III . O D W Z O R O W A N I A
3.1 Określenia . Przykłady Odwzorowań
Podstawowe wiadomości teoretyczne
Niech X i Y będą dowolnymi niepustymi zbiorami, traktowanymi jako przestrzenie .
Odwzorowaniem f zbioru X w zbiór Y nazywamy każdą relację XY co zapisujemy :
f : X → Y.
Jeżeli każdemu elementowi xXprzyporządkowany jest dokładnie jeden element yY to mówimy, że zostało określone odwzorowanie zbioru X na zbiór Y. Takie odwzorowanie nazywamy funkcją , przekształceniem , operacją , transformacją , operatorem. Tradycyjnie dla oznaczeń funkcji będziemy używać liter : f, g, h . Tak więc relację spełniającą warunki :
∀ xX , ∀ yY , ∀ zZ ( <x,y>R ∧ <x,z>R ⇒ y = z )
nazywamy funkcją .
Zamiast pisać <x,y> f piszemy f(x)=y. Zbiór wszystkich odwzorowań f : X → Y będziemy oznaczać symbolem .
Dziedziną ( zbiorem argumentów )odwzorowania f nazywamy zbiór Df określony następująco :
x Df ⇔ ∃ y (<x,y> f ) czyli x Df ⇔ ∃ y (f(x) = y )
Przeciwdziedziną ( zbiorem wartości , obrazem ) odwzorowania f nazywamy zbiór : Im f określony następująco :
y Imf ⇔ ∃ x (<x,y> f ) czyli y Imf ⇔ ∃ x (f(x) = y ) .
Wykresem odwzorowania nazywamy zbiór Gf :
Gf = X × Y : x ∈ X ∧ y ∈ f(x)
Mówimy , że odwzorowanie jest :
- injektywne ( równowartościowe ) , gdy
∀()∈ X
- surjektywne ( odwzorowaniem „na” )
∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : f(x) = y czyli Im f = Y
- bijektywne ( odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym ), gdy jest injektywne i surjektywne .
Niech f :X → Y i g :U → W będą dwoma odwzorowaniami. Odwzorowania f , g są równe, co zapisujemy f = g, gdy spełnione są warunki :
1) X = U
2) Y = W
3) ∀ x ∈ X f(x) = g(x) .
Niech f : X → Y będzie odwzorowaniem i niech A⊂ X , wtedy odwzorowanie
f : A → Y określone wzorem ∀ x ∈ A f(x) = f(x) nazywamy obcięciem ( zacieśnieniem, zawężeniem , zredukowaniem) odwzorowania f do zbioru A .
Jeżeli f jest obcięciem odwzorowania f, to f nazywamy przedłużeniem ( rozszerzeniem ) odwzorowania f na zbiór X .
Określenia niektórych typów odwzorowań w zależności od rodzajów zbiorów X i Y :
- odwzorowanie f : N → R nazywa się ciągiem nieskończonym o wyrazach rzeczywistych,
- odwzorowanie f : R → R nazywa się funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej,
- odwzorowanie f : → R nazywa się funkcją rzeczywistą n-zmiennych,
- odwzorowanie f : → nazywa się przestrzennym polem wektorowym,
- odwzorowanie W : X → {0,1} nazywa się funkcją zdaniową o zakresie zmienności X .
Niech f : X → Y będzie odwzorowaniem i niech A⊂ X i B⊂Y , wtedy
- obrazem zbioru A przez odwzorowanie f nazywamy zbiór
f(A) { y∈Y : ∃ x∈A ∧ f(x) = y }
przeciwobrazem zbioru B przez odwzorowanie f nazywamy zbiór
(B) = {x∈X : f(x)∈B }.
Niech f : X → Y będzie odwzorowaniem i niech ⊂ X i ⊂Y, wtedy
- przeciwobraz sumy dwu zbiorów równa się sumie ich przeciwobrazów
( ∪) = () ∪ ()
- przeciwobraz iloczynu dwu zbiorów równa się iloczynowi ich przeciwobrazów
( ∩) = () ∩()
- obraz sumy dwu zbiorów równa się sumie ich obrazów
f() = f() ∪ f ()
- obraz iloczynu dwu zbiorów zawiera się w iloczynie ich obrazów
f () ⊂ f() ∩ f ()
Niech będą dane odwzorowania f : X Y i g : Y Z , wtedy odwzorowanie g f : X → Z określone wzorem
( g f ) (x) = g ( f(x) ) , ∀ x∈ X
nazywamy superpozycją ( złożeniem ) odwzorowań f i g co można krótko zapisać gf .
Odwzorowanie I :X → X określone wzorem
I (x) = x ∀ x ∈ X
nazywamy odwzorowaniem identycznym ( tożsamościowym ) .
Superpozycja na ogół nie jest przemienna , natomiast jest łączna .
Zadania
3. 2. 1. Dane są odwzorowania :
a) f : Z ∋x → f(x) = x + 1 ∈ Z
b) f : Z ∋x → f(x) = 2x ∈ Z
c) f : Z ∋x → f(x) = ∈ Z .
Wyznaczyć obraz , wykres i sprawdzić które z tych odwzorowań jest: injekcją, surjekcją, bijekcją ?
3. 2. 2. Dane jest odwzorowanie :
f : R ∋x → f(x) = ∈ R .
Znaleźć :
a) f ( [ 0,1 ] ) b) f ( [ 1,2 ] ) c) f ( {1,2 } )
d) e) .
3. 2. 3. Dane są dwa zbiory : X = { 1, 2 } i Y = { 1 , 2, 3 } oraz odwzorowanie f : X → Y określone następująco : f (1) = 2, f(2) = 1. Znaleźć : f ( {1 } ), f ( {2 } ), , .
3. 2. 4. Dane jest odwzorowanie f : R ∋ x → f(x) = ∈ R i zbiory : = [-2 ; -1], = [1 ; 2] ⊂ R = X, = [-1 ; 0], = [0 ; 1] ⊂ R = Y. Znaleźć :
a) f (∪) b) f () ∪ f ()
c) f (∩) d) f ()∩f()
e) f)∪
g) h) ∪.
3. 2. 5. Dane są odwzorowania f : R ∋ x → f(x) = sin(x) ∈ R , g : R ∋ x → g(x) = ∈ R. Znaleźć superpozycję :
a) f g b) g f .
3. 2. 6. Dane są odwzorowania
f : R ∋ x → f(x) = ∈
g : ∋ x → f(x) = ∈
a) Które z tych odwzorowań jest : injekcją, które surjekcją, a które bijekcją
b) Wyznaczyć superpozycję f g oraz g f .
c) Wyznaczyć odwzorowanie odwrotne oraz .
d) Wyznaczyć odwzorowanie (f g oraz (g f .