Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILi´

S, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Cz¸

e´

s´

c zadaniowa

Zad.Z1. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Wiedz¸ac, ˙ze f (x, y, z) = x sin 2y+z

2

e

x

−z cos y+5x

2

+3 jest potencja lem pola wektorowego ~

F

wyznaczy´c pole ~

F

,

sprawdzi´c, czy jest ono bez´zr´

od lowe oraz obliczy´c

R

L

~

F ◦ d~r, gdzie L jest lukiem o parametryzacji x(t) = ln(t + 1),

y

(t) = arcctg t, z(t) = t

2

− 1, t ∈ [0, 1] zgodnej z orientacj¸a.

Zad.Z2. [7p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczy´c moment statyczny wzgl¸edem p laszczyzny OY Z luku L o parametryzacji x(t) = e

t

, y(t) = e

−t

,

z

(t) =

√

2t, t ∈ [0, ln 2], je˙zeli g¸esto´s´c ρ(x, y, z) = x + y.

Zad.Z3. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Obliczy´c krzywizn¸e i promie´

n krzywizny oraz skr¸ecenie w punkcie t = π cykloidy o r´ownaniu:

x

(t) = a(t − sin t), y(t) = a(1 − cos t), a > 0

Zad.Z4. [10p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Dany jest szereg pot¸egowy

∞

P

n

=1

(−1)

n

x

n

3

n

(n+1)

. Wyznaczy´c promie´

n zbie˙zno´sci, przedzia l zbie˙zno´sci, zbada´c zbie˙zno´s´c

(okre´sli´c jej rodzaj) w prawym kra´

ncu przedzia lu zbie˙zno´sci. Obliczy´c sum¸e szeregu wewn¸atrz przedzia lu

zbie˙zno´sci oraz (o ile to mo˙zliwe) r´ownie˙z w prawym kra´

ncu.

Zad.Z5. [8p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 5 ]

Dana jest dystrybuanta zmiennej losowej X typu ci¸ag lego

F

(x) =



















0

x ≤ 0

sin

2

x

0 < x ≤

π

2

1

x >

π

2

.

Obliczy´c:

a) P (X ≤

π

3

),

b) warto´s´c oczekiwan¸a EX,

c) E(3X −

π

2

).