Algebra liniowa z geometrią

Studia internetowe

Zadania domowe #5

Rozwiązania

1. Dane są macierze

A

i

B

. Znaleźć iloczyny

A

⋅B

i

B

⋅A

(o ile istnieją)

a)

A

=

[

2

1

−1

0

0

−1

]

, B

=

[

1

0

3

2

−1 0

]

A

⋅B=

[

4

−1

6

−1

0

−3

−2

1

0

]

B

⋅A=

[

2

−2

5

2

]

b)

A

=

[

1

0

−1

2

3

2

−1 2

1

]

, B

= A

T

A

⋅B=

[

2

0

−2

0

17

6

−2 6

6

]

B

⋅A=

[

6

4

2

4 13 8
2

8

6

]

2. Dla danej macierzy

A

znaleźć potęgi

A

2

, A

3

, A

4

A

=

[

a 1
0 a

]

A

2

=

[

a

2

2a

0

a

2

]

A

3

=

[

a

3

3a

2

0

a

3

]

A

4

=

[

a

4

4a

3

0

a

4

]

3. Dla danej macierzy

A

i danej liczby

t

znaleźć:

 A−t⋅E 

2

(

E

oznacza macierz

jednostkową)

A

=

[

4

1

−1

−2 1

1

4

2

0

]

, t

=2

t

⋅E=2⋅

[

1 0 0
0 1 0
0 0 1

]

=

[

2 0 0
0 2 0
0 0 2

]

A

−t⋅E=

[

4

1

−1

−2 1

1

4

2

0

]

−

[

2 0 0

0 2 0
0 0 2

]

=

[

2

1

−1

−2 −1

1

4

2

−2

]

 A−t⋅E 

2

=

[

−2 −1

1

2

1

−1

−4 −2

2

]

=−A−t⋅E

4. Dla danej macierzy kwadratowej

A

znaleźć taką macierz symetryczną

B

oraz

antysymetryczną

C

, że

A

=BC

A

=

[

2

3 5

1

0 4

−1 0 1

]

{

A

=BC

A

T

= BC 

T

=B

T

C

T

=B−C

{

B

=

 AA

T



2

C

=

 A−A

T



2

{

B

=



[

2

3 5

1

0 4

−1 0 1

]



[

2 1

−1

3 0

0

5 4

1

]



2

C

=



[

2

3 5

1

0 4

−1 0 1

]

−

[

2 1

−1

3 0

0

5 4

1

]



2

{

B

=

[

4 4 4
4 0 4
4 4 2

]

2

C

=

[

0

2

6

−2

0

4

−6 −4 0

]

2

{

B

=

[

2 2 2
2 0 2
2 2 1

]

C

=

[

0

1

3

−1

0

2

−3 −2 0

]

alternatywny sposób rozwiązania

{

[

2

3 5

1

0 4

−1 0 1

]

=

[

b

1

b

2

b

3

b

4

b

5

b

6

b

7

b

8

b

9

]



[

c

1

c

2

c

3

c

4

c

5

c

6

c

7

c

8

c

9

]

[

2 1

−1

3 0 0
5 4 1

]

=

[

b

1

b

2

b

3

b

4

b

5

b

6

b

7

b

8

b

9

]

−

[

c

1

c

2

c

3

c

4

c

5

c

6

c

7

c

8

c

9

]

{

b

1

c

1

=2

b

1

−c

1

=2

⇒

{

b

1

=2

c

1

=0

{

b

2

c

2

=3

b

2

−c

2

=1

⇒

{

b

2

=2

c

2

=1

{

b

3

c

3

=5

b

3

−c

3

=−1

⇒

{

b

3

=2

c

3

=3

{

b

4

c

4

=1

b

4

−c

4

=3

⇒

{

b

4

=2

c

4

=−1

{

b

5

c

5

=0

b

5

−c

5

=0

⇒

{

b

5

=0

c

5

=0

{

b

6

c

6

=4

b

6

−c

6

=0

⇒

{

b

6

=2

c

6

=2

{

b

7

c

7

=−1

b

7

−c

7

=5

⇒

{

b

7

=2

c

7

=−3

{

b

8

c

8

=0

b

8

−c

8

=4

⇒

{

b

8

=2

c

8

=−2

{

b

9

c

9

=1

b

9

−c

9

=1

⇒

{

b

9

=1

c

9

=0

B

=

[

2 2 2
2 0 2
2 2 1

]

, C

=

[

0

1

3

−1

0

2

−3 −2 0

]