Powszechna Grawitacja

Mechanika nieba

II w. n.e., Aleksandria – Ptolemeusz-

geocentryczny układ ciał niebieskich; podstawy matematyczne.
Obroty całego sklepienia; planetes („błąkający”): deferensy,
epicykle, ekwansy; 15 wieków nawigacji żeglarskiej

1473 – 1543, Toruń/Frombork - Mikołaj Kopernik –

heliocentryczny układ planetarny ; orbity kołowe, epicykle;
M.K. 30 lat zwleka z opublikowaniem „De revolutionibus
orbium coelestium”, umiera nie widząc swego dzieła

1571 – 1630, Graz/Tybinga - Johanes Kepler -

Poprawny model matematyczny układu planetarnego;
orbity eliptyczne, 3 prawa „fenomenologiczne”
oparte na danych obserwacyjnych, głównie Tychona de Brache

Prawo ciążenia powszechnego

(1689)

Prawo ciążenia powszechnego

Isaac Newton (1643–1727), Cambridge/Londyn

Przesłanki Newtona:

1. doświadczalne prawa Keplera

T

2

/r

3

= const = C

2. kształt Ziemi - kula o promieniu

R

≈ 6400 km

3. kształt orbity Księżyca – koło o promieniu

r

≈ 384 000 km

= 60R

4.

kinematyka

i własne

prawa dynamiki

:

a

n

=

ω

2

r ; (

ω = 2π/T); a

n

= [(4

π

2

/T

2

) r] e

r

;

F= m a

5. obserwacja spadania ciał na powierzchni Ziemi („ jabłko Newtona”)

Wnioski Newtona (1666)

1.

-jabłko spada ruchem przyspieszonym – doznaje siły F=m

g

przyspieszenie g=9,81 m/s

2

jednakowe dla każdego ciała

-spada na Ziemię

siła jest oddziaływaniem Ziemi

-ta siła rozciąga się w przestrzeni; może „dosięgać” Księżyca
-przyspieszenie dośrodkowe Księżyca z ruchu po okręgu

po obliczeniu

a

n

= [(4

π

2

/T

2

) r] =

0,0027 m/s

2

;

-siła działająca na Księżyc oddalony od Ziemi o

r

:

F

r

= M

Ks

a

n

-siła jaka działałaby na Księżyc na powierzchni Ziemi (

R

)

F

R

= M

Ks

g

-stosunek

g/

a

n

= 3600= (60)

2

= (

r

K

/R)

2

;

-stosunek sił

F

R

/F

r

= g/ a

n

= (r

K

/R)

2

(F=m a)

-siła oddziaływania Ziemi zatem F

÷ 1/r

2

- dodatkowo, z doświadczenia na Ziemi F

÷ m (F=mg)

-stąd i z III prawa dynamiki :

2

r

M

m

G

F

Z

Ks

=

2

.

- z III prawa Keplera T

2

= C r

3

,

z kinematyki

a

n

= (4

π

2

/T

2

)r

a

n

= (4

π

2

/Cr

2

)

F = m

Ks

a

n

= (4

π

2

/C) m

Ks

/r

2

-stąd i z III prawa dynamiki ( F

a

=F

r

)

; G = (4

π

2

/C)

Uwaga 1

Pole grawitacyjne

masy kulisto-symetrycznej jest polem centralnym

F = f(r) e

r

,

gdzie f(r)= G m M/r

2

,

jest

więc

polem zachowawczym

Uwaga 2

Intuicyjne,słuszne, ale formalnie nieuzasadnione założenie Newtona

- odległość r liczona jest od środka Ziemi a nie od powierzchni

r

Z

Ks

e

r

M

m

G

F

r

r

2

=

2

r

M

m

G

F

Z

Ks

=

F = [(G M

Z

M

Ks

) / r

2

] e

MM

Po sformułowaniu prawa ciążenia I. Newton sprawdza jego słuszność

obliczając orbitę Księżyca; orbita się nie zgadza z pomiarami
i Newton wstrzymuje publikację swych równań na 4 lata; publikuje
je dopiero po sprawdzeniu z nowymi, poprawniejszymi danymi;
jednak mimo to spotyka go krytyka świata uniwersyteckiego

R. Bentley z Cambridge, 10 grudnia 1692 r. :

gdyby istotnie wszystkie ciała przyciągały się z siłą sięgającą
nieskończenie daleko, to wszystkie gwiazdy spadłyby na siebie
tworząc gigantyczną kulę ogniową...

Zakłopotany Newton odpowiada

:

...Wszechświat mógłby ocaleć, gdyby gwiazdy były rozmieszczone
równomiernie w nieskończonej przestrzeni....mógłby tak istnieć,
gdyby siła boska zapewniła takie ich rozmieszczenie....choć to, że
jedno ciało może oddziaływać na drugie na odległość przez
próżnię bez pośrednictwa jakiejkolwiek innej rzeczy jest i dla mnie
tak wielkim absurdem, że nie wierzę, aby ktokolwiek zdolny do
kompetentnego myślenia w filozofii mógł tak twierdzić.....

Prawo ciążenia powszechnego Newtona dla dwóch

mas punktowych m

1

, m

2

m

1

r

12

m

2

F

12

W tej formie prawo to stosuje się również do brył kulisto-

symetrycznych

Pomiar Cavendisha (1798), Philippe von Jolly’ego (ok. 1860),
Heyla i Chrzanowskiego (NBS,1942):

G= (6,673

±0,003) 10

-11

Nm

2

kg

2

12

2

2

1

12

e

r

m

m

G

F

r

r

=

Pole grawitacyjne - opis pośredni grawitacji

Oddziaływania grawitacyjne realizują się za pośrednictwem

specyficznej przestrzeni - pola grawitacyjnego;

Definicja 1:

Natężeniem pola grawitacyjnego jest stosunek siły grawitacyjnej

działającej w pewnym miejscu przestrzeni na dowolną masę
punktową m do tej masy

(t. zn. siła grawitacyjna wywierana na jednostkową masę)

γ = F(m)/m

początek układu odniesienia jest w centrum pola (środku masy M)

g

e

r

M

G

r

v

r

=

−

=

12

2

12

γ

Pole grawitacyjne - opis pośredni grawitacji

Oddziaływania grawitacyjne realizują się za pośrednictwem

specyficznej przestrzeni - pola grawitacyjnego;

Energia potencjalna U ciała o masie m w polu grawitacyjnym:

F

gr

= - grad U

r

mM

G

r

d

e

r

mM

G

r

d

e

F

U

r

r

gr

−

=

−

=

−

=

∫

∫

∞

∞

r

v

r

v

r

12

2

12

Układ dwu ciał

:

Słoneczny układ odniesienia

Zagadnienie dwóch ciał

siła działająca na planetę F

p

= - f(r) e

r

,

siła działająca na Słońce F

S

= f(r) e

r

,

f(r) = G

m

p

M

S

/r

2

Wniosek 8

Oba ciała są w ruchu przyspieszonym

o przyspieszeniach (w układzie „laboratoryjnym”) :

a

p

= - (1/m

p

) f(r) e

r

= - G(

M

S

/r

2

)e

r

,

a

S

= (1/M

S

)f(r) e

r

= +G(

m

p

/r

2

)e

r

,

F

S

F

p

Przyspieszenie planety względem Słońca
(w układzie słonecznym- transformacja Galileusza)

a’ = a

p

- a

S

= -[G(M

S

+m

p

)/r

2

]e

r

,

lub

d

2

r’/dt

2

= -[G(M

S

+m

p

)/r

2

]e

r

d

2

r’/dt

2

= -[G (M

S

+m

p

)/

(M

S

m

p

)

r

2

]e

r

•

(M

S

m

p

)

Oznaczenie

(M

S

m

p

)/ (M

S

+m

p

) =

μ

- masa zredukowana,

μ

(d

2

r’/dt

2

) = -G(

m

p

M

S

/r

2

)e

r

,

inaczej

μ a’ = F

gr

Wniosek 9

W układzie słonecznym

(t.zn.

dokoła nieruchomego Słońca

)

ruch planety można znaleźć przyjmując zamiast jej masy –

masę zredukowaną

μ

Wobec tego całkowita energia mechaniczna
układu planeta – Słońce,

w układzie słonecznym

(

układ zamknięty

) jest:

½

μ v’

p

2

+ U

p

= const

½

μ v’

p

2

-

(G m

p

M

S

)/r

p-S

= C

prędkość

grawitacja

Rozwiązanie tego równania daje tor planety dookoła Słońca;
wyróżnione są warunki:

1.

gdy C

<0

, tor planety jest krzywą zamkniętą -

elipsą

,

2.

gdy C=0

, tor planety jest krzywą zamkniętą -

parabolą

3.

gdy C

>0

, tor planety jest krzywą otwartą -

hiperbolą

,

C<0

C=0

C>0

Prawa Keplera ruchu planet

I prawo Keplera

Każda z planet porusza się po torze eliptycznym

dookoła Słońca, które jest w jednym z ognisk elipsy

Ruch w polu centralnym = grawitacyjnym

Słońce - planeta (

m

)

dA

= ½ r [(v dt) sin

α] =

= ½

⏐r x v dt⏐= ½ ⏐

r x v

⏐dt ,

moment pędu

M

=

⏐

M

⏐ = ⏐m (r x v)⏐

r x v =

M

/m

dA

= ½ (

M

dt) /(m),

F= f(r) e

r

N(o) = 0

M

(o) = const,

dA

/dt =

M

/2m = const

Słońce

planeta

vdt

α

o

dA

h

r

Wniosek 7
W polu centralnym (grawitacyjnym) tor ciała jest krzywą płaską
(M=const),
a prędkość polowa jest stała
(dA/dt = const)

II Prawo Keplera:

Promień wodzący od Słońca do planety zakreśla
w równych odstępach czasu równe pola

Przyspieszenie planety jest przyspieszeniem dośrodkowym

a

n

=

ω

2

r, (

ω

= 2

π

/T)

więc

(4

π

2

r/T

2

) = F

dośr

/m

p

=

F

graw

/m

p

= G(M

S

/r

2

)

,

T

2

= 4

π

2

r

3

/(G M

S

)

zatem

T

2

/r

3

= 4

π

2

/(G M

S

) = const

III Prawo Keplera

Kwadraty okresów obiegu planet są proporcjonalne
do sześcianów ich wielkich półosi

Konsekwencje siły ciężkości

:

budowa wszechświata - skupiona materia w kosmosie, ruchy ciał
niebieskich, kształt Ziemi, zjawisko przypływów i odpływów i.t.d.

Prędkości kosmiczne

I prędkość kosmiczna: prędkość orbitalna satelity na niskiej orbicie

okołoziemskiej (m – masa satelity, M - masa Ziemi)

F

dośr

= F

graw

:

m (v

2

/R

Z

)

= m g

v

I

=

√ gR

Z

= 8 km/s

II prędkość kosmiczna: prędkość ucieczki z Ziemi

E

kin

= U(R

Z

)

(m v

2

)/2

= (m G M)/R

Z

v

II

=

√ 2gR

Z

=

√ 2) v

I

≈ 11,2 km/s

Wartość v

II

nie zależy

od kierunku ruchu ciała względem Ziemi; zależy

tor

III prędkość kosmiczna: prędkość ucieczki z układu Słonecznego

v

IIImin

= 17 km/s,

v

IIImax

= 73 km/s

Wartość v

III

zależy od kierunku ruchu ciała względem Ziemi

Zasada równoważności

dynamika

grawitacja

F =

m

b

a

F = G (

m

g

M

Z

)/r

2

m

b

= m

g

?

Doświadczenie Eotvosa

Oś obrotu Ziemi

F

g

F

g

m

g

g

m

a

a

b

Doświadczalny pomiar stosunku m

b

/m

g

Eotvos (1887- 25 lat) m

b

/m

g

=

1

± 10

-8

Dicke (1961 - 1964)

m

b

/m

g

=

1

± 10

-11

Bragiński, Panow (1971) m

b

/m

g

=

1

± 10

-12

Oznacza to

równoważność sił grawitacyjnych i bezwładności

;

Ta sama cecha ciał (m) i w ten sam sposób (m•a) określa obie siły

Zasada równoważności mas jest podstawą
ogólnej teorii względności Einsteina