1

ĆWICZENIE NR 4

Wybrane zagadnienia teoretyczne

POMIARY ZNIEKSZTAŁCEŃ NIELINIOWYCH I ANALIA WIDMOWA SYGNAŁÓW

Pod pojęciem kształtu sygnału elektrycznego, rozumie się najczęściej zmienność sygnału w czasie.

Sygnały modelowane są funkcjami czasu. Rozbieżność między sygnałem rzeczywistym a teoretycznym
nazywana jest zniekształceniem sygnału.
Zniekształcenia sygnału są to niepożądane zmiany cech sygnału spowodowane właściwościami układów
generacyjnych, transmisyjnych i odbiorczych. Mogą one spowodować przekłamanie informacji
przenoszonej przez sygnał a nawet jej utratę.
W metrologii zniekształcenia sygnału pomiarowego zwiększają błędy pomiaru.

Ocena zniekształceń sygnałów jest trudna przy badaniu sygnałów złożonych (tzn. o szerokim

widmie częstotliwości). Zadanie to znacznie upraszcza się jeśli rozpatrywane są sygnały harmoniczne
(sinusoidalne).

Oceny jakościowej kształtu sygnałów elektrycznych dokonuje się przy pomocy oscyloskopu. Do

dokładnego ilościowego określenia parametrów charakteryzujących kształt sygnału stosuje się specjalne
metody i przyrządy pomiarowe.
Zniekształcenia sygnału dzieli się na liniowe i nieliniowe.
A) Zniekształcenia liniowe – powstają w układach elektronicznych zawierających elementy reaktancyjne
(kondensatory i cewki indukcyjne).
Zniekształcenia liniowe powodują zmiany amplitudy sygnału sinusoidalnego (zniekształcenia amplitudowe)
i zmianę fazy (zniekształcenia fazowe) natomiast nie powodują zmian kształtu sygnałów sinusoidalnych.
B) Zniekształcenia nieliniowe – powstają w układach elektronicznych zawierających elementy nieliniowe.
Przyczyną zniekształceń nieliniowych jest nieliniowa charakterystyka przetwarzania układu
elektronicznego. Zniekształcenia nieliniowe powodują zmianę kształtu sygnału sinusoidalnego.

ad A) u

we

(t) = U

m0

sin(



0

t +



0

),

u

wy

(t) = U

m2

sin(



0

t +



2

)

U

m0



U

m2

,



0





2

ad B) u

we

(t) = U

m0

sin(



0

t +



0

),

 





n

0

0

n

mn

wy

t

nω

sin

U

t

u













POMIARY ZNIEKSZTAŁCEŃ NIELINIOWYCH

Do ilościowej oceny zniekształceń nieliniowych wprowadzanych przez układ elektroniczny służą

współczynniki zawartości poszczególnych harmonicznych „h

n

” oraz współczynnik zawartości

harmonicznych „h” (lub „h

1

”) zwany również współczynnikiem zniekształceń nieliniowych.

Definicje:

1

1

m

mn

n

n

U

U

U

U

h





,





100%

U

U

100%

U

U

h

...)

sk.(1,2,3,

2,3,4...

sk

1

n

2
n

2

n

2
n





















,





%

100

sk.1

U

2,3,4...

sk

U

100%

1

2

U

2

n

2

n

U

1

h















Gdzie:

u

wy

(t)

Układ

elektroniczny

u

we

(t)

2

U

1

, U

n

– wartości skuteczne n-tych harmonicznych,

U

sk.(2,3,4,...)

– wartość skuteczna wyższych harmonicznych,

U

sk.(1,2,3,4,...)

– wartość skuteczna badanego sygnału.

Zależność między h i h

1

:

2

1

1

h

1

h

h





,

2

1

h

1

h

h





: do ~20% h



h

1

.

Do pomiaru współczynnika zniekształceń nieliniowych stosuje się specjalne przyrządy pomiarowe

– mierniki zniekształceń nieliniowych (distortion meter).
Pomiar h i h

1

można również przeprowadzić mierząc poszczególne składowe harmoniczne i wykonując

odpowiednie obliczenia. Do pomiaru składowych harmonicznych sygnału stosuje się analizatory
harmonicznych (selektywne woltomierze elektroniczne) i analizatory widma.

Miernik zniekształceń nieliniowych (metoda eliminacji składowej podstawowej)

Schemat funkcjonalny przedstawia uproszczoną budowę miernika zniekształceń nieliniowych.

Przyrząd składa się z układów wejściowych, filtru środkowo – zaporowego (FŚZ) i woltomierza wartości
skutecznej (woltomierza elektronicznego reagującego na wartość skuteczną napięcia).
Zasada pracy miernika zniekształceń nieliniowych oparta jest na definicji „h”.



Pomiar polega na dwukrotnym pomiarze wartości skutecznej napięcia.

1) Przełącznik P w położeniu 1(kalibracja): regulatorem napięcia w układzie wejściowym ustawić

wskazanie woltomierza na U

Vmax

= 100%. Woltomierz mierzy wartość skuteczną całego

przebiegu.

100%

U

U

U

...

U

U

U

U

Vmax

sk

2
n

2
3

2
2

2

1

1}

















2) Przełącznik P w położeniu 2 (pomiar): regulatorem f

0

FŚZ ustawić wskazanie woltomierza na

minimum. Woltomierz mierzy wartość skuteczną wyższych harmonicznych.





2,3,...n

sk

min

2
n

2
3

2
2

2)

U

U

...

U

U

U













U

100%

U

U

U

h

2

sk

n)

sk(2,3,...





U

2

= h



100%

Parametry metrologiczne miernika zniekształceń nieliniowych:

-

zakres pomiaru „h”,

-

dokładność pomiaru „h”,

-

pasmo częstotliwości podstawowej f

0

(zakres przestrajania FŚZ),

-

pasmo częstotliwości woltomierza elektronicznego (części szerokopasmowej przyrządu) f

max



5f

0max

,

-

parametry układu wejściowego (poziom napięcia, Z

wej

).



Inną metodą pomiaru zniekształceń nieliniowych jest metoda kompensacji składowej podstawowej, oparta

na definicji „h

1

”.

u

we

(t)

P

2

1

Regulacja
czułości

f

0

U

Układy

wejściowe

Filtr

środkowo-

-zaporowy

Woltomierz

wartości

skutecznej

P1 – kalibracja
P2 – pomiar

3

nf

1

f

1

2f

1

3f

1

4f

1

5f

1

u

we

f

Widmo sygnału badanego

u

FŚP

f

1

2f

1

3f

1

4f

1

5f

1

nf

1

f

Widmo sygnału badanego

po odfiltrowaniu (eliminacji)

składowej podstawowej

f

0

f

0

= f

1



f

Transmitancja

FŚZ

4

ELEMENTY ANALIZY WIDMOWEJ

1) Analiza sygnałów okresowych.

Sygnały okresowe spełniające warunki Dirichleta można aproksymować za pomocą szeregu

Fouriera. Rzeczywiste sygnały napięciowe spełniają te warunki (brak skoków napięcia).
Najczęściej stosuje się rozkład funkcji okresowej na trygonometryczny lub wykładniczy szereg Fouriera.

 

















1

0

sin

cos

n

n

n

t

n

b

t

n

a

a

t

u





 

dt

t

u

T

a

T







0

0

1

,

 







T

n

dt

t

n

t

u

T

a

0

cos

2



,

 







T

n

dt

t

n

t

u

T

b

0

sin

2



Postać szeregu sinusoidalnego

 

















1

0

sin

n

n

n

t

n

A

A

t

u





,

gdzie: A

0

= a

0

,

2

2

n

n

n

b

a

A





,

n

n

n

b

a

tg





A

n

– amplitudy poszczególnych harmonicznych,



n

– fazy początkowe poszczególnych harmonicznych.

Postać zespolonego szeregu Fouriera

 











t

jn

n

e

c

t

u



,

2

n

n

n

jb

a

c





,

2

n

n

n

jb

a

c







Zbiór wszystkich amplitud A

n

przedstawiony na wykresie w funkcji



(lub f) nazywa się widmem

amplitudowym.
Zbiór wszystkich faz początkowych



n

nazywa się widmem fazowym.

Analiza widmowa – rozkład sygnału okresowego na składowe harmoniczne.
Widmo sygnału okresowego jest różne od zera tylko dla częstotliwości (pulsacji) równych
częstotliwościom poszczególnych harmonicznych f

n

= nf

1

(f

1

– składowa podstawowa).

Widmo sygnału okresowego jest widmem prążkowym.

2) Analiza sygnałów nieokresowych.

Aproksymację sygnałów nieokresowych przeprowadza się przy pomocy całki Fouriera.

 

 



















d

e

F

t

u

t

j

2

1



odwrotna transformata Fouriera,

 

 













dt

e

t

u

F

t

j







prosta transformata Fouriera (gęstość widmowa sygnału).

Odwrotna transformata Fouriera umożliwia wyznaczenie chwilowej wartości u(t) przy znanej funkcji
widmowej F(



).

Prosta transformata Fouriera przetwarza (transformuje) funkcję czasu u(t) na funkcję częstotliwości F(



).

Widmo sygnału nieokresowego składa się z nieskończenie dużej liczby nieskończenie małych

składowych oddalonych od siebie na osi częstotliwości o nieskończenie mały przedział.
Widmo sygnału nieokresowego jest widmem ciągłym.

5

3) Cyfrowa analiza sygnałów.

Cyfrowe metody analizy widmowej oparte są na dyskretnym przekształceniu Fouriera (DFT –

Discrete Fourier Transform).
Sygnały badane muszą mieć postać dyskretną. W tym celu sygnał analogowy poddany jest próbkowaniu
(dyskretyzacji w czasie) z okresem próbkowania T

s

(próbkowanie równomierne). Sygnał ciągły f(t) (lub

u(t)) zostaje przetworzony na ciąg próbek (liczb) rozmieszczonych równomiernie w czasie: f(t)



f(kT

s

).

Para dyskretnych transformat Fouriera wiąże zbiór próbek danej funkcji czasu ze zbiorem próbek jego
widma.































1

0

2

N

k

N

nk

j

s

s

e

T

k

f

N

nf

F



, gdzie n = 0,1,2,...,(N-1)























 





1

0

2

1

N

n

N

nk

j

s

s

e

N

f

n

F

N

T

k

f



, gdzie k = 0,1,2,...,(N-1)

Właściwości dyskretnej transformaty Fouriera – DFT

1) Forma podobna do transformaty Fouriera dla sygnałów analogowych. Wyrazy potęgowe nie

zawierają w jawnej postaci wyrazów f

s

i T

s

. Parametry n i k odnoszą się odpowiednio do

częstotliwości (n) i czasu (k).

2) DFT transformuje N-punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie czasu:





       









s

s

s

s

s

T

N

f

T

f

T

f

T

f

f

T

k

f

1

,...,

3

,

2

,

,

0







w N-punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie częstotliwości:

 

































































N

f

N

F

N

f

F

N

f

F

N

f

F

F

N

nf

F

s

s

s

s

s

1

,...,

3

,

2

,

,

0

3) Ciąg f(kT

s

) jest fragmentem, próbką, dłuższego ciągu (teoretycznie nieskończonego). Może być

traktowany jako iloczyn dłuższego ciągu i funkcji okna wycinającego s

o

(t), trwającego T

o

= NT

s

sekund.

Skrajne punkty okna leżą pośrodku próbek.

4) Wycinanie jest konieczne do ograniczenia długości ciągu w czasie. Umożliwia to praktyczne

obliczenia transformaty. Odstęp pomiędzy kolejnymi wartościami częstotliwości w widmie jest
odwrotnie proporcjonalny do długości czasu próbkowania T

o

(długości okna):

o

s

s

T

1

NT

1

N

f





Im większa długość ciągu N, tym większa rozdzielczość częstotliwościowa w
transformowanym ciągu.

5) Próbkowanie funkcji czasu f(t) powoduje, że otrzymany ciąg f(kT

s

) ma widmo

okresowe o okresie 1/T

s

.

Zniekształcenia widma:

1) Aliasing – nakładanie się widm w pobliżu częstotliwości

s

2T

1

, występuje jeżeli T

s

nie spełnia

warunku Nyquista.

2) Przenikanie – powstają listki boczne w dziedzinie częstotliwości. Zniekształcenie to spowodowane

jest wycinaniem w czasie.

3) Powstawanie błędnych składowych widma – występuje przy badaniu sygnałów okresowych jeżeli

okno wycinające jest różne od okresu badanego sygnału.

Widmo sygnału dyskretnego w czasie jest widmem okresowym.

s

o

(t) =

1 -½T

s

< t < T

o

– ½ T

s

0

6

0

0

0

Sygnał ciągły, nieokresowy – widmo ciągłe

Sygnał ciągły, okresowy – widmo prążkowe

s

T

1

T

s

F(f)

F(f)

F(f)

f

f

f

t

t

t

u(kT

s

)

u(t)

u(t)

Sygnał dyskretny – widmo okresowe

T

1

T

7

Przyrządy służące do analizy widmowej sygnałów elektrycznych budowane są najczęściej w oparciu
o właściwości układów selektywnych.

Zadania poszczególnych bloków:

-

układy wejściowe: dopasowanie wejścia analizatora do układu badanego, zapewnienie
odpowiedniej czułości.

-

układ selektywny: dzieli widmo na poszczególne składowe (jeżeli



f



f

n+1

–f

n

) lub na wąskie

wycinki widma (gdy widmo badanego sygnału jest ciągłe lub



f



f

n+1

–f

n

) których szerokość zależy od pasma przenoszenia układu

selektywnego



f.

-

urządzenie odczytowe: pomiar sygnału na wyjściu układu selektywnego, umożliwia zmierzenie
amplitud poszczególnych składowych widma (lub wycinków widma). Jako urządzenia odczytowe
stosowane są woltomierze elektroniczne i oscyloskopy.

Klasyfikacja analizatorów:
1) Według sposobu analizy:

- analizatory działające w oparciu o metodę analizy kolejnej,
- analizatory działające w oparciu o metodę analizy jednoczesnej.

2) Według rodzaju układu selektywnego:

- analizatory z przestrajanym filtrem,
- analizatory z przemianą częstotliwości.

3) Według sposobu wyznaczania widma:

-

analizatory harmonicznych (selektywne woltomierze elektroniczne) – przyrządy sterowane ręcznie
(układ selektywny przestrajany ręcznie),

-

analizatory widma – przyrządy automatyczne (układ selektywny przestrajany automatycznie).

Analizator harmonicznych z regulowanym filtrem

WE

Układy

wejściowe

Układ

selektywny



f

Urządzenie

odczytowe

Regulacja U

WE

WE

Regulacja
czułości

f

0

Układy

wejściowe

Filtr

selektywny



f

Woltomierz

elektroniczny

8

Pomiar: przestrajając częstotliwość filtru f

0

, znaleźć maksymalne wskazania woltomierza elektronicznego,

są to wartości kolejnych harmonicznych. Wartości częstotliwości harmonicznych odczytuje się z regulatora
filtru.
Dokładność pomiaru napięcia zależy od dokładności woltomierza, pasma przenoszenia filtru (zmienia się
wraz z częstotliwością) oraz od dokładności dostrojenia filtru na częstotliwość f

0

= nf

1

(dokładność

ustawienia maksymalnego wskazania woltomierza).
Dokładność pomiaru częstotliwości poszczególnych składowych widma zależy od dokładności skalowania
regulatora filtru i dokładności dostrojenia filtru na częstotliwość f

0

= nf

1

.

Analizator harmonicznych z przemianą częstotliwości

 















1

1

sin

n

n

mn

we

t

n

U

t

u





,

 

t

U

t

u

H

mH

H



sin



 



























1

1

1

.

.

sin

sin

n

H

H

mH

mn

cz

p

t

n

t

n

U

U

t

u











gdzie:



- współczynnik przemiany częstotliwości.

Regulacja U

WE

f

H

Regulacja

czułości

WE

Układy

wejściowe

Mieszacz

Filtr

selektywny

Heterodyna

Woltomierz

elektroniczny

f

0

= 3f

1

U

VE

f

Pomiar składowych harmonicznych

f

f

0

= f

1

nf

1

3f

1

2f

1

f

1

f

f



U

mn

9

Pomiar wykonywany jest w ten sam sposób jak przypadku poprzednim.
Dokładność pomiaru napięcia zależy od dokładności woltomierza, pasma przenoszenia filtru (



f = const. w

całym zakresie częstotliwości), stałości napięcia heterodyny, stałości współczynnika przemiany oraz od
dokładności ustawienia maksymalnego wskazania woltomierza.
Dokładność pomiaru częstotliwości poszczególnych składowych widma zależy od dokładności skalowania
regulatora częstotliwości heterodyny (heterodyna wyskalowana jest w częstotliwości sygnału wejściowego),
dokładności ustawienia maksymalnego wskazania woltomierza.

Analizator widma z przemianą częstotliwości

Generator

podstawy

czasu

Dzielnik

napięcia 1

Dzielnik

napięcia 2

Modulator

f

Heterodyna

Układy

wejściowe

Mieszacz

Filtr

p.cz.

Detektor

Wzmacniacz

wizyjny

Napięcie proporcjonalne do n-tej

harmonicznej

f

H

– nf

1

U

VE



U

M

U

WE

, U

H

f

0

= const. = f

Hmin.

f

H

+ nf

1

f

H

– nf

1

f

H

+ f

1

f

H

– f

1

f

H

f

1

2f

1

... nf

1

f

f

f

f

Zakres przestrajania

heterodyny

Charakterystyka filtru

selektywnego

10

Na rysunkach przedstawiono uproszczoną budowę analizatora i wykresy w funkcji częstotliwości w
wybranych punktach układu.
Działanie

Sygnał badany , przez układy wejściowe, podawany jest na jedno z wejść mieszacza podwójnie

zrównoważonego. Na drugie wejście podawane jest napięcie z heterodyny, której częstotliwość f

H

jest

przestrajana w sposób automatyczny napięciem generatora podstawy czasu. Na wyjściu mieszacza
otrzymywane jest napięcie zawierające składowe o częstotliwościach sumacyjnych i różnicowych. Napięcie
to przechodzi przez filtr pośredniej częstotliwości o f

0

= const. i wąskim paśmie przenoszenia



f

p.cz.

. Na

wyjściu filtru pośredniej częstotliwości otrzymywane jest napięcie jeżeli odpowiedni prążek znajdzie się w
paśmie przenoszenia filtru p.cz. Wartość napięcia jest wprost proporcjonalna do amplitudy odpowiedniej
składowej częstotliwościowej badanego widma. Po detekcji w detektorze (liniowym, logarytmicznym lub
kwadratowym) i wzmocnieniu we wzmacniaczu wizyjnym, napięcie podawane jest na płytki odchylania
pionowego lampy oscyloskopowej. Na ekranie otrzymywane jest widmo badanego sygnału.

Podstawowe parametry analizatora widma.
1) Zakres częstotliwości.

f

0

= k



f

Napięcie na wejściu Y

lampy oscyloskopowej

U

det.

U

M

t

U

p.cz

.

t



U

WE

, U

H

f

0

= const.

f

H

+ nf

1

f

H

- nf

1

f

H

+ f

1

f

H

- f

1

f

H

f

1

2f

1

nf

1

f

f

f

Zakres automatycznego

przestrajania heterodyny

Transmitancja filtru p.cz.

Obraz na ekranie

oscyloskopu

Ekran

11

Zakres częstotliwości określony jest przez zakres przestrajania heterodyny.
2) Zdolność rozdzielcza.
Zdolność rozdzielcza określa minimalną różnicę częstotliwości między dwiema składowymi widma, przy
której te składowe mogą być wydzielone. Miarą zdolności rozdzielczej jest pasmo przenoszenia filtru
pośredniej częstotliwości.
3) Prędkość przeprowadzenia analizy i czas trwania analizy.
Parametry te zależą od pasma przenoszenia filtru pośredniej częstotliwości.
4) Częstotliwość pośrednia.
f

p.cz.

musi być tak dobrana aby efektywna szerokość badanego widma



f

ef.



2 f

p.cz.

5) Czułość.
W zakresie radiowym od mV do



V.

Cyfrowy analizator widma

Cyfrowe analizatory widma działają w oparciu o szybką transformatę Fouriera (FFT – Fast Fourier

Transform). FFT jest algorytmem obliczania DFT. Algorytm FFT jest wydajnym sposobem obliczania
dyskretnej transformaty Fouriera (umożliwia skrócenie czasu obliczeń np. z godziny do kilku sekund).
Na rysunku przedstawiono uproszczony schemat blokowy cyfrowego analizatora widma.

Układy wejściowe zapewniają odpowiednią czułość i impedancję wejściową analizatora.

Zbudowane są z dzielników napięcia i wzmacniaczy pomiarowych. W bloku tym znajduje się również filtr
antyaliasingowy ograniczający częstotliwość maksymalną badanego sygnału zgodnie z teorią o
próbkowaniu. Przetwornik A/C próbkuje sygnał badany i przetwarza go na postać cyfrową. Sygnał cyfrowy
(ciąg próbek) zostaje zapamiętany w pamięci cyfrowej. System mikroprocesorowy przeprowadza obliczenia
według algorytmu FFT i wynik transformacji przekazuje na system zobrazowania.

Proste analizatory cyfrowe (np. w oscyloskopach cyfrowych) pracują w trybie „off – line” (z

czasem własnym). Pracą analizatora steruje jeden



P. Jest to rozwiązanie oparte na odpowiednim

oprogramowaniu. Czas przeprowadzania analizy FFT wynosi 1



10s.

Najszybsze cyfrowe analizatory widma pracują w oparciu o rozwiązania sprzętowe. Pracują one w trybie
„on – line” (w czasie rzeczywistym). W tym przypadku czas przeprowadzania analizy FFT zmniejsza się do
pojedynczych



s.

Przykładowe pytania kontrolne.

1. Podać definicje "h" ; "h

1

" ; "h

n

".

2. Metody pomiaru współczynnika zniekształceń nieliniowych.
3. Miernik współczynnika zniekształceń nieliniowych.
4. Rozkład sygnału okresowego na szereg Fouriera.
5. Przekształcenie Fouriera.
6. Dyskretne przekształcenie Fouriera ( oraz FFT ).
7. Analizator harmonicznych z regulowanym filtrem.
8. Analizator harmonicznych z przełączanymi filtrami.
9. Analizator harmonicznych z przemianą częstotliwości.
10. Analizator widma z przemianą częstotliwości.
11. Cyfrowy analizator widma.

Wykaz literatury do ćwiczenia

1. A.Chwaleba, M. Poniński, A. Siedlecki "Metrologia elektryczna" W.N.T.1994r. Wyd. IV
2. A. Jellonek, Z. Karkowski "Miernictwo radiotechniczne" W.N.T. 1972r. Wyd. IV
3. G.J. Mirski " Miernictwo elektroniczne" WkiŁ 1973r.
4. M. Stabrowski "Miernictwo elektryczne : cyfrowa technika pomiarowa " Ofic. Wyd. Politechniki

Warszawskiej 1994r.

5. J. Rydzewski. „Pomiary oscyloskopowe” WNT, Warszawa 1994
6. A. Filipkowski „Układy elektroniczne analogowe i cyfrowe”

WE

Układy

wejściowe

A/C

Pamięć

RAM



P

FFT

Monitor