Wykład 16

Witold Obłoza

21 stycznia 2011

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 212

Niech V, W b

,

ed

,

a p.w. nad ciał

,

em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W

nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).

TWIERDZENIE 213

Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni

,

a liniow

,

a.

PRZESTRZENIE WEKTOROWE

DEFINICJA 212

Niech V, W b

,

ed

,

a p.w. nad ciał

,

em K wtedy odwzorowanie A : V −→ W

nazywamy odwzorowaniem liniowym ( homomorfizmem p.w. ) wtw, gdy
∀x, y ∈ V ∀α, β ∈ K

A(αx + βy) = αA(x) + βA(y).

TWIERDZENIE 213

Zbiór L(V, W ) przekształceń liniowych z p.w. V w p.w. W z działaniami
∀T, S ∈ L(V, W ) ∀v ∈ V ∀α ∈ K (T + S)(v) = T (v) + S(v)
(αT )(v) = α(T (v)) jest przestrzeni

,

a liniow

,

a.

MACIERZE

DEFINICJA 214

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA 214

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA 214

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA 214

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA 214

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA 214

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

DEFINICJA 214

Macierzą o n wierszach i m kolumnach nazywamy odwzorowanie
A : Z

n

× Z

m

−→ X.

A(i, j) oznaczamy przez a

i j

, a sam

,

a macierz A przez

{a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Mówimy, że macierz A ma wymiar n × m.

Jeżeli X jest ciałem liczbowym to macierz A nazywamy macierz

,

a

liczbow

,

a.

Niech macierze A, B b

,

ed

,

a macierzami liczbowymi o wymiarze n × m.

Definiujemy

A + B = {a

i j

+ b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

,

A − B = {a

i j

− b

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA 215

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA 215

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA 215

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

Niech A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

b

,

edzie macierz

,

a liczbow

,

a, a λ

dowolnym skalarem. Definiujemy λA = {λa

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

Macierz której wszystkie elementy s

,

a zerami nazywamy macierz

,

a zerow

,

a.

Dla danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

symbol (−A)

oznacza macierz przeciwn

,

a do macierzy A to jest macierz

{−a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

.

UWAGA 215

Zbiór macierzy liczbowych o danym wymiarze z działaniami dodawania
i mnożenia przez skalar określonymi powyżej stanowi przestrzeń
wektorow

,

a.

MACIERZE

DEFINICJA 216

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE 217

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA 216

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE 217

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA 216

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE 217

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA 216

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE 217

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA 216

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE 217

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA 216

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE 217

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA 216

Dla danych macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

B = {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,k}

iloczynem A · B nazywamy macierz

C = {c

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,k}

tak

,

a, że

c

i j

= a

i 1

· b

1 j

+ a

i 2

· b

2 j

+ a

i 3

· b

3 j

+ · · · + a

i m

· b

m j

=

m

P

l=1

a

i l

· b

l j

.

TWIERDZENIE 217

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

A · (B · C) = (A · B) · C,

A · (λB) = λ(A · B) = (λA) · B,

A · (B + C) = A · B + A · C,

(A + B) · C = A · C + B · C.

MACIERZE

DEFINICJA 218

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE 219

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA 218

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE 219

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA 218

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE 219

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA 218

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE 219

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA 218

Macierz

,

a transponowan

,

a danej macierzy A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,m}

nazywamy macierz A

T

= {b

i j

}

i∈{1,2...,m} j∈{1,2...,n}

tak

,

a, że b

i j

= a

j i

.

TWIERDZENIE 219

Dla dowolnych macierzy odpowiednich wymiarów i skalaru λ zachodz

,

a

wzory

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

,

(λA)

T

= λA

T

,

(A · B)

T

= B

T

· A

T

,

(A

T

)

T

= A.

MACIERZE

DEFINICJA 220

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a

i i

= a

j j

,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA 220

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a

i i

= a

j j

,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA 220

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a

i i

= a

j j

,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA 220

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a

i i

= a

j j

,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA 220

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a

i i

= a

j j

,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA 220

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a

i i

= a

j j

,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

MACIERZE

DEFINICJA 220

Macierz kwadratow

,

a A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy

1) symetryczn

,

a wtw, gdy A = A

T

,

2) diagonaln

,

a wtw, gdy a

i j

= 0 dla i 6= j,

3) skalarn

,

a wtw, gdy a

i j

= 0, dla i 6= j, oraz ∀i, j a

i i

= a

j j

,

4) jednostkow

,

a wtw, gdy jest skalarna i a

i i

= 1 dla i ∈ {1, 2, . . . , n},

5) trójk

,

atn

,

a górn

,

a ( doln

,

a ) wtw, gdy a

i j

= 0 dla i > j

(a

i j

= 0 dla i < j).

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 221

Niech A b

,

edzie dowolnym zbiorem.

Zbiór S

A

= {f : A −→ A : f jest bijekcj

,

a} ze składaniem odwzorowań

jest grup

,

a.

DOWÓD:

Ł

,

aczność.

∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S

A

[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).

Element neutralny.
Odwzorowanie id

A

: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym

składania odwzorowań.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 221

Niech A b

,

edzie dowolnym zbiorem.

Zbiór S

A

= {f : A −→ A : f jest bijekcj

,

a} ze składaniem odwzorowań

jest grup

,

a.

DOWÓD:

Ł

,

aczność.

∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S

A

[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).

Element neutralny.
Odwzorowanie id

A

: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym

składania odwzorowań.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 221

Niech A b

,

edzie dowolnym zbiorem.

Zbiór S

A

= {f : A −→ A : f jest bijekcj

,

a} ze składaniem odwzorowań

jest grup

,

a.

DOWÓD:

Ł

,

aczność.

∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S

A

[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).

Element neutralny.
Odwzorowanie id

A

: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym

składania odwzorowań.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 221

Niech A b

,

edzie dowolnym zbiorem.

Zbiór S

A

= {f : A −→ A : f jest bijekcj

,

a} ze składaniem odwzorowań

jest grup

,

a.

DOWÓD:

Ł

,

aczność.

∀x ∈ A ∀f, g, h ∈ S

A

[(h ◦ g) ◦ f ](x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) =
[h ◦ (g ◦ f )](x).

Element neutralny.
Odwzorowanie id

A

: A 3 a −→ a ∈ A jest elementem neutralnym

składania odwzorowań.

PERMUTACJE

Element odwrotny.
Dla f ∈ S

A

∀x ∈ A określamy f

−1

(x) = y wtw, gdy f (y) = x. Z

definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ◦ f

−1

= f

−1

◦ f = id

A

.

DEFINICJA 222

Jeżeli A = Z

n

= {1, 2, 3, . . . , n} to grup

,

e S

A

oznaczamy przez S

n

i

nazywamy grup

,

a symetryczn

,

a stopnia n. Elementy S

n

nazywamy

permutacjami. (a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

) oznacza permutacj

,

e p : Z

n

−→ Z

n

tak

,

a, że p(k) = a

k

.

UWAGA 223

Permutacj

,

e możemy utożsamiać z różnowartościowym ci

,

agiem n

elementowym elementów Z

n

.

PERMUTACJE

Element odwrotny.
Dla f ∈ S

A

∀x ∈ A określamy f

−1

(x) = y wtw, gdy f (y) = x. Z

definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ◦ f

−1

= f

−1

◦ f = id

A

.

DEFINICJA 222

Jeżeli A = Z

n

= {1, 2, 3, . . . , n} to grup

,

e S

A

oznaczamy przez S

n

i

nazywamy grup

,

a symetryczn

,

a stopnia n. Elementy S

n

nazywamy

permutacjami. (a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

) oznacza permutacj

,

e p : Z

n

−→ Z

n

tak

,

a, że p(k) = a

k

.

UWAGA 223

Permutacj

,

e możemy utożsamiać z różnowartościowym ci

,

agiem n

elementowym elementów Z

n

.

PERMUTACJE

Element odwrotny.
Dla f ∈ S

A

∀x ∈ A określamy f

−1

(x) = y wtw, gdy f (y) = x. Z

definicji bijekcji określenie to jest poprawne i f ◦ f

−1

= f

−1

◦ f = id

A

.

DEFINICJA 222

Jeżeli A = Z

n

= {1, 2, 3, . . . , n} to grup

,

e S

A

oznaczamy przez S

n

i

nazywamy grup

,

a symetryczn

,

a stopnia n. Elementy S

n

nazywamy

permutacjami. (a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

) oznacza permutacj

,

e p : Z

n

−→ Z

n

tak

,

a, że p(k) = a

k

.

UWAGA 223

Permutacj

,

e możemy utożsamiać z różnowartościowym ci

,

agiem n

elementowym elementów Z

n

.

PERMUTACJE

DEFINICJA 224

(a

1

a

2

a

3

. . . a

k

) oznacza permutacj

,

e cykliczn

,

a to jest tak

,

a, że

∀ l ∈ Z

k−1

p(a

l

) = a

l+1

, p(a

k

) = a

1

i p(j) = j dla

j /

∈ {a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

}

TWIERDZENIE 225

Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.

DOWÓD:

Niech a

1

oznacza najmniejsz

,

a liczb

,

e tak

,

a, że p(a

1

) 6= a

1

. Niech

a

2

= p(a

1

), a

3

= p(a

2

), a

4

= p(a

3

), . . . . Dla pewnego k

1

p(a

k

1

) = a

1

możemy założyć, że k

1

jest najmniejsz

,

a tak

,

a liczb

,

a.

Oznaczmy p

1

= (a

1

a

2

a

3

. . . a

k

1

) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby

oprócz a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

przechodz

,

a w siebie to p = p

1

i dowód jest

zakończony.

PERMUTACJE

DEFINICJA 224

(a

1

a

2

a

3

. . . a

k

) oznacza permutacj

,

e cykliczn

,

a to jest tak

,

a, że

∀ l ∈ Z

k−1

p(a

l

) = a

l+1

, p(a

k

) = a

1

i p(j) = j dla

j /

∈ {a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

}

TWIERDZENIE 225

Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.

DOWÓD:

Niech a

1

oznacza najmniejsz

,

a liczb

,

e tak

,

a, że p(a

1

) 6= a

1

. Niech

a

2

= p(a

1

), a

3

= p(a

2

), a

4

= p(a

3

), . . . . Dla pewnego k

1

p(a

k

1

) = a

1

możemy założyć, że k

1

jest najmniejsz

,

a tak

,

a liczb

,

a.

Oznaczmy p

1

= (a

1

a

2

a

3

. . . a

k

1

) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby

oprócz a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

przechodz

,

a w siebie to p = p

1

i dowód jest

zakończony.

PERMUTACJE

DEFINICJA 224

(a

1

a

2

a

3

. . . a

k

) oznacza permutacj

,

e cykliczn

,

a to jest tak

,

a, że

∀ l ∈ Z

k−1

p(a

l

) = a

l+1

, p(a

k

) = a

1

i p(j) = j dla

j /

∈ {a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

}

TWIERDZENIE 225

Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.

DOWÓD:

Niech a

1

oznacza najmniejsz

,

a liczb

,

e tak

,

a, że p(a

1

) 6= a

1

. Niech

a

2

= p(a

1

), a

3

= p(a

2

), a

4

= p(a

3

), . . . . Dla pewnego k

1

p(a

k

1

) = a

1

możemy założyć, że k

1

jest najmniejsz

,

a tak

,

a liczb

,

a.

Oznaczmy p

1

= (a

1

a

2

a

3

. . . a

k

1

) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby

oprócz a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

przechodz

,

a w siebie to p = p

1

i dowód jest

zakończony.

PERMUTACJE

DEFINICJA 224

(a

1

a

2

a

3

. . . a

k

) oznacza permutacj

,

e cykliczn

,

a to jest tak

,

a, że

∀ l ∈ Z

k−1

p(a

l

) = a

l+1

, p(a

k

) = a

1

i p(j) = j dla

j /

∈ {a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

}

TWIERDZENIE 225

Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.

DOWÓD:

Niech a

1

oznacza najmniejsz

,

a liczb

,

e tak

,

a, że p(a

1

) 6= a

1

. Niech

a

2

= p(a

1

), a

3

= p(a

2

), a

4

= p(a

3

), . . . . Dla pewnego k

1

p(a

k

1

) = a

1

możemy założyć, że k

1

jest najmniejsz

,

a tak

,

a liczb

,

a.

Oznaczmy p

1

= (a

1

a

2

a

3

. . . a

k

1

) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby

oprócz a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

przechodz

,

a w siebie to p = p

1

i dowód jest

zakończony.

PERMUTACJE

DEFINICJA 224

(a

1

a

2

a

3

. . . a

k

) oznacza permutacj

,

e cykliczn

,

a to jest tak

,

a, że

∀ l ∈ Z

k−1

p(a

l

) = a

l+1

, p(a

k

) = a

1

i p(j) = j dla

j /

∈ {a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

n

}

TWIERDZENIE 225

Każda permutacja jest złożeniem pewnej ilości permutacji cyklicznych.

DOWÓD:

Niech a

1

oznacza najmniejsz

,

a liczb

,

e tak

,

a, że p(a

1

) 6= a

1

. Niech

a

2

= p(a

1

), a

3

= p(a

2

), a

4

= p(a

3

), . . . . Dla pewnego k

1

p(a

k

1

) = a

1

możemy założyć, że k

1

jest najmniejsz

,

a tak

,

a liczb

,

a.

Oznaczmy p

1

= (a

1

a

2

a

3

. . . a

k

1

) Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby

oprócz a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

przechodz

,

a w siebie to p = p

1

i dowód jest

zakończony.

PERMUTACJE

Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsz

,

a z nich i oznaczmy j

,

a przez a

1

1

. Jak

poprzednio tworzymy permutacj

,

e cykliczn

,

a p

2

= (a

1

1

a

1

2

a

1

3

. . . a

1
k

2

), w

której a

1

2

= p(a

1

1

), a

1

3

= p(a

1

2

), a

1

4

= p(a

1

3

)

. . . , a

1
k

2

= p(a

k

2

−1

), a

1

1

= p(a

k

2

).

Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

, a

1

1

, a

1

2

, a

1

3

, . . . , a

1
k

2

przechodz

,

a w siebie to p = p

2

p

1

i

dowód jest zakończony.

Jeżeli nie post

,

epowanie możemy kontynuować i po s < n krokach

otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie p

s

p

s−1

. . . p

2

p

1

,

gdzie p

1

, p

2

, . . . , p

s

s

,

a permutacjami cyklicznymi.

PERMUTACJE

Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsz

,

a z nich i oznaczmy j

,

a przez a

1

1

. Jak

poprzednio tworzymy permutacj

,

e cykliczn

,

a p

2

= (a

1

1

a

1

2

a

1

3

. . . a

1
k

2

), w

której a

1

2

= p(a

1

1

), a

1

3

= p(a

1

2

), a

1

4

= p(a

1

3

)

. . . , a

1
k

2

= p(a

k

2

−1

), a

1

1

= p(a

k

2

).

Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

, a

1

1

, a

1

2

, a

1

3

, . . . , a

1
k

2

przechodz

,

a w siebie to p = p

2

p

1

i

dowód jest zakończony.

Jeżeli nie post

,

epowanie możemy kontynuować i po s < n krokach

otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie p

s

p

s−1

. . . p

2

p

1

,

gdzie p

1

, p

2

, . . . , p

s

s

,

a permutacjami cyklicznymi.

PERMUTACJE

Jeżeli nie to wybierzmy najmniejsz

,

a z nich i oznaczmy j

,

a przez a

1

1

. Jak

poprzednio tworzymy permutacj

,

e cykliczn

,

a p

2

= (a

1

1

a

1

2

a

1

3

. . . a

1
k

2

), w

której a

1

2

= p(a

1

1

), a

1

3

= p(a

1

2

), a

1

4

= p(a

1

3

)

. . . , a

1
k

2

= p(a

k

2

−1

), a

1

1

= p(a

k

2

).

Jeżeli w permutacji p wszyskie liczby oprócz
a

1

, a

2

, a

3

, . . . , a

k

1

, a

1

1

, a

1

2

, a

1

3

, . . . , a

1
k

2

przechodz

,

a w siebie to p = p

2

p

1

i

dowód jest zakończony.

Jeżeli nie post

,

epowanie możemy kontynuować i po s < n krokach

otrzymamy przedstawienie permutacji p jako złożenie p

s

p

s−1

. . . p

2

p

1

,

gdzie p

1

, p

2

, . . . , p

s

s

,

a permutacjami cyklicznymi.

PERMUTACJE

UWAGA 226

Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s

,

a przemienne.

DEFINICJA 227

Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228

Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.

DOWÓD:

Niech p = (a

1

a

2

a

3

. . .

a

k

). Wtedy

p = (a

1

a

k

) . . . (a

1

a

3

)(a

1

a

2

).

DEFINICJA 229

Liczby i, j tworzy inwersj

,

e w permutacji p jeżeli

(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

DEFINICJA 230

Przez κ(p) oznaczamy liczb

,

e wszystkich inwersji w permutacji p.

Znakiem permutacji p nazywamy liczb

,

e σ(p) = (−1)

κ(p)

PERMUTACJE

UWAGA 226

Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s

,

a przemienne.

DEFINICJA 227

Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228

Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.

DOWÓD:

Niech p = (a

1

a

2

a

3

. . .

a

k

). Wtedy

p = (a

1

a

k

) . . . (a

1

a

3

)(a

1

a

2

).

DEFINICJA 229

Liczby i, j tworzy inwersj

,

e w permutacji p jeżeli

(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

DEFINICJA 230

Przez κ(p) oznaczamy liczb

,

e wszystkich inwersji w permutacji p.

Znakiem permutacji p nazywamy liczb

,

e σ(p) = (−1)

κ(p)

PERMUTACJE

UWAGA 226

Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s

,

a przemienne.

DEFINICJA 227

Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228

Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.

DOWÓD:

Niech p = (a

1

a

2

a

3

. . .

a

k

). Wtedy

p = (a

1

a

k

) . . . (a

1

a

3

)(a

1

a

2

).

DEFINICJA 229

Liczby i, j tworzy inwersj

,

e w permutacji p jeżeli

(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

DEFINICJA 230

Przez κ(p) oznaczamy liczb

,

e wszystkich inwersji w permutacji p.

Znakiem permutacji p nazywamy liczb

,

e σ(p) = (−1)

κ(p)

PERMUTACJE

UWAGA 226

Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s

,

a przemienne.

DEFINICJA 227

Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228

Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.

DOWÓD:

Niech p = (a

1

a

2

a

3

. . .

a

k

). Wtedy

p = (a

1

a

k

) . . . (a

1

a

3

)(a

1

a

2

).

DEFINICJA 229

Liczby i, j tworzy inwersj

,

e w permutacji p jeżeli

(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

DEFINICJA 230

Przez κ(p) oznaczamy liczb

,

e wszystkich inwersji w permutacji p.

Znakiem permutacji p nazywamy liczb

,

e σ(p) = (−1)

κ(p)

PERMUTACJE

UWAGA 226

Permutacje cykliczne otrzymane w rozkładzie permutacji p s

,

a przemienne.

DEFINICJA 227

Transpozycją nazywamy permutację cykliczną postaci (k m).
TWIERDZENIE 228

Dowolna permutacja cykliczna jest złożeniem pewnej ilości transpozycji.

DOWÓD:

Niech p = (a

1

a

2

a

3

. . .

a

k

). Wtedy

p = (a

1

a

k

) . . . (a

1

a

3

)(a

1

a

2

).

DEFINICJA 229

Liczby i, j tworzy inwersj

,

e w permutacji p jeżeli

(i − j) · (p(i) − p(j)) < 0.

DEFINICJA 230

Przez κ(p) oznaczamy liczb

,

e wszystkich inwersji w permutacji p.

Znakiem permutacji p nazywamy liczb

,

e σ(p) = (−1)

κ(p)

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 231

Transpozycja postaci (l

l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.

TWIERDZENIE 232

Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l

l + 1).

DOWÓD:

Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k − 3 l + k − 2)(l + k −
2 l + k − 1)(l + k − 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k − 1 transpozycji s

,

asiednich.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 231

Transpozycja postaci (l

l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.

TWIERDZENIE 232

Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l

l + 1).

DOWÓD:

Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k − 3 l + k − 2)(l + k −
2 l + k − 1)(l + k − 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k − 1 transpozycji s

,

asiednich.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 231

Transpozycja postaci (l

l + 1) zmienia znak permutacji na przeciwny.

TWIERDZENIE 232

Dowolna transpozycja jest złożeniem nieparzystej ilości transpozycji
postaci (l

l + 1).

DOWÓD:

Niech k > 1 wtedy (l l + k) = (l l + 1) . . . (l + k − 3 l + k − 2)(l + k −
2 l + k − 1)(l + k − 1 l + k) . . . (l + 2 l + 1)(l l + 1). Czyli (l l + k) jest
złożeniem 2k − 1 transpozycji s

,

asiednich.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 233

Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l

l + 1).

UWAGA 234

Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l

l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba

transpozycji jest ma t

,

e sam

,

a parzystość.

DEFINICJA 235

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy liczb

,

e

P

p∈S

n

σ(p)a

1 p(1)

· a

2 p(2)

· · · · · a

n p(n)

.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 233

Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l

l + 1).

UWAGA 234

Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l

l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba

transpozycji jest ma t

,

e sam

,

a parzystość.

DEFINICJA 235

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy liczb

,

e

P

p∈S

n

σ(p)a

1 p(1)

· a

2 p(2)

· · · · · a

n p(n)

.

PERMUTACJE

TWIERDZENIE 233

Dowolna permutacja jest złożeniem pewnej ilości transpozycji postaci
(l

l + 1).

UWAGA 234

Przedstawienie permutacji w postaci złożenia transpozycji postaci
(l

l + 1) nie jednoznaczne ale w każdym takim przedstawieniu liczba

transpozycji jest ma t

,

e sam

,

a parzystość.

DEFINICJA 235

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
A = {a

i j

}

i∈{1,2...,n} j∈{1,2...,n}

stopnia n nazywamy liczb

,

e

P

p∈S

n

σ(p)a

1 p(1)

· a

2 p(2)

· · · · · a

n p(n)

.