2000 06 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21573

background image

Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2000 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka

Zadanie 1

i

X - czas oczekiwania na różny wynik od i wyników

(

)

5

4

3

2

1

1

X

X

X

X

X

E

ODP

+

+

+

+

+

=

=



+

+

+

=

=

1

2

1

...

6

3

6

2

1

6

6

6

6

6

k

k

i

i

i

i

i

i

k

EX

...

6

3

6

2

1

2

+

+

+

=

i

i

A

...

6

2

6

6

2

+

+

=

i

i

i

A

2

2

6

6

6

6

6

1

1

...

6

6

1

6

1

=

=

=

+

+

+

=

i

A

i

i

i

i

i

A

i

i

i

EX

i

=

=

6

6

6

6

6

6

2

7

,

14

6

2

6

3

6

4

6

5

6

1

=

+

+

+

+

+

=

ODP


Zadanie 2

(2b,3c) (3b,2c),..

(

) (

)

)

2

(

)

5

(

5

2

2

5

b

P

b

P

b

b

P

b

b

P

×

×

×

×

=

×

×

k – ilość białych

(

)

=

=









+





















+





















+





















=

×

=

×

5

0

5

10

5

6

5

10

2

5

1

4

4

6

2

4

5

10

2

5

2

4

3

6

2

3

2

5

5

10

2

2

3

4

2

6

)

(

2

)

2

(

k

k

P

k

b

P

b

P

3

1

21

7

63

21

252

84

2520

840

252

6

10

252

4

15

6

10

252

6

20

3

10

252

4

15

=

=

=

=

=

+

+

+

=

14

1

28

2

84

6

252

18

3

252

6

=

=

=

=

=

ODP


Zadanie 3

x

F

F

1

1

=

(równanie różniczkowe)


background image

=

+

=

C

F

x

C

x

F

dF

)

1

(

ln

1

1

C

e

F

x

=

)

1

(

x

e

F

C

=

1

0

,

1

1

>

=

=

C

x

C

x

e

F

C

ale z prawostronnej ciągłości dystrybuanty
F(1)=0 1-C/1=0 z tego C=1

2

1

)

2

(

1

1

)

(

=

>

=

X

P

x

x

F


Zadanie 4

0

,

2

1

,

1

var

,

12

1

var

=

=

=

=

EY

EX

Y

X

czyli

(

) (

)

(

)

1

1

3

)

(

3

2

=

=

=

=

Y

X

E

Y

X

E

XY

E

ρ

(

)

(

)

1

2

1

1

2

1

)

(

=

=

=

Y

X

E

Y

X

E

XY

E

(

)

(

)

(

) (

)

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

=

=

+

=

=

=

+

=

Y

X

E

Y

X

E

Y

X

E

Y

X

E

(

)

(

)

=

=

+

=

=

t

Y

t

X

P

Y

t

X

P

t

X

P

2

1

1

2

1

1

)

(

muszą być ciągłe lub jedno równe 0

z tego max gdy

(

)

(

)

0

1

,

2

1

1

=

=

=

=

Y

X

E

Y

X

E

min gdy odwrotnie

Prawidłowa odpowiedź:

2

3

;

2

3


Zadanie 5

(

)

∫ ∫

+

=

+

=

+

=

=

1

0

1

0

1

0

2

2

3

2

x

x

x

x

x

y

x

x

e

xe

e

dydx

ye

Ey

(

)

∫ ∫

=

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

1

0

1

0

1

0

2

3

2

2

2

3

10

2

1

3

1

2

3

2

2

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

e

xe

e

x

e

dydx

e

e

y

Ey

background image

12

13

12

27

40

4

9

3

10

var

=

=

=

Y


Zadanie 6

(

)

(

)

(

)

(

)

S

N

E

S

N

E

N

a

a

a

var

var

var

+

=

(

)

(

)

S

N

E

p

n

a

var

ˆ

var

3

2

=

(

)

(

)

(

)

1

n

bo

ˆ

var

)

1

(

)

1

(

0

)

1

(

1

var

var

1

ˆ

var

2

3

2

2

3

>

=

<

=

=

p

n

p

p

n

p

p

n

p

p

n

S

N

E

N

n

p

a

a

(

)

n

p

p

N

pn

EN

p

p

k

n

k

N

P

a

a

k

n

k

a

)

1

(

var

,

)

1

(

=

=





=

=

z tego:

2

2

2

ˆ

)

1

(

ˆ

var

,

ˆ

p

n

p

p

p

p

p

E

=

=

nieobciążony

i

X

λ

n

Y

),

,

1

(

Γ

ma rozkład wykładniczy

>

=

wpp

0

a

X

1

zmienna

X

i

( ) (

) (

)

=

=

+

>

=

>

=

S

Y

X

a

X

P

S

a

X

P

S

X

E

i

i

i

i

(

)

(

)

1

1

1

)

(

2

1

)

(

)!

1

(

)

(

)!

2

(

,

=

=

=

+

>

=

+

=

n

n

s

λ

n

n

s

a

x

s

λ

n

n

x

λ

i

i

i

s

a

s

e

s

n

λ

e

x

s

n

λ

e

λ

S

Y

X

P

a

X

S

Y

X

P

( )

>

=

a

S

a

S

S

a

S

S

X

E

n

i

0

1

(

)

>

=

wpp

0

1

a

S

S

a

S

n

S

N

E

n

a

Z tego:

3

1

ˆ

.....

p

czyli

a

S

S

a

S

n

E

pn

EN

n

a



>

=

=

nieobciążony

Prawidłowa odpowiedź (E)

Zadanie 7

)

1

(

)

1

(

2

2

n

χ

σ

n

S

)

1

(

1

1

1

=

n

χ

X

X

n

R

1

1

2

)

1

(

1

2

2

2

+

=

X

n

X

n

R

(

)

(

)

=

+

+

=

+

+

=

1

1

2

2

2

)

1

(

1

1

)

1

(

1

2

)

1

(

2

2

)

1

(

1

2

2

2

2

2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

ER

201

1

200

100

1

1

2

1

1

1

1

1

1

?

=

=

=

=

+

+

=

+

=

n

n

n

n

n

n

n

n

background image

Zadanie 8

1,96 JACEK





+

10

96

,

1

;

10

96

,

1

σ

X

σ

X

2,262 PLACEK

+

3

262

,

2

;

3

262

,

2

10

10

S

X

S

X

(

)

10

2

2

10

=

X

X

S

i

x

P

J

J

xP

=

1

,

0

=

x

dlP

dlJ

P

)

9

(

10

1

,

0

3

262

,

2

2

10

96

,

1

2

2

2

10

10

χ

σ

S

x

S

σ

P

=

1

,

0

524

,

4

3

10

92

,

3

10

=





x

S

σ

P

)

9

(

1

,

0

92

,

3

3

524

,

4

1

χ

Y

x

Y

P

=

25

,

1

168

,

4

524

,

4

92

,

3

3

524

,

4

92

,

3

3

168

,

4

1

,

0

524

,

4

3

92

,

3

2

2

=

=

=

x

x

x

Y

P


Zadanie 9

(

) (

)

(

)

θ

θ

d

θ

θ

χ

θ

X

X

f

θ

f

θ

X

X

f

X

X

θ

n

M

n

n

n

n

=

=

Π

M

dla

1

)

;

0

(

1

,....,

)

(

,...,

,...,

1

0

1

1

1

1

1

=

n

MIAN

czyli

(

)

[ ]

-n

1

do

alna

proporcjon

czyli

M,1

dla

)

1

(

,...,

θ

n

θ

X

X

θ

n

n

=

Π









background image

Zadanie 10

[

]

[

]

4

3

2

1

2

2

4

3

2

1

,

,

,

0

0

0

1

1

0

0

0

1

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

,

,

,

Π

Π

Π

Π

=

Π

Π

Π

Π

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

Π

=

Π

+

Π

+

Π

Π

=

Π

+

Π

Π

=

Π

+

Π

Π

=

Π

+

Π

4

3

2

2

1

3

3

1

2

2

1

1

4

2

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

q

q

q

q

q

q

q

q

q

q

(

)

3

1

3

1

2

1

2

2

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

1

(

Π

=

Π

Π

=

Π

Π

=

Π

+

Π

=

Π

q

q

q

q

q

q

q

q

[

]

(

)

(

)

4

2

1

4

2

1

4

2

1

2

2

1

1

1

)

1

(

Π

=

Π

Π

=

+

Π

Π

=

Π

q

q

q

q

q

(

)

1

2

)

1

(

)

1

(

2

1

1

1

1

=

Π

+

Π

+

Π

+

Π

q

q

q

q

(

)

1

2

1

1

1

2

1

=

+

+

+

Π

q

q

q

q

(

)

1

3

2

1

=

Π

q

jest stacjonarny

2

2

4

2

3

2

2

2

1

3

2

,

3

1

,

3

1

,

3

1

q

q

q

q

q

q

q

q

=

Π

=

Π

=

Π

=

Π

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

3

1

)

1

(

3

1

2

3

2

3

1

3

1

p

p

p

p

p

p

p

p

q

q

q

q

q

ODP

+

+

=

+

+

=

+

=

=

+

=

Π

+

Π

=


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2008.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
1997.06.21 prawdopodobie stwo i statystyka
2003.05.17 prawdopodobie stwo i statystyka
2008 03 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 26449
2003 05 17 prawdopodobie stwo i statystykaid 21698
2008 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 26454
1999.06.19 prawdopodobie stwo i statystyka
2011.06.20 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.06.02 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.04.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2001 06 02 prawdopodobie stwo i statystykaid 21607
2006 06 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 25461
2000.10.14 prawdopodobie stwo i statystyka
2002.06.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2000.01.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.06.07 prawdopodobie stwo i statystyka

więcej podobnych podstron