03. MIARY ROZKŁADU

Inaczej – liczbowe charakterystyki rozkładu cechy, umożliwiają analizę zjawisk poprzez

analizę właściwości ich rozkładów (szeregów).

1 MIARY POŁOŻENIA

Służą do określenia tej wartości zmiennej opisanej przez szereg, wokół której

koncentrują się pozostałe wartości zmiennej.

a średnia arytmetyczna,

x

Jest podstawową i najprostszą wielkością charakteryzującą położenie rozkładu

prawdopodobieństwa w układzie współrzędnych.

Jest wrażliwa na skrajne, odstające wartości cechy. Przy bardzo asymetrycznych

i zróżnicowanych rozkładach prawdopodobieństwa cechy bardziej miarodajna od średniej

jest wartość dominanty lub mediany.

szereg szczegółowy

(

)

n

n

i

i

x

x

x

x

n

x

n

x

+

+

+

+

=

=

∑

=

K

3

2

1

1

1

1

szereg rozdzielczy przedziałowy

∑

=

⋅

=

n

i

i

i

n

x

n

x

1

1

* średnia arytmetyczna ważona

Oblicza się, jeśli wiadomo, że i-ty wynik pomiaru (x

i

) wystąpił n

i

razy, n

i

– pełnią tu rolę

wag.

∑

=

⋅

=

n

i

i

i

n

x

n

x

1

1

b średnia geometryczna,

g

[=średnia.geometryczna(dane)]

Stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk (dynamiczne ujęcie zjawisk).

n

n

n

n

i

i

x

x

x

x

x

g

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

∏

=

K

3

2

1

1

,

x

i

>0

[=średnia(dane)]

c średnia harmoniczna,

h

Stosuje się, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę innej

zmiennej, np. prędkość - km/h, ciśnienie – N/m

2

, gęstość objętościowa – g/cm

3

.

szereg szczegółowy

∑

=

=

n

i

i

x

n

h

1

1

,

0

1

1

≠

∑

=

n

i

i

x

d wartość modalna/moda/dominanta D/wartość najczęstsza,

M

o

szereg szczegółowy

[=wyst.najczęściej(dane)]

Wartość cechy statystycznej, która w danej próbce występuje najczęściej i nie jest równa

x

min

, ani x

max

.

szereg rozdzielczy z przedziałami

Środek najliczniejszej klasy – gdy liczności klas sąsiednich są identyczne, albo gdy

liczności te różnią się od siebie m

o

liczy się:

(

) (

)

b

n

n

n

n

n

n

x

M

m

m

m

m

m

m

m

⋅

−

+

−

−

+

=

+

−

−

1

1

1

min

_

0

,

gdzie:

x

m_min

– dolna granica klasy modalnej,

n

m

– liczność klasy modalnej,

n

m-1

, n

m+1

– liczności sąsiednich klas,

b – rozpiętość klas.

Może się zdarzyć, że szereg nie posiada wartości modalnej – antymodalny lub może mieć

więcej, niż jedną modalną (więcej szczytów w histogramie) – szereg dwu- i wielomodalny.

Obecność więcej niż jednego szczytu może wskazywać na niejednorodność próby – co

oznacza konieczność przeprojektowania pomiaru lub dostarcza dodatkowych informacji o

badanym zjawisku.

[=średnia.harmoniczna(dane)]

e kwantyle

Wybrane wartości cechy badanej zbiorowości (szeregu statystycznego), które dzielą tę

zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek. Części te pozostają do

siebie w określonych proporcjach.

i

kwartyle – kwantyle rzędu ¼, ½, ¾ - dzielą próbę na 4 równe części,

kwartyl drugi/wartość środkowa/mediana,

M

e

Dzieli zbiorowość na dwie równe części, połowa jednostek ma wartości cechy

mniejsze/równe medianie, a połowa – większe/równe. Jej zaletą jest niewrażliwość na

wartości odstające; z tej przyczyny bywa, że zastępuje średnią arytmetyczną.

szereg szczegółowy













+

=

+

+

parzyste

n

x

x

e

nieparzyst

n

x

M

n

n

n

e

,

2

,

1

2

/

2

/

2

1

szereg rozdzielczy przedziałowy















−

+

=

∑

−

=

1

1

min

_

2

m

i

i

m

Me

e

n

n

n

b

x

M

,

gdzie:

x

Me_min

– dolna granica przedziału z medianą,

m – numer przedziału zawierającego medianę,

n

m

– liczność klasy zawierającej medianę,

b – rozpiętość klasy zawierającej medianę.

kwartyl pierwszy/dolny, Q

1

; kwartyl trzeci/górny, Q

3

Kwartyl pierwszy dzieli zbiorowość na dwie części tak, że 25% jednostek ma wartości

cechy niższe lub równe wartości Q

1

, a 75% równe lub wyższe od wartości tego kwartyla.

Kwartyl trzeci – analogicznie.

szereg szczegółowy – trzykrotnie wyznacza się medianę – wpierw z całej próby, a

następnie w powstałych w ten sposób połowach próby

[=kwartyl(dane,nr kwartyla)]

szereg rozdzielczy przedziałowy

b

n

n

n

x

Q

Q

q

i

i

Q

⋅

−

+

=

∑

−

=

1

1

1

min

_

1

1

1

4

,

b

n

n

n

x

Q

Q

q

i

i

Q

⋅

−

+

=

∑

−

=

3

1

1

min

_

3

3

3

4

3

,

[=mediana(dane)]

gdzie:

q

1

i q

3

– numer klasy z odpowiednim kwartylem,

x

Q1_min

i x

Q3_min

– dolne granice klas z kwartylami,

n

Q1

i n

Q3

– liczebność przedziałów z kwartylami,

b – rozpiętość przedziałów.

ii kwintyle – dzielą próbę na pięć równych części,

iii decyle – dzielą na 10 równych części,

Szczególnie przydatne są decyle pierwszy i dziewiąty, gdy skrajne wartości próby

znacznie odbiegają od pozostałych jej wartości. Wówczas przy pomocy tych decyli można

‘odciąć’ po 10% skrajnych wartości i analizować tylko środkową część próby (zawierającą

80% elementów pierwotnej próby).

iv percentyle – dzielą na 100 równych części

[=percentyl(dane,nr percentyle)]

2 MIARY ZMIENNOŚCI

Są to miary rozkładu opisujące rozproszenie wartości cechy (x) wokół wartości

centralnych (np. średnia arytmetyczna, mediana, modalna).

a wariancja,

2

s

Średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej

arytmetycznej

x

próby. Służy do oceny stopnia jednorodności i powtarzalności wyników

liczbowych uzyskiwanych w eksperymentach, np. do oceny dokładności przyrządu

pomiarowego. Jest zawsze nieujemna, a jej mianem jest kwadrat jednostki, w której

mierzona jest badana cecha.

szereg szczegółowy

(

)

∑

=

−

=

n

i

i

x

x

n

s

1

2

2

1

[=wariancja(dane)]

szereg rozdzielczy przedziałowy

(

)

i

k

i

i

n

x

x

n

s

⋅

−

=

∑

=1

2

2

1

b odchylenie standardowe,

s

[=odch.standardowe(dane)]

Pierwiastek kwadratowy z wariancji. Określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych

wartości cechy od średniej arytmetycznej. Jest nieujemna i ma miano jednostki, w której

mierzona jest badana cecha.

2

s

s =

c odchylenie ćwiartkowe/odchylenie kwartylne,

Q

Parametr określający odchylenie wartości cechy od mediany. Mierzy poziom

zróżnicowania tylko części jednostek – pozostających po odrzuceniu 25% jednostek o

wartościach największych i 25% o wartościach najmniejszych.

(

)

(

)

2

2

1

3

1

3

Q

Q

Q

M

M

Q

Q

e

e

−

=

−

+

−

=

Im większa jego wartość, tym większe zróżnicowanie cechy. Pełni rolę podobną do

odchylenia standardowego, ale jest bardziej odporne na wartości odstające.

d współczynnik zmienności,

V

s

Jest niemianowany i najczęściej podaje się go w procentach. Jest stosowany do

porównywania zróżnicowania jednej cechy w dwóch różnych próbach lub do

porównywania jednej zbiorowości pod względem kilku różnych cech.

x

s

V

s

=

e rozstęp,

R

Jest miarą charakteryzującą empiryczny obszar zmienności badanej cechy, ale nie daje

informacji o zróżnicowaniu poszczególnych wartości cechy w próbie.

min

max

x

x

R

−

=

3 MIARY ASYMETRII

Charakteryzują rodzaj i stopień odstępstwa rozkładu badanej cechy od symetrii, a tym

samym informują o tym, gdzie znajduje się przeważająca liczba jednostek (powyżej czy

poniżej przeciętnego poziomu badanej cechy). Szeregi mogą się różnić kierunkiem i siłą

asymetrii.

Istnieją następujące zależności:

o

e

M

M

x

=

=

szereg symetryczny

o

e

M

M

x

>

>

asymetria prawostronna

o

e

M

M

x

<

<

asymetria lewostronna

a współczynnik skośności

Służy do określania siły i kierunku asymetrii – im większa wartość, tym silniejsza

asymetria. Wartość niemianowana.

s

M

x

A

o

s

−

=

0

=

s

A

szereg symetryczny

0

>

s

A

asymetria prawostronna

0

<

s

A

asymetria lewostronna

b współczynnik asymetrii/skośność

[=skośność(dane)]

Podobnie jak współczynnik skośności – służy do określania asymetrii.

3

3

s

M

A =

,

gdzie M

3

– moment trzeciego rzędu.

0

=

A

szereg symetryczny

0

>

A

asymetria prawostronna

0

<

A

asymetria lewostronna

4 MIARY KONCENTRACJI

Określają rozdysponowanie wartości cechy pomiędzy elementy próby losowej. Stanowią

uzupełnienie trzech poprzednich miar.

a kurtoza/współczynnik koncentracji

[=kurtoza(dane)]

eksces

Jest

miarą

skupienia

poszczególnych

obserwacji

wokół

średniej.

Rozkładem

porównawczym dla kurtozy jest rozkład normalny. Im większa wartość kurtozy, tym

bardziej smukła jest krzywa liczebności względem rozkładu normalnego i większa

koncentracja cech wokół średniej.

3

4

4

−

=

s

M

K

,

gdzie M

4

– moment czwartego rzędu.

Wartość kurtozy informuje o kształcie szeregu (rozkładu):

0

=

K

mezokurtyczny, spłaszczenie zbliżone do rozkładu normalnego

0

>

K

leptokurtyczny, wartości cechy są bardziej skoncentrowane, niż w

rozkładzie normalnym, wartości szeregu tworzą rozkład wyższy i smuklejszy

0

<

K

platykurtyczny, wartości cechy mniej skoncentrowane, niż w rozkładzie

normalnym, wartości szeregu tworzą rozkład niższy i bardziej rozłożysty