Konspekt wykładu r różniczkowy funkcji jednej zmiennej(1)

background image

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY JEDNEJ ZMIENNEJ

I JEGO ZASTOSOWANIA

Niech będzie dana funkcja f(x) określona w pewnym otoczeniu punktu x

0

.

Def. Ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie

X

x

0

o przyroście h (

)

r

;

x

(

U

h

x

0

0

)

nazywamy wyrażenie

h

)

x

(

f

)

h

x

(

f

)

h

,

x

(

R

0

0

0

Def. Pochodną funkcji f(x) w punkcie x nazywamy granicę skończoną ilorazu różnicowego przy h

dążącym do zera

h

0

h

0

df (x)

f (x

h) f (x)

f '(x)

lim R(x, h)

lim

dx

h

.



Na przykład pochodną funkcji

2

f (x)

2x

1

jest

x

4

'

y

, co można obliczyć korzystając z definicji

pochodnej:

x

4

)

h

2

x

4

(

lim

h

1

x

2

1

h

2

xh

4

x

2

lim

h

]

1

x

2

[

]

1

)

h

x

(

2

[

lim

0

h

2

2

2

0

h

2

2

0

h

.


Tw. Jeżeli istnieją

)

x

(

f

oraz

)

x

(

g

, to

)

x

(

'

g

)

x

(

'

f

)]'

x

(

g

)

x

(

f

[

)

x

(

f

)

x

(

'

g

)

x

(

g

)

x

(

'

f

)]'

x

(

g

)

x

(

f

[

jeśli

0

)

x

(

g

, to

)

x

(

g

)

x

(

f

)

x

(

'

g

)

x

(

g

)

x

(

'

f

)

x

(

g

)

x

(

f

2

'

Tw. (o pochodnej funkcji złożonej)

Jeżeli

)

x

(

g

u

ma pochodną

)

x

(

'

g

oraz

y

)

u

(

f

ma pochodną

)

u

(

'

f

, to funkcja złożona

y

))

x

(

g

(

f

ma pochodną w postaci:

)

x

(

'

g

))

x

(

g

(

'

f

))]'

x

(

g

(

f

[

'

y

background image

Interpretacja geometryczna pochodnej (odpowiednie rysunki były przedstawione na

wykładzie)

Wartość ilorazu różnicowego funkcji f(x) obliczona w punkcie x

0

oraz dla przyrostu argumentu h jest

równa tangensowi nachylenia kąta siecznej wykresu przechodzącej przez punkty (x

0

,f(x

0

)) oraz

(x

0

+h,f(x

0

+h)). Gdy przyrost argumentu h dąży do zera, sieczna wykresu zbliża się do stycznej.

Interpretacja geometryczna pochodnej

Zapamiętajmy:

Wartość ilorazu różnicowego funkcji f(x) obliczona w punkcie x

0

oraz dla przyrostu

argumentu h jest równa tangensowi nachylenia kąta siecznej wykresu przechodzącej przez

punkty (x

0

,f(x

0

)) oraz ( x

0

+h,f(x

0

+h)).

Gdy przyrost argumentu h dąży do zera, sieczna wykresu zbliża się do stycznej.
Pochodną funkcji wyznaczamy licząc granicę ilorazu różnicowego przy h dążącym do zera.

Wartość pochodnej

)

x

(

'

f

funkcji

)

x

(

f

w punkcie x

0

równa się tangensowi kąta

nachylenia stycznej do wykresu funkcji

)

x

(

f

w punkcie (x

0

, f(x

0

)).

*

Pochodną funkcji y = sinx jest

x

cos

)

x

(

y

. Wartość pochodnej w punkcie x = 0 wynosi:

4

tg

1

)

0

(

'

y

, co oznacza, że sinusoida przechodzi przez punkt (0,0) pod kątem

4

do osi 0X.

*

Funkcja

x

y

jest określona dla

0

x

jej pochodna

x

2

1

'

y

jest określona dla x>0.

Oznaczmy

)

x

(

kąt nachylenia stycznej do wykresu w punkcie (x, y(x)).

)]

x

(

[

tg

lim

x

2

1

lim

)

x

(

'

y

lim

0

x

0

x

0

x

,

oznacza to, że wykres funkcji

x

y

„podchodzi” prostopadle do osi 0X w prawostronnym

otoczeniu punktu x

0

=0.

*

Funkcja

x

y

nie posiada pochodnej w punkcie x=0:

*

W punkcie, w którym funkcja nie jest ciągła nie istnieje pochodna tej

funkcji (ciągłość funkcji

jest warunkiem koniecznym istnienia pochodnej funkcji):

Styczną do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x

0

, f(x

0

)) opisuje równanie

)

x

x

)(

x

(

'

f

)

x

(

f

y

0

0

0

,

które zapisane w postaci jawnej ma postać

)

x

)

x

(

f

)

x

(

f

(

x

)

x

(

f

y

0

0

0

0

. Współczynnik

kątowy stycznej ma wartość

)

x

(

f

0

, współczynnik przesunięcia

)

x

)

x

(

f

)

x

(

f

(

0

0

0

.

Np. styczna L

x

do wykresu funkcji

1

x

x

y

2

3

w punkcie o współrzędnej x = 1 jest opisana

wzorem: y = 5x– 4, który otrzymujemy z następujących obliczeń:

x

2

x

3

'

y

2

,

5

2

3

)

1

(

'

y

,

y(1) = 1,

y – 1 = 5(x–1) ostatecznie:

y = 5x–4.

background image

Różniczka funkcji jednej zmiennej, obliczanie przybliżonych wartości wyrażeń:

Def. Różniczką df(x

0

) funkcji f(x) w punkcie x

0

dla przyrostu

x

zmiennej niezależnej x nazywamy

iloczyn

x

)

x

(

'

f

)

x

(

df

df

0

0

Jeżeli funkcja f(x) posiada pochodną

)

x

(

'

f

0

w punkcie x

0

, to przyrost funkcji

)]

x

(

f

)

x

x

(

f

[

0

określonej w pewnym otoczeniu

)

r

;

x

(

U

0

punktu x

0

, takim, że

)

r

;

x

(

U

)

x

x

(

0

0

można wyrazić w

postaci

)

(

)

(

'

)

(

)

(

0

0

x

o

x

x

f

x

f

x

x

f

f

, gdzie wartość

)

x

(

o

jest nieskończenie małą rzędu

wyższego niż

x

, tzn.

0

x

)

x

(

o

lim

0

x

(szybciej zbliża się do zera niż

x)

Dlatego dla małych wartości

x

przyrost wartości funkcji można przybliżyć różniczką funkcji

df

x

x

f

x

o

x

x

f

f

x

f

x

x

f

)

(

'

)

(

)

(

'

)

(

)

(

0

0

)

,

(

0

x

x

df

df

f

Różniczka funkcji zależna jest od argumentu x

0

oraz przyrostu argumentu

x.

Wykorzystując różniczkę można wyznaczyć przybliżoną wartość funkcji

df

)

x

(

f

f

)

x

(

f

)

h

x

(

f

f

)

x

(

f

)

h

x

(

f

0

0

0

0

0

)

,

(

)

(

)

(

0

0

0

h

x

df

x

f

h

x

f

Na przykład wartość y = x

2

w punkcie x

0

= 1,03:

1

x

03

,

1

x

0

, h = 0,03

różniczka

06

,

0

03

,

0

1

2

2

)

03

,

0

;

1

(

)

,

(

0

h

x

df

h

x

df

wartość funkcji obliczona w przybliżeniu

06

,

1

03

,

0

1

2

1

)

03

,

1

(

y

wartość funkcji obliczona dokładnie

0609

,

1

)

03

,

1

(

)

03

,

1

(

y

2

.

Błąd przybliżenia

0009

,

0

df

f

.

Błędem bezwzględnym

|

f

|

jest

|

)

x

;

x

(

df

|

0

,

błędem względnym jest iloraz

)

x

(

f

)

x

;

x

(

df

f

f

0

0

, który wygodnie jest wyrażać w procentach.

Definicja ekstremów funkcji f(x). Twierdzenie Rolle’a, Lagrange’a, warunki istnienia

ekstremów, monotoniczność funkcji

Def. Mówimy, że f(x) ma w punkcie x

0

maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje sąsiedztwo

punktu

)

r

;

x

(

S

,

x

0

0

takie, że

background image

)

x

(

f

)

x

(

f

0

)

r

,

x

(

S

x

0

,

))

x

(

f

)

x

(

f

(

0

Tw. (Rolle’a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym

b

,

a

, ma pierwszą pochodną

wewnątrz tego przedziału oraz

)

b

(

f

)

a

(

f

, to istnieje taki punkt

)

b

,

a

(

c

, że

0

)

c

(

'

f

Twierdzenie, to orzeka, że gdy spełnione są założenia, to istnieje taki punkt wykresu funkcji

))

c

(

f

,

c

(

,

że styczna do wykresu w tym punkcie jest równoległa do osi 0X.

Tw.(war. konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli f(x) ma ekstremum w punkcie x

0

oraz ma pochodną

w tym punkcie, to

0

)

x

(

'

f

0

.

Tw. (Lagrange’a) Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym

b

,

a

oraz ma pierwszą

pochodną wewnątrz tego przedziału

))

b

,

a

(

x

(

, to istnieje punkt

)

b

,

a

(

c

, że

)

a

b

)(

c

(

'

f

)

a

(

f

)

b

(

f

.

Teza tego twierdzenia mówi, że istnieje taki punkt c, że styczna do wykresu funkcji w punkcie (c,f(c))
jest równoległa do siecznej przechodzącej przez (a,f(a)) i (b,f(b)).

Wniosek: Monotoniczność funkcji w przedziale (a,b) jest równoważna określonemu znakowi
pochodnej funkcji f(x) w tym przedziale.


Niech x

1

i x

2

będą dowolnymi punktami przedziału A, oraz

2

1

x

x

. Zgodnie z twierdzeniem

Langrage’a

)

x

x

)(

c

(

f

)

x

(

f

)

x

(

f

1

2

1

2

, przy czym

)

x

,

x

(

c

2

1

. Ponieważ

0

)

x

x

(

1

2

, to:

1

o

0

)

x

(

f

)

x

(

f

0

)

c

(

f

1

2

(funkcja

rosnąca

w

przedziale

A).

2

o

0

)

x

(

f

)

x

(

f

0

)

c

(

f

1

2

(funkcja malejąca w przedziale A).


Tw.
Jeżeli f(x) ma pochodną w zbiorze (a,b) oraz:

-

jeżeli

)

b

,

a

(

x

,

0

)

x

(

'

f

, to f(x) jest funkcją rosnącą w (a,b).

-

jeżeli

,

0

)

x

(

'

f

dla

)

b

,

a

(

x

, to f(x) jest funkcją malejącą w (a,b).

Definicja wklęsłości, wypukłości wykresu funkcji f(x), warunek istnienia punktu

przegięcia wykresu funkcji f(x)

Def. Krzywa o równaniu

)

x

(

f

y

nazywa się wklęsłą (wypukłą) w przedziale (a,b) jeżeli jest

położona nad (pod) styczną poprowadzoną w dowolnym punkcie

))

x

(

f

,

x

(

,

)

b

,

a

(

x


Tw. Krzywa o równaniu

)

x

(

f

y

, gdzie f(x) jest funkcją mającą drugą pochodną w przedziale (a,b)

jest:

wklęsła, gdy

0

)

x

(

f



,

wypukła, gdy

0

)

x

(

f



dla

)

b

,

a

(

x

.

Def. Gdy f(x) jest funkcją mającą ciągłą pierwszą i drugą pochodną w otoczeniu punktu

))

r

;

x

(

U

x

(

x

0

0

i jeśli f(x) jest wypukła dla

)

r

;

x

(

S

x

0

oraz wklęsła dla

)

r

;

x

(

S

x

0

(lub na

odwrót) to x

0

nazywamy punktem przegięcia krzywej o równaniu y = f(x).

Wniosek:
Jeśli x

0

jest punktem przegięcia krzywej o równaniu

)

x

(

f

y

, to

0

)

x

(

f

0



.

Dlatego, żeby znaleźć punkty przegięcia funkcji, należy znaleźć miejsca zerowania się drugiej
pochodnej tej funkcji.

Asymptoty funkcji. Twierdzenie de l’Hospitala

Def. Asymptotą ukośną (poziomą, gdy a = 0) funkcji (odpowiednio prawo lub lewostronną)

nazywamy prostą y=ax+b taką, że

background image

0

)]

b

ax

(

)

x

(

f

[

lim

)

(

x





;


Tw.
Współczynniki asymptoty ukośnej funkcji f(x) wyrażają się wzorami:

x

)

x

(

f

lim

a

)

(

x





;

]

ax

)

x

(

f

[

lim

b

)

(

x





Jeżeli granica funkcji przy

)

(



x

jest skończona i równa g, to prosta o równaniu y=g jest

asymptotą poziomą tej funkcji (odpowiednio prawo lub lewostronną).

Asymptoty ukośne mogą być wyznaczane, gdy granica funkcji przy

)

(



x

jest równa

)

(



.

Def. Asymptotą pionową (odpowiednio prawo lub lewostronną) nazywamy prostą o równaniu x = x

0

,

gdy

)

x

(

f

lim

)

x

(

x

x

0

0

)

(



Uwaga: Znając granice funkcji na krańcach dziedziny znamy asymptoty poziome i pionowe (o ile one
istnieją).

Obliczając granice funkcji lub wyznaczając asymptoty często pojawiają się tzw. wyrażenia
nieoznaczone. Ich sens poznaliśmy już przy okazji obliczania granic ciągów. Są one następujące:

 

     









1

,

,

0

,

,

0

,

,

0

0

0

0

W przypadku, gdy wystąpi wyrażenie typu









,

0

0

, wygodnie jest stosować następujące

twierdzenie:

Tw. (de l’Hospital’a) Jeżeli

1.

)

x

(

g

)

x

(

f

oraz

)

x

(

'

g

)

x

(

'

f

są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x

0

2.

)

(

)

x

(

g

lim

)

x

(

f

lim

0

0

x

x

x

x



lub

0

)

x

(

g

lim

)

x

(

f

lim

0

0

x

x

x

x

3. istnieje granica

)

x

(

'

g

)

x

(

'

f

lim

0

x

x

(właściwa albo niewłaściwa) , to istnieje granica

)

x

(

g

)

x

(

f

lim

0

x

x

i zachodzi

równość

)

x

(

'

g

)

x

(

'

f

lim

)

x

(

g

)

x

(

f

lim

0

0

x

x

x

x

Tw. to jest twierdzeniem umożliwiającym łatwe obliczenie granicy funkcji, w której potrafimy

wyróżnić iloraz

)

x

(

g

)

x

(

f

, przy czym licznik i mianownik przy

0

x

x

jednocześnie dążą do

nieskończoności lub zera, np.:

2

H

x

x

x

2

2

2

1

ctgx

0

(ctgx) '

sin x

lim

lim

lim

1

0

1

x

x

2

2

 

 

 

  

H

x

0

x

0

sin x

0

cos x

lim

lim

1

x

0

1

 

Uwaga:
Nie zawsze reguła de l’Hospitala jest skuteczna, np.:

background image

x

x

x

x

x

x

x

H

x

sin

1

cos

1

lim

cos

sin

lim

, granica otrzymanego wyrażenia nie istnieje. Jednak granica

funkcji

x

x

x

x

x

cos

sin

lim

istnieje, równa się 1 (łatwo ją wyznaczyć korzystając z twierdzenia o trzech

ciągach).

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Badanie przebiegu zmienności funkcji prowadzi do naszkicowania wykresu tej funkcji. Wykonując
kolejne etapy należy analizować wcześniejsze wyniki. Wygodnie jest rysować wykres etapami. Można
wszystkie wyniki zebrać w całość w tabeli, która da podstawę do naszkicowania wykresu.


Etapy badania zmienności funkcji:
1. Określenie D

f

.

2. Obliczenie granic na krańcach dziedziny.
3. Wyznaczenie asymptot.
4. Obliczenie pierwszej pochodnej funkcji.
5. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności.
6. Wyznaczenie ekstremów funkcji.
7. Obliczenie drugiej pochodnej funkcji.
8. Zbadanie przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji oraz wyznaczenie punktów przegiecia.
Szkic wykresu funkcji (ew. na podstawie tabelki).


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wykład, RACHUNEK ROZNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 63, 1)
5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
,analiza matematyczna 1, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
5 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 62, Geodezja i Kartografia, I rok, Matematyka
Rachunek rozniczkowy funkcji jednej zmiennej
5 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej pochodne
Wykłady z Matematyki, Wykłady - Rachunek Różniczkowy Funkcji Wielu Zmiennych, Dr Adam Ćmiel
Sem 1. Wykład, Rachunek Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej cz.2
4 6 Różniczki funkcji dwóch zmiennych

więcej podobnych podstron