2007 05 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 25652

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 14 maja 2007 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

4

,

2

=

=

α

ν

(

)

375

16

3

2

125

8

3

2

3

2

2

)

3

(

3

3

3

=

=

+

=

>

>

X

P

X

X

E

(

)

75

16

3

4

25

4

2

3

2

2

3

2

2

)

3

(

3

)

3

(

2

2

2

=

=

+

=

>

>

X

P

X

X

E

2

4

25

16

3

2

2

)

3

(

=

+

=

>

X

P

9

50

9

25

75

9

25

3

25

15

25

3

25

16

25

375

16

16

25

75

16

2

2

2

2

=

=

=

=



=

ODP


Zadanie 2

+

4

3

;

4

2

1

bin

X

X

(

) (

)

(

)

21

4

4

1

4

3

6

9

4

1

4

3

3

4

6

3

3

6

4

6

4

2

2

1

2

1

=









=

=

+

=

=

=

X

X

P

X

P

X

P

ODP


Zadanie 3

(

)

θ

θ

e

X

P

100

10

=

>

łatwe

X – ilość szkód większych od 10 (bo takie obserwujemy)

(

)

(

)

=

=

=





=

=

=

=

=

=

k

n

k

n

λ

n

k

n

θ

k

θ

e

n

λ

e

e

k

n

n

N

P

n

N

k

X

P

k

X

P

!

1

)

(

)

(

100

100

(

)

(

)

=

=

+

=

=

=

=

=

k

n

l

λ

l

k

l

θ

θ

k

λ

n

k

n

θ

θ

k

e

λ

l

k

e

e

l

k

n

e

n

λ

e

e

k

k

n

n

0

100

100

100

100

!

!

1

!

1

!

)!

(

!

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

=

=

=

0

100

1

100

1

100

100

100

100

!

!

1

!

l

e

λ

k

θ

e

λ

l

θ

e

λ

k

λ

θ

k

θ

θ

θ

e

k

e

λ

e

l

e

λ

e

λ

e

k

e

(

)

θ

x

θ

e

xe

x

x

f

100

2

20

10

=

>

(

)

θ

x

θ

i

e

λ

θ

e

e

x

θ

e

e

λ

L

i

θ

400

4

4

100

2

100

)

2

(

24

Π

=

+

+

+

=

θ

X

θ

X

θ

e

λ

θ

λ

L

i

i

θ

400

ln

)

2

ln(

4

24

ln

400

ln

4

ln

2

100

background image

4

0

4

100

100

=

=

=

θ

θ

e

λ

e

λ

λ

=

=

=

+

=

+

=

e

λ

θ

θ

X

θ

e

λ

θ

i

θ

4

ˆ

,

200

1

ˆ

0

1200

4

400

0

4

100

2

100

i można

sprawdzić, że to max

Zadanie 4

(

)

MIAN

LICZ

c

I

P

=

czarnych

brak

losowaniu

III

po

(1cz,4b) (3b,2c) (4b,1c)

125

8

5

1

5

4

5

2

=

=

LICZ

(

) (

)

125

14

125

6

125

8

5

1

5

2

5

3

5

1

5

4

5

2

=

+

=

+

=

+

=

Ib

A

P

Ic

A

P

MIAN

7

4

14

8

14

125

125

8

=

=

=

ODP


Zadanie 5

(

)

a

X

P

N

P

>

=

=

0

)

0

(

(

)

a

X

X

a

X

P

N

P

>

+

=

=

1

0

0

,

)

1

(

(

)

=

>

+

+

+

+

+

+

=

=

a

X

X

X

a

X

X

a

X

X

a

X

P

k

N

P

k

k

k

1

0

1

0

1

0

0

...

,

...

,...,

,

)

(

(

)

a

X

X

a

X

X

P

k

k

>

+

+

+

+

=

...

,

...

0

1

0

czyli

(

)

)

,

(

gdzie

,

)

(

λ

k

Y

a

X

Y

a

Y

P

k

N

P

Γ

>

+

=

=

∫ ∫

=

Γ

=

Γ

=

a

y

a

a

y

a

λ

y

λ

k

k

y

λ

k

k

x

λ

dy

e

e

y

k

λ

dxdy

e

y

k

λ

e

λ

0

0

)

(

1

1

)

(

)

(

=

=

Γ

=

Γ

=

a

k

a

λ

k

a

λ

k

k

a

λ

k

a

λ

k

k

k

λ

a

e

k

a

e

λ

k

a

e

k

λ

dy

e

y

k

λ

0

1

!

)

(

!

)

(

)

(

)

(

)

0

(

D

e

N

P

a

λ

=

=


Zadanie 6

)

1

,

0

(

,

:

1

J

Y

Y

θ

X

n

=

1

1

1

:

1

+

=

+

=

n

a

n

θ

EX

n

)

;

0

(

,

1

1

min

1

min

θ

a

t

θ

a

t

a

t

P

a

t

P

n

=

>

=

<

background image

n

θ

a

t

θ

a

n

t

f

=

1

)

(

min

czyli:

(

)

)

)

1

(

;

0

(

,

)

1

(

1

1

,

)

1

(

1

)

1

(

)

(

θ

n

t

θ

n

t

t

T

P

θ

n

t

θ

n

n

t

f

n

n

n

T

n

+





+

=

<





+

+

=

(

)

(

) (

)

4

4 3

4

4 2

1

4

4 3

4

4 2

1

II

n

I

n

n

ε

θ

T

P

θ

ε

T

P

ε

θ

T

P

<

+

+

>

=

>

0

,

>

θ

ε

I

do pewnego momentu ale później gdy

)

1

(

+

<

+

n

θ

ε

θ

to

=

n

n

θ

n

θ

ε

a





+

+

=

)

1

(

1

0

to

gdy

)

1

(

1

1

)

1

(

wtedy

:

=

<





+

=

+

<

>

ε

θ

θ

n

ε

θ

b

θ

n

ε

θ

ε

θ

zal

II

n

n

θ

ε

θ

n

θ

n

θ

ε

θ

ε

θ

n

n

e

θ

n

θ

ε

a

+

+

+

+

+





+

+

=

)

1

(

)

(

)

1

(

)

1

(

1

lim

lim

θ

ε

θ

n

e

b

=

1

lim

ODP: jeśli

+

+

=

+

>

+

θ

ε

θ

ε

e

e

ε

θ

θ

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

1

exp

1

1

Jeśli

θ

ε

θ

e

ε

θ

+

<

Czyli odpowiedź (D) jest prawidłowa

Zadanie 7

=

3

ˆ

i

n

X

n

θ

łatwe

Γ

)

,

(

3

θ

n

X

i

wiemy, że

)

(

1

)

(

1

θ

I

θ

σ

=

..

)

,

(

ln

)

(

2

1

=

=

σθ

x

θ

f

σ

E

θ

I

(

)

(

)

θ

x

θ

x

θ

e

x

e

x

θ

θ

e

x

θ

x

θ

x

θ

x

θ

3

3

2

2

2

1

1

3

3

1

3

ln

3

3

2

=

=

(

)

2

2

6

2

3

2

2

3

)

(

1

2

1

1

1

θ

θ

σ

θ

x

θ

x

θ

E

θ

θ

x

θ

E

=

=

+

=



(

)

( )

2

;

0

ˆ

θ

N

θ

θ

n

n

(

)

)

1

,

0

(

ˆ

N

θ

n

θ

θ

n

θ

z

θ

z

θ

N

θ

dla

96

,

1

96

,

1

1

;

0

X

N(0,1)

X

2

=

=

i dalej wychodzi przedział (B)

background image

Zadanie 8

1

2

m

m

>

(

)

(

)

(

) (

)

=

=

Π

Π

+

+

+

i

m

X

i

m

X

i

m

X

i

m

X

i

m

X

i

m

X

i

i

i

i

i

i

e

e

e

2

1

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

5

2

5

2

1

2

1

(

)

=

=

=

+

i

m

m

X

i

m

X

i

m

m

X

i

m

X

i

STAT

e

C

e

i

i

i

1

2

2

1

1

2

2

2

15

2

1

15

2

1

(

)

05

,

0

0

=

>

t

i

X

P

i

(

)

=

)

15

,

0

(

;

0

0

N

i

N

X

i

H

i

15

64

,

1

64

,

1

15

05

,

0

15

=

=

=





>

t

t

t

X

P

(

)

0

:

1

=

i

X

i

E

H

(

)

(

)

[

]

<

+

+

+

+

=

+

=

j

i

j

i

i

i

X

j

X

i

X

i

X

i

5

,

0

20

5

,

0

12

5

,

0

6

5

,

0

2

2

15

,

cov

2

var

var

(

)

11

,

0

var

15

64

,

1

22

,

1

>

=

ODP

X

i

X

P

ODP

i

4

4 8

4

4 7

6


Zadanie 9

(

)

1

4

1

1

1

1

+

+

Π

=

θ

i

X

θ

L

(

)

(

)

+

+

=

i

X

θ

θ

L

1

ln

1

ln

4

ln

1

1

1

(

)

(

)

=

+

=

+

=

4

1

1

1

1

1

ln

4

ˆ

1

ln

4

i

i

i

X

θ

X

θ

θ

analogicznie:

(

)

=

+

=

5

1

2

1

ln

5

ˆ

i

i

y

θ

(

)

(

)

( )

+

=

+

=

<

=

<

+

1

0

1

1

1

1

1

1

)

1

(

1

)

1

ln(

t

e

θ

t

θ

t

θ

wykl

e

x

θ

e

X

P

t

X

P

analogicznie:

( )

2

)

1

ln(

θ

wykl

y

+

(

)

(

)

Γ

+

Γ

+

)

,

5

(

1

ln

)

2

,

4

(

1

ln

θ

y

θ

X

i

i

2

0

:

θ

θ

H

=

background image

wiemy, że

)

2

(

2

)

,

(

2

n

χ

X

θ

θ

n

X

Γ

można to łatwo wyliczyć

(

)

(

)

6511

,

0

3257

,

0

2

1

ln

4

5

1

ln

2

4

2

)

8

,

10

(

=





<

+

+

t

t

t

X

θ

y

θ

P

F

i

i

4

4

4

3

4

4

4

2

1

bo

)

95

,

0

(

1

)

05

,

0

(

)

10

,

8

(

)

8

,

10

(

F

F

kw

kw

=


Zadanie 10

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

+

<

=

n

n

X

X

X

P

X

X

X

X

X

E

,...,

min

,...,

min

,

min

1

0

0

0

1

0

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

3

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

2

1

A

n

n

n

X

X

X

P

X

X

X

X

X

E

=

<

<

+

0

1

0

1

1

,...,

min

,...,

min

,...,

min

nt

nte

t

P

=

<

)

(min

(

)

=

=

0

0

0

0

0

1

1

X

nX

nX

nt

e

nX

e

n

nte

A

(

)

(

)

0

0

exp

1

1

0

nX

n

e

X

A

ODP

nX

=

+

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2007.05.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2007 12 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 25662
2003.05.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 05 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21698
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.12.03 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.05.16 prawdopodobie stwo i statystyka
2010.05.31 prawdopodobie stwo i statystyka
1 1998.05.30 prawdopodobie stwo i statystyka
2007 01 08 prawdopodobie stwo i statystykaid 25641
2000 10 14 prawdopodobie stwo i statystykaid 21578
2005 05 16 prawdopodobie stwo i statystykaid 25341
2010 05 31 prawdopodobie stwo i statystyka
2007 10 08 prawdopodobie stwo i statystyka

więcej podobnych podstron