Historia Matematyki

Matematyka starożytnego Egiptu i Mezopotamii.

Cywilizacje Egiptu i Babilonu rozkwitły mniej więcej w tym samym czasie. Egiptu-wzdłuż Nilu, Babilonu-dorzecze Eufratu i Tygrysu.

Egipt- od północy-Morze Śródziemne, od wschodu-Morze Czerwone, od zachodu-Sahara,

południe-Nubia (Etiopia). Nazwa państwa prawdopodobnie pochodzi od słowa Aigyptos (sł. Greckie).Była to oryginalna nazwa jednego z większych miast ówczesnego Egiptu. Historię Egiptu dzieli się na okresy. Wszystkie informacje o Egipcie pochodząca od kapłana Menelhona, który w 300 r. p.n.e. napisał książkę- historię Egiptu. Podzielił on historię starożytnego Egiptu ze względu na panujące dynastie.

I okres- państwo wczesne I i II dynastia.

- 3100 r. Istniały dwa państwa egipskie: Egipt górny (czarny) i dolny (biały). Pierwszy faraon (wg. Menelhona) to Menes, który zjednoczył Egipt. Pierwszą stolicą Egiptu był Tis.

W okresie tym:

• powstało pismo hieroglificzne (obrazkowe)→ (heros-święty, glifo-wycinać)

• opracowano kalendarz- czas określono na data i nazywano je najważniejszymi wydarzeniami lub imionami

Prawdopodobnie już w tym czasie, przy pomocy hieroglifów zaczęto pisać liczby.

Symbol-wyobrażenie, które ma oznaczać.

1→ symbol pręta mierniczego,

łuk→ pęta do wiązania krów, 1000- laska faraona→ kwiat lotosu,

100. sznur mierniczy, 10000- palec wskazujący, 10⁵- żaba, 10⁶-człowiek w ekstazie,

10⁷-słońce, itd.

Obowiązywał zapis addytywny tzn. Hieroglify oznaczające 1, 10, 100 itd. Pisano tyle razy ile dana liczba zawierała jednostek, dziesiątek itd. Egipcjanie pisali od prawej do lewej albo od góry do dołu.

Algorytmy dodawania i mnożenia wymyślili arabowie.

II okres-państwa starego- III-VIII dynastie (2700-2100 r. p.n.e.).

Jest to okres zjednoczonego Egiptu ze stolicą w Memfisie(obok dzisiejszego Kairu). Okres powstania piramid: 2650 p.n.e. - Dżosera i 2550 p.n.e. Cheopsa (150 m. wysokości, 230 m. bok kwadratu w podstawie, ponad 2 mln. bloków skalnych).

Powstało nowe pismo. Hieroglify zostały uproszczone. Powstało nowe pismo hieratyczne. Zachowały się rysunki świadczące o tym iż umiano rysować w skale. Powstał dokładny kalendarz oparty na obserwacjach astronomicznych Syriusza. Rok dzielono na 3 pory, pory na 4 miesiące, miesiąc na 30 dni. Na koniec roku dodawano 5 dni gratis.

Pojawiły się pierwsze wzory na liczenie pól (np. według wzoru: długość×wysokość). Poczynając od czasów starego państwa istniało coś na kształt uczelni tzw. dom życia.

Pod koniec trzeciego tysiąclecia (2100 p.n.e.) nastąpił rozpad, a później ponownie zjednoczenie państwa Egipskiego (2000 p.n.e.) ze stolicą w Tebach. Jest to tzw. okres państwa średniego- IX-XVII dynastia (koniec ok.1600 p.n.e.). Jest to jedyna wiedza udokumentowana jaką znamy. Rozwija się pismo hieratyczne→ dalsze uproszczenia. Wiadomo, że w tym okresie funkcjonowały podręczniki (zachowały się tylko ich spisy). Około 1800 r. p.n.e. Egipt został podbity przez Hyksosów(tzw. władców płasko-wzgórz). Z okresu ich panowania zachowały się dwa papirusy z tekstami matematycznymi:

1. Rhinder'a

1. moskiewski

Około połowy XVI w. p.n.e. Hyksosi zostali wypędzeni. Rozpoczął się okres państwa nowego.

PAPIRUS RHINDER'A- nazwa pochodzi od nazwiska angielskiego oficera, który go kupił (1858) w XIX w. Wymiary: 5,25 m. - długości, 33 cm - szerokości, zawiera 84 zadania z matematyki. Autor oryginału jest nieznany. Istniejący papirus jest kopią zrobioną w połowie XIX w. p.n.e. przez urzędnika egipskiego Ahmesa. Ma on swą nazwę:

„Reguły badania wszystkich rzeczy i poznania wszystkiego co istnieje każdej tajemnicy”.

PAPIRUS MOSKIEWSKI- 5,44 m. długości, 8 cm szerokości, zawiera 25 zadań. Zakupiony w połowie XIX w. przez rosyjskiego orientalistę Goleńszczewa. Nazwa pochodzi od miejsca, w którym się znajduje (Muzeum Sztuk Pięknych im. Puszkina w Moskwie). Jest to również kopia wykonana w 1700 r. p.n.e. Oryginał był prawdopodobnie 200 lat starszy. Autor i kopista są nieznani. Merytoryczna zawartość obu papirusów jest taka sama. Zadania miały związek z życiem praktyczne zastosowanie matematyki, bez dochodzenia dlaczego ta matematyka jest taka.

Posługiwano się również ułamkami, ale w zasadzie wyłącznie w postaci.
(wyjątek stanowi
) →który również był w użyciu. Pozostałe ułamki starano się zapisywać w postaci
.

Egipcjanie potrafili rozwiązywać równania liniowe i kwadratowe niezupełne. W papirusach występują także zadania na ciąg arytmetyczny i geometryczny. Np.:

1. Podziel 10 miar zboża między 10 ludzi tak by różnica między każdym człowiekiem, a następnym wynosiła 1/8 miar.

1. Podziel 100 bochenków między 5 osób tak by ich przydziały tworzyły ciąg arytmetyczny i żeby 1/7 ilości bochenków otrzymanych przez pierwszych trzech równa była ilości bochenków otrzymanych przez pozostałych dwóch.

W ramach geometrii.

• potrafiono liczyć pola trójkątów, prostokątów i trapezów. Były to wzory dokładne np. pole trapezu liczono jako pole prostokąta- jeden bok traktowano jako średnią arytmetyczną.

• pole dowolnego wielokąta wypukłego liczono używając wzorów przybliżonych:
  -iloczyn średnich arytmetycznych przeciwległych boków.

• prawdopodobnie Egipcjanie nie znali twierdzeń Pitagorasa, ale prawdopodobnie znali twierdzenie odwrotne ( przynajmniej w jakimś zakresie). Znali trójkąt o bokach 3, 4 i 5. Wiadomo to z istnienia przyrządu mierniczego tzw. sznura egipskiego. Był to sznur do wyznaczania kąta prostego.

Na linie robimy 11 supełków w równych odległościach. Następnie łączymy początek i koniec, przy trzecim i siódmym supełku naciągamy linę i otrzymujemy kąt prosty. Pole koła liczono według wzoru:
, d-średnica koła, daje to przybliżenie liczby π=3,1605. Egipcjanie próbowali zastąpić pole koła polem kwadratu.

Nie mogli wiedzieć, że liczba π jest (w dzisiejszym rozumieniu) liczbą przestępną tzn. nie jest pierwiastkiem żadnej liczby i nie daje się opisać żadną krzywą algebraiczną (nie poddaje się żadnym obróbkom). Była to geometria płaska choć potrafiono liczyć objętości niektórych brył: graniastosłupy, ostrosłupy, walec i stożek ( z dokładnością do wzoru).

III okres -państw¤ nowe XVIII, XIX, XX dynastia (XVI-XII w. p.n.e.)

Stolica w Tebac¤. Niestety z matematyki nic nie się nie zachowało. I innych dziedzin:

- wymyślono zegar wodny

- w Palestynie odkopano zegarek „kieszonkowy” wraz z instrukcją obsługi

Następny okres to tzw. kontynuacja nowego państwa-(XII-VI w. p.n.e.)

• w okolicach 700 r. p.n.e. powstało nowe pismo tzw. pismo demotyczne,

• w 670 r. Egipt został podbity przez Asyryjczyków

• w 655 odzyskał niepodległość - było to ostatnie samodzielne państwo egipskie ze stolicą w Tais (w delcie Nilu)

• w 525 zostało podbite przez Persów

• w 332 r. p.n.e. ponownie podbite. Tym razem przez Aleksandra Macedońskiego. Jest to ważny okres z punktu widzenia matematyki. W tym okresie Egipt nazywano hellenistycznym. Powstała też nowa dynastia faraonów- dynastia Ptolemeuszy.(tron dziedziczył najstarszy syn najstarszej siostry faraona).

Ptolemeusz I założył miasto pod nazwą Aleksandra. Powstał w niej największy ośrodek naukowy z ogromną biblioteką, która spłonęła podczas przypadkowego pożaru. Rok 30 p.n.e. to koniec Egiptu.

Babilon- dorzecze Eufratu i Tygrysu. 4000 lat p.n.e. zamieszkiwali je Sumerowie. Stworzyli oni pismo klinowe (na mokrej wyciskano znaczki drewnianym patyczkiem, a następnie wypalano taką tabliczkę). Było to pismo tak popularne, że prawie wszystkie okoliczn ludy je przejęły. Stworzyli sześćdziesiąty system liczenia (59 znaczących znakw, sześćdziesiąty taki sam jak pierwszy).

Mieli znakomite osiągnięcie w budownictwie. Cała wiedza matematyczna znana z glinianych tablic, których najstarsza pochodzi (mniej więcej) z 30 w. p.n.e., a najmłodsza z I w. p.n.e. Można na nich znaleźć prawie wszystko. Z całego okresu skafalogowanych jest ponad 0.5 mln tabliczek.(np. kodeks Hamurabiego XVIII w., 150- matematyczne teksty ponad 200 - tablice matematyczne liczb). W 36 r. p.n.e. Babilon został pobity przez Aleksandra, a rok później legł w gruzach i już się nie odrodził.

Liczby.

Pojawił się początek systemu pozycyjnego w umiarkowanym zakresie (60-tych symbol taki sam jak pierwszy, 10 jak 600)→ po oznaczeniu i miejscu tego znaku wiadomo o jakiej liczbie jest mowa. Porządek występowania znaków w liczbie jest taki sam jak dzisiaj. Pisano od lewej do prawej.

Arytmetyka.

• posługiwali się tabliczkami z tablicami matematycznymi (działania, +, ⋅,
  , i odwrotna)

• potrafili rozwiązać równania kwadratowe(XVIII w. p.n.e.), ale znajdowali tylko jeden pierwiastek tzn. ten dla którego przy
  był +.

• potrafili rozwiązać proste równania stopnia 3 i równania dwukwadratowe

• znali twierdzenie odwrotne do twierdzeń Pitagorasa. Potrafili rozwiązać równanie: x²+y²=z²

rozw. x=2pg

y=p²-g²

z=p²+g²

największe znane trójka pitagorejska: 12709, 13500, 18541

• potrafili rozwiązać układ równań liniowych i proste układy liniowo-kwadratowe

• pierwiastków przybliżonych szukano według wzoru:
  .

Geometria

• potrafili liczyć pola prostokąta, trójkąta i trapezu. Pole koła: c(obw)=3d, d-średnica,
  

• znali wzory na objętość prostopadłościanu, graniastosłupa, ostrosłupa, walca i stożka ( z dokładnością wzoru), pole stożka ściętego

• zajmowali się prostymi wielokątami foremnymi. Potrafili liczyć pola 5-cio, 6-cio i 7-miokąta foremnego.

Podsumowanie Egiptu.

Matematyka była nauką praktyczną, nakazowo-dogmatyczną. Nie istniał w niej podział na żadne dyscypliny.

Podsumowanie Babilonu.

Matematyka- praktyczna, nakazowa, bez rozumowań dedukcyjnych.

Grecja

Do IV w. p.n.e. nic nie wiemy w kulturze greckiej. Nic nie zachowały się żadne teksty tematyczne. Wiadomo, że w drugim tysiącleciu p.n.e. istniało państwo na Krecie. Na temat kultury matematycznej nic nie wiadomo. Odnaleziono tylko tabliczki z rachunkami, spisanymi gospodarczymi. Odnaleziono również przyrząd służący do badania poziomu.

O OA=OB

OC=OD

C D p.-środek CD.

p.

A B

W 1882 r. odkryto na wyspie Samos tunel długości 1 km (około) łączący przeciwległe zbocza góry. Kopano go jednocześnie z dwóch stron. W VI w. p.n.e. powstało jedno państwo greckie. Ukształtowała się demokracja grecka. W 100 lat po zjednoczeniu rozpoczęły się wojny z Persją. Głównym centrum państwa w V w. były Ateny, a dokładniej Attyka. Rozpoczął się złoty wiek Aten. Najbardziej rozwinęła się kultura i nauka ( Akademia Platońska, Liceum Arystotelesa, i wielu uczonych). W 337 r. p.n.e. Grecja zostanie podbita przez Filipa Macedońskiego. Powstała nowa kraina: Macedonia, Grecja weszła w skład państwa hellenistycznego. (III w. p.n.e.)

W VI w. p.n.e. żyło dwóch wybitnych matematyków.

TALES z Miletu (640-546 r. p.n.e.)- są to przypuszczalne daty urodzenia i śmierci. Nie zachowało się po nim nic. Żadne prace ani pisma. W Milecie znajdował się ośrodek jego kultu. Był kupcem, działaczem politycznym, filozofem i astronomem. Przez szereg lat mieszkał w Egipcie, gdzie pewnie nauczył matematyki i astronomii. Jego największą zasługą było inne spojrzenie na geometrię. Tales zbudował geometrię jako teorię abstrakcyjną tzn. trójkąt to nie są tylko kreski połączone, które można narysować. Ale jest to jakaś figura gdzieś istniejąca. Można więc badać jej własności jako figury nie mającej nic wspólnego z narysowanym trójkątem. Nie przywiązywał figur do rysunków.

Inne osiągnięcia:

1. zmierzył wysokość piramid

Poczekał aż cień laski (x) będzie równy długości laski i uznał, że wysokość piramidy będzie równe długości cienia.

2.odkrył, że kąty wierzchołkowe są równe

Egipcjanie przypisywali kąt dokładnie do ramion do długości ramion. Tales uznał, że nie ma on nic wspólnego z długością ramion.

3.odkrył cechę przystawania trójkątów: K, B, K

Pozostał przekaz, że potrafił zmierzyć odległość statku od brzegu.

Nic więcej z jego osiągnięć się nie zachowało.

PITAGORAS -(572-492 r. p.n.e.)- najważniejsza część matematyki do czasów Euklidesa. Urodził się w Samos. Prawdopodobnie odbył kilka podróży do Egiptu i był w Mezopotamii. Około 530 r. p.n.e. wyemigrował do Włoch (Sycylia) do Krotony (nazwa późniejszego miasta). Stworzył tam tzw. związek pitagorejski. Mieszkał tam ok. 20 lat. W 510 r. p.n.e. został wypędzony. Związek pitagorejski przetrwał jeszcze 100 lat.

Inne osiągnięcia:

1.Pitagorejczycy przekształcili matematykę w naukę dedukcyjną.

1. zobaczyli, że trzeba wprowadzać definicję obiektów, o których mowa

2. fakty należy udowadniać→ do twierdzeń.

2. Na pierwszej ogień poszło badanie własności figur geometrycznych. Ukoronowaniem tego było tw. Pitagorasa → podali jego dowód.

3. Odkryli twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i udowodnili je.

(jeśli a, b, c- długości boków trójkąta, i jeśli a²+b²=c², to trójkąt jest prostokątny)

Niech dany będzie trójkąt o bokach a, b, c. Niech a²+b²=c².

Weźmy pod uwagę trójkąt o przyprostokątnych a, b i

przeciwprostokątnej c. Wówczas mamy: a²+b²=c².

Zatem c=c^', więc te dwa trójkąty są przystające. I pierwszy musi być trójkątem prostokątnym.

4. Opisywali trójkąty prostokątne, których długości boków są liczbami naturalnymi.

4. Udowodnili, że suma kątów w trójkącie jest równa dwóm kątom prostym.

Zaznaczone kąty są równe

6. Podali konstrukcje wielościanów foremnych (czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu, dwudziestościanu) tzw. brył Platońskich.

Platon nie był matematykiem, uważał, że cztery żywioły są zbudowane z wielościanów: ziemia- z sześcianów, ogień- z czworościanów, powietrze- z ośmiościanów, woda- z dwudziestościanów.

7.Wymyślili średnie: arytmetyczne:
, geometryczne:
i harmoniczną:
.

8.Udowodnili wszystkie „najważniejsze” twierdzenie o figurach podobnych (łącznie z najważniejszym

z tw. Talesa). Czyli: rzut równoległy miary jest miarą - jest to tw. o podobieństwie trójkątów.

Wszystkie zależności w jednym obiekcie będą niezmienione jeśli obiekt ten powiększymy.

Grupa podobieństw płaszczyzny euklidesowej pokrywa się z grupą jej automorfizmów.

9.Odkryli odcinki niewspółmierne.

Udowodnili, że bok kwadratu jest niewspółmierny z jego przekątną ( nie dają się zmierzyć

jednocześnie tym samym odcinkiem) czyli
jest niewymierny, choć
był wcześniej

odkryty.

Był to początek końca Pitagorejczyków gdyż ich filozofia polegała na tym, że wszystko jest liczbą, zatem da się opisać za pomocą małych liczb naturalnych. Odkryli więc coś co nie mogło być- nie wszystko jest liczbą. Uznali więc to za tajemnicę, którą zdradził jeden z dwóch pitagorejczyków:

Hipokrates - zastanawiał się jak obliczyć pola różnych figur krzywoliniowych. Został wykluczony gdyż za uczenie matematyki chciał pieniędzy.

Hipasus - zdradził tajemnicę.

Związek podzielił na dwa obozy:

1. Uznano pogląd: skoro iloraz boku do przekątnej kwadratu istnieje, ale nie daje się opisać za pomocą liczb naturalnych, więc nie opisywać tego. Uznawali to za rachunek na odcinkach, a nie na liczbach.

Kartezjusz- stworzył podwaliny współczesnej algebry - „Geometria” → algebra geometryczna.

2. Skoro taki iloraz nie da się przedstawić za pomocą prostych liczb. Więc może my coś źle robimy. Należy to zrobić inaczej. Powstały kompletne teorie liczb niewymiernych (różnymi alternatywnymi 콳posobami).Wprowadzili do użycia termin matematyka tzn. uczenie się.

MATHEIN - uczyć się. Mianem „ matematyka” nazywano wszystkie nauki dedukcyjne. Dzisiejsze znaczenie terminu „matematyka” uzyskano dopiero w II - giej połowie XIX wieku.

Dalsze osiągnięcia Pitagorejczyków:

- odkryli złoty podział odcinka.

x-tworzy złoty podział odcinka AB jeśli:

A B

Odkryli, że znowu otrzymali liczbę niewymierną:
.

- rozwiązali problemy delijskie (nazwa od wyspy Delos)

1)podwojenie sześcianu.

Problem powstał z legendy. Na wyspie Delos wybuchła zaraza. „Pytia” powiedziała, że aby ją powstrzymać trzeba zbudować ołtarz o pojemności dwa razy większej niż ołtarz świątyni. Miał on kształt sześcianu. Problem sprowadzał się do zbudowania sześcianu o dwukrotnie większej pojemności.

2. kwadratura koła

Problem polega na skonstruowaniu kwadratu o polu

równym polu danego koła. Czyli (r =1) π =a²⇒ a = π

Według Pitagorejczyków: jeden ze sposobów - przy pomocy krzywej tzw. kwadrat rysy →

Hippias z Elidy. (nazwa nadana przez Leibnitza)

Opis:

OC - obraca się ruchem jednostajnym aż do OA,

na którym się zatrzyma

BC - osuwa się ruchem jednostajnym, aż do OA,

na którym się zatrzyma.

Szukana krzywa to krzywa wyznaczona przez punkty przecięcia tych odcinków. Kończy się na punkcie Z, który do krzywej nie należy, gdyż wtedy oba odcinki leżą na OA. Jednak każdy wcześniejszy punkt istnieje, więc Z jest ściśle określony.

W jaki sposób ta krzywa daje liczbę π ?

Punkt Z jest punktem kluczowym. Z = ( t, 0 )

3) Trysekcja kąta - czyli problem podzielenie kąta na trzy równe części.

Korzystamy z kwadrat rysy - rzutujemy punkt S na oś pionową. Otrzymamy odcinek (od początku układu do tego punktu) dzielimy na żądaną ilość razy, a następnie prowadzimy równoległe do osi poziomej. Otrzymane punkty przecięcia z kwadrat rysą połączone z początkiem układu utworzą żądany kąt.

Pitagorejczycy rozwiązali wszystkie trzy problemy i dla wszystkich dokonali konstrukcji (a przecież jest to niewykonalne). Powstała z tego nowa gałąź - konstrukcje geometryczne.

Pitagorejczycy zajmowali się również konstrukcją wielokątów foremnych: kwadrat, pięciokąt, sześciokąt. Siedmiokąta nie potrafili wyznaczyć (nie da się zrobić tego klasycznymi metodami).

Problem konstrukcji wielokątów foremnych został rozstrzygnięty przez Gaussa, który poświęcał je z liczbami Fermata: F_n= 2² +1.

Udowodnił twierdzenie:

Weźmy liczbę pierwszą p. Prostokąt foremny jest konstruowany gdy p. jest liczbą pierwszą

Fermata. Podał też warunek konieczny i dostateczny na inne wielokąty:

n = 2^k ⋅ p₀ ⋅ p₁⋅........⋅ p_α różne liczby pierwsze Fermata.

ARCHIMEDES - podał konstrukcję siedmiokąta foremnego. Użył do tego krzywych stożkowych.

Arabowie - podali konstrukcję przybliżoną (pierwsza to kwadratura koła). W Polsce Kochański - kwadratura koła.

Platon - cyrkiel i linijka - wyznaczone przez nie krzywe to jedyne, które mogą się ślizgać po płaszczyźnie - tylko je uznał za idealne.

Pitagorejczycy stworzyli geometrię i podobieństwa. Stworzyli ci geometrię jako teorię abstrakcyjną.

(np. pies to nie jest coś co ma cztery nogi, ale coś co ma cztery litery).

Punkt i prosta - chcieli aby punkt nie miał wymiaru, a odcinek grubości.

To jakim prawem odcinek ma długość skoro składa się z punktów?

Zatem uznano, że nieskończenie wiele nieskończenie małych rzeczy nie musi równać się zeru. Chcąc otrzymać coraz to lepsze odcinki i punkty, coraz bardziej odrywamy się od rzeczywistości. Poprawiając jakoś przyrządów dążymy do otrzymania ideału. Jest to droga do nikąd. Protagoras z Abdery pokazał, że poprawiając przyrządy otrzymujemy coraz gorsze wyniki.

PROTAGORAS - (480 - 410) - sofista (zwolennik metod empirycznych (doświadczalnych)).

Mieszkał w Abderze założonej w VII w. p.n.e. i w odczuciu greckim uznanym za miasto głupców.

Powiedział:

„Koncepcje geometryczne są fikcyjne. Geometria rozpatruje rzeczy, których w ogóle nie ma i być

nie może podczas gdy jej zadaniem powinno być badanie rzeczywistości.”

WIELKIE TWIEDZENIE FERMATA

„Nie istnieją liczby naturalne spełniające to równanie : xⁿ + yⁿ = zⁿ dla n > 2 .”

Fermat nigdy nie ujawnił dowodu mimo iż twierdził, że go zna. Proces udowodnienia tego twierdzenia trwał kilka lat. Udowodnił je Andrew Wiles. Oryginalne notatki Fermata zaginęły. Tylko niektóre uchowały się na marginesach ksiąg. Równanie Fermata powstało ze zwykłego równania kwadratowego : x² + y² = z² . Fermat zastanawiał się czy dla dowolnej potęgi będzie można znaleźć takie liczby naturalne, które by spełniały powstałe równanie. Tak doszedł do Wielkiego Twierdzenia Fermata. -XVII w. Od tego czasu wielu sławnych matematyków m.in. Gauss, Galois, Euler trudziło się nad znalezieniem rozwiązania, ale nie widząc efektów swych starań porzucali je.

Gors Shimura i „Tanijama” - pracowali nad zagadnieniem funkcji modularnych (uznane za piąte działanie).

Krzywe eliptyczne - rozwiązania równań 3-go stopnia. Każdy punkt na powierzchni torusa spełniał to równanie.

W 1955 r. zasugerowali, że krzywe eliptyczne są to formy modularne w przebraniu. Tak powstała hipoteza „Tanijamy”-Shimurawy. (T - S)

„Każda krzywa eliptyczna jest modularna”.

Funkcje modularne - funkcje zmiennej zespolonej wykazujące „jakieś” symetrie.

Hipoteza (T - S) stała się podstawą wielu teorii. Dlatego też jej dowód okazał się bardzo potrzebny.

Gdyby okazała się fałszywa wszystkie późniejsze twierdzenia okazałyby się nieprawdziwe. W 1958 Tanijama popełnił samobójstwo.

W 1985 r. Gerard Frei rozważał możliwość: co się stanie jeśli Wielkie Tw. Fermata jest fałszywe i rozwiązanie istnieje? Rozwiązanie prowadzi do osobliwych krzywych eliptycznych. Jeśli więc mylił się Fermat, to i mylił się Tanijama.

Hipoteza Frei'a to tzw. hipoteza epsilonowa.

Andrew Wiles przy dowodzie Wielkiego Tw. Fermata postanowił porównać formy modularne z reprezentacjami Galois. Zabrało mu to 3 lata. Doszedł do teorii Iwasawy i natrafił na trudności, ltórych nie umiał pokazać.

Andrew pokazał, że większość krzywych jest modularna. Jednak kilka rodzin wymykało się spod tej definicji. Nie mogąc poradzić sobie z teorią Iwasawy, Andrew zmienił kierunek swych rozważań. Zajął się teorią Flacha. Chciał przejść od obiektów stopnia 3 do obiektów stopnia 5. W 1993 r. wydawało mu się, że wreszcie znalazł, to czego szukał i publicznie podał dowód Wielkiego Tw. Fermata. Okazało się jednak, że w pewnym miejscu tkwił błąd. Przez następny rok Andrew starał się poprawić swój dowód. Dokonał tego w 1994 r. udowadniając Wielkie Tw. Fermata za pomocą teorii Iwasawy. Udowodnienie tw. Fermata zajęło mu 7 lat.

Protagoras swe poglądy udowodnił następująco:

Skoro mamy okrąg i prosta to możemy mówić o punkcie styczności. Jeśli jest tak jak mówią Pitagorejczycy, to powinniśmy robić coraz mniejszy błąd:

Sprawdźmy:

Zał. że okrąg i prosta rysujemy przyrządem grubości 2. Wtedy punkt styczności jest to pasek długości
.Jeśli zaś przyrząd będzie miał grubość 1, to pasek ma długość
.W obu przypadkach dokonujemy pewnego błędu. Otrzymujemy:

Wynika stąd, iż biorąc coraz doskonalsze przyrządy popełniamy coraz większy błąd, a zatem pogląd Pitagorejczyków jest błędny, a co za tym idzie to i rozumowanie o graniczności figur (figurach doskonałych) jest błędne. Zatem czym jest matematyka abstrakcyjna?

Wynika stąd, że mówimy o niczym. To o czym mówimy nie istnieje. Chcieli, żeby matematyka teoretyczna wyrosła z matematyki znanej (rzeczywistej). Matematyka rzeczywista jest wtórna.

Propozycję rozwiązania tego problemu dał Platon. Nie był matematykiem i nie mówił nic o rzeczach z matematyki. Jednak mówił o matematyce. Jego odpowiedzią była przypowieść o ciemnej jaskini:

„W jaskini siedzą jeńcy i mają przed oczami ścianę. Przed wejściem do jaskini płonie ogień. Wolni ludzie przesuwają się przed płomieniem. Na ściany padają cienie i cienie przedmiotów, które niosą. Jeńcy widzą wyłącznie cienie i na ich podstawie wynoszą jaki jest wygląd owych przedmiotów. Ale cienie odtwarzają rzeczywistość nie wiernie więc wiedza jest niekompletna.”

Geometria rzeczywista jest cieniem stosunków między tworami idealnymi. A zatem należy badać twory idealne bo to one są pierwotne. Proponuje więc coś zupełnie przeciwnego niż Pitagorejczycy.

Poza granicami gwiazd wiodą wolny i niezależny żywot czyste idee nie mające dotykalnej postaci i barwy, niewidoczne i niezwiązane z żadnymi zmysłowo-dostrzegalnymi rzeczami. A zatem tam gdzieś są figury znane.

NIEWYMIERNOŚĆ

Odkryli ją pitagorejczycy. Pierwsze twierdzenie to:

TWIERDZENIE:

Bok kwadratu i jego przekątna są niewspółmierne.

Dowód:

Zał. Nie wprost, że a i d są współmierne. Zatem istnieją liczby m i n

naturalne takie, że
, załóżmy ponadto, że ułamek
jest

nieskracalny . Wtedy:

1. niech m - liczba parzysta, m=2k ⇒ 4k² = 2n² ⇒ n² =2k² ⇒ n² - liczba parzysta ⇒ n - liczba parzysta sprzeczność z nieskracalnością ułamka
   .

2. m - liczba nieparzysta ⇒ m² - liczba nieparzysta, ale po drugiej stronie mamy 2^x coś więc jest to niemożliwe.

Zatem przypuszczenie, że a i d są współmierne było fałszywe.

DEFINICJA:

Odcinki o długości a i b nazywamy współmiernymi jeśli istnieje odcinek x oraz liczby n i m

naturalne takie, że:

nx=a , mx=b

( czyli dadzą się wymierzyć tym samym odcinkiem).

TWIERDZENIE: (wynikające z def. )

Odcinki o długości a i b są współmierne ⇔ istnieją liczby naturalne n i m takie, że ma=nb.

Teodor z Cyrery udowodnił następujące twierdzenie:

Boki kwadratów o polach: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17 są niewspółmierne z bokiem kwadratu jednostkowego.

Teajtetos - uczeń Teodora - (-410, -368). Jego postać znana jest tylko z dialogów Platona. Był to jeden z największych matematyków jacy żyli na świecie. Skonstruował wszystkie liczby niewymierne. Wyznaczył pewien kierunek w matemaÌyce.

Udowodnił twierdzenie:

Dany jest kwadrat o polu wyrażającym się liczbą całkowitą nie będącą kwadratem żadnej liczby całkowitej. Wówczas bok tego kwadratu jest niewspółmierny z bokiem kwadratu jednostkowego.

Dowód:

Niech N będzie liczbą całkowitą, która jest polem tego kwadratu. Załóżmy, że p i q należą do naturalnych oraz założymy nie wprost, że p/q jest bokiem tego kwadratu. Wówczas:

N nie jest kwadratem żadnej liczby naturalnej. Rozłóżmy N na czynniki. W rozkładzie musi być jakiś czynnik, przynajmniej jeden. Powiedzmy, że jest to czynnik k.

Rozłóżmy liczby p i q na czynniki. Wówczas możliwe są następujące przypadki:

1. czynnik k nie występuje ani w liczbie p ani w liczbie q

2. czynnik k występuje tylko w liczbie p

3. czynnik k występuje tylko w liczbie q

4. czynnik k występuje w liczbie p i q

ad.1.

niemożliwe k musi wystąpić w p

ad.2.

k występuje w p² parzystą liczbę - sprzeczność

ad.3.

niemożliwe patrz ad.1.

ad.4.

niemożliwe, bo ułamek p/q byłby skracalny przez k

Udowodnił także algorytm Euklidesa:

Niech a, b∈N. Niech b≠0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb naturalnych q i r taka, że a=qb+r, r<b.

Dowód:

Zał. że b>a. Wystarczy przyjąć q=0 i r=a i dowód jest oczywisty.

Niech b=a. Wystarczy przyjąć q=1 i r=0.

Niech b<a. Niech q będzie największą liczbą całkowitą mniejszą lub równą
tzn.

Wówczas 0 ≤ b/a -q < 1. Oznaczmy r = a-bq, r ≥ 0, r > b ⇒ a = bq +r.

Udowodniliśmy, że q i r istnieją i warunek jest spełniony.

Zastosowanie algorytmu Euklidesa

Przykład:

1. Niech a i b liczby, a > b. Zgodnie z algorytmem istnieją q₁ i r₁, takie że a = q₁b + r₁ r₁ < b. Teraz istnieją q₂ i r₂ takie, że:

ì b = q₂r₁ + r₂ r₂ < r₁

r₁ = q₃r₂ +r₃

ì ..................

r_n-1 = q_n+1r_n + r_n+1 r_n+1 < r_n

r_n = q_n+2 r_n+1 = 0 ⇒ r_n+1 = NWD (a,b)

Zatem algorytm pozwala znaleźć NWD liczb.

2. Bierzemy dwa odcinki o długości a i b:

i zgodnie z algorytmem odkładamy odcinek b na odcinku a. Zostaje nam jakiś odcinek

r₁, który odkładamy na odcinku b otrzymując odcinek r₂. I.t.d.

a = q₁b + r₁

b = q₂r₁ + r₂ i.t.d.

Jeśli odcinki są współmierne, to proces ten się kiedyś skończy, ale jeśli odcinki są niewspółmierne, to proces nigdy się nie skończy.

Zastosowanie algorytmu do odkrycia Pitagorejczyków.

Na odcinku AC odkładamy odcinek A^'C, tak że otrzymujemy pkt. B. Z pkt. B^' wystawiamy prostopadłą do odcinka BC i łączymy pkt. B i B^'. Otrzymujemy, że trójkąty ABB^' i A^'B^'B są przystające. Zatem B^'A = B^'A^' (=CA^').

Stosujemy znowu algorytm Euklidesa, więc AB = 2A^'C^' + A^''C. Dalej powtarzamy ten sam proces. Za każdym razem reszta powtórzy się dwa razy plus coś i nigdy się proces nie skończy.

Inny sposób przedstawienia algorytmu Euklidesa:

Proces prowadzi do ułamka łańcuchowego nieskończonego.

Teajtetos stwierdził, że problem przekątnej i boku kwadratu da się opisać za pomocą liczby. Więc Pitagorejczycy mieli rację. A zatem wszystko jest liczbą. Teajtetos podał więc konstrukcję wszystkich liczb niewymiernych ( ułamki łańcuchowe ), a więc i rzeczywistych.

Jego konstrukcja nie przyjęła się. Ułamki łańcuchowe powróciły dopiero w XVI w. Dziś wyparto je na rzecz ułamków dziesiętnych.

Eudoksos z Knidos - ( 408 -355 r.p.n.e.) proponował tzw. Teorię proporcji ( tak nazwał to Euklides w swych „Elementach”). Jednak żadna praca nie zachowała się.

DEFINICJA:

Mówimy, że pary (a,b) i (c,d) wyznaczają tę samą proporcję co zapisujemy :
jeśli dla każdej pary liczb naturalnych m i n są spełnione następujące warunki:

1. ma < nb ⇒ mc < nd

2. ma = nb ⇒ mc = nd

3. ma > nb ⇒ mc > nd

Dowolne zaburzenie jednej pary wywołuje dokładnie takie samo zaburzenie w drugiej parze. Zatem druga para jest obrazem pierwszej pary tylko może w innym wymiarze.

DEFINICJA:

Proporcje liczb nazywamy ułamkami. (jeśli ułamek a i b są liczbami to jest ułamek).

TWIERDZENIE:

Jeśli
jest proporcją,
ułamkiem to:

(jest to porównywanie wielkości, a nie liczb).

Dowód:

(⇒)

Zał. że
. Zał. nie wprost, że na ≠ mb. Zatem niech np. na < mb, wtedy z warunku 1) def. nm < mn - sprzeczne.

(⇒)

Zał. że na = mb. Zał.że dla dowolnych p i q pa < qb. Wtedy mpa < mqb = nqa ⇒ mp < nq czyli zachodzi 1) z def. analogicznie pokazujemy pozostałe warunki. Zatem
.

Wynika stąd, że dowolne proporcje wielkości można porównywać z ułamkami.

DEFINICJA:

Dla dowolnej proporcji a i b:
i ułamka
:

WNIOSEK

Dwie proporcje są równe ⇔ gdy są tej samej relacji równości lub mniejszości z ułamkami.

TWIERDZENIE:

Dla dowolnej proporcji
i dowolnego ułamka
zachodzi:

Dowód:

Dla wielkości na i mb zachodzi:

mb < na albo na < mb. Co daje tezę.

TWIERDZENIE:

Jeśli
i
są ułamkami, a
jest proporcją to z faktu, że:

Dowód:

Zał. że (nie wprost) mq > np. Z zał. mb ≤ na (1) oraz qa < pb (2). Z faktu, że mq ≥ np. wynika, że amq ≥ anp ≥ mbp. A zatem amq ≥ mbp czyli aq > bp co przeczy (2). Czyli twierdzenie jest udowodnione.

DEFINICJA:

Podziałem zbioru ułamków wyznaczonym przez proporcję
nazywa parę zbiorów ( A, B ) gdzie A zbiór wszystkich ułamków mniejszych niż
, B zbiór wszystkich ułamków większych niż
.

TWIERDZENIE:

Jeżeli para (A, B) jest podziałem wyznaczonym przez proporcję
, to każdy ułamek ze zbioru A jest mniejszy od każdego ułamka ze zbioru B.

TWIERDZENIE:

Jeśli para (A, B) jest podziałem wyznaczonym przez proporcję
, a para (C, D) jest podziałem wyznaczonym przez proporcję
oraz
to A = C i B = D.

Twierdzenie to mówi, że równe proporcje wyznaczają te same podziały. Prawdziwe jest również tw. Odwrotne tzn. równe podziały wyznaczają te same proporcje.

Dowód;

Zał. nie wprost, że wyznaczone proporcje
i
są różne. Wówczas istnieją liczby naturalne m i n takie, że np. zachodzi nb > ma i nd ≤ mc. Skoro tak, tzn. ułamek
spełnia zależności
>
i
≤
, a to znaczy, że podziały, które wyznaczały te same proporcje są różne, bo znalazł się ułamek, który należy do jednego podziału, a nie należy do drugiego podziału.

TWIERDZENIE:

Zbiory ułamków, które wyznacza każda proporcja są niepuste.

Dowód:

Niech dana będzie proporcja
i podział (A, B) wyznaczony przez tę proporcję. Do A należą ułamki
takie, że mb > na.

FAKT: Aksjomat Archimedesa

Dla dowolnych wielkości a, b ∃ liczb n∈N takich, że na > b.

Dla dowolnych liczb x, y > 0 ∃n nx > y.

TWIERDZENIE:

Niech (A, B) będzie podziałem wyznaczonym przez proporcję
. Wówczas w zbiorze B nie ma elementu najmniejszego, a w zbiorze A nie ma elementu największego.

Dowód:

Niech
będzie najmniejszym ułamkiem takim, że
<
czyli zakładam nie wprost, że w B istnieje element najmniejszy, a co za tym idzie na < mb. Weźmy pod uwagę liczbę k taką, że k(mb - na) > b. Wynika stąd, że kna < (km -1)b. Zatem oznacza to, że
<
.

Kończy to dowód gdyż zauważmy, że
<
.

Zatem istnieje element
∈B i mniejszy od
.

DEFINICJA:

XIX - wieczna przekroju liczb wymiernych Dedekinda. Przekrojem Dedekinda zbioru liczb wymiernych nazywamy parę (A, B) podzbiorów zbioru liczb wymiernych taką, że:

1. zbiory A≠0 i B≠0

2. każda liczba wymierna ze zbioru A jest mniejsza od każdej liczby wymiernej ze zbioru B

3. każda liczba wymierna należy albo do zbioru A albo do zbioru B

Weźmy dowolny podział (A, B) zbioru liczb wymiernych. Możliwe są następujące sytuacje:

1.W zbiorze A jest element największy, a w zbiorze B nie ma elementu najmniejszego:

A = { x∈O x ≤ 1} B = { x∈O x > 1}.

2.W zbiorze A nie ma elementu największego i w zbiorze B jest element najmniejszy:

A = { x∈O x > 1} B = { x∈O x ≤ 1}.

3.W zbiorze A nie ma elementu największego i w zbiorze B nie ma elementu najmniejszego:

A: (-∞ ,
) ∧ O

B: (
,+∞) ∧ O.

DEFINICJA:

Liczbę rzeczywistą nazywamy każdy przekrój liczb wymiernych.

Eudoksos udowodnił, że podział ułamków wyznaczony przez proporcję jest przekrojem Dedekinda.

Dedkind udowodnił twierdzenie odwrotne. Dedekind operuje ciałem liczb wymiernych, a Eudoksos operacje wykonywane są dla pary liczb.

Aksjomat ciągłości.

Każdy zbiór ograniczony ma kres.

W V w. p.n.e. Zenon z Elei zebrał ok. 40 takich rozumowań. Do dziś zachowało się nie więcej niż 10. Zenon sformułował i wprost określił kilka z nich ( z którymi ani on , ani inni nie potrafili sobie poradzić ). Zenon sformułował przynajmniej 4 parodoksy związane z ruchem i jeden z teorii mnogości.

Parodoks teorii mnogości:

Jeśli istnieje mnogość to powinno ona być jednocześnie wielka i mała i przy tym wielka bez granic i mała do zniknięcia -> parodoks miary.

Wyjaśnienie

Mamy wielkość np. odcinek składa się on z nieskończenie wielu małych, niepodzielnych elementów np. punktów. Mamy dwie możliwości:

1). Wielkość niepodzielnych elementów = 0 (dł. pkt. = 0 ), a zatem cała wielkość ma długość

= 0. Ale może tak nie jest.

2). Może każda z niepodzielnych ma stałą wielkość (stałą długość). Wtedy długość całej

wielkości = ∞. Wynika stąd, że odcinek ma długość = 0 lub = ∞.

Parodoksy ruchu:

1). Dychotomia - (dzielenie na połowę).

Ciało zaczyna ruszać się ruchem jednostajnym z punktu A do punktu B. Zenon

stwierdził, że nigdy do punktu B nie dojdzie, bo:

najpierw dojdzie do połowy, później do połowy, połowy............itd.

A A₁ A₂ A₃ B

Grecy znali wzór:
. Ale nie jest on rozwiązaniem tego problemu.

2). Achillesa i żółwia

Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

Achilles biegnie 2 razy szybciej od żółwia (w oryginale

7x) proces nigdy się nie skończy.

Gdy ruszyli jednocześnie to żółw wykonał n kroków, a Achilles n+1na odcinku =1.Czyli:

n+1 = n więc 1=0.

3). Strzały

Jeśli przestrzeń i czas składają się z części niepodzielnych to wystrzelona z łuku strzała jest

nieruchoma.

Dlaczego? Gdyż w każdej niepodzielnej chwili czasu jest w spoczynku, a odcinek jest sumą

Niepodzielnych części.

4). Stadionu

Twórca teorii mnogości odkrył, że istnieją zbiory, które są równoliczne ze swoimi podzbiorami naturalnymi tzn. że N+1=N, ale stąd nie wynika, że 1=0.

Matematyka Egiptu hellenistycznego.

Egipt został podbity przez Aleksandra Macedońskiego. W latach (-332 - 331) Aleksander zaczął budować w północnej Egipcie miasto nazwane przez ówczesnego faraona PtolemeuszaI - Aleksandrią. W -323 r. Aleksander zmarł. Od tego momentu kraje przez niego podbite nazywano hellenistycznymi. Jest to też ważny moment w historii nauki.

Ptolemeusz I zbudował w Aleksandrii wielki ośrodek naukowy - muzeum (przybytek muz). Częścią muzeum była wielka biblioteka gromadząca ok. miliona woluminów. Podobno pierwszym jej „dyrektorem” był Euklides (-365-300) absolwent Akademii Platońskiej.

W -47 r. biblioteka spłonęła. Spalili ją Rzymianie, choć pożar był przypadkowy. Spłonęło ok. 700 tys. zwojów, w tym wszystkie zwoje „Elementów”. Istniały one jednak we wszystkich językach. W 395 r. n.e. bibliotekę podpalano celowo, a w 642 Mahometanie zrabowali pozostałości. Był to koniec wielkiego ośrodka naukowego.

W 300 r. p.n.e. powstały „Elementy” Euklidesa. Nie było to jednak tylko jego dzieło. W swej książce Euklides zebrał całą znaną wówczas wiedzę matematyczną. Ma ona charakter podobny do współczesnych książek. Zawiera aksjomaty, definicje, twierdzenie i ich dowody. O doskonałości tej książki świadczy fakt, że dopiero w latach 1899-1900 M. Pask znalazł pierwszy błąd, polegający na tym iż przy pomocy aksjomatów Euklidesa nie da się sformułować pojęcia wnętrza (figury). Nie wiemy jak wyglądał oryginał. W miarę wpływu lat czytelnicy tego dzieła nanośli własne notatki bez zaznaczania w tekście, w którym miejscu się one zaczynają.

„Elementy” przetłumaczono także na język polski: 6-7 ksiąg - J. Czech. W 1482 w Wenecji po raz pierwszy „Elementy” wydano drukiem (tylko Biblię wydano więcej razy). Przyniosły one wielką sławę Polsce. (Egzemplarze były numerowane. Pierwszy - otrzymał papież, drugi Polska - Uniwersytet Jagielloński ).

„Elementy” składają się z 13 ksiąg. Podzielone są one tematycznie, ale można je pogrupować w szersze zagadnienia. I tak:

Księgi 1-6 - Planimetria

Księgi 7-10 - Arytmetyka

Księgi 11-13 - Stereometria

Każda księga jest tak samo zorganizowana. Zaczyna się od podania aksjomatów i postulatów (Euklides wyraźnie rozdzielał te pojęcia). Później podawał definicje pojęć używanych, a następnie twierdzenia i ich dowody.

Euklides zauważył, że nie wszystko da się udowodnić (III w. p.n.e.). Nie zauważył jednak, że nie wszystko da się zdefiniować (zauważył to dopiero Hilbert - wprowadził pojęcia pierwotne). Euklides często podawał własne dowody do znanych twierdzeń. Pierwsza księga zawiera 5 postulatów geometrycznych i 5 aksjomatów arytmetycznych.

„ELEMENTY”

Pierwsza księga - nowoczesne podstawy geometrii. Zorganizowana w następujący sposób.

1). I grupa definicji - 14 def. podstawowych pojęć, których później się używa.

Np. DEF.1. Punkt jest to co nie ma części.

DEF.2. Linia to długość bez szerokości.

DEF.5. Powierzchnią jest to co ma tylko długość i szerokość.

DEF.8. Kąt płaski jest to wzajemne nachylenie dwóch linii schodzących się w

płaszczyźnie, ale nie położonych wzdłuż prostych.

DEF.10. Kiedy prosta wystawiona na prostej tworzy kąty przyległe równe między sobą

to każdy z tych równych kątów jest prosty, a wystawioną prostą nazywamy

prostopadłą do tej, na której została wystawiona ( def. prostopadłości).

DEF.11. Kąt rozwarty to taki, który jest większy od prostego.

2). II-ga grupa definicji (80 parę) - oparta na tych 14. Są to definicje trójkątów czworokątów,

innych figur geometrycznych, definicje równoległości itp.

Np. DEF. kwadratu - spośród figur czworo bocznych ta jest kwadratem, która jest

równoboczna i prostokątna.

DEF. prostokąta - spośród figur równobocznych ta jest prostokątem, która jest

prostokątna lecz nie jest równoboczna.(kwadrat nie jest prostokątem)

DEF. równoległości - równoległe to proste leżące w jednej płaszczyźnie, która

dowolnie przedłużone nie przetną się.

3). 5 postulatów - aksjomaty geometrii płaskiej.

4). 5 - 9 aksjomatów ogólnych wielkości (niekoniecznie geometrii).

Aksjomat 1. - Dwie wielkości równe trzeciej są równe

Aksjomat 2. - Dodając do równych równe otrzymujemy równe

Aksjomat 3. - Odejmując od równych równe otrzymujemy równe

Aksjomat 4. - Wielkości dające się zamienić są równe

Aksjomat 5. - Część jest mniejsza od całości

5). 48 twierdzeń.

1-26 - o trójkątach i prostopadłości

27-34 - o równoległości

35-46 - o równościach wielokątów

47 - twierdzenie Pitagorasa

48 - twierdzenie odwrotne do twierdzeń Pitagorasa

Dowód twierdzeń Pitagorasa podane przez Euklidesa.

Mamy trójkąt ABC. Budujemy na każdym doku kwadrat (zgodnie z tw.). Następnie z wierzchołka C prowadzimy wysokość i przedłużamy ją. Kwadrat zbudowany na boku AB zostaje podzielony na dwa prostokąty. Pole mniejszego jest równe polu kwadratu na krótszej przekątnej, a pole większego polu kwadratu na dłuższej przyprostokątnej.

Postulaty

P1. Od dowolnego punktu do dowolnego punktu można poprowadzić prostą.

P2. Ograniczoną prostą można dowolnie przedłużyć.

P3. Z dowolnego punktu dowolnym promieniem można zakreślić okrąg.

P4. Wszystkie kąty proste są równe.

P5. Jeśli dwie proste płaszczyźnie przetniemy trzecią tworzącą tak, że tworzą one z trzecią

prostą kąty jednostronnie wewnętrzne w sumie mniejsze od dwóch kątów prostych to te

proste przetną się z tej strony tej trzeciej prostej po której ta suma jest mniejsza od dwóch

kątów prostych.

Euklidesowi nie podobał się pięty postulat i praktycznie go nie stosował (był zbyt skomplikowany). Zastanawiano się czy 5 postulat jest prawdziwy. Może w ogóle nie jest potrzebny? A może można go udowodnić na podstawie czterech pozostałych? Pojęcie prawdy jest niedefiniowalne. Można też do czterech pierwszych postulatów dołączyć zaprzeczenie 5 - tego postulatu. Jeśli uda się dojść do jakiejś sprzeczności to znak, że postąpiliśmy źle, a zatem 5 - ty postulat musi być.

Boley - jako pierwszy opublikował swoje spostrzeżenia. Nie otrzymał żadnej sprzeczności, jednak świat uznał jego książkę za herezje. Boley miał bardzo wiele do stracenia choć o tym nie wiedział.

Łobaczewski - miał takie same poglądy - za swoje poglądy został zesłany.

Godel udowodnił, że zdanie da się udowodnić ⇔ jest prawdziwe w każdym modelu tej teorii.

Teoria geometrii.

Bierzemy pierwsze cztery postulaty i dopisujemy coś (aksjomat, który uważany, że powinien występować). Mamy trzy możliwości:

1. Nic nie dopisaliśmy (da się udowodnić z czterech pozostałych)

2. 5 - ty postulat.

3. Zaprzeczenie 5 - tego postulatu

. Księga druga - geometria prostokątna.

14 twierdzeń - dotyczących prostych konstrukcji geometrycznych, oraz geometryczne dowody różnych tożsamości algebraicznych.

Np.

Księga trzecia - geometria koła.

• podstawowe pojęcia - styczności prostej i okręgu, dwóch okręgów, współśrodkowość

• dowody 26 twierdzeń dotyczących „okręgów”.

Np. wzajemne położenie prostej i okręgu, ale również o czworokątach wpisanych i opisanych na okręgu.

Księga czwarta - n- kąty foremne.

• 16 twierdzeń

Jak wpisać n - kąt w koło lub opisać go na kole oraz jak wpisać koło w n - kąt i opisać koło na n - kącie.

Księga piąta - teoria proporcji.

( ujęta między odcinkami Eudoksosa)

• 25 twierdzeń

Księga szósta - geometria podobieństw.

• podstawowe pojęcia, podobieństwo trójkątów (cechy podobieństw)

• podobieństwa dowolniejszych figur płaskich

• zastosowanie podobieństwa do obliczania pól

• 33 twierdzenia

Księga siódma, ósma i dziewiąta - podstawy arytmetyki.

• podstawowe pojęcia związane z liczbami naturalnymi (np. pojęcie podzielności, liczby pierwsze, dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych:

Zał. nie wprost że ∃p₁......p_n liczb pierwszych. Rozważmy liczbę: p₁⋅......p_n+1 = p.

Liczba p > p_i i nie dzieli się przez żadną z tych liczb tzn. że jest liczbą pierwszą.

Sprzeczność z założenia.

• Sito Erystotelesa

• zasadnicze twierdzenie arytmetyki - podanie i udowodnione.

TWIERDZENIE:

Każdą liczbę naturalną można jednoznacznie rozłożyć na iloczyn liczb pierwszych z dokładnością do wypisania kolejności czynników.

TWIERDZENIE:

Jeśli p ∈ P i p/ n⋅m, to p/m i p/n

• własności proporcji liczb naturalnych (parzystość i nieparzystość)

• pojęcie liczby doskonałej - jest to liczba równa sumie swoich dzielników mniejszych od niej

• opis liczb doskonałych parzystych - do dziś nie istnieje przykład dla liczb nieparzystych i nie wiadomo czy taka istnieje

Księga dziesiąta - arytmetyka liczb niewymiernych, odcinki niewspółmierne.

Księga jedenasta - stereometria.

• podstawowe definicje geometrii przestrzennej

• 28 definicji np. równoległości, prostopadłości, prostych i płaszczyzn, równoległości prostych w przestrzeni, równoległość płaszczyzn, kąty „wielościenne” , przestrzenne oraz dowód

• 40 twierdzeń

Księga dwunasta - stereometria.

• 18 twierdzeń dotyczących powierzchni i objętości brył

Księga trzynasta - stereometria.

• 19 twierdzeń o bryłach platońskich

• twierdzenie geometrii płaskiej

• twierdzenie o bryłach wpisanych i opisanych na kuli

• własności poszczególnych brył, wielościany platońskie

Ostatnie twierdzenie brzmi: istnieje dokładnie 5 brył platońskich tj. czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan.

Wiedza o innej twórczości Euklidesa jest nieprecyzyjna. Prawdopodobnie napisał:

• „Optyka” - optyka geometryczna, kąty widzenia brył.

• „O podziałach” - dzielenie figur na części w różnych stosunkach.

• „O stożkowych”

• „Fenomena” - praca o astronomii.

Innym matematykiem z tego okresu był ARCHIMEDES (-278 - 212).

Został zabity przez rzymskiego żołnierza. Najwybitniejszą jego pracą jest praca „O kuli i walcu”. Precyzyjnie obliczył w nim pole powierzchni i objętości kuli tzn. z dokładnością do 0,002. Tak jak liczbę π:
.

Policzył to stosując chyba po raz pierwszy rozumowanie nieskończonościowe. „Użył” - dolnej całki Riemanna.

Szukamy pola tej figury. Dzielimy [a,b] na nieskończenie
- suma dolna

- suma górna

Jeśli szereg 1) jest zbieżny to nazywamy go sumę „Darboux”, a całkę całką dolną Riemanna.

Archimedes uzupełnił aksjomaty geometryczne Euklidesa o swoje pięć postulatów:

1. Prosta jest to najkrótsza odległość między dwoma punktami.

2. Z dwu linii przeprowadzonych między tymi samymi dwoma punktami i zwróconych swoją wypukłością w tę stronę linia zewnętrzna jest większa.

3. Płaszczyzna jest mniejsza od krzywej powierzchni ograniczonej tym samym konturem.

4. Z dwu krzywych powierzchni ograniczonych wspólnym konturem płaskim i zwróconych wypukłością w tę samą stronę większa jest powierzchnia zewnętrzna.

5. Wielkości dodawana do Siebie może stać się większa od dowolnej z góry podanej wielkości.

• 212 r. - podbicie Syratus

• 146 r. - zajęcie przez Rzymian całej kontynentalnej Grecji

• 133 r. - podbicie Azji Mniejszej

• 86 r. - zdobycie Aten

• 31 r. zdobycie Aleksandrii

Na początku tysiąclecia na chwilę odrodziła się jeszcze kultura i nauka grecka.

I w. n.e.

Wielcy matematycy to: Heron - „Metryka” , Menelaus - „Sferyka”.

Heron - nie był matematykiem. Był inżynierem, pracował w muzeum skonstruował zegar wodny. Zachował się wzór na pole trójkąta:

, podobno wymyślony przez niego.

Menelaus - astronom. „Sferyka” składa się z trzech ksiąg. Część trzecia to trygonometria sferyczna. Menelaus zaczął uprawiać tzw. geometrię sferyczną.

II w. n.e.

Klaudiusz Ptolemeusz - „Zbiór Matematyczny” - rzut stereograficzny. Udowodnił, że jest to przekształcenie konforemne.

III w. n.e.

Diofantos - „Arytmetyka - ostatni wielki matematyk. „Arytmetyka” składa się z 13 ksiąg. Pierwszych sześć zachowało się.

O Diofantosie nic nie wiemy (jego życia). Jako pierwszy:

• wprowadził do matematyki rachunek literowy - powrócił w XVII za sprawą Viete'a i Kartezjusza.

• (prawdopodobnie) wprowadził liczby ujemne i reguły działań na liczbach ujemnych

• wprowadził podstawowe reguły operacji algebraicznej (reguły potęg - nasze tablice)

• zajmował się rozwiązywaniem równań i nierówności w liczbach całkowitych

• równania diofantyczne - sformułował prawa przekształcenia równań i nierówności

Można znaleźć rozwiązanie równania x² + y² = z² (potrafili to Babilończycy, a na pewno Pitagorejczycy). Można również znaleźć zadania:

Rozwiązać w liczbach naturalnych xⁿ + yⁿ = zⁿ, n>2.

W 391 r. po raz drugi płonie biblioteka w Aleksandrii. Została celowo podpalona. Większość rękopisów spłonęła, reszta się zniszczyła, a tylko część została trochę odtworzona. Podpalaczem był Kościół Katolicki. Resztki życia naukowego przeniosły się do Aten.

V w. n.e.

Proklos Diodochus - studiował „Elementy” Euklidesa - próbował uzupełnić je o definicji prostej i płaszczyzny. Zaproponował następujące definicje prostej.

1. Prosta jest to linia, której odcinek zawarty między dwoma punktami pokrywa się z odległością pomiędzy nimi.

2. Prosta jest to linia ciągnąca się nieograniczenie.

3. Prosta jest to linia, której wszystkie części mogą się po niej ślizgać.

4. Prosta jest to linia, która pozostaje nieruchoma gdy umocujemy jej dwa różne punkty.

Definicja płaszczyzny:

1. Płaszczyzna jest powierzchnią o nieograniczonej rozciągłości.

2. Płaszczyzna jest powierzchnią, której wszystkie części mogą się po niej ślizgać.

3. Płaszczyzna jest powierzchnią o jednakowym stosunku do wszystkich prostych na niej leżących.

4. Płaszczyzna jest powierzchnią, na której leży cała prosta mająca z nią dwa różne punkty.

Ściągnął od Herona. Zajmował się historią matematyki - jako jeden z pierwszych.

472 - rozpad Cesarstwa Rzymskiego.

529 - cesarz Justynian rozwiązał Akademię w Atenach.

Był to koniec nauki i kultury. Przez następnych kilkadziesiąt lat trwał zastój. Kończy się też starożytność.

ŚREDNIOWIECZE I ODRODZENIE

Od V w. (tzn. od rozpadu Cesarstwa Rzymskiego) do końca XV w. (do Konstantynopola (trochę inaczej w Polsce)).

Z punktu widzenia matematyki działo się niewiele. O Bizancjum także niewiele wiadomo. Nic się nie zachowało. Pod koniec I w. n.e. wystąpił kryzys w Cesarstwie Rzymskim. Powody: ogólna sytuacja w kraju. We wschodniej części powstało Bizancjum ze stolicą w Konstantynopolu (330 r.). W 395 r. imperium podzieliło się na część Zachodnią i Wschodnią. Nastąpił kompletny upadek kultury, analfabetyzm stał się powszechny. Nastąpił upadek handlu i rzemiosła. Sfera nauki i kultury istniała wyłącznie w rękach Kościoła. Tylko tam potrafiono czytać i pisać. Jedynymi szkołami były szkoły kościelne. Ale i tak były one na słabym poziomie. Podręczniki - powierzchownie przepisane dzieła greckie. Nikt nie tłumaczył ani nie wydawał żadnych dzieł matematyków greckich. Kościół uznał je za symbol barbarzyństwa. Europa znajdowała się w feudalizmie (feudalizm - posiadanie prawa do cudzej własności).

Zachowały się osiągnięcia matematyki bizantyjskiej:

1. Ukazały się komentarze do „Elementów” Euklidesa ( same „Elementy” nie były wydane) w szczególności próbowano udowodnić 5 - ty postulat.

2. Ukazały się komentarze do dzieł Archimedesa i Apoloniusza (krzywe stożkowe - słynne twierdzenie).

3. Ukazały się prace z historii matematyki antycznej.

4. Ukazały się prace z arytmetyki (diofantowskiej).

• Tablice pierwiastków kwadratowych i sześciennych

• Tablice astronomiczne - nie były to wytwory uczonych bizantyjskich, a tłumaczenie z greckich tłumaczeń tablic arabskich.

Pod koniec XV w. Bizancjum podbite zostało przez Turków. Uczeni przenieśli do Europy Zachodniej.

II krąg kulturowy- osiągnięcia matematyków Europy Zachodniej.

Prace z początku Średniowiecza zawierającą wyłącznie wiedzę podstawową, praktyczną (praktyczna geometria i arytmetyka). Poważnym problemem była sprawa obliczania świąt kościelnych. W rozumowaniach arytmetyki i geometrii nie używa się żadnych dowodów. Z arytmetyki ciekawym rachunkiem był rachunek na palcach. Powstał traktat o „Rachunku na palcach”.

Trochę później na dworze francuskim Karola Wielkiego (VIII w.) zaczęły powstawać szkoły. Sam Karol był analfabetą. Powstały pierwsze podręczniki. W większości są to tłumaczenia z języka arabskiego, ale nie tylko. Część pochodziła z Indii (hinduskie). Po raz pierwszy od kilkuset uczeni zaczęli sięgać do kultury muzułmańskiej. Ukazały się komentarze do „Elementów” Euklidesa. Powstały tłumaczenia z języka greckiego - tłumaczenia prac Arystotelesa, Archimedesa, Protona, Euklidesa. W XV w. (początek) po raz pierwszy zostały przetłumaczone z greckiego na łacinę „Elementy” Euklidesa.

Połowa XV w. to przełom w kulturze i nauce.

1440 r. - wynaleziono druk (Guttenberg)

1482r. - po raz pierwszy wydano drukiem po łacinie „Elementy” Euklidesa w Wenecji (tylko

Biblia - wydana 30 lat wcześniej miała więcej wydań Józef Czech przetłumaczył

kilka.

Najważniejszą rolę odegrały uniwersytety.

1119 r. - pierwszy w Bolonii

(Prawdopodobnie kilkadziesiąt lat wcześniej powstał w Palermo, ale istniał bardzo krótko i rozpadł się).

1200r. - w Sorbonie, 1209r. - Cambridge, 1214r. - Oxford, 1348r. - w Pradze,

1364r. - Jagielloński w Krakowie. Założony przez Kazimierza Wielkiego (piast) i to w

Kazimierzu.

1365r. - w Wiedniu, 1385r. - w Heidenbergu.

Organizacja nauki była podobna. Istniały cztery wydziały: sztuk, teologii, prawa i medycyny. Student wstępował najpierw na wydział sztuk. Nauka trwała około 6 lat. Po egzaminach mógł przejść na następny wydział - nauka około 8 lat. Matematyki uczono początkowo na wydziale sztuk - dyscyplina podrzędna - ograniczała się do początków „Elementów” Euklidesa, elementy astronomii, optyki, arytmetyka itd. Później matematyka była na wydziale teologii (na filozofii). Koniec XV w. to koniec Średniowiecza.

XVI - Odrodzenie - nastąpiło odrodzenie kultury do poziomu kultury antycznej. Powody: odkrycia geograficzne, wynalazki, rozwój fabryk. Powstał nowy ustrój -> społeczeństwo burżuazyjne. Matematyka najbardziej rozwijała się we Włoszech, Francji i Niemczech. Największe osiągnięcia powstały w dziedzinie algebry.

Nicola Fontana (Tartaglia - jąkała) - (1500-1557) - znalazł wzory na pierwiastki równania 3-go stopnia (wzory Cardana). Wzory te zostały opublikowane przez Ginolamo Cardana jako jego własne w 1545 r. w dziele „Wielka Sztuka”. W dziele opublikował również wzory na pierwiastki równania 4 -tego stopnia. Ich autorem był włoski matematyk Ferrari.

Trwały właśnie poszukiwania wzorów na pierwiastki równań wyższych stopni. W 1572 r. włoski matematyk Rafael Bobmelli po raz pierwszy wprowadził liczby zespolone. (Przypisuje się je Hamiltonowi) w książce „Algebra”.

Francuz Francois Viete - (1540 - 1603) wprowadza do algebry symbolikę algebraiczną. Zasady owe sformułował i opublikował w książce - „Wstęp do sztuki analitycznej” (wydana w 1591r.).

Wszyscy zdawali sobie sprawę, że działania są przemienne, łączne i istnieją prawa rozdzielnośći. Ale jak to zapisać?

W XVI w. systematycznie „posługiwano” się już liczbammi ujemnymi oraz rachunkiem trygonometrycznym ( także sferycznym) - głównie dzięki Kopernikowi.

UWAGA!

Liczby ujemne znano już wcześniej. Rozwinęła się teoria perspektywy - śląski matematyk Witelo (XIII w.) zajmował się optyką.

Leonardo da Vinci - włoski uczony.

XV w. matematyka po raz pierwszy przekroczyła granicę wiedzy starożytnej. Utrwalił się dziesiątkowy system pozycyjny. Wprowadzano wykładniki ułamkowe i ujemne.

ŚREDNIOWIECZE W POLSCE

Polscy matematycy okresu średniowiecza w zasadzie nie mieli gdzie się uczyć. Dlatego też wyjeżdżali za granicę i często osiedlali się w innych krajach.

Witelo - pochodzi ze Śląska i urodził się pod Wrocławiem ok. (1220-1230). Podstawowe elementarne szkoły ukończył w Polsce i rozpoczął studia w Paryżu, w Padwie i Rzymie. Prawdopodobnie już nigdy do Polski nie wrócił. Głównym jego zainteresowaniem była geometria i jej zastosowanie w optyce. Napisał pracę zatytułowaną „O wnioskach z elementów Euklidesa” - w języku łacińskim. Nie zachowała się. Ok. 1270 r. pisze dzieło, w którym zasłynął w Europie pt. „O optyce tj. o istocie padanioa promieni, wzroku, świateł, barw oraz kryształów, które powszechnie nazywają perspektywą ksiąg dziesięcioro” - zastosowania geometrii w optyce. Dzieło to było bardzo sławne. Napisano po łacinie. Była wielokrotnie przepisywana, a w latach 1535, 1551 i 1572 wydana drukiem. W dziele tym znajduje się 10 ksiąg. Pierwsza poświęcona jest geometrii. Zawiera 137 twierdzeń wraz z dowodami. Wtedy nie była autorem wszystkich twierdzeń. Znakomita część jest autorstwa Euklidesa, zaś znaczna część - Apoloniusza (stożkowe). W dziele znajdują się tw. O proporcjach, prostych równoległych na płaszczyźnie i w przestrzeni, o kątach, o trójkątach o stożkowych. Witelo wprowadził pojęcie harmonicznego podziału odcinka.

A C B D

AC: CB = AD: DB

Punkt CB dzielą harmoniczne odcinek gdy zachodzi ta proporcja.

W geometrii rzutowej nie używa się pojęcia „że punkt C leży między dwoma punktami prostej, gdyż każde dwa punkty na prostej wyznaczają dwa odcinki, a nie jeden”.

Mikołaj Kopernik - urodził się w !473 r. w Toruniu, prawdopodobnie w rodzinie mieszczańskiej. Nie wiadomo do jakich szkół chodził i gdzie. Wiadomo, że w latach 1491 - 1494 studiował na Akademii Krakowskiej, od 1495 r. w Bolonii, a później w Padwie i Ferrauze (ukończył stopień doktora prawa kanonicznego). Po studiach wrócił do Fromborka i założył obserwatorium astronomiczne. W 1542 r. w Wittenberdze napisał pracę pt. „Nauka o rozwiązywaniu trójkątów”. W 1543 r. W Norymberdze została opublikowana praca „O obrotach sfer niebieskich”. Obie Prace napisane po łacinie. Teoria Kopernika posiada uzasadnieniem matematyczne (powstałe z wyliczeń). Z punktu widzenia matematyki prace Kopernika zawierają głównie trygonometrię. W drugim dziele są trzy rozdziały poświęcone (12,13 i 14).

Rozdział 12

Kopernik omawia z nim zasady obliczania (wyznaczania) tablic cięciw (połówek cięciw) dla danych kątów. Są to metody obliczania długości boków wielokątów foremnych wpisanych w okrąg.

Rozdział 13

Twierdzenie o rozwiązywaniu trójkątów. Między innymi jest tu tw. Sinusów. Są podane metody rozwiązywania trójkątów gdy dane są: dwa boki i kąt między nimi, dwa boki i kąt leżący naprzeciwko dłuższego z nich, dane są trzy boki.

Rozdział 14

To trygonometria i trygonometria sferyczna. Mamy tutaj tw. O rozwiązywaniu trójkątów sferycznych, o przystawaniu trójkątów sferycznych. W większości tw. Dowodzone są przy pomocy trygonometrii płaskiej.

Wiadomo, że jego prace czytali i stosowali: Viete i Neper (prawdopodobnie pod wpływem tych praw wprowadził pojęcie logarytmu).

W II połowie XVI wieku prace Kopernika były stałym elementem wykładów na Akademii Krakowskiej. W 1616 r. wszystkie prace Kopernika zostały wpisane na indeks ksiąg zakazanych.

MATEMATYKA XVII - GO WIEKU

Wystąpił tu wyraźny podział na różne dyscypliny matematyczne.

XVII - XVIII - czasy nowożytne - jest to często spotykana nazwa. Jest to wielki okres rewolucji i technicznej. Rewolucję techniczną spowodowało wynalezienie maszyny parowej (manufaktury- fabryki). Rewolucja naukowa objęła; matematykę, mechanikę, optykę, astronomię. Praca Kopernika zmieniła koncepcję świata.

„Wszechświat jest jednorodna i nieskończona przestrzenią wszędzie podlegająca jednakowym prawom” - Jordano Bruno.

Wiek XVII to stworzenie matematycznego modelu „wszechświata” ( ruchu planet - Kepler). Powstała nowa dziedzina nauki - dynamika - jako teoria opisująca ruch planet (ciał). Zapoczątkował przez Galileusza, a rozwinięta i matematycznie opisana przez Newtona. Rozwinęła się optyka, teoria światła - Newtona i Huygens'a. Powstały nowe przyrządy: barometr, mikroskop, termometr, udoskonalono lunetę. Ówcześni uczeni wprowadzili całą ówczesną fizykę do mechaniki, a tę do matematyki (geometria). Dlatego matematyka była postrzegana jako uniwersalna metoda poznania świata. W XVII w. powstały również nowe formy organizacji badań naukowych. Pojawiły się pierwsze stowarzyszenia uczonych pod nazwą Akademii.

1630 r. - Akademia Rysiów w Rzymie - nazwa pochodzi od rysia, który ma bystry wzrok. Była to pierwsza Akademia czasów nowożytnych.

1657 r. - Akademia Eksperymentów we Florencji - istniała tylko 10 lat.

1635 r. - Królewska Akademia Nauk w Paryżu - powstała tylko dwa wydziały: fizykę i matematykę. Pierwszym jej prezesem był Christian Huygens bbył Holendrem.

1662 r. - Towarzystwo Królewskie w Londynie. Założyciele: R. Boyle, R. Hook, J. Wallis. Prezesem był Izaak Newton.

1700 r. - Pruskie (później niemieckie) Towarzystwo Nauk w Berlinie. Prezes - G.W.Leibnitz.

1725 r. - Petersburska Akademia Nauk. Założycielem był car Piotr I.

1800 r. - Królewskie Warszawskie Towarzystwo Przyjaciół Nauki. Pierwszym prezesem był Jan Chrzciciel, zaś drugi Staszic.

Połowa XVII w. zaczęły ukazywać się czasopisma naukowe. Wcześniej pisano tylko książki i listy. (Korespondencja Leibnitza - ok. 15 listów)

1665 r. - powstają „Rozprawy Filozoficzne” londyńskiego Towarzystwa Naukowego, a także „Dziennik Uczonych” w Paryżu.

1682 r. - „Rozprawy Uczonych” w Lipsku

1699 r. - „Rozprawy” w Paryżu

1722 r. - „Pamiętniki” - Akademia Nauk w Petersburgu gromadziły w Sobie wszystkie dyscypliny naukowe.

W XVII w. widać wyraźny podział matematyki. Początek XVII w. - arytmetyka, geometria, algebra i trygonometria. W ciągu wielu powstały: geometria analityczna, rzutowa, rachunek prawdopodobieństwa (Bernoulliego), (Fermat, Kartezjusz), rachunek różniczkowy i całkowy (Newton, Leibnitz), pierwsze zastosowania algebry i analizy do geometrii - początki geometrii różniczkowej. Zaczęła rozwijać się teoria liczb (Fermat). Powstała bardziej zaawansowana maszyna matematyczna - arytmometr (często mechaniczne urządzenie) i suwak logarytmiczny. Nowością był powrót do rachunku nieskończenie małych - spowodował rozwój rachunku różniczkowego i całkowego.

ARYTMETYKA I TEORIA LICZB W WIEKU XVII

Wsposóbistotnyzostajerozszerzonepojęcieliczby-powszechniezaczętoużywaćliczbniewymiernych.W1637r.zostaławydana„Geometria”Kartezjusza.MetodyużywaneprzezKartezjuszabyłymetodamigeometrycznymi.DlategoteżarytmetykaialgebrawtymdzielesąwprowadzonebardziejgeometrycznieπzrealizowałpoglądPitagorejczyków.Udowodnił-żeciałoodcinkówjestizomorficznezciałemliczbrzeczywistychπprzyjakimśodcinkujednostkowym-wprowadzeniemetodyanalitycznejnaprostej.Kartezjuszutożsamiaodcinkiwspółmiernezodcinkiemjednostkowymzliczbamiwymiernymi.Odcinkiniewspółmiernezodcinkiemjednostkowynazywaliczbamigłuchymiπdzisiejszeliczbyniewymierne.Pokazał,żepodział:wymierne-niewymiernejestjedynywtymsensietzn.wszystkichodcinkównaprostejjednesąwspółmierne,ainneniezodcinkiemjednostkowym.

IzaakNewton-70-telataprowadziłwykładyzalgebrynaUniwersyteciewCambridge.Wprowadziłpojęcieliczby,którezostałorozpowszechnioneprzezmatematykównastępnegowielu:

„Liczbatoabstrakcyjnystosunekjakiejkolwiekwielkościdodrugiejwielkościtegosamegorodzajuprzyjętejzajednostkę.Liczbamożebyćwtrzechpostaciach:całkowita,ułamkowainiewymiernaπgłucha.Całkowitatoliczbawymiernajedności,wymiernaπułamkowatoliczba,którawymierzacałkowicieczęścijedności,niewymierna-którajestniewspółmiernazjednością.”

KlasyfikacjaNewtonajestwzasadzieklasyfikacjąwspółczesną.W1686r.WilhelmGodfrydLeibnitzpodałdefinicjęliczbyprzestępnej:

„Liczbaprzestępnatotaka,którejniemożnaokreślićżadnymrównaniemokreślonegostopniazewspółczynnikamiwymiernymi.”

Wprowadziłdwaterminy:pojęciekrzywejalgebraicznejiprzestępnej.

Powszechnieużywanojużliczbujemnych.Kartezjuszzinterpretowałjejakoodcinkiskierowaneprzeciwnieniżdodatnie.W„Geometrii”obszerniezbadałichwłasności,działaniananichπniewyjaśniającdlaczegosątakie,anieinne,wyjaśnieniepojawiłosiędopierowXVIIIw..

W1685r.w„Traktacieoalgebrze”J.Wallisachybaporazpierwszypojawiłasięinterpretacjageometrycznaliczbyzespolonejπjednostkiurojonej.

Symbol
zostałwprowadzonyw1777r.przezLeonardaEulera.NatrwałewszedłdomatematykidziękiGaussowi.πrozpowszechniłgo.ZastosowanieliczbzespolonychwalgebrzeianaliziepojawiłosiędopierowXVIIIw.

Wiektoodkrycienanowoułamkówłańcuchowych.UłamkiteodkryłmatematykPierreAntonioCataldipodkoniecXVIIw.--ułamkiciągłe.Ichodkryciebyłozwiązanezposzukiwaniemwzorównaprzybliżoneobliczaniepierwiastkówkwadratowych:

TymiułamkamizajmowałsięJ.WallisiholenderskimatematykifizykHuygensπodniegopochodziwspółczesnyzapisułamkałańcuchowego.

W.Brouncker:

πjesttocośmacośwspólnegozπ).

Wzór powstał w 1686 r. w „Arytmetyce nieskończoności” J. Wallisa. Rozkwitł ułamków łańcuchowych nastąpił dzięki Eulerowi w XVIII w.

W XVII w. wiedziano już wszystko o ułamkach dziesiętnych. Operowano pojęciami: ułamki skończone, okresowe, mieszane, proste i nieokresowe. Ułamki usystematyzowano w „Traktacie o algebrze”.

Wiek XVII to odkrycie logarytmów. W 1614 r. szkocki matematyk J. Neper w „Opisie prawdziwej tablicy logarytmów” wprowadził pojęcie logarytmu. W 1617 r. opublikowano pierwszą tablicę pt. „Pierwszych tysiąc logarytmów dziesiętnych”. W tym też roku zmarł Neper.

TEORIA LICZB

W 1621 r. Claude Gaspand Bachet de Meziriac opublikował „Arytmetykę diofantowską”. Miała ona dwie zalety:

1.była napisana po łacinie - każdy mógł ją przeczytać

2.opatrzona została obszernymi komentarzami autora

Dzięki tej publikacji nastąpił wzrost zainteresowania teorią liczb. Zajmowali się Kartezjusz, Pascal i Fermat (i inni).

Pierre Fermat - (1601-1665) nie był matematykiem. Urodził się w Tuluzie na południu Francji i był prawnikiem. Jego wiedza w różnych dyscyplinach była imponująca. Znał kilkanaście języków obcych, także starożytne (potrafił pisać wiersze po grecku). Matematykiem był tylko amatorsko. Ok. 1625-30 r. Fermat zaczął interesować się teorią liczb (prawdopodobnie pod wpływem publikacji „Arytmetyki diofantowskiej”). Fermat nie opublikował żadnej pracy naukowej. Wyniki jego obliczeń są znane tylko z jego korespondencji oraz zebranych i opublikowanych przez jego syna (w następnym wieku) rękopisów. Fermat w zasadzie nie dowodził swych twierdzeń. Prawie wszystkie jego twierdzenia zostały udowodnione przez Eulera w XVIII w.

Fermat zajmował się liczbami pierwszymi. Usiłował wymyślić wzór na liczby pierwsze:
sądząc, że ciąg ten daje nieskończony ciąg liczb pierwszych.

F₀=3, F₁=5, F₂=17, F₃=257, F₄=65537

Dopiero Euler pokazał, że liczba F₅ jest złożona, podzielna przez 641:

F₅=641*6700417

F₆ - złożona: F₆=274177*67280421310721 (w 1856 r.)- oba czynniki są pierwsze

F₇ - złożona: F₇=59646589127497217*5704689200685129054721 w 1970 r. Po raz pierwszy

użyto komputera.

F₈ - złożona, rozkłada się na czynniki pierwsze. Pierwszy czynnik 16 cyfr, a drugi 72. Obie są

znane (1980).

F₉ - C7 * C49 * C99 (1980 r.) C - cyfr.

F₁₀ - złożona. Rozkład znaleziono tuż przed F₉. Pierwsza * pierwsza * C291.

F₁₁ - znany pełny rozkład.

F₁₂ - złożona. Nic więcej nie wiadomo.

F₁₃ - złożona.

F₁₄ - złożona (1963 r.). Nie znaleziono żadnego czynnika tej liczby.

F₂₄ - liczba pierwsza Fermata, o której nie wiadomo czy jest pierwsza czy złożona. Największa

Liczba złożona Fermata, która jest znana: F₂₃₄₇₁. (wynik z 1984 r.). Ma więcej niż 10⁷⁰⁰⁰ cyfr.

Znany jest jej dzielnik. Dzieli się prze 5* 2²³⁴⁷³ +1.

Zastosowanie liczb pierwszych Fermata:

1. Wykonalność konstrukcji wielokątów foremnych - znalazł Gauss. Od F₀ do F₄ są konstruowane i wykonano je.

2^k ⋅ p₁ ⋅ p₂ ⋅ ................⋅ p_r - tylko takie wielokąty są konstruowane za pomocą cyrkla i linijki.

różne liczby pierwsze

2. Poszukiwanie metod kiedy dana liczba jest rozkładalna, a kiedy nie. Dążenie do znalezienia rozkładu na czynniki.

L. Euler i Ch. Goldbuch udowodnili, że nie istnieje wielomian jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych tak aby wartościami tego wielomianu były liczby pierwsze. Szukanie formuły f(n), gdzie przy kolejnym n wartości będą liczbami pierwszymi, skazane było na niepowodzenie.

f(n, k)

f(n, k, m) także nie istnieją

dla n=5 istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych jako wartości.

Istnieją wielomiany, których wartościami są wszystkie liczby pierwsze Fermata.

bliżniaki -liczby pierwsze różniące się o 2. Istnieją wielomiany, dla których są one wartościami.

Jednym z największych osiągnięć Fermata było udowodnione twierdzenia znanego dziś jako twierdzenie Fermata:

Małe twierdzenie Fermata (MTF)

„Jeśli p jest liczbą pierwszą i p nie dzieli a, to p dzieli a ^{p -- 1} - 1.”

Symbolicznie: p∈P ∧ p / a to p / a^{p - 1} - 1.

PRZYKŁAD:

1. Pokazać, że w ciągu 13, 103, 1003, 10003, .......... istnieje nieskończenie wiele liczb złożonych (podzielnych przez 13).

Założenie tw. Fermata jest spełnione: 13 / 10ⁿ na mocy MTF 13 / 10 ^12n-1 -1

13 / 10 ¹²ⁿ⁺¹ -10

13 / ( 10 ^{12n + 1} + 3) - (10 +3)

stąd 13 / 10 ^{12n + 1} +3

co kończy dowód bo 10 ^{12n + 1} + 3 jest liczbą z ciągu.

2. Jeśli p jest liczbą pierwszą różną od 2, 3, 5 to p dzieli nieskończenie wiele wyrazów ciągu 1, 11, 111, ..........

Wiadomo, że pod wpływem „Arytmetyki Diofantosa” i czytania na temat rozkładu kwadratu liczby naturalnej na sumę kwadratów liczb naturalnych Fermat sformułował i częściowo udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata (WTF):

„Nie można rozłożyć trzeciej i czwartej potęgi ani w ogóle wyższej potęgi od kwadratu na sumę dwóch potęg o tym samym wykładniku”.

Fermat twierdził, że znalazł dowód WTF jednak nikt go nie widział. Prawdopodobnie udowodnił je dla n=4. Wymyślił ogólną metodę dowodzenia twierdzeń dla liczb naturalnych - metoda regresji. Metoda ta polega na dowodzeniu „nie wprost” tzn zakłada się, że tw. Jest prawdziwe, a następnie coraz bardziej zmniejsza się rozpatrywane obiekty aż dojdzie do sprzeczności.

Fermat sądził, że metoda ta jest na tyle ogólna iż daje dowód tw. Dla wszystkich liczb naturalnych ( w późniejszym czasie pokazano iż metoda prawdziwa jest tylko dla n=3 i n=4). Opisał ją w 1659 r.

Fermat udowodnił, że nie istnieje trójkąt prostokątny mający boki długości całkowitej i pole będące kwadratem liczby całkowitej. Czyli udowodnił, że równanie: x⁴ + y⁴=z⁴ nie ma rozwiązania wśród liczb naturalnych.

Fermat wiedział, że jeśli WTF jest prawdziwe dla jakiejś liczby n to jest również prawdziwe dla jej wielokrotności. Czyli wiedział, że wystarczy je udowodnić dla wykładników, które są liczbami pierwszymi większymi od 2. W następnym wieku porządne dowody zostały „powtórzone” przez Eulera.

Dla n=3, 4 - kompletne dowody podał Euler

n=5 - dowód podany przez Dirichleta XIX w. (1888 r. )

n=7 - dowód podany przez H. Lebesque (XIX w. )

Pod koniec XIX w. pokazano, że WTF jest prawdziwe dla wszystkich wykładników < 100 i ich wielokrotności. Wielkim przełomem był rok 1922, w którym podano hipotezę wiążącą WTF z powierzchniami topologicznymi.

Idea: mamy udowodnić xⁿ + yⁿ = zⁿ w liczbach naturalnych. Popatrzmy na to równanie jako obiekt algebraiczny (topologiczny - sfera, butelka Kleina, torus itp.).

W 1922 r. matematyk L. Mordell pokazał związek między WTF, a powierzchniami umieszczonymi w dwuwymiarowej przestrzeni rzutowej. Podał hipotezę, że taki związek istnieje. W 1983 r. hipoteza została udowodniona przez Gerda Fallingsa.

Reperkusje tego dowodu.

W 1983 r. udowodniono, że jeśli WTF jest fałszywe to liczba trójek, dla których ono jest fałszywe jest skończona. Było już wiadome, że WTF jest prawdziwe dla wszystkich wykładników mniejszych od miliona.

W 1992 r. wiedziano, że WTF jest prawdziwe dla wszystkich wykładników ≤ 4* 10⁶.

W 1993 r. Andrew Wiles podał dowód WTF. Zawierał on błąd, który został poprawiony rok później (przez Richarda Taylora).

WTF nie wnosi nic do matematyki i teorii liczb poza metodami wykorzystywanymi do jego udowodnienia. Najbardziej denerwująca w WTF była jedna rzecz. Wiedziano, że WTF jest albo fałszywe albo prawdziwe. Nie mogło być niezależne.

Arytmetyka liczb naturalnych jest niezupełna - Godel.

Fermat zajmował się również formami kwadratowymi (tzn. o pewnej wyrażalności liczb naturalnych (n) za pomocą form kwadratowych).

Dana jest forma kwadratowa F(x₁, x₂)=ax₁²+ 2bx₁x₂+ cx₂².

DEFINICJA:

Mówimy, że liczba naturalna n jest przedtawiana za pomocą formy kwadratowej F(x₁, x₂) jeśli istnieją takie liczby n₁, n₂ względnie pierwsze, że n = F(n₁, n₂).

Fermat postawił pytanie:

Jakiej postaci są liczby pierwsze dające się przedstawić jakąś formą kwadratową?

Rozważania otworzyły nowy kierunek do badań: badanie liczb pierwszych można zastąpić badaniem form.

Fermat udowodnił, że:

1). Liczba pierwsza p jest postaci 4n + 1 ⇔ gdy jest przedstawiana za pomocą formy x₁² + x₂²

2). Liczba pierwsza p jest postaci 6n + 1 ⇔ gdy jest przedstawiana za pomocą formy x₁² + 3x₂² lub x₁² + x₁x₂ +y₁².

W 1636 r. Fermat sformułował tw:

„Każda liczba naturalna jest albo n - tą potęgą liczby naturalnej albo sumą co najmniej n - liczb będących liczb naturalnych”.

Fermat nie podał dowodu.

W 1650 r. tw. udowodnił dla n =4 Euler.

W 1800 r. tw. udowodnił dla n=3 Gauss.

W 1814 ogólny dowód - Cauchy.

Inne badania Fermata to równania i nierówności diofantyczne.

GEOMETRIA XVII WIEKU

Najważniejsze osiągnięcie to powstanie geometrii analitycznej (działu matematyki związanego z opisywaniem obiektów geometrycznych poprzez współrzędne). Wiadomo, że metoda współrzędnych pojawiała się już gdzie niegdzie w starożytności. Pojawiły się tam liczby dziś zwane długością i szerokością geograficzną (czyli pojawił się opis położenia punktów na sferze przy pomocy pary liczb) - na pewno w kulturze Greckiej i Dalekiego Wschodu (przy Apoloniuszu).

Powstanie geometrii analitycznej było spowodowane przez rozwój algebry, analizy, arytmetyki i innych działów. Było dwóch twórców: Fermat i Kartezjusz. W 1637 r. ukazała się praca fermata pt. „Wstęp do miejsc płaskich i bryłowych” - wyłożył w niej zasadę geometrii analitycznej.

Fermat stworzył programowy sposób myślenia o geometrii analitycznej. Wg. niego zasada geometrii analitycznej brzmi następująco:

„Za każdym razem gdy w ostatecznym równaniu występują dwie wielkości niewiadome, miejsce i koniec jednej z nich opisuje prostą lub linię krzywą. Równania wygodnie jest uzmysłowić umieszczając obie niewiadome pod pewnym danym kątem, który najczęściej przyjmujemy jako prosty i podając położenie i koniec drugiej wielkości”.

Współczesna interpretacja geometrii:

x

Zatem owe wielkości niewiadome (współrzędne) - to u Fermata odcinki. Fermat ograniczył się tylko do rozpatrywania współrzędnych dodatnich. Na tej podstawie wprowadzał równanie prostej okręgu ( miejsca płaskie), równanie hiperboli, paraboli i elipsy ( miejsca bryłowe). Wszystko jest ograniczone przez współrzędne dodatnie.

Kartezjusz - jego głównym dziełem jest „Geometria”. Wyraził tu pogląd jedyną ogólną metodą jaką należy używać w geometrii jest metoda algebra. Uważał, że:

„....przedmiotem badań geometrii powinny być linie geometryczne tzn. takie, że które dają się opisać ruchem ciągłym lub kilkoma ruchami ciągłymi, z których każdy ma wpływ na następny”.

Jednocześnie uważa, że istnieją linie w geometrii, które nie dadzą się tak opisać. Nazywa je liniami mechanicznymi (np. kwadratrysa).

W późniejszym czasie Leibniz zmienił nazewnictwo. Linie geometryczne nazwał liniami algebraicznymi, zaś linie mechaniczne - liniami przestępnymi.

Kartezjusz wprowadził ten podział, gdyż łatwo jest opisać krzywą za pomocą jej współrzędnych (podając jej równanie). Podział się przyjął, zmieniła się tylko terminologia (na tę którą podał Leibniz).

Kartezjusz opisywał krzywą podając zależności między jej współrzędnymi. Pierwszą współrzędną była współrzędna y. Podał też ogólną klasyfikację krzywych w zależności od stopnia równania jakim zostały opisane. Po raz pierwszy pojawiło się pojęcie funkcji danej wzorem. W czasach Kartezjusza nie używano terminu „geometria analityczna”. Nazwa weszła dopiero pod koniec XVIII w.

W 1679 r. pojawiła się praca Filipa de la Hire - „Nowe elementy stożkowych”. W pracy tej podał uogólnienie metody analitycznej Kartezjusza na przypadek trójwymiarowy (czyli wprowadził pojęcie współrzędnych przestrzennych). Opisał różne bryły obrotowe: paraboloidy i hiperboloidy itp.

Prace Fermata i Kartezjusza nie były na tyle przekonujące, aby ich metoda została rozpowszechniona. Istotny krok naprzód w zastosowaniu metody analitycznej uczynił Izaak Newton. Podał on kompletną klasyfikację krzywych stopnia trzeciego. Podał też własności 72 - tych krzywych (ich wykresy i nazwy).

Twierdził, że wszystkie krzywe stopnia 3-go można sprowadzać do czterech następujących typów:

1.W(x)= xy² + y - pierwszego rodzaju

2. W(x)= xy - drugiego rodzaju

3. W(x)= y² - trzeciego rodzaju

4. W(x)= y - czwartego rodzaju

gdzie W(x)=ax² + bx² +cx + d.

Podał metodę szukania asymptot i punktów osobliwych. Wyniki te zostały opublikowane w 1704 r. w pracy pt. „Wyliczenie krzywych rzędu 3-go”.

Zapiski na ten temat występował już w latach 1667 - 68.

W XVII w. pojawił się również trzeci pomysł na wprowadzenie metody analitycznej do geometrii (później zapomniany). Podał go Leibniz. Jednak, żadna praca na ten temat się nie zachowała - być może, że wcale jej nie było.

Pomysł Leibniza wyraża się w liście napisanym w 1679 r. do Huygensa:

„Myślę, że figury i ruchy można byłoby przedstawić za pomocą znaków podobnie jak algebra przedstawia liczby i wielkości”.

Geometrię taką nazwał Leibniz geometrię położenia lub analizą położenia. Chodziło tu o to, że:

Metoda analityczna w geometrii to liczenie nie na liczbach, ale na figurach geometrycznych. Wtedy jest to zastosowanie metody analitycznej w geometrii. Około 1670 r. Leibniz zaproponował program, który stworzyły taką geometrię. Nie zrealizował go. Dopiero początek XX w. - to pierwsze poważnie próby realizacji programu Leibniza. Podjął ją duński matematyk Hjelmsler. Jego pomysł polegał na tym, że(oczywiście na płaszczyźnie). Prostą traktował jako figurę, na której można zachować. Popatrzył na nią jako na symetrię osiową względem niej samej.

Zatem: figura jest prosta, działaniem zaś jest złożenie.

Jednak złożenie dwóch symetrii osiowych nie daje symetrii osiowej. Zatem przy złożeniu nie otrzymujemy tego samego obiektu. Hjelmsler nie umiał tego wyjaśnić i poradzić sobie z tym pomimo rozumowanie jego było dobre. Dlatego tak późno (początek XX w.) brakowało odpowiedniego aparatu algebraicznego, który stworzyli Galois, Abel i inni.

Niemiecki matematyk Arnold Schmidt w 1943 r. udowodnił twierdzenie:

„Złożenie trzech symetrii osiowych jest symetrią osiową ⇔ osie przecinają się w jednym punkcie (są współpękowe) lub osie są równoległe”.

Jest to twierdzenie o trzech symetriach.

Następny krok w realizacji programu Leibniza to rok 1959 i niemiecki matematyk Fryderyk Bachmann oraz jego praca „Konstrukcja geometrii przy pomocy pojęcia symetrii”. Podał od początku do końca realizację programu Leibniza mówiąc, że:

„Te figury geometryczne, na których należy rachować to mają być skończone ciągi prostych, działanie na tych figurach geometrycznych to ma być składanie symetrii osiowych względem tych prostych”.

Dowodzi dalej, że te skończone ciągi mają jeden, dwa lud trzy elementy czyli dowodzi następującego twierdzenia (na płaszczyźnie):

„Złożenie dowolnej liczby symetrii osiowej jest albo symetrią osiową albo złożeniem dwóch symetrii osiowych, albo złożeniem trzech symetrii osiowych”.

W XVII w. powstała również geometria rzutowa. Jej idea pochodzi od starożytnych Greków, a jej powstanie w XVII w. od Keplera. Próbował on opisać coś, co jest bardzo daleko jest to punkt przecięcia się prostych równoległych.

POWSTANIE GEOMETRII RZUTOWEJ

W latach (-260, -170) żył jeden z większych geometrów - Apoloniusz z Perge. To właśnie w jego dziele po raz pierwszy pojawiły się krzywe zwane dziś stożkowymi. Jego dzieło składało się z ośmiu ksiąg i było nazwane „stożkowe” nie zachowało się. Wprowadził podstawowe krzywe zwane dziś elipsą, hiperbolą, parabolą. Są one określone jako krzywe powstałe z przecięć stożka różnymi płaszczyznami (stożek nieskończony). Wprowadził pojęcie ogniska, średnicy, kierownicy, mimośrodu (nazwy dzisiejsze). W dziele tym pokazane jest, że ogniska w elipsie są to pkt. styczności kul wpisanych w stożek stycznych do płaszczyzny tnącej ten stożek.

Apoloniusz stosował metody rzutowe do dowodów wszystkich twierdzeń.

XVII w. ponownie zainteresowano się geometrią rzutową za sprawą astronoma J. Keplera (1571,1630). Uczynił on obserwacje, że proste rozłączne po zrzutowaniu mogą być prostymi przecinającymi się czyli „proste”, które można uważać za równoległe mogą stać się prostymi przecinającymi się.

Kepler wprowadził pkt przecięcia prostych równoległych na płaszczyźnie tzw. pkt w nieskończoności (pkt leżący gdzieś daleko na horyzoncie).

Punkty przecięcia się prostych równoległych tworzą klasę abstrakcji.

Można by sądzić, że otrzymany twór jest dość sztuczny, ale tak nie jest. Zarówno prosta jak

I punkty leżące na niej nieskończoności niczym nie różni się od tej które mamy pod ręką. Wykonujemy wędrówkę z płaszczyzny Euklidesowej do rzutowej. Dołączamy do płaszczyzny Euklidesowej prostą o nieskończoności (klasy abstrakcji prostych równoległych) i już jesteśmy w geometrii rzutowej. Przestaliśmy więc odróżniać naszą prostą od prostych w tej przestrzeni (ma te własności). Jak więc powrócić do płaszczyzny Euklidesowej? Wybieramy jedną prostą w świecie rzutowym i mówimy, że proste są równoległe jeśli przecinają się z tą prostą.

W świecie Euklidesa taka prosta k nie istnieje:

Kepler wprowadził więc prostą w nieskończoności i punkt w nieskończoności. Zdefiniował go jako granicznie położenie dwóch prostych przecinających się gdy proste te dążą do bycia równoległymi.

Punkt coraz bardziej się oddala, a proste dążą do bycia równoległymi.

Wyniki badań Keplera zostały umieszczone w wydanej w 1604 r. pracy pt.”Astronomii część optyczna”. Wprowadził tu pojęcie stożkowej (dodał, że stożkową jest również para przecinająca się prostych - ma ciekawe własności podobne do stożkowej).

Powtórzył wyniki i pojęcia wprowadzone przez Apoloniusza (i ich własności) uwzględniające punkty w nieskończoność.

Prawdopodobnie również w XVII w. pojawiła się bardzo interesująca interpretacja geometrii rzutowej. Interpretacja współczesna:

Wyobraźmy sobie, że mamy sferę. W jakimś punkcie sfery rysujemy płaszczyznę styczną do sfery. Ze środka sfery dokonujemy rzutu stereograficznego na płaszczyznę (tak aby był on przekształcony wzajemnie jednocześnie. Ze środka sfery wyprowadzamy prostą przecinającą sferę przekształcony na pkt. , w którym prosta przecina sferę. Punkty lezące na okręgu wielkim nie mają swego odpowiednika na płaszczyźnie. P i P' - para pkt. antypodycznych są jednym pkt. na płaszczyźnie. Rzutem na płaszczyźnie będzie okrąg (bez antypod), a pkt. wielkiego okręgu przejdą na pkt. w nieskończoności (prostej).

Dwie proste równoległe na płaszczyźnie dadzą na sferze dwa okręgi wielkie, a one zawsze się przecinają.

Dalszy rozwój geometrii rzutowej to zasługa francuskiego inżyniera architekta Girarda Desargues'a (1591-1661) - dzięki niemu geometria rzutowa przekształciła się w odrębną dziedzinę matematyki. Praca z jego wynikami pt. „Pierwszy zarys przedstawienia wydarzeń spotkania stożka z płaszczyzną” została wydana w 1639 r. Dostrzegł elementy praktyczne. Wprowadził i używał(za Keplerem) pojęcia pkt. i prostej w nieskończoności. Wprowadził różnego rodzaju przekształcenia na płaszczyźnie rzutowej; pojęcie pęku i łańcucha) (łańcuch - pojęcie dualne - zb. pkt. na prostej); rzutowanie łańcucha na pęk i pęku na łańcuch; przekształcenia perspektywicznego (między dwoma pękami lub dwoma łańcuchami)

pojęcie kolineacji i korelacji

(kolineacja: pkt pkt; prosta prosta

korelacja: pkt prosta; prosta pkt)

Pojęcie korelacji biegunowej (rzędu 2 to inwolucja)

Sformułował tw. Desargues'a:

(środka perspektywicznego i osi perspektywicznej trójkątów)

Dwa trójkąty mają środek perspektywiczny mają oś perspektywiczną.

Następny matematyki to Błażej Pascal (1623, 1662) - od niego pochodzi tw. zwane tw. Pascal lub tw. Pappusa - Pascala:

„Jeżeli sześciokąt wpiszemy w stożkową to punkty przecięcia przeciwległych boków są współliniowe”.

Pappus - zauważył, że podobne własności sześciokąta zachodzi jeżeli wierzchołki jego umieścimy na dwóch różnych prostych (Żył w III w.)

używał(za Keplerem) pojęcia pkt. i prostej w nieskończoności. Wprowadził różnego rodzaju przekształcenia na płaszczyźnie rzutowej; pojęcie pęku i łańcucha) (łańcuch - pojęcie dualne - zb. pkt. na prostej); rzutowanie łańcucha na pęk i pęku na łańcuch; przekształcenia perspektywicznego (między dwoma pękami lub dwoma łańcuchami)

pojęcie kolineacji i korelacji

(kolineacja: pkt pkt; prosta prosta

korelacja: pkt prosta; prosta pkt)

Pojęcie koᥲelacji biegunowej (rzędu 2 to inwolucja)

Sformułował tw. Desargues'a:

(środka perᥳpektywicznego i osi perspektywicznej trójkątów)

Dwa trójkąty mają środek perspektywiczny mają oś perspektywiczną.

Następny matematyki to Błażej Pascal (1623, 1662) - od niego pochodzi tw. zwane tw. Pascal lub tw. Pappusa - Pascala:

„Jeżeli sześciokąt wpiszemy w stożkową to punkty przecięcia przeciwległych boków są współliniowe”.

Pappus - zauważył, że podobne własności sześciokąta zachodzi jeżeli wierzchołki jego umieścimy na dwóch różnych prostych (Żył w III w.)

W 1822 r. Wiktor Poucelet napisał pracę pt. „Traktat o własnościach figur”, w którym geometria rzutowa została wyłożona prawie w takiej postaci jak jest znana obecnie. Stan wiedzy o geometrii rzutowej został ostatecznie ukształtowany w 1905 kiedy udowodniono, że z tw. Pascala wynika tw. Desarguesa, a tw. Desargues'a da się udowodnić przy pomocy tw. Pascala

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl

y

---