M0/II

M0/II

M0/II

M0/II ---- 09

09

09

09

METODY OPTYMALIZACJI

OPTYMALIZACJA LINIOWEJ FUNKCJI CELU Z LINIOWYMI OGRANICZENIAMI
(Metoda Simplex)

Wyznaczyć ekstrema funkcji celu

3

2

1

3

2

1

2

4

)

,

,

(

x

x

x

x

x

x

f

−

+

=

wiedząc, że zmienne decyzyjne mogą

przyjmować wartości nieujemne i spełniają następujące ograniczenia:

30

2

,

10

,

8

3

2

1

3

2

3

2

1

≤

+

+

=

+

≥

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

> with(simplex);
> f:=4*x1+2*x2-x3;
> r1:=x1+x2+x3>=8; r2:=x2+x3=10; r3:=x1+x2+2*x3<=30; r4:=x1>=0;
r5:=x2>=0; r6:=x3>=0;

> p_max:=maximize(f,{r1,r2,r3,r4,r5,r6});
> maximize(f,{r1,r2,r3},NONNEGATIVE);

# wykorzystanie opcji NONNEGATIVE

> p_min:=minimize(f,{r1,r2,r3,r4,r5,r6});
> minimize(f,{r1,r2,r3},NONNEGATIVE);

# wykorzystanie opcji NONNEGATIVE

> subs(p_max,f); seq(evalb(subs(p_max,r||i)),i=1..6);
> subs(p_min,f); seq(evalb(subs(p_min,r||i)),i=1..6);

OPTYMALIZACJA NIELINIOWEJ FUNKCJI CELU BEZ OGRANICZEŃ

Wyznaczyć ekstrema funkcji celu













+

+

−













+

+

−

=

1

2

1

2

1

2

1

2

)

,

(

3

2

3

2

y

y

y

x

x

x

y

x

f

, oraz określić ich

charakter (minimum, maksimum, punkt siodłowy). Wyznaczyć wartość funkcji w punktach
ekstremalnych.

1) Wprowadzenie danych, oraz określenie warunków koniecznych i wystarczających istnienia ekstremum

> f:=(x-2*x^2+1/2*x^3+1)*(y-2*y^2+1/2*y^3+1);
> zmienne:=[x,y]; n:=nops(zmienne);

Warunki konieczne istnienia ekstremum

> for i to n do
r||i:=diff(f,zmienne[i])=0:
end do;

Hesjan

> H:=Matrix(1..n):
> for i to n do
for j to n do
H[i,j]:=diff(f,zmienne[i],zmienne[j]):
end do:
end do:

2) Wyznaczenie punktów spełniających warunki konieczne istnienia ekstremum.

Wskazówka: rozwiązania poszukuj (fsolve) w następujących obszarach: a) x = 0..1 , y = 0..1, b) x =
1.5..3 , y = 0..1, c) x = 0..1 , y = 1.5..3, d) x = 1.5..3 , y = 1.5..3, e) x = 1..2 , y = 1..2.

3) Określenie charakteru punktów wyznaczonych w 2).

Wskazówka: Sprawdź określoność hesjanu (dodatnia, ujemna) w każdym z wyznaczonych punktów.

4) Wyznaczenie wartości funkcji w punktach ekstremalnych.

5) Sporządzenie wykresu funkcji f(x,y) w obszarze x = 0 .. 3, y = 0 .. 3.



OPTYMALIZACJA NIELINIOWEJ FUNKCJI CELU Z OGRANICZENIAMI RÓWNOŚCIOWYMI
(Mnożniki Lagrange’a)

Wyznaczyć minimum funkcji

2

12000

)

,

(

y

x

y

x

f

=

wiedząc, że zmienne decyzyjne mogą przyjmować

wartości dodatnie i spełniają następujące ograniczenie

400

)

,

(

2

2

−

+

=

y

x

y

x

h

.

1) Skonstruowanie funkcji Lagrange’a:

)

,

(

)

,

(

y

x

h

y

x

f

L

λ

−

=

.

2) Określenie warunków koniecznych istnienia ekstremum i wyznaczenie punktów spełniających te

warunki.

3) Wyznaczenie minimalnej wartości funkcji celu przy zadanym ograniczeniu.