 = 𝑓𝑓

−1

, jeżeli

∀𝑎𝑎 ∈ 𝐴𝐴, 𝑏𝑏 ∈ 𝐵𝐵𝑓𝑓

−1

(𝑏𝑏) = 𝑎𝑎 ⟺ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 𝑏𝑏.

Odwzorowanie odwrotne 𝑔𝑔 = 𝑓𝑓

−1

istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie 𝑓𝑓 jest

bijekcją.

4. Ile wynosi moduł iloczynu dwóch liczb zespolonych o module równym m? Dlaczego?

|𝑧𝑧

1

| = |𝑧𝑧

2

| = 𝑚𝑚

|𝑧𝑧

1

⋅ 𝑧𝑧

2

| = |𝑧𝑧

1

| ⋅ |𝑧𝑧

2

| = 𝑚𝑚

2

𝑧𝑧

1

⋅ 𝑧𝑧

2

= |𝑧𝑧

1

| ⋅ |𝑧𝑧

1

|[(cos 𝑥𝑥

1

cos 𝑥𝑥

2

− sin 𝑥𝑥

1

sin 𝑥𝑥

2

) + 𝑖𝑖(cos 𝑥𝑥

1

sin x

2

+ cos x

2

sin x

1

)]

= |𝑧𝑧

1

⋅ 𝑧𝑧

2

|{cos(𝑥𝑥

1

+ 𝑥𝑥

2

) + 𝑖𝑖[sin(x

1

+ x

2

)]}

5. Jak zapisujemy liczbę zespoloną w postaci wykładniczej? Objaśnij użyte symbole. Podaj wzór

na iloczyn dwóch liczb w tej postaci.
𝑑𝑑 = ln|𝑧𝑧| = log

𝑒𝑒

|𝑧𝑧| ⟺ |𝑧𝑧| = 𝑒𝑒

𝑑𝑑

𝑧𝑧 = |𝑧𝑧|𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

= 𝑒𝑒

𝑑𝑑

∙ 𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

= 𝑒𝑒

𝑑𝑑+𝑖𝑖𝜑𝜑

𝑧𝑧

1

∙ 𝑧𝑧

2

= |𝑧𝑧

1

| ∙ |𝑧𝑧

2

| ∙ (cos(𝜑𝜑

1

+ 𝜑𝜑

2

) + 𝑖𝑖 sin(𝜑𝜑

1

+ 𝜑𝜑

2

)) = |𝑧𝑧|𝑒𝑒

𝑖𝑖(𝜑𝜑

1

+𝜑𝜑

2

)

6. Podaj i uzasadnij wzór na cosinus i sinus kąta w zależności od funkcji wykładniczej.

cos 𝜑𝜑 =

𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

+ 𝑒𝑒

−𝑖𝑖𝜑𝜑

2

,

sin 𝜑𝜑 =

𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

− 𝑒𝑒

−𝑖𝑖𝜑𝜑

2

𝑧𝑧 = |𝑧𝑧| ∙ 𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

= |𝑧𝑧| ∙ (cos 𝜑𝜑 + sin 𝜑𝜑)

𝑒𝑒

𝑖𝑖(𝜑𝜑

1

+𝜑𝜑

2

)

= 𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

1

+𝑖𝑖𝜑𝜑

2

= 𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

1

+ 𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

2

cos(𝜑𝜑

1

+ 𝜑𝜑

2

) + 𝑖𝑖 ∙ sin(𝜑𝜑

1

+ 𝜑𝜑

2

) = (cos 𝜑𝜑

1

+ 𝑖𝑖 sin 𝜑𝜑

1

) ∙ (cos 𝜑𝜑

2

+ 𝑖𝑖 sin 𝜑𝜑

2

)

𝑒𝑒

𝑖𝑖𝜑𝜑

= cos 𝜑𝜑 + 𝑖𝑖 sin 𝜑𝜑 ,

𝑒𝑒

−𝑖𝑖𝜑𝜑

= cos(−𝜑𝜑) + 𝑖𝑖 sin(−𝜑𝜑) = cos 𝜑𝜑 − 𝑖𝑖 sin 𝜑𝜑

7. Kiedy wektory 𝑒𝑒

1

, … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

nazywamy liniowo niezależnymi? Czy wektory

(1, 2), (4, −1),

(−2, 3) są liniowo niezależne?
Wektory 𝑒𝑒

1

� , … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

��� nazywamy liniowo niezależnymi, jeśli:

∀𝛼𝛼

1

, … , 𝛼𝛼

𝑛𝑛

∈ 𝐾𝐾 � 𝛼𝛼

𝑖𝑖

⋅ 𝑥𝑥

𝑖𝑖

� = 0�

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

⇒ 𝛼𝛼

1

= ⋯ = 𝛼𝛼

𝑛𝑛

= 0

Wektory

(1, 2), (4, −1), (−2, 3) są liniowo niezależne, ponieważ żaden z nich nie jest

kombinacją innego:
𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑 �1

4

2 −1� ≠ 0 ∧ 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑 �

1 −2

2

3 � ≠ 0 ∧ 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑 �

4

−2

−1

3 � ≠ 0

2

8. Co to jest baza przestrzeni wektorowej? Co łączy dwie bazy tej samej przestrzeni?

Bazą przestrzeni wektorowej nazywamy zbiór wektorów 𝑒𝑒

1

� , … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

��� ∈ 𝑋𝑋, spełniających

następujące warunki:
- generują przestrzeń wektorową 𝑋𝑋,
- są liniowo niezależne,
Jeżeli

(𝑒𝑒

1

� , … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

���), (𝐸𝐸

1

���, … , 𝐸𝐸

𝑛𝑛

����) są bazami wektorowymi przestrzeni 𝑋𝑋, to 𝑛𝑛 = 𝑚𝑚, gdzie liczba 𝑛𝑛

jest wymiarem przestrzeni 𝑋𝑋. Bazy te mają ten sam wymiar:
dim 𝑋𝑋 = 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛

9. Jak określamy reprezentację macierzową odwzorowania liniowego?

𝑇𝑇(𝑥𝑥̅) = 𝑇𝑇 �� 𝑥𝑥

𝑗𝑗

𝑒𝑒

𝑗𝑗

�

𝑛𝑛

𝑗𝑗 =1

� = � 𝑦𝑦

𝑖𝑖

𝐸𝐸

𝑖𝑖

�

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

⇒ 𝑦𝑦

𝑖𝑖

= � 𝑎𝑎

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑥𝑥

𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑖𝑖=𝑗𝑗

10. Podaj i uzasadnij wzór na iloczyn macierzy.

Niech

(𝑒𝑒

1

� , … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

���) będzie bazą wektorową w 𝑋𝑋, (𝐸𝐸

1

���, … , 𝐸𝐸

𝑛𝑛

����) - bazą wektorową w 𝑌𝑌, (𝜀𝜀

1

� , … , 𝜀𝜀

𝑛𝑛

���)

- bazą wektorową w 𝑍𝑍. Niech 𝑇𝑇: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌, 𝑆𝑆: 𝑌𝑌 → 𝑍𝑍. Macierz 𝐴𝐴 jest reprezentacją macierzową
odwzorowania 𝑇𝑇, macierz 𝐵𝐵 jest reprezentacją macierzową odwzorowania 𝑆𝑆:

𝐴𝐴 = �

𝑎𝑎

11

⋯ 𝑎𝑎

1𝑛𝑛

⋮

⋮

𝑎𝑎

𝑚𝑚1

⋯ 𝑎𝑎

𝑚𝑚𝑛𝑛

�

𝐵𝐵 = �

𝑏𝑏

11

⋯ 𝑎𝑎

1𝑚𝑚

⋮

⋮

𝑏𝑏

𝑠𝑠1

⋯ 𝑏𝑏

𝑠𝑠𝑚𝑚

�

𝐶𝐶 = �

𝑐𝑐

11

⋯ 𝑐𝑐

1𝑛𝑛

⋮

⋮

𝑐𝑐

𝑝𝑝1

⋯ 𝑐𝑐

𝑝𝑝𝑛𝑛

�

Macierz 𝐶𝐶 = 𝐵𝐵 ∙ 𝐴𝐴 jest reprezentacją macierzową odwzorowania 𝑆𝑆 ∘ 𝑇𝑇.

𝑇𝑇�𝑒𝑒

𝑗𝑗

�� = � 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

∙ 𝐸𝐸

𝑘𝑘

���

𝑚𝑚

𝑘𝑘=1

𝑆𝑆(𝐸𝐸

𝑘𝑘

���) = � 𝑏𝑏

𝑖𝑖𝑘𝑘

∙ 𝜀𝜀

𝑖𝑖

�

𝑝𝑝

𝑖𝑖=1

(𝑆𝑆 ∘ 𝑇𝑇)�𝑒𝑒

𝑗𝑗

�� = 𝑆𝑆 �𝑇𝑇�𝑒𝑒

𝑗𝑗

��� = 𝑆𝑆 �� 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

∙ 𝐸𝐸

𝑘𝑘

���

𝑚𝑚

𝑘𝑘=1

� = � 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

∙ 𝑆𝑆(𝐸𝐸

𝑘𝑘

���)

𝑚𝑚

𝑘𝑘=1

= � 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

𝑚𝑚

𝑘𝑘=1

∙ � 𝑏𝑏

𝑖𝑖𝑘𝑘

∙ 𝜀𝜀

𝑖𝑖

�

𝑝𝑝

𝑖𝑖=1

= � �� 𝑏𝑏

𝑖𝑖𝑘𝑘

∙ 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

𝑚𝑚

𝑘𝑘=1

�

𝑝𝑝

𝑖𝑖=1

∙ 𝜀𝜀

𝑖𝑖

�

(𝑆𝑆 ∘ 𝑇𝑇)�𝑒𝑒

𝑗𝑗

�� = � 𝑐𝑐

𝑖𝑖𝑗𝑗

∙ 𝜀𝜀

𝑖𝑖

�

𝑝𝑝

𝑖𝑖=1

⇒ 𝑐𝑐

𝑖𝑖𝑗𝑗

= � 𝑏𝑏

𝑖𝑖𝑘𝑘

∙ 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

𝑚𝑚

𝑘𝑘=1

11. Podaj i uzasadnij wzór na transpozycję iloczynu macierzy.

∀ macierzy 𝐴𝐴 i 𝐵𝐵 wymiaru 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 (𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵)

𝑇𝑇

= 𝐵𝐵

𝑇𝑇

∙ 𝐴𝐴

𝑇𝑇

𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵,

𝐶𝐶 = �𝑐𝑐

𝑖𝑖𝑗𝑗

� ⇒ 𝑐𝑐

𝑖𝑖𝑗𝑗

= � 𝑎𝑎

𝑖𝑖𝑘𝑘

𝑏𝑏

𝑘𝑘𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

𝐶𝐶

𝑇𝑇

= (𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵)

𝑇𝑇

,

𝐶𝐶

𝑇𝑇

= �𝑐𝑐

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑇𝑇

�

𝑐𝑐

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑇𝑇

= 𝑐𝑐

𝑗𝑗𝑖𝑖

= � 𝑎𝑎

𝑗𝑗𝑘𝑘

𝑏𝑏

𝑘𝑘𝑖𝑖

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

= � 𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

𝑇𝑇

𝑏𝑏

𝑖𝑖𝑘𝑘

𝑇𝑇

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

= � 𝑏𝑏

𝑖𝑖𝑘𝑘

𝑇𝑇

𝑎𝑎

𝑘𝑘𝑗𝑗

𝑇𝑇

𝑛𝑛

𝑘𝑘=1

⇒ 𝐶𝐶

𝑇𝑇

= 𝐵𝐵

𝑇𝑇

∙ 𝐴𝐴

𝑇𝑇

12. Podaj wzór na wyznacznik iloczynu macierzy.

det 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 = det 𝐴𝐴 ∙ det 𝐵𝐵

13. Podaj rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy.

Jeśli 𝐴𝐴 jest macierzą kwadratową 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛, to:

det 𝐴𝐴 = � 𝑎𝑎

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝐴𝐴

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

= � 𝑎𝑎

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝐴𝐴

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗 =1

,

𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ∈ {1, … , 𝑛𝑛},

3

gdzie 𝐴𝐴

𝑖𝑖𝑗𝑗

= (−1)

𝑖𝑖+𝑗𝑗

∙ 𝑀𝑀

𝑖𝑖𝑗𝑗

jest dopełnieniem algebraicznym elementu 𝑎𝑎

𝑖𝑖𝑗𝑗

, a 𝑀𝑀

𝑖𝑖𝑗𝑗

wyznacznikiem macierzy kwadratowej 𝑛𝑛 − 1 × 𝑛𝑛 − 1, powstałej z macierzy 𝐴𝐴 przez
skreślenie 𝑖𝑖-tego wiersza i 𝑗𝑗-tej kolumny.

14. Co nazywamy macierzą nieosobliwą? Jak można stwierdzić czy macierz jest nieosobliwa?

Macierzą nieosobliwą nazywamy każdą macierz o odwracalnym (niezerowym) wyznaczniku.

15. Podaj wzory Cramera na rozwiązanie układu równań liniowych. Objaśnij użyte symbole.

Jeżeli 𝐴𝐴 jest macierzą kwadratową nieosobliwą, to układ równań 𝐴𝐴𝑥𝑥̅ = 𝑦𝑦� ma dokładnie jedno
rozwiązanie dane wzorem:

𝑥𝑥

𝑗𝑗

=

det 𝐵𝐵

𝑗𝑗

det 𝐴𝐴 , 𝑗𝑗 ∈

{1, … , 𝑛𝑛}

gdzie 𝐵𝐵

𝑗𝑗

oznacza macierz powstałą z macierzy 𝐴𝐴 przez zastąpienie 𝑗𝑗-tej kolumny kolumną 𝐶𝐶

(macierzą wyrazów wolnych):

𝐴𝐴 = �

𝑎𝑎

11

𝑎𝑎

12

𝑎𝑎

21

𝑎𝑎

22

⋯ 𝑎𝑎

1𝑛𝑛

⋯ 𝑎𝑎

2𝑛𝑛

⋮

⋮

𝑎𝑎

𝑚𝑚1

𝑎𝑎

𝑚𝑚2

⋱

⋮

⋯ 𝑎𝑎

𝑚𝑚𝑛𝑛

�

𝐶𝐶 = �

𝑏𝑏

1

𝑏𝑏

2

⋮

𝑏𝑏

𝑚𝑚

�

16. Podaj wzór na elementy macierzy odwrotnej. Objaśnij użyte symbole.

Niech 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 będą macierzami nieosobliwymi 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛, 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴

−1

. Wtedy:

𝑏𝑏

𝑖𝑖𝑗𝑗

=

𝐴𝐴

𝑗𝑗𝑖𝑖

det 𝐴𝐴

17. Co nazywamy rzędem macierzy? Jaki jest związek rzędu macierzy z jej wymiarem?

Rzędem macierzy A nazywamy wymiar największej nieosobliwej podmacierzy kwadratowej A.
Rząd macierzy A jest niewiększy od mniejszej wartości: liczby rzędów lub liczby kolumn.

18. Jak możemy wyznaczyć rząd macierzy?

Sprawdzając ile wierszy (kolumn) macierzy jest liniowo niezależnych, przy użyciu np. metody
Gaussa.

19. Podaj twierdzenie Sylvestera o rzędzie iloczynu macierzy.

𝑟𝑟(𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵) ≤ min�𝑟𝑟(𝐴𝐴), 𝑟𝑟(𝐵𝐵)�

20. Podaj i uzasadnij twierdzenie Kroneckera – Capelliego.

Układ równań posiada co najmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟(𝐴𝐴

𝑛𝑛

).

∀𝑖𝑖 ∈ {1, … , 𝑚𝑚} 𝑦𝑦

𝑖𝑖

= � 𝑥𝑥

𝑗𝑗

𝑎𝑎

𝑖𝑖𝑗𝑗

𝑛𝑛

𝑗𝑗 =1

Kolumna �

𝑦𝑦

1

⋮

𝑦𝑦

𝑚𝑚

� jest kombinacją liniową kolumn �

𝑎𝑎

11

⋮

𝑎𝑎

𝑚𝑚1

� , … , �

𝑎𝑎

1𝑛𝑛

⋮

𝑎𝑎

𝑚𝑚𝑛𝑛

�, a więc ilość liniowo

niezależnych kolumn 𝐴𝐴

𝑛𝑛

jest równa ilości liniowo niezależnych kolumn 𝐴𝐴, co jest

równoznaczne z 𝑟𝑟(𝐴𝐴

𝑛𝑛

) = 𝑟𝑟(𝐴𝐴).

21. Kiedy układ równań algebraicznych liniowych będzie miał co najmniej jedno rozwiązanie dla

każdej kolumny wyrazów wolnych? Odpowiedź uzasadnij.
Aby układ równań miał co najmniej jedno rozwiązanie, dla każdej kolumny wyrazów wolnych,
𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛. Jest to wniosek z twierdzenia Kroneckera – Capelliego.

22. Podaj i uzasadnij związek między wyznacznikiem macierzy a wyznacznikiem macierzy

odwrotnej. Podaj i uzasadnij wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.

4

det(𝐴𝐴

−1

) = det(𝐴𝐴)

−1

23. Podaj i uzasadnij wzór na transpozycję macierzy odwrotnej.

(𝐴𝐴

−1

)

𝑇𝑇

= (𝐴𝐴

𝑇𝑇

)

−1

24. Jak określamy macierz przejścia z bazy 𝑒𝑒

𝑗𝑗

do bazy 𝑒𝑒

𝑖𝑖

′

?

25. Podaj związki między współrzędnymi wektora w „starej” i w „nowej” bazie.
26. Podaj związki między reprezentacjami macierzowymi odwzorowania liniowego w „starej” i w

„nowej” bazie.

𝑥𝑥⃗ = � 𝑥𝑥

𝑖𝑖

∙ 𝑒𝑒

𝑖𝑖

���⃗

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

= � 𝑥𝑥

𝑖𝑖

′

∙ 𝑒𝑒

𝑖𝑖

′

���⃗

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝑇𝑇(𝑥𝑥⃗) = 𝑥𝑥⃗

𝑇𝑇�𝑒𝑒

𝑗𝑗

���⃗� = � 𝛼𝛼

𝑖𝑖𝑗𝑗

∙ 𝑒𝑒

𝑖𝑖

′

���⃗

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

𝐴𝐴 = �

𝛼𝛼

11

… 𝛼𝛼

1𝑛𝑛

⋮

⋱

⋮

𝛼𝛼

𝑛𝑛1

… 𝛼𝛼

𝑛𝑛𝑛𝑛

�

A jest macierzą przejścia z bazy „starej”

(𝑒𝑒

1

���⃗, … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

����⃗) do bazy „nowej” �𝑒𝑒

1

′

���⃗,… , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

′

����⃗�.

27. Kiedy dwie macierze nazywamy równoważnymi? Co mają ze sobą wspólnego?

Niech 𝑇𝑇: 𝑋𝑋 → 𝑌𝑌 odwzorowanie liniowe o reprezentacji macierzowej 𝑇𝑇 w bazach 𝑒𝑒

1

���⃗, … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

����⃗ i

𝐸𝐸

1

����⃗, … , 𝐸𝐸

𝑚𝑚

�����⃗ oraz o reprezentacji macierzowej 𝑇𝑇

′

w bazach 𝑒𝑒

1

′

���⃗,… , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

′

����⃗ i 𝐸𝐸

1

′

����⃗, … , 𝐸𝐸

𝑚𝑚

′

�����⃗:

𝑇𝑇

′

= 𝐵𝐵 ∙ 𝑇𝑇 ∙ 𝐴𝐴

−1

Macierze równoważne mają ten sam rząd.

28. Kiedy macierz nazywamy ortogonalną?

Macierz ortogonalna to macierz kwadratowa, której macierzą odwrotną jest macierz do niej
transponowana::
𝐴𝐴

𝑇𝑇

∙ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴

−1

= 𝐼𝐼

𝑛𝑛

29. Podaj i uzasadnij własności macierzy ortogonalnej.

1. 𝐴𝐴

𝑇𝑇

= 𝐴𝐴

−1

2. det 𝐴𝐴 ∈ {1, −1}

𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴

𝑇𝑇

= 𝐼𝐼

det(𝐴𝐴𝐴𝐴

𝑇𝑇

) = det 𝐴𝐴 ∙ det(𝐴𝐴

𝑇𝑇

) = det 𝐼𝐼 = 1

det(𝐴𝐴

𝑇𝑇

) = det 𝐴𝐴 ⇒ (det(𝐴𝐴))

2

= 1

3. Iloczyn macierzy ortogonalnych jest macierzą ortogonalną.

(𝐴𝐴𝐵𝐵) ∙ (𝐴𝐴𝐵𝐵)

𝑇𝑇

= 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 ∙ 𝐵𝐵

𝑇𝑇

∙ 𝐴𝐴

𝑇𝑇

= 𝐴𝐴 ∙ 𝐴𝐴

𝑇𝑇

= 𝐼𝐼

30. Napisz równanie charakterystyczne dla macierzy 3𝑥𝑥3. Dlaczego jego współczynniki

nazywamy niezmiennikami?

31. Co to są wartości i wektory własne macierzy?

Wartościami własnymi macierzy nazywamy pierwiastki równania wiekowego macierzy.
Wektorem własnym macierzy 𝐴𝐴 nazywamy taki wektor 𝑥𝑥⃗, dla którego istnieje taka wartość 𝜆𝜆,
że zachodzi równość:
𝐴𝐴 ∙ 𝑥𝑥⃗ = 𝜆𝜆 ∙ 𝑥𝑥⃗

32. Podaj twierdzenia o wartościach i wektorach własnych macierzy symetrycznej.

1. Równanie wiekowe macierzy 𝑛𝑛 × 𝑛𝑛 posiada 𝑛𝑛 pierwiastków rzeczywistych.
2. Niech 𝜆𝜆

1

, 𝜆𝜆

2

będą wartościami własnymi, a 𝑤𝑤

1

, 𝑤𝑤

2

wektorami własnymi im

odpowiadającymi.

5

1. 𝜆𝜆

1

≠ 𝜆𝜆

2

⇒ 𝑤𝑤

1

⊥ 𝑤𝑤

2

2. 𝜆𝜆

1

= 𝜆𝜆

2

⇒ 𝑤𝑤 = 𝛼𝛼𝑤𝑤

1

+ 𝛽𝛽𝑤𝑤

2

≠ 0

3. W układzie własnym 𝑒𝑒

1

=

𝑊𝑊

1

|𝑊𝑊

1

|

, … , 𝑒𝑒

𝑛𝑛

=

𝑊𝑊

𝑛𝑛

|𝑊𝑊

𝑛𝑛

|

macierz 𝑇𝑇 ma postać diagonalną:

𝑇𝑇 = �

𝜆𝜆

1

0

0 𝜆𝜆

2

… 0

… 0

⋮ ⋮

0 0

⋱

⋮

0 𝜆𝜆

𝑛𝑛

�

4. Jeżeli 𝜆𝜆

1

≤ ⋯ ≤ 𝜆𝜆

𝑛𝑛

to w każdym ortogonalnym układzie współrzędnych 𝑗𝑗 = {1, … , 𝑛𝑛}:

𝜆𝜆

1

≤ 𝑎𝑎

𝑗𝑗𝑗𝑗

≤ 𝜆𝜆

𝑛𝑛

33. Co to jest forma dwuliniowa? Co nazywamy jej reprezentacją macierzową?

Niech 𝑋𝑋 będzie przestrzenią wektorową nad ciałem 𝐾𝐾. Formą dwuliniową nazywamy
odwzorowanie 𝑎𝑎: 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → 𝐾𝐾 takie, że dla każdego 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 oraz 𝑐𝑐 ∈ 𝐾𝐾 zachodzi:
1. 𝐵𝐵(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑧𝑧) + 𝐵𝐵(𝑦𝑦, 𝑧𝑧), 𝐵𝐵(𝑐𝑐𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

2. 𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) = 𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + 𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑧𝑧), 𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑐𝑐𝑦𝑦) = 𝑐𝑐𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)

34. Kiedy formę dwuliniową nazywamy symetryczną, a kiedy antysymetryczną?

Formę dwuliniową 𝑎𝑎: 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → ℝ nazywamy formą symetryczną, jeżeli ∀𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦� należącego do 𝑋𝑋
𝑎𝑎(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) = 𝑎𝑎(𝑦𝑦�, 𝑥𝑥̅).
Formę dwuliniową 𝑎𝑎: 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → ℝ nazywamy formą antysymetryczną, jeżeli ∀𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦� należącego
do 𝑋𝑋 𝑎𝑎(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) = −𝑎𝑎(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�).

35. Podaj i uzasadnij twierdzenie o rozkładzie macierzy na część symetryczną i antysymetryczną.

Formę dwuliniową 𝑎𝑎: 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → ℝ można rozłożyć na sumę formy symetrycznej 𝑎𝑎

𝑠𝑠

i

antysymetrycznej 𝑎𝑎

𝑎𝑎

:

𝑎𝑎(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) = 𝑎𝑎

𝑠𝑠

(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) − 𝑎𝑎

𝑎𝑎

(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�)

𝑎𝑎

𝑠𝑠

(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) =

1
2 �𝑎𝑎

(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) + 𝑎𝑎(𝑦𝑦, 𝑥𝑥̅)�

𝑎𝑎

𝑎𝑎

(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) =

1
2 �𝑎𝑎

(𝑥𝑥̅, 𝑦𝑦�) − 𝑎𝑎(𝑦𝑦�, 𝑥𝑥̅)�

36. Co to jest forma kwadratowa?

Niech 𝑋𝑋 będzie przestrzenią wektorową nad ciałem 𝐾𝐾. Formą kwadratową nazywamy
odwzorowanie 𝜑𝜑: 𝑋𝑋 → 𝐾𝐾 dane wzorem 𝑞𝑞(𝑥𝑥⃗) = 𝑎𝑎(𝑥𝑥⃗, 𝑥𝑥⃗).

37. Podaj definicję i własności reprezentacji macierzowej formy kwadratowej.
38. Kiedy forma kwadratowa jest określona dodatnio, ujemnie, a kiedy jest nieokreślona?

Formę kwadratową 𝑞𝑞: 𝑋𝑋 → ℝ nazywamy określoną dodatnio, jeśli 𝑥𝑥⃗ ≠ 0�⃗ 𝑞𝑞(𝑥𝑥⃗) > 0.
Formę kwadratową 𝑞𝑞: 𝑋𝑋 → ℝ nazywamy określoną ujemnie, jeśli 𝑥𝑥⃗ ≠ 0�⃗ 𝑞𝑞(𝑥𝑥⃗) < 0.
Formę kwadratową 𝑞𝑞: 𝑋𝑋 → ℝ nazywamy nieokreśloną, jeśli 𝑥𝑥⃗, 𝑦𝑦⃗ ∈ 𝑋𝑋 𝑞𝑞(𝑥𝑥⃗) < 0 < 𝑞𝑞(𝑦𝑦⃗).

39. Jak można zbadać określoność formy kwadratowej?

Poprzez sprawdzenie znaków wartości własnych reprezentacji macierzowej formy
kwadratowej.

40. Co nazywamy postacią kanoniczną formy kwadratowej? Czym są współczynniki tej postaci?

Jeśli:

𝐹𝐹(𝑥𝑥) = � 𝑎𝑎

𝑖𝑖𝑖𝑖

𝑥𝑥

𝑖𝑖

2

𝑛𝑛

𝑖𝑖=1

to mówimy, że 𝐹𝐹 jest postaci kanonicznej.

6

Każdą formę kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej. Ilość współczynników
dodatnich w każdej postaci kanonicznej formy jest taka sama.

41. Podaj twierdzenie o znakach wartości własnych macierzy.

Wszystkie wartości własne macierzy 𝐴𝐴 są dodatnie (ujemne) wtedy i tylko wtedy, gdy
𝑘𝑘 ∈ {1, … , 𝑘𝑘} det 𝑎𝑎

𝑘𝑘

> 0 oraz (−1)

𝑘𝑘

det 𝐴𝐴

𝑘𝑘

> 0.

42. Podaj definicję i własności iloczynu skalarnego wektorów.

𝑎𝑎� ∙ 𝑏𝑏� = |𝑎𝑎�| ∙ |𝑎𝑎�| ∙ cos ∢(𝑎𝑎, 𝑏𝑏)

Własności:
∀𝑎𝑎�, 𝑏𝑏�, 𝑐𝑐̅ �𝑎𝑎� + 𝑏𝑏�� ∙ 𝑐𝑐̅ = 𝑎𝑎� ∙ 𝑐𝑐̅ + 𝑏𝑏� ∙ 𝑐𝑐̅
∀𝑎𝑎�, 𝑏𝑏� ∀𝛼𝛼 ∈ ℝ (𝛼𝛼 ∙ 𝑎𝑎�) ∙ 𝑏𝑏� = 𝑎𝑎� ∙ �𝛼𝛼 ∙ 𝑏𝑏��
∀𝑎𝑎�, 𝑏𝑏� 𝑎𝑎� ∙ 𝑏𝑏� = 𝑏𝑏� ∙ 𝑎𝑎�
𝑎𝑎� ∙ 𝑎𝑎� = |𝑎𝑎�|

2

𝑎𝑎� ∙ 𝑎𝑎� = 0 ⟺ 𝑎𝑎� = 0�
𝑎𝑎� ∙ 𝑏𝑏� = 0 ⇔ 𝑎𝑎� = 0 ∨ 𝑏𝑏� = 0 ∨ 𝑎𝑎� ⊥ 𝑏𝑏�

43. Podaj definicję i własności iloczynu wektorowego wektorów.

Iloczynem wektorowym wektorów 𝑎𝑎⃗ = [𝑎𝑎

1

, 𝑎𝑎

2

, 𝑎𝑎

3

] i 𝑏𝑏�⃗ = [𝑏𝑏

1

, 𝑏𝑏

2

, 𝑏𝑏

3

] nazywamy wektor 𝑐𝑐⃗ taki,

że:
𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏�⃗ = |𝑐𝑐⃗| = |𝑎𝑎⃗| ∙ �𝑏𝑏�⃗� ∙ sin�𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗�
Jeśli

|𝑐𝑐⃗| ≠ 0, to 𝑐𝑐⃗ ⊥ 𝑎𝑎⃗ i 𝑐𝑐⃗ ⊥ 𝑏𝑏�⃗.

44. Podaj definicję i własności iloczynu mieszanego wektorów.

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów �𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗, 𝑐𝑐⃗� nazywa się każde
odwzorowanie, określone wzorem:

�𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗, 𝑐𝑐⃗� = 𝑎𝑎⃗ ∘ �𝑏𝑏�⃗ × 𝑐𝑐⃗� = �

𝑎𝑎

1

𝑎𝑎

2

𝑎𝑎

3

𝑏𝑏

1

𝑏𝑏

2

𝑏𝑏

3

𝑐𝑐

1

𝑐𝑐

2

𝑐𝑐

3

�

Jeśli �𝑎𝑎⃗ × 𝑏𝑏�⃗� ∘ 𝑐𝑐⃗ = 0, to 𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗, 𝑐𝑐⃗ są liniowo zależne.
Wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów 𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗, 𝑐𝑐⃗ jest równa objętości 𝑉𝑉
równoległościanu rozpiętego na tych wektorach, zaczepionych we wspólnym początku.

45. Jak obliczamy odległość punktu od płaszczyzny?

Odległość 𝑑𝑑(𝑃𝑃

0

, 𝜋𝜋) punktu 𝑃𝑃

0

(𝑥𝑥

0

, 𝑦𝑦

0

, 𝑧𝑧

0

) od płaszczyzny 𝜋𝜋: 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 + 𝐷𝐷 = 0 obliczamy

ze wzoru:

𝑑𝑑(𝑃𝑃

0

, 𝜋𝜋) =

|𝐴𝐴𝑥𝑥

0

+ 𝐵𝐵𝑦𝑦

0

+ 𝐶𝐶𝑧𝑧

0

+ 𝐷𝐷|

√𝐴𝐴

2

+ 𝐵𝐵

2

+ 𝐶𝐶

2

46. Jak obliczamy kąt między wektorami?

Z definicji iloczynu skalarnego wektorów:

cos�𝑎𝑎⃗, 𝑏𝑏�⃗� =

𝑎𝑎⃗ ∘ 𝑏𝑏�⃗

|𝑎𝑎⃗| ∙ �𝑏𝑏�⃗�

47. Jak obliczamy kąt między płaszczyznami?

Kąt dwuścienny między płaszczyznami jest równy kątowi między wektorami normalnymi do
tych płaszczyzn. Możemy go obliczyć podobnie jak kąt między dwoma wektorami.

48. Podaj równanie elipsoidy.

𝑥𝑥

2

𝑎𝑎

2

+

𝑦𝑦

2

𝑏𝑏

2

+

𝑧𝑧

2

𝑐𝑐

2

= 1

49. Podaj równanie hiperboloidy jednopowłokowej.

7

𝑥𝑥

2

𝑎𝑎

2

+

𝑦𝑦

2

𝑏𝑏

2

−

𝑧𝑧

2

𝑐𝑐

2

= 1

50. Podaj równanie hiperboloidy dwupowłokowej.

𝑥𝑥

2

𝑎𝑎

2

−

𝑦𝑦

2

𝑏𝑏

2

−

𝑧𝑧

2

𝑐𝑐

2

= 1

51. Podaj równanie paraboloidy eliptycznej.

𝑥𝑥

2

𝑎𝑎

2

+

𝑦𝑦

2

𝑏𝑏

2

= 2 ∙ 𝑧𝑧

52. Podaj równanie paraboloidy hiperbolicznej.

𝑥𝑥

2

𝑎𝑎

2

−

𝑦𝑦

2

𝑏𝑏

2

= 2 ∙ 𝑧𝑧

53. Podaj równanie walca eliptycznego.

𝑥𝑥

2

𝑎𝑎

2

+

𝑦𝑦

2

𝑏𝑏

2

= 1

54. Podaj równanie walca hiperbolicznego.

𝑥𝑥

2

𝑎𝑎

2

−

𝑦𝑦

2

𝑏𝑏

2

= 1

55. Podaj równanie walca parabolicznego.

𝑦𝑦

2

= 2 ∙ 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥

56. Podaj twierdzenie o rozkładzie na czynniki pierwsze. Kiedy liczbę 𝑛𝑛 nazywamy liczbą

pierwszą?
Dla każdej liczby 𝑛𝑛 ∈ ℕ istnieje dokładnie jeden ciąg liczb pierwszych 𝑝𝑝

1

< 𝑝𝑝

2

< ⋯ < 𝑝𝑝

𝑛𝑛

oraz

liczb 𝛼𝛼

1

, 𝛼𝛼

2

, … , 𝛼𝛼

𝑟𝑟

∈ ℕ takich, że 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝

1

𝛼𝛼

1

∙ … ∙ 𝑝𝑝

𝑟𝑟

𝛼𝛼

𝑟𝑟

.

Liczbę 𝑛𝑛 > 1 nazywamy pierwszą, jeżeli posiada dokładnie dwa dzielniki.

57. Jakie są własności relacji podzielności?

1. ∀𝑐𝑐 ∈ ℤ 𝑎𝑎|𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎|𝑏𝑏 ∙ 𝑐𝑐

2. 𝑎𝑎|𝑏𝑏 ∧ 𝑎𝑎|𝑏𝑏 ⇒ 𝑎𝑎|𝑐𝑐

3. 𝑎𝑎|𝑏𝑏 ∧ 𝑎𝑎|𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎|(𝑏𝑏 ± 𝑐𝑐)

4. 𝑎𝑎|𝑏𝑏 ∧ 𝑏𝑏|𝑎𝑎 ⇒ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 > 0 ⇒ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏

58. Jak brzmi twierdzenie o algorytmie Euklidesa?

Algorytm Euklidesa zawsze daje w wyniku 𝑁𝑁𝑊𝑊𝐷𝐷(𝑎𝑎, 𝑏𝑏).

59. Podaj twierdzenie o przedstawieniu 𝑁𝑁𝑊𝑊𝐷𝐷(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) za pomocą kombinacji 𝑎𝑎 i 𝑏𝑏.

Niech 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℕ, 𝑑𝑑 = 𝑁𝑁𝑊𝑊𝐷𝐷(𝑎𝑎, 𝑏𝑏), 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏. Istnieją liczby całkowite 𝑢𝑢, 𝑣𝑣 ∈ ℤ takie, że:
𝑑𝑑 = 𝑢𝑢 ∙ 𝑎𝑎 + 𝑣𝑣 ∙ 𝑏𝑏

60. Co nazywamy funkcją Eulera? Ile wynosi jej wartość dla liczby pierwszej?

Funkcja Eulera 𝜑𝜑: ℕ → ℕ dla dowolnej liczby 𝑛𝑛 ∈ ℕ jest określona wzorem:
𝜑𝜑(𝑛𝑛) = {𝑏𝑏 ∈ {0, … , 𝑛𝑛 − 1}: 𝑁𝑁𝑊𝑊𝐷𝐷(𝑏𝑏, 𝑛𝑛) = 1}

61. Podaj własności relacji kongruencji.

1. ∀𝑎𝑎 ∈ ℤ 𝑎𝑎 ≡ 𝑎𝑎(mod 𝑚𝑚)

2. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℤ 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑏(mod 𝑚𝑚) ⟺ 𝑏𝑏 ≡ 𝑎𝑎(mod 𝑚𝑚)

3. ∀𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 ∈ ℤ 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑏(mod 𝑚𝑚), 𝑏𝑏 ≡ 𝑐𝑐(mod 𝑚𝑚) ⇒ 𝑎𝑎 ≡ 𝑐𝑐(mod 𝑚𝑚)

62. Co nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m? Znajdź pełny zbiór reszt modulo 4.

Zbiór zawierający m klas reszt nazywamy pełnym zbiorem reszt modulo m i oznaczamy jako
𝑍𝑍

/𝑚𝑚

:

[𝑎𝑎] = {𝑏𝑏 ∈ ℤ: 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑏(mod 𝑚𝑚)}

𝑍𝑍

/𝑚𝑚

= {[𝑎𝑎], 𝑎𝑎 ∈ ℤ}

8

Pełny zbiór reszt modulo 4 wygląda następująco:
[𝑎𝑎] = {𝑏𝑏 ∈ ℤ: 𝑎𝑎 ≡ 𝑏𝑏(mod 4)}

𝑍𝑍

/4

= {[𝑎𝑎], 𝑎𝑎 ∈ ℤ}

63. Co to jest element odwrotny do elementu ciała skończonego? Kiedy istnieje?
64. Jak brzmi Małe Twierdzenie Fermata?

Niech p będzie liczbą pierwszą:
1. ∀𝑎𝑎 ∈ ℤ 𝑎𝑎

𝑝𝑝

≡ 𝑎𝑎(mod 𝑝𝑝)

2. ∀𝑎𝑎 ∈ ℤ: 𝑝𝑝 ∤ 𝑎𝑎 𝑎𝑎

𝑝𝑝−1

≡ 𝑎𝑎(mod 𝑝𝑝)

65. Podaj twierdzenie o równości potęg 𝑎𝑎

𝑛𝑛

≡ 𝑎𝑎

𝑚𝑚

(mod 𝑝𝑝).

66. Jakie znamy własności funkcji Eulera?

1. Jeżeli 𝑝𝑝 jest liczbą pierwszą, to liczby 1, … , 𝑝𝑝 − 1 są względnie pierwsze z 𝑝𝑝, a więc:

𝜑𝜑(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝 − 1

2. Jeżeli liczby całkowite 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 są względnie pierwsze, to

𝜑𝜑(𝑚𝑚𝑛𝑛) = 𝜑𝜑(𝑚𝑚) ∙ 𝜑𝜑(𝑛𝑛)

3. Jeżeli 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝

𝑘𝑘

, to

(𝑛𝑛) = 𝑝𝑝

𝑘𝑘

− 𝑘𝑘

𝑘𝑘−1

4. Jeżeli 𝑛𝑛 nie ma wielokrotnych dzielników pierwszych, tj. 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝

1

∙ 𝑝𝑝

2

∙ … ∙ 𝑝𝑝

𝑘𝑘

, gdzie liczby

𝑝𝑝

𝑖𝑖

, 𝑖𝑖 ∈ (1, … , 𝑘𝑘), są pierwsze i parami różne, to

𝜑𝜑(𝑛𝑛) = (𝑝𝑝

1

− 1) ∙ (𝑝𝑝

2

− 1) ∙ … ∙ (𝑘𝑘

𝑘𝑘

− 1)

67. Podaj chińskie twierdzenie o resztach.

Dany jest układ kongruencji:

�

𝑥𝑥 ≡ 𝑎𝑎

1

(mod 𝑚𝑚

1

)

⋮

𝑥𝑥 ≡ 𝑎𝑎

𝑝𝑝

�mod 𝑚𝑚

𝑝𝑝

�

Jeżeli liczby całkowite dodatnie 𝑚𝑚

1

, … , 𝑚𝑚

𝑝𝑝

są parami względnie pierwsze, a liczby 𝑎𝑎

1

, … , 𝑎𝑎

𝑝𝑝

są dowolnymi liczbami całkowitymi, to istnieją rozwiązania 𝑥𝑥

0

, 𝑥𝑥

1

, 𝑥𝑥

−1

, 𝑥𝑥

2

, 𝑥𝑥

−2

, … tego układu

kongruencji, przy czym 𝑥𝑥

𝑖𝑖

= 𝑥𝑥

0

+ 𝑖𝑖 ∙ 𝑀𝑀, gdzie 𝑀𝑀 = 𝑚𝑚

1

∙ … ∙ 𝑚𝑚

𝑝𝑝

.

68. Czemu jest równe 𝑎𝑎

𝜑𝜑(𝑛𝑛)

(mod 𝑛𝑛)?