Dynamika Budowli

Zadanie 2 - instrukcja

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów

Dana jest belka wspornikowa.

1. Wymodelować belkę za pomocą układu o jednym stopniu swobody (układ bez tłumienia), wyznaczyć

wartości liczbowe masy m oraz sztywności k.

2. Obliczyć częstotliwość drgań własnych nietłumionych oraz porównać ją z częstotliwością uzyskaną dla

modelu ciągłego.

3. Obliczyć częstotliwość drgań własnych tłumionych.
4. Napisać w środowisku MATLAB program rysujący wykres przemieszczenia w funkcji czasu u(t) dla drgań

nietłumionych i tłumionych. Wykreślić wykresy dla 3 różnych zestawów warunków początkowych. Warunki
początkowe dobrać samodzielnie.

Dane:
b = ……….. [cm]

h = ……….. [cm]

d = ……….. [cm]

L = ……….. [m]

E = ……….. [GPa]



= ……….. [kg/m

3

]

u

0

= ……….. [m]

v

0

= ……….. [m/s]



= ………..

Dynamika Budowli

Zadanie 2 - instrukcja

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów

Rozwiązanie:
Układ ciągły można zamienić na układ dyskretny o jednym stopniu swobody poprzez skupienie masy m

Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu ciągłego:

2

3.516

n

EI

L







Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody:

n

k

m





Częstość kołowa drgań tłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody:

2

1

d

n











n



- częstość kołowa drgań własnych nietłumionych [rad/s]

d



- częstość kołowa drgań własnych tłumionych [rad/s]



- masa na jednostkę długości [kg/m]

m - masa skupiona [kg]



- bezwymiarowa liczba tłumienia

Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez wytrącenie układu z pozycji równowagi, to znaczy przez
przyłożenie w czasie t = 0 przemieszczenia początkowego

0

(0)

u

u

 i/lub prędkości początkowej

0

(0)

u

u





 .

Drgania nietłumione opisane są równaniem: ( )

cos

sin

n

n

u t

A

t B

t









,

(0)

A u



,

(0)

n

u

B







Drgania nietłumione opisane są równaniem:





( )

cos

sin

n

t

d

d

u t

e

A

t B

t













,

0

0

0

,

.

n

d

u

u

A u

B













Dynamika Budowli

Zadanie 2 - instrukcja

Magdalena Rucka

Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska

Katedra Mechaniki Budowli i Mostów

a) Obliczyć masę skupioną m (z ¼ długości belki)
b) Obliczyć moment bezwładności przekroju

x

I

c) Obliczyć podatność belki wspornikowej

3

11

3

x

L

EI





(wykresy momentów zginających + całkowanie graficzne).

d) Obliczyć sztywność belki

11

1

k





e) Obliczyć częstość kołową drgań własnych nietłumionych

n

k

m





(układ o 1 stopniu swobody)

f) Obliczyć częstotliwość drgań

2

n

n

f







g) Obliczyć częstość kołową drgań własnych nietłumionych modelu ciągłego:

2

3.516

n

EI

L







h) Obliczyć częstość kołową drgań własnych tłumionych

2

1

d

n











(układ o 1 stopniu swobody)

i) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne nietłumione

( )

cos

sin

n

n

u t

A

t B

t









,

(0)

A u



,

(0)

n

u

B







j) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne tłumione





( )

cos

sin

n

t

d

d

u t

e

A

t B

t













,

0

0

0

,

n

d

u

u

A u

B













k) Skomentować wpływ różnych warunków początkowych na wykresy drgań