Dynamika Budowli
Zadanie 2 - instrukcja
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Dana jest belka wspornikowa.
1. Wymodelować belkę za pomocą układu o jednym stopniu swobody (układ bez tłumienia), wyznaczyć
wartości liczbowe masy m oraz sztywności k.
2. Obliczyć częstotliwość drgań własnych nietłumionych oraz porównać ją z częstotliwością uzyskaną dla
modelu ciągłego.
3. Obliczyć częstotliwość drgań własnych tłumionych.
4. Napisać w środowisku MATLAB program rysujący wykres przemieszczenia w funkcji czasu u(t) dla drgań
nietłumionych i tłumionych. Wykreślić wykresy dla 3 różnych zestawów warunków początkowych. Warunki
początkowe dobrać samodzielnie.
Dane:
b = ……….. [cm]
h = ……….. [cm]
d = ……….. [cm]
L = ……….. [m]
E = ……….. [GPa]
= ……….. [kg/m
3
]
u
0
= ……….. [m]
v
0
= ……….. [m/s]
= ………..
Dynamika Budowli
Zadanie 2 - instrukcja
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
Rozwiązanie:
Układ ciągły można zamienić na układ dyskretny o jednym stopniu swobody poprzez skupienie masy m
Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu ciągłego:
2
3.516
n
EI
L
Częstość kołowa drgań nietłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody:
n
k
m
Częstość kołowa drgań tłumionych dla modelu dyskretnego o jednym stopniu swobody:
2
1
d
n
n
- częstość kołowa drgań własnych nietłumionych [rad/s]
d
- częstość kołowa drgań własnych tłumionych [rad/s]
- masa na jednostkę długości [kg/m]
m - masa skupiona [kg]
- bezwymiarowa liczba tłumienia
Drgania swobodne zapoczątkowane są poprzez wytrącenie układu z pozycji równowagi, to znaczy przez
przyłożenie w czasie t = 0 przemieszczenia początkowego
0
(0)
u
u
i/lub prędkości początkowej
0
(0)
u
u
.
Drgania nietłumione opisane są równaniem: ( )
cos
sin
n
n
u t
A
t B
t
,
(0)
A u
,
(0)
n
u
B
Drgania nietłumione opisane są równaniem:
( )
cos
sin
n
t
d
d
u t
e
A
t B
t
,
0
0
0
,
.
n
d
u
u
A u
B
Dynamika Budowli
Zadanie 2 - instrukcja
Magdalena Rucka
Politechnika Gdańska Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów
a) Obliczyć masę skupioną m (z ¼ długości belki)
b) Obliczyć moment bezwładności przekroju
x
I
c) Obliczyć podatność belki wspornikowej
3
11
3
x
L
EI
(wykresy momentów zginających + całkowanie graficzne).
d) Obliczyć sztywność belki
11
1
k
e) Obliczyć częstość kołową drgań własnych nietłumionych
n
k
m
(układ o 1 stopniu swobody)
f) Obliczyć częstotliwość drgań
2
n
n
f
g) Obliczyć częstość kołową drgań własnych nietłumionych modelu ciągłego:
2
3.516
n
EI
L
h) Obliczyć częstość kołową drgań własnych tłumionych
2
1
d
n
(układ o 1 stopniu swobody)
i) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne nietłumione
( )
cos
sin
n
n
u t
A
t B
t
,
(0)
A u
,
(0)
n
u
B
j) W programie MATLAB narysować wykres krzywej opisującej drgania swobodne tłumione
( )
cos
sin
n
t
d
d
u t
e
A
t B
t
,
0
0
0
,
n
d
u
u
A u
B
k) Skomentować wpływ różnych warunków początkowych na wykresy drgań